Расширение понятия вогнутого оператора
Бесплатный доступ
М.А. Красносельским был рассмотрен класс монотонных вогнутых операторов. Существенным развитием этой теории явилось определение В.И. Опойцевым понятия гетеротонности. В настоящей работе доказывается сходимость к неподвижной точке итераций для положительного оператора без предположения монотонности при существенном расширении понятия вогнутости.
Положительный оператор, монотонный оператор, вогнутый оператор, гетеротонный оператор
Короткий адрес: https://sciup.org/147158797
IDR: 147158797 | УДК: 517.988.52
Concept extension for concave operator
The class of monotone concave operators is considered by M.A. Krasnosel’sky. Significant development of this theory starts with V.I. Opoytsev’s definition of heterotone. In this paper we prove the convergence to the fixed point for a positive operator's iterations without hypothesis about monotonicity with a significant extension of the idea of concavity.
Текст научной статьи Расширение понятия вогнутого оператора
Пусть X - банахово пространство, полуупорядоченное конусом K , K (и0) - компонента, порожденная элементом и0 е K (см. [1]).
Определение метрики Биркгофа x, y е K (и0); a > 0}.
р ( x ; y ) = min { a : e -a x < y < e a x ;
Определение u 0 -сжатия. Положительный оператор T , действующий в X , будем назвать u 0 -сжатием, если он удовлетворяет двум условиями:
-
1. Для любого x е K ( и 0 ) Tx е K ( и 0 ) ;
-
2. Для любого x е K ( и 0 ) существует q = q ( x , t ) , такое, что 0 < q ( x , t ) < 1 , при котором из неравенств e - t x < y < e t x следуют неравенства e - qtTx < Ty < e q Tx.
Отметим, что u 0 -вогнутый монотонный оператор является u 0 -сжатием.
Теорема. Пусть оператор является T u 0 -сжатием и имеет неподвижную точку x * е K ( и 0 ) . Тогда для любого y 0 е K ( и 0 ) последовательность { y n } , где y n = Ty n - 1 , сходится
-
к x * по метрике p.
Доказательство. Пусть t n = р ( y n , x * ) . Последовательность { t n } не возрастает.
Предположим, что t = lim tn ^ 0 .
n -^^
Рассмотрим шар с центром в точке x * радиуса t . Оператором T этот шар отображается в шар с центром в точке x * радиуса q ( x * , t ) t , так как для любого y из неравенств e - t x * < y < e t x * следуют неравенства e - qtx * < Ty < e q x * .
Пусть £ = t - qt. Положим z = ax* + Pyn, где a + в = 1; a > 0; в > 0 . Очевидно, что n и в можно выбрать таким образом, чтобы
£
р ( x * , z ) < t и p ( z , yn ) < —. Для этого достаточно, чтобы n
£ удовлетворяло неравенству etn < et + e2 -1, а в принадлежало интервалу
Г £ )
tn t e — e 2 ; ^-_1
etn - 1 ’ etn - 1
I J
Получаем противоречие
-
1 Катков Михаил Львович – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.
Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»
Катков М.Л.
Расширение понятия вогнутого оператора
£ t < p(x*;yn+1 )< p(x*,Tx) + p(Tz;Tyn )< qt + -;
или
t < t -
£
Следовательно, lim t n = 0.
n ^^
Утверждение доказано.
Список литературы Расширение понятия вогнутого оператора
- Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа/М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. -М.: Наука, 1975. -512 с.
- Опойцев В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов/В.И. Опойцев//Труды Московского математического общества. -1978. -Т. 36. -С. 237-380.
