Рассеяние света многослойным цилиндром в приближении Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна

В оптике аэрозолей, биологических взвесей, коллоидной химии для быстрого анализа, характеристик светорассеяния частицами произвольной формы и структуры используются различные приближения [1-6]. Если светорассеивающие частицы оптически «мягкие» (|т — 1| <<  1, где

• ¹    E-mail: sh const@mail.ru

т = п + г% относительный показатель преломления частицы), то чаще применяют приближения Рэлея-Ганса-Дебая (РГД), Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ), и Аномальной Дифракции (АД). В приближении РГД и АД получены формулы для характеристик светорассеяния многослойных сферических частиц, сфероидов, эллипсоидов, которыми обычно моделируют клетки и биологические частицы [2-7].

Целью настоящей работы является анализ светорассеяния многослойными цилиндрическими частицами в приближении ВКБ. Ранее автором показано аналитически [8], что выражения для фактора эффективности ослабления однородной частицы любой формы в приближениях ВКБ в скалярном виде и Аномальной дифракции (АД) совпадают с точностью до знака %. Поэтому полученные далее формулы для фактора эффективности ослабления ВКБ могут быть полезны и для приближения АД.

1.    Амплитуда светорассеяния в приближении ВКБ и РГД

Предположим, что на коаксиальный многослойный цилиндр высоты Н и внешнего радиуса R n состоящий из N слоев, падает плоская электромагнитная волна в плоскости ZOY прямоугольной системы координат под углом 6_i к о си z (рис. 1), каждый j-слой радиуса Rj имеет собственный относительный показатель преломления mj (по отношению к внешней среде).

Рис. 1. Геометрия светорассеяния однородным (а) и многослойным круговым цилиндром (б) высоты Н.

Используем интегральное представление амплитуды светорассеяния в приближении ВКБ и РГД [8, 9]:

к2

f ( s , i ) = 4Z [- s ^x ( s ^x e i)] J (m

— 1)T exp [гк (A(m — 1)( r • i — ^1) + r ( i — s ))] dV,

где s , i — единичные векторы вдоль направления рассеяния и распространения света соответственно, £1 — входная координата на поверхности частицы для волны, проходящей через точку г, T = T(m,6_i ) — коэффициент пропускания Френеля (причем T(т,^/2) = 2/(т + 1)), r — радиус-вектор точки внутри частицы, постоянный коэффициент A = {0,1} (A равен 0 и 1 для РГД и ВКБ приближений соответственно).

Тогда из (1) для амплитуды цилиндрической многослойной частицы (см. рис. 1 б) при 6_i = ^/2

в скалярном виде ВКБ имеем [8]:

/ (s,i) =

R n z 2 y2

k²(m — 1)   / [ f

------ exp ^ ^(m

- R n z1 y1

1)(y — y1 ) + "1ж + "2 У + "3z)] dydzdж,

где z1, z₂, y1, y₂ - входные и выходные координаты соответственно для z и y иа поверхности частицы, k1 = k[sin 9_г cos ф_г — sin 9₈ cos фД, k₂ = k[sin 9_г sin ф_г — sin 9₈ sin ф₈], k₃ = k[cos 9_г — cos 9₈ ], k'1 = k1, k'₂ = k₂ sin 9_г + k₃ cos 9_г, k3 = k₃ sin 9_г — k₂ cos 9_г, 9_г, ф_г, 9_S, ф₈ - углы, указывающие направление падающего и рассеянного света, в сферической системе координат.

Интегрируя (2), для оптически «мягкого» цилиндра (рис. 1 б), состоящего из N слоев (см. форм-фактор многослойных РГД частиц [2-4]), запишем амплитуду светорассеяния в скалярном виде в приближении РГД:

/ =

2тт

N -1

(m_N — 1)VN F ( R n ) + ^ (m_d — mj+^VjF (Rj ) j=1

где k4 = V "2 + k2, F (ж) = 2A(7zA J1 (ж) ^_ функция Бесселя первого порядка, jo (ж) = sin^ -сферическая функция Бесселя нулевого порядка, Vj = ^R2H - объем j-oro слоя.

Для приближения ВКБ амплитуда, светорассеяния многослойного цилиндра, в скалярном виде выглядит более громоздко и не выражается через сумму форм-факторов слоев в отличии от приближения РГД.

2.    Факторы эффективности светорассеяния, ослабления, поглощения

Сечение светорассеяния о₈ по [9], нормированное на площадь S проекции частицы на плоскость, перпендикулярную оси пучка, (или фактор эффективности светорассеяния Q₈) равно:

I = q₈ = S у |/(_s,z)|²dw,                                (4)

4~ где dw - элемент телесного угла (в сс[)ерической системе координат sin98d98dф8Y

Согласно оптической теореме [3], сечение ослабления а_е, нормированное на площадь S проекции частицы в плоскости, перпендикулярной оси пучка, (или фактор эффективности ослабления Q_e) равно:

^Qe = "S = kSr^{m [f (}i, i^)] • ei.                                      (5)

Сечение поглощения o_a no [9], нормированное на площадь S проекции частицы в плоскости, перпендикулярной оси пучка, (или фактор эффективности поглощения Q_a) равно:

I =Qa = S У ke" |E(r)|² dV,                               (G)

V где E(r) - полное электрическое поле внутри частицы, е" = 2п\ ^ мнимая часть относительной диэлектрической проницаемости частицы (m2 = е" + гефф

Рассмотрим частный случай: падение света под углом 9_г = ^/2 на однородный цилиндр радиуса R и высоты H вдоль оси Оу (рис. 1 а). Используя амплитуду светорассеяния (2), получим из (5) фактор эффективности ослабления в приближении ВКБ в скалярном виде [8]:

^{(1 —} exp [г" ^{(m —} 1) ⁽у2 ^— yi^{)]) dS}^ ,                     (7)

где yi, у2 - входные и выходные координаты соответственно для у на поверхности частицы.

Используя площадь S = 2RH и выражение (7), окончательно имеем [8]:

Qe90 = irStrHi (До),

где StrH1(x) - функция Струве первого порядка, До = 2kR(m— 1) - фазовый сдвиг «центрального» луча.

Заметим, что выражения для фактора эффективности ослабления в приближении ВКБ в скалярном виде (7) и (8) совпадают с таковыми в приближении АД [6].

Для многослойного (Д-слоев) цилиндра высоты H при падении света под углом 9г = ^/2 (см. рис. 1 б) факторы эффективности слоев не суммируются, по суммируется фазовый сдвиг от каждого слоя. Поэтому получим в приближении ВКБ фактор эффективности ослабления Qe90 в скалярном виде:

^Qe90 = ^{2 —} r —^Re

где Rj-1, Rj - радиусы внутреннего j — 1 и внешнего j слоев соответственно, имеющих относительные показатели преломления mj-1, mj, а Д = Д(х) - общий фазовый сдвиг, зависящий от положения х точки входа излучения

Д1 + ЕД Дj-1

Д, + ЕД+1 Дj-

ДN

0 < х < R1 ...

Rq-1 <Х

Rj-1 < х < Rj

Дj^-1 = 2(mj — 1)к (УR2 — х² — УR2-1 — х²) , Д1 = 2(m1 — 1)к^ R^ — х², Д _j = 2(m _j — 1)к^ Rj — х².

Для двухслойного цилиндра с радиусом оболочки R2 и ядра R1 при падении света под углом 9^ = ^/2 в приближении ВКБ имеем из (9):

^Qe90 = ^{2 —}RT^Re

где Д= {

Д1 + Д12

Д2

0 < х < R1

R1 < х < R2

Д1 = 2(m1 — 1)k\jR² — х², Д₂ = 2(m₂ — 1)к<^R2 — х²,

Vri—х²).

Д2 = 2(m₂ — 1)k I R R— — х"² —

В приближении ВКБ для фактора, эффективности поглощения из (6):

Qa =2ких

j |T(m, 9) |2 • exp [—2кх (у — У1)] dV, интегрирование по у (см. [8]) дает

Qa = и

j IT(m,9,)|² • (1

^{— ex}p ^[—2кх ⁽У2 ^— У1^{)]) dS}.

Таким образом, используя (11), получим выражение для фактора, эффективности поглощения однородного цилиндра радиуса R и высоты H в приближении ВКБ [8]:

4и      ^

^Qa90 = (и +1)2 +х2 1.2 ^(I1(4kRX)^{— L1}

где I_i(x') = -г J1(ix) - модифицированная функция Бесселя 1 рода, Li(x) = -StT H_i(ix') - модифицированная функция Струве.

В приближении ВКБ для многослойного (A-слоев) оптически «мягкого» цилиндра высоты Н при падении света под углом 9^ = ^/2 получим фактор эффективности поглощения Q_a9o:

4nw

(nw + 1)2 + xW

Rn

где A - общий фазовый сдвиг, зависящий от x также, как и в формуле (9).

Очевидно, что фактор эффективности поглощения Q_a90 в скалярном виде в приближении ВКБ (13) переходит в соответствующую формулу в приближении АД при условии достаточной оптической «мягкости» m ш 1, поскольку коэффициент 4nw/ ((nw + 1)2 + Xw) ^в (13) стремится к 1.

Отметим также, что даже при падении света на цилиндр под углом близким к 9^ = ^/2 можно также использовать формулы для фактора эффективности ослабления Q_e90 (9), (10) и поглощения Q_a90 (13) в приближении ВКБ. после деления общего фазового сдвига. A на sin 9^. как и в приближении АД [6].

Решение для двухслойного бесконечно длинного цилиндра, получено ранее в [10-12]. Итак, для бесконечно длинного двухслойного цилиндра, при падении света, строго перпендикулярно оси цилиндра, имеем [П, 12]:

an|| 0, ^nl 0,

„   _   Jn(x2) [JX(m2X2) - AxYX(m2X2)] - m2 JX(X2) [Jn(m2X2) - AnY-nAm^^

an± —   (1)                                                (1)                                      ,

HX (X2) [JX(m2X2) - AnY^(m2X2)] - m2H‘X) (X2) [Jn(m2X2) - AnYn(m2X2)]

^n|| =

m2 Jn (X2) [JX (m2X2) - B YX (m2X2)] - JX (X2) [Jn (m2X2) - Bn Yn (m2X2)] m2Hn'^! (X2) [JX (m2X2) - Bn Y^ (m2X2)] - H‘X) (X2) [Jn (m2X2) - B„ Y„ (m2X2)]

An

Bn

m2Jn (m2Xi) Jn (mixi) - mi JX (m2Xi) J„ (miXi)

m2Yn (m2Xi) JX (mixi) - miY^ (m2Xi) J„ (miXi) ’ m2Jn (miXi) JX (m2Xi) - miJX (miXi) Jn (m2Xi) m2YX (m2xi) Jn (miXi) - miYn (m2xi) JX (miXi)'

где x₁ = kR_i- x₂ = kR₂- J_n(x). Y_n(x) - функции Бесселя ii Неймана, целого порядка. hX^x) = = J_n (x) + iY_n (x) - функция Гаикеля 1 рода.

Факторы эффективности светорассеяния Q_s, ослабления Q_e и поглощения Q_a запишем для двух поляризаций [3]:

^Q_s|| = — ^о||| ⁺²Y l⁶n||| ]

^Q_e|| = XL^R_e ^о|| ⁺² Y ^&n||^ ,

QS^ -

∞

|по_±|² + 2 ^Y lanxi² n = i

Qex = -Re aox + 2 £ an_±  ,

X2            n=i    7

очевидно, для пеполяризоваппого света, в скалярном виде будем иметь

_ Ое|£+Ое±      _ ^Qs|| ^{+ Q}sX      _

Qe         2     ,   Qs        2     , Qa Qe Qs-

Далее нами проведено сравнение результатов расчета, факторов эффективности ослабления Q_e90 и поглощения Q_a90 для конечного двухслойного цилиндра высоты Н в приближении ВКБ по формулам (10), (13) и бесконечно длинного цилиндра. (16). На рис. 2 и 3 показаны зависимости величии фактора эффективности ослабления Q_e90 и поглощения Q_a90 от модуля фазового сдвига

2к R2|т₂ — 1| для конечного в приближении ВКБ и бесконечно длинного двухслойных цилиндров (см. алгоритм в [11, 12]) с относительными показателями преломления слоев т1 = 1, 2 + г0, 02, т₂ = 1,1 + г0, 01 при постоянных отношениях: R1 /R2 = 0, 5; R1 /R2 = 0, 9. Отметим, что значения фактора эффективности ослабления Q_e90 и поглощения Q_a90 в приближении ВКБ несколько ниже (не более 10%), чем соответствующие значения для бесконечно длинного двухслойного цилиндра (см. рис. 2, 3).

Заключение

Таким образом, получены выражения для факторов эффективности ослабления и поглощения в приближении ВКБ многослойного кругового цилиндра в скалярном виде при падении света перпендикулярно оси цилиндра. Также проведено численное сравнение факторов эффективности ослабления Q_e90 и поглощения Q_a90 для конечного в приближении ВКБ и бесконечно длинного двухслойных цилиндров. Отмечено неплохое согласие в области применения приближения ВКБ. Полученные выражения для факторов эффективности ослабления и поглощения в приближении ВКБ многослойного цилиндра могут быть обобщены в дальнейшем для произвольного угла падения света.

Рис. 2. Зависимость величины фактора эффективности ослабления Q_e90 (а) и поглощения Q_a90 (б) от модуля фазового сдвига 2kR2|m₂ — 1| в приближении ВКБ для конечного (2) и бесконечно длинного (строгое решение) (1) двухслойных цилиндров с относительными показателями преломления слоев т1 = = 1, 2 + г0, 02, m2 = 1,1 + г0, 01 при Ri/ R2 = 0, 5.

Рис. 3. Зависимость величины фактора эффективности ослабления Q_e90 (а) и пог лощения Q_a90 (б) от модуля фазового сдвига 2kR2|m₂ — 1| в приближении ВКБ для конечного (2) и бесконечно длинного (строгое решение) (1) двухслойных цилиндров с относительными показателями преломления слоев т1 = = 1, 2 + г0, 02, m2 = 1,1 + г0, 01 при Ri/R2 = 0, 9.