Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде

В работе введено понятие равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Получено достаточное условие равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Как следствие, получен достаточный признак равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей механических колебательных процессов без линеаризации в вязкой среде. Приведены примеры применения этого достаточного признака к конкретным механическим колебательным процессам.

В работе Т. Йосидзавы была развита теория различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений [4]. Исследования различных видов ограниченности решений по части переменных были проведены В. В. Румянцевым и А. С. Озиранером [3]. В работе В. И. Воротникова и Ю. Г. Мартышенко недавно было разработано новое направление в теории устойчивости по Ляпунову относительно части переменных, а именно: была развита теория частичной устойчивости частичного положения равновесия [1].

В данной работе введено определение равномерной ограниченности решений системы дифференциальных уравнений по части переменных с контролируемой частью начальных условий. Это определение является родственным определению частичной устойчивости частичного положения равновесия [1]. Получено достаточное условие равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий (теорема 1). Далее получен достаточный признак (теорема 2) равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей механических колебательных процессов без линеаризации в вязкой среде. Приведены примеры применения теоремы 2 к конкретным нелинеаризован-ным механическим колебательным процессам, т. е. к реальным механическим колебательным процессам, в вязкой среде. Перейдем теперь к точным определениям и формулировкам.

Пусть задана произвольная система дифференциальных уравнений от и переменных:

— = F (t, х), F (t, х) = d/                       (1)

= (F1 (t,х), ..., F" (t,х)), правая часть которой задана и непрерывна в области И = {(£, х) е R+ х Rn}, где R+ = = {t е R |t > 0}. Далее везде будет предполагаться, что каждое решение системы (1) про-должимо на всю полуось R+.

Для любого вектора х = ( у , г ) е Л ” = = R^k _х R^n-Ii , где 1 <  к < и, обозначим через I х |_ft число

Iх| _к = |у| = 7 (х¹)² + - + (х^к)².

Кроме того, для произвольной дифференцируемой функции УЙ,х) обозначим через У(t, _х ) производную функции У(^,х) в силу системы (1).

Определение 1. Будем говорить, что решения системы (1) равномерно ограничены 1 к по части переменных у = (х , ..., х ) с контролируемой частью начальных условий уо = = (х0, ..., х0) или, более кратко, равномерно у-ограничены с уо-контролем, если для каждого неотрицательного числа а е R существует такое положительное число р(а) е R, что для любой точки (to, хо) е У, |хо ^ < а выполнено условие х (t, хо,^)|^ < Р

при t >  t₀, где х = x(t, х оЛо ) — произвольное решение системы (1), проходящее через точку (t₀, х_о).

Стоит отметить, что если в определении 1 положить у = (х¹, ..., х ” ) и У о = ^{( х}о > ■■■> ^х о ⁾> то получим определение равномерной ограниченности решений системы (1) из работы [4]. Если же в определении 1 положить У о = (х о , ■ ■■, Х о ), то получим определение равномерной ^-ограниченности решений системы (1) из работы [3], Легко видеть, что из равномерной ограниченности решений системы (1) следует их равномерная у-ограни-ченность Также легко видеть, что из равномерной ^-ограниченности с у о -контролем решений системы (1) следует их равномерная ^-ограниченность^

Сформулируем и докажем достаточный признак равномерной ^-ограниченности с У о -контролем решений системы СТ

Теорема 1. Пусть для системы (1) имеется неотрицательная дифференцируемая функция V(t,x), определенная в области t >  0, х = ( у , z ) е Rⁿ, у е R^k, |у| >  R о , где ^ о >  о — некоторое фиксированное число, для которой выполнены следующие условия:

• 1)    b (I у| ) <  V ( t, х ) <  а (| у| ) , где а ( г ) > 0 и b ( г ) > 0 — непрерывные возрастающие функции и b ( г ) ^ те при г ^ те;

• 2)    V ( t, х ) <  0 внутри области t >  0, х е Rⁿ, |^х|_fc >  R ₀ .

Тогда решения системы (1) равномерно у-ограничены с У о -контролем^

Доказательство. Требуется доказать, что для каждого а > о существует такое число р(а) > о, что для любых t > 0, х е R”, |хо ^ < а выполнено условие x(t, Хо, tо)|^ < Р при всех t > tо■ Сразу отметим, что без ограничения общности доказательство достаточно провести только для тех решений х = x(t,Хо,tо), которые при |х|ft > R0 удовлетворяют условию x(t, Хо,tо)|^ > Rо, и для тех а > 0, которые удовлетворяют условию а > ^Приступим теперь к доказательству^ Пользуясь условием 1 из формулировки доказываемой теоремы, получаем, что для любого решения х = x(t,Хо,tо) системы (1) имеет место неравенство b(x(t,x0,t0р < V(t,x(t,x0,t0)) ■ Из условия 2 доказываемой теоремы следует, что для любого решения х = x(t,Хо,tо) системы (1) функция V(t,x(t,xо,tо)) от переменной t является невозрастающей Из этого при t > tо получаем неравенство V(t,x(t,хоуоУ) < V(tо,хо) ■ Так как при |хо ^ = у < а справедливо неравенство V(tо,хо) < а(а), то имеем неравенства:

b ( y ( t , х₀, t₀)|) <  V ( t , x ( t , x₀,t₀)) <

• < V(t o ,х о ) <  а (а).

Пользуясь теперь условием Ь(г) ^ те при г ^ те выберем такое число Р, которое зависит от а, но не зависит от t о , что «(а) < МрЕ Из этого получаем неравенство b (| у ( t , x o , t o )| ) <  b ( р ) . Так как функция Ь(г) является непрерывной и возрастающей, то для этой функции имеется обратная функция, которая также является возрастающей функцией Применяя эту обратную функцию кнеравенству b ( у ( t , x ₀, t ₀ )| ) <  b ( р ) , получим неравенство |х(Сx о ,t о )| ^ < р. Таким образом, показано, что решения системы (1) равномерно у-ограничены с у о -контролем^ Теорема доказана^

Рассмотрим применение теоремы 1 к исследованию равномерной ограниченности по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде^

Хорошо известно, что математическая модель параметрического механического колебательного процесса без линеаризации, т е^ реального механического параметрического колебательного процесса, в некоторой вязкой среде описывается дифференциальным уравнением:

х + f (t, х, х)х + y(t)sin х = 0 (2) или, что эквивалентно, системой уравнений:

х = У у = -f (t, х, у)у - g(f) sin х,

где f (t, х, X) >  0 — коэффициент вязкости среды и g(t) — некоторый параметр колебательного процесса, которые являются непрерывными функциями^

Исследуем при помощи теоремы 1 решения системы (3) на равномерную ограниченность по переменной у с у о -контролем.

Теорема 2. Пусть в уравнении (2) параметр колебательного процесса g(t) является дифференцируемой функцией, которая при t >  0 удовлетворяет условию 0 <  g(t) <  М , где М е R , и, кроме того, удовлетворяет либо условию g'(t) < 0 при всех t >  0, либо условию g '(t) > 0 при всех t >  0. Тогда решения системы (3) равномерно ограничены по переменной у с у о -контролем.

Доказательство. Исследуем сначала случай, когда при t >  0 функция g(t) удовлетворяет условиям 0 <  g(t) <  М и g'(t) < 0. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию

V(t, х, у) = у² + 4 g ( t ) sin ² (2 хj.

Легко видеть, что имеет место двойное неравенство b(у |) <  V(t, х, у) < а(| у |), где Ь(г) = г ² и а(г) = г ² + 4М. Ясно, что Ь(г) >  0, а(г) >  0 являются непрерывными возрастающими функциями и Ъ ( _т ) ^ _го при г ^ го . Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V(t, х, у) выполнено. Для производной V(t, х, у) в силу системы (3), пользуясь условиями f (t, х, у) >  0 и g '(t) < 0, получаем:

V (t, х, у) = 4g'(t)sin² (1 х J + 2у(-f (t, х, у)у -

(1 j (1 j

- g(t)sin х) + 4g(t)sin I 2 х I cos I 2 х I у =

-> ( 1

= 4g (t)sin2 I

Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для V(t,x,y) выполнено и, следовательно, решения системы (3) в рассматриваемом случае являются равномерно ограниченными по переменной у с у о -контролем.

Исследуем теперь случай, когда при t >  0 функция g(t) удовлетворяет условиям 0 <  g(t) <  М и g'(t) > 0. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию

V(t,х,у) = у² + 4g(t)sin² (1 хj + 4(М - g(t)).

Очевидно, что имеет место двойное неравенство b (|у|) <  V(t, х, у) <  а (|у|) , где Ь( _г ) = _г ² и а(г) = г² + 4М. Ясно, что Ь(г) >  0, я(т) >  0 являются непрерывными возрастающими функциями и Ъ ( т ) ^ го при г ^ го . Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V(t, х, у) выполнено. Для производной V(t,х,у) в силу системы (3), пользуясь условиями f (t, х, у) >  0 и g'(t) > 0, получаем:

V(t,х,у) = 4g (t)sin2 I 2 х I - 4g (t) + 2у х х (-/(t, х, у)у - g(t)sin х) + 4g(t)sin I 2

(1 j                  ( 1

х cos -х у = 4g(t)sin² —

12 J                  12

- 2f(t,х,у)у = -4g(t)cosI 2

-

-

- 2f (t, х, у) < 0.

Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для V (t, х, у) выполнено и, следовательно, решения системы (3) в рассматриваемом случае являются равномерно ограниченными по переменной у с у о -контролем. Теорема доказана.

Таким образом, все механические параметрические колебательные процессы без линеаризации, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в некоторой вязкой среде, поведение которых описывается уравнением (2), где параметр колебательного процесса g(t) удовлетворяет условиям теоремы 2, всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.

Простейшим частным случаем уравнения (2) является уравнение колебаний физического маятника в среде без сопротивления

• х + sin х = 0.

Из теоремы 2 следует, что колебания физического маятника в среде без сопротивления всегда будут равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоро- стей. В связи с этим важно и интересно отметить, что если рассмотреть уравнение колебаний математического маятника, т. е. колебаний маятника в малом, в среде без сопротивления

X + х = О, то оказывается, что решения этого уравнения не являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей. Действительно, перепишем уравнение х + х = 0 в виде системы х = у

1 [ у = -х.

Фазовыми кривыми заданной системы являются концентрические окружности радиуса R > Ос центром в начале системы координат переменных х и у. Пусть (x(t),y(t)) —произвольное решение данной системы, проходящее при t = Ц через точку (х₀, у₀). Тогда имеем неравенство

|y(t) <  ^R , где R ² = (х_о)² + (у_о)², справедливое при каждом t >  О, поскольку решение (x(t), у(t)) лежит на окружности радиуса R с центром в начале системы координат. Важно отметить, что указанное выше неравенство y(t)| <  R при некоторых t превращается в строгое равенство и, следовательно, число R в этом неравенстве не может быть уменьшено. Предположим теперь от противного, что решения заданной системы являются равномерно ограниченными по переменной у с у о -контролем. Тогда по определению 1 любого а > О существует такое Р = Р ( а ) >  0, что для всех t >  t o имеет место неравенство |y(t)| < р ( а ). Так как в указанном выше неравенстве y(t)| < R, справедливом для всех t е R , число R не может быть уменьшено, то получаем двойное неравенство |y (t) <  R < р ( а ). Однако неравенство

ТСхоР^СУо)2 = R ^ р(а не может быть справедливым для любых (хо, Уо) ■ Действительно, выбирая хо до статочно большим, получим для таких хо неравенство

R = 7(хо)2 + (уо)2 > Р(«)- которое противоречит неравенству R = 7(хо)2 + (уо)2 <р(а). Таким образом, сделанное выше предположение о том, что решения заданной системы равномерно ограничены по переменной у с уо-контролем, неверно и, следовательно, решения рассматриваемой системы не являются равномерно ограниченными по переменной у с уо-контролем.

Напомним теперь, что в работе [2] была рассмотрена математическая модель вертикальных колебаний в малом железнодорожного экипажа, которая описывается дифференциальным уравнением

X + p(t)f](x)/2(X)X + ух = О, (у > 0) е R, где p(t)f(x)f2(X)X — сила реакции демпфера рессорного подвешивания; ух — сила реакции листовой рессоры (у —коэффициент упругости   рессоры);    p(t), fj(x), f(X) — неотрицательные непрерывные функции. Легко видеть, что если рассматривать вертикальные колебания железнодорожного экипажа без линеаризации, т. е. физические вертикальные колебания железнодорожного экипажа, то математическая модель таких колебаний будет описываться уравнением

X + p(f)f(x)f₂(X)Х + у sin х = О,

(у > О) е R.

Так как это уравнение является частным случаем дифференциального уравнения (2), то из теоремы 2 получаем, что вертикальные колебания железнодорожного экипажа без линеаризации, т. е. физические вертикальные колебания этого экипажа, поведение которых описывается уравнением (4), всегда являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.

Рассмотрим теперь уравнение Хилла, а именно: рассмотрим дифференциальное уравнение X + g(t)x = О, где g(t) — некоторая непрерывная функция. Ясно, что это уравнение описывает механические параметрические колебательные процессы в малом в среде без сопротивления. Легко видеть, что если рассматривать нелинеаризованные механические параметрические колебательные процессы, т. е. реальные механические параметрические колебательные процессы, в среде без сопротивления, то математическая модель таких колебательных процессов описывается, так сказать, физическим уравнением Хилла х = g(t)sin х = 0. (5)

Так как уравнение (5) получается из уравнения (2), если положить f (t,х, х) = 0, то при выполнении условий теоремы 2 на функцию ^(t) решения физического уравнения Хилла (5) всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.

В заключение для полноты картины рассмотрим уравнение, которое получается из уравнения (2), если положить ^(t) = 0, т. е. рассмотрим дифференциальное уравнение х + f (t, х, х)х = 0. (6)

Ясно, что это уравнение описывает уже не колебательный процесс, а моделирует процесс свободного движения тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде с коэффициентом вязкости f {t, х, X) >  0. Так как уравнение (6) является частным случаем уравнения (2), то из теоремы 2 получаем, что свободное движение тела, выведенного из состояния покоя, в вязкой среде, которое описывается уравнением (6), всегда является равномерно ограниченным по скорости с контролем начальных скоростей.