Расширение понятия вогнутого оператора

Пусть X - банахово пространство, полуупорядоченное конусом K , K (и0) - компонента, порожденная элементом и0 е K (см. [1]).

Определение метрики Биркгофа x, y е K (и0); a > 0}.

р ( x ; y ) = min { a : e ^-a x <  y <  e ^a x ;

Определение u ₀ -сжатия. Положительный оператор T , действующий в X , будем назвать u ₀ -сжатием, если он удовлетворяет двум условиями:

• 1.    Для любого x е K ( и ₀ ) Tx е K ( и ₀ ) ;

• 2.    Для любого x е K ( и ₀ ) существует q = q ( x , t ) , такое, что 0 <  q ( x , t ) < 1 , при котором из неравенств e ^- t x <  y <  e t x следуют неравенства e ^{- qt}Tx <  Ty <  e q Tx.

Отметим, что u ₀ -вогнутый монотонный оператор является u ₀ -сжатием.

Теорема. Пусть оператор является T u ₀ -сжатием и имеет неподвижную точку x * е K ( и ₀ ) . Тогда для любого y ₀ е K ( и ₀ ) последовательность { y n } , где y n = Ty n - 1 , сходится

• к x * по метрике p.

Доказательство. Пусть t n = р ( y n , x * ) . Последовательность { t n } не возрастает.

Предположим, что t = lim tn ^ 0 .

n -^^

Рассмотрим шар с центром в точке x * радиуса t . Оператором T этот шар отображается в шар с центром в точке x * радиуса q ( x * , t ) t , так как для любого y из неравенств e ^- t x * <  y <  e t x * следуют неравенства e ^{- qt}x * <  Ty <  e q x * .

Пусть £ = t - qt. Положим z = ax* + Pyn, где a + в = 1; a > 0; в > 0 . Очевидно, что n и в можно выбрать таким образом, чтобы

£

р ( x * , z ) <  t и p ( z , y_n ) < —. Для этого достаточно, чтобы n

£ удовлетворяло неравенству etn < et + e2 -1, а в принадлежало интервалу

Г £       )

tn t e — e 2 ; ^-_1

e^tn - 1 ’ e^tn - 1

I               J

Получаем противоречие

• ¹    Катков Михаил Львович – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Катков М.Л.

Расширение понятия вогнутого оператора

£ t < p(x*;yn+1 )< p(x*,Tx) + p(Tz;Tyn )< qt + -;

или

t < t -

£

Следовательно, lim t n = 0.

n ^^

Утверждение доказано.