Равномерная ограниченность систем сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений

В данной статье рассматривается один вид систем дифференциальных уравнений, сингулярно возмущенных по части переменных. Найдены достаточные условия для равномерной ограниченности решений данных систем.

• 1.    Основные определения и теоремы, связанные с равномерной ограниченностью решений систем дифференциальных уравнений, дадим в соответствии с [2].

• 2.    В работе [3] авторами рассматривались линейная неоднородная система и система общего вида, сингулярно возмущенные по части переменных. Были получены достаточные условия для равномерной асимптотической устойчивости. При этом оценивалась связь решения исходной системы и ре-шепия соответствующей вырожденной системы, Для этого па асимптотическую устойчивость исследовалась система дифференциальных уравнений относительно разностей между этими решениями. В данной работе используется аналогичный прием.

Пусть дана система дифференциальных уравнений х = F^t, ж), (1) где х Е Rn, F(t, г) - заданное векторное поле, определенное и непрерывное в пространстве R^1

Определение- Решения системы (1) называются равномерно ограниченными, если для любого а > 0 существует такое 3 = /3(а) > 0, что ||ir(t, to, хо) || <  3 при ||жо II < a, t > to.

Для свойств функций Ляпунова V/t, г) введем несколько обозначений. Будем говорить, что функция V(t, т) обладает свойством А, если существует положительная непрерывная возрастающая функция а(г), такая, что

<© М. В. Козлов, В. Н. Щенников, 2010

^(i, х) < a(||x||). Также скажем, что функция У(4, х) обладает свойством В, если существует неотрицательная непрерывная возрастающая функция Ь(г), такая, что b(||x||) < ^(i^x).

Теорема 1. Если существует положительная функция Ляпунова V(t, ж), определенная на некотором множестве Д* = {(t,x) : t > 0, |jx|| >  R, R> 0} и обладающая свойствами А и В, и если ^[^ < О внутри Д*, то решения системы (1) равномерно ограничены.

Рассмотрим систему сингулярно возмущенных дифферешщальных уравнений вида

Г ж = A(t)x + B(t)y + /i(trx,y),

[ ру = C(t)x Е D(t)y + /2^,х,у\ где х € Rk, у € Rm, A(t), B(t), C(t), D(t) -непрерывно дифференцируемые матрицы соответствующих размерностей, ограниченные вместе со своими первыми производными, Р^)(2 > a > О, ДА, ж, у) и /2(^Л,У) - непрерывные ограничетшые отображения, д > 0.

Требуется найти условия па правую часть системы (2), при выполнении которых будет существовать такой интервал (0; до), что при всех д £ (0; ру) решения системы (2) будут равномерно ограниченными.

Для этого рассмотрим линейную однородную систему

Г i = A(t)x +B(t)y,         ™

| py = C(t)x + D(t)y          J и соответствующую ей вырожденную систему. т. е. систему (3) при д — 0

f х = A(i)x + B(t)y, | C(t)i 4- D^y = 0.

Система (4) имеет алгебро-дифференциальную структуру. Второе ее уравнение разрешимо относительно переменной у y=-D"4tW)x = F№.

Делая подстановку этого равенства в первое уравнение системы (4), получаем систему дифференциальных уравнений более низкого порядка ж = G(t)x, (5)

где G(t) = Д(6) + В^Е^У

Теперь введем в рассмотрение функции

^t,^ = ^p^-x^t),

^tA = y(t,p^- F^x(t,py где x(t,p) и у(1,д) - решения системы (2). Дифференцируя эти функции и учитывая (2) и (5), получаем систему

^С^ + В^уА-

+ A ((t, £ + X, ЕШ + й + F^xy

Р = - ^F(t) + ШЖ^ С +        (7)

+ (~D^ - ^W))1?"*- А(4,£,Д,д), где

АА,£,щ д) - -C(t)x 4-

F-blt,f, + x1FE. + ri A Fx) - Fx -

-Ffi (t,£ 4- т, F£ 4- у 4- Fx).

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

• а)    решения системы (5) равномерно ограничены;

• б)    решения системы

у = Д(т)у

равномерно ограничены при каждом т. Тогда найдется такое до > 0, что при всех д € (0;до) решения системы (1) будут равномерно ограничены.

Доказательство. Поскольку системы (5) и (8) являются линейными однородными, то равномерная ограниченность для них эквивалентна равномерной асимптотической устойчивости (2). Поэтому существуют две положительно определешгые симметричные матрицы U"(i) Ё Rk'k и У(т) е Rm’m, для которых будут выполняться соотношения d dt

< х, U^x >

=< х, (U(t) + 2U^F(t> >< -ыДх) < 0, l

=< y,2V(r)D(_T)y >< -^₂(y) < 0.

Рассмотрим положительно определенную функцию

^(£,С^) = (С(/((Ю + ^,Уед.

Ее полная производная по £ в силу системы (7) имеет вид aw dt

=<еМи> + (7)

+ 2 <  ^U^G^ > +2 < 5, ^{t)B(t)y > -

• -2 <  л, V^tX^W + F(t)B(t)X > +

+ F        (10)

+ }> +

+ 2 < t U(t)/i(t, $ + 5, F^ + Л + F№ > + + 2 < Л, V^faCt^ Ж ^ F(t)^ + л + F^x) >

Как видно, правая часть выражения (10) является суммой квадратичной и линейной форм относительно вектора (£, у). Так как коэффициенты линейной формы ограничены, то знак выражения (10) вне некоторого шара достаточно большого радиуса будет определяться знаком квадратичной формы. Рассмотрим матрицу этой квадратичной формы, взятой с обратным знаком

—Z7(t) - 2[/(t)G(t)

2V(t)(F(t) + + F^B^

—2[7(t)B(t)

-V(t) -- ±У(£)ОД+ + y(t)E(t)B(t)

• (И)

В силу соотношений (9) матрицы —E7(t) — 2t7(t)G(t) и ——V(£)£>(£) соответствуй ют положительно определенным квадратичным формам, т. е. все главные последовательные миноры этих матриц положительны [1]. Поэтому, найдется такое до > 0, что при всех д 6 (О;до) все главные последовательные миноры матрицы (11) будут также положительны. Квадратичная форма, соответствующая матрице (11), будет определенно положительной, а исходная квадратичная форма - определенно отрицательной. Тогда при некотором достаточно большом R > 0 имеем

<о, ж^^я.

d£ (7)

Заметим к тому же, что функция IV(t,£,y) обладает свойствами А и В, а значит удовлетворяет условиям теоремы 1. Следовательно, решения системы (7) равномерно ограничены. В силу равенств (6) решения исходной системы (2) также равномерно ограничены. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему второго порядка ж = —2х + (sin t + 2)у + е-1 ^    ^^

: ду = cos tx — (sini 4- 2)у + e^-v

С учетом обозначений, введенных ранее, имеем:

A(t) = —2, B(t) = sin t +2,

C(t) = cost, B(f) = — (sinf + 2), fi - e-, f₂ = e"\

G(t) - Л(() - адТГ^Сф = cost - 2.

Все эти функции ограничены вместе со своими первыми производными- При этом |D(t)| = |sint + 2| > 1. Система (5) для системы (12) будет иметь вид х = (cos f — 2)tc.

Можно убедиться, что ее решения будут равномерно ограничены, взяв в качестве функции Ляпунова функцию У1 = х².

Система (8) в данном случае будет иметь вид у = - (sint + 2)у.

Ее решения также будут равномерно ограничены, что можно проверить взяв функцию Ляпунова Уз ~ У2

Таким образом, условия теоремы 2 выполняются, и решения системы (12) должны быть равномерно ограничены при всех достаточно малых д > 0.

Проверить это можно, подобрав функцию Ляпунова, которая удовлетворяла бы требованиям теоремы 1 при всех достаточно малых д > 0. Таковой, например, будет функция У = г2 + ду2. Действительно, если 0 < д < 1, то д(х2 + у2) < У < х2 +у2, т. е. она обладает свойствами А и В. Полная производная этой функции в силу системы (12) имеет вид dV dt

= —4х2 + 2(sint 4- 2 + созНту— (12)                       з           а (13)

—2(sint + 2)у2 4 2те“х + 2уе-у

Выпишем матрицу квадратичной формы из правой части равенства (13)

■ /       —4 sint 4 2 4- cost Л , sint 4-2 4- cost   —2(sint + 2) /'       '

Ее главные последовательные миноры будут равны ф = —4, da = 8(sint + 2) — (sin t + + 2 4- cos t)3 При этом можно убедиться, что ф > 6 при всех t Е R- Тогда согласно критерию Сильвестра [1] квадратичная форма с матрицей (14) будет определенно отрицательной. Выражение 2те-3; +2ye~v можно рассматривать как линейную форму с ограниченными коэффициентами. Значит знак выражения (13) будет определяться знаком квадратичной формы с матрицей (14) при ж24уг > т, где г > О достаточно велико, т. е. будет отрицательным. Значит, согласно теореме 1 решения системы (12) действительно будут равномерно ограничены.