Равновесная математическая модель многокомпонентных гетерогенных сред

Математические модели сплошных сред, широко применяемые для решения различных задач физики, химии и технологии, содержат, как правило, упрощающие гипотезы и эмпирические параметры. Это позволило разделить единую науку – механику сплошной среды, на направления, в каждом из которых для отыскания решений формулируются дополнительные упрощающие гипотезы и применяются оригинальные методы. Несмотря на то, что такой подход оказался эффективным для построения аналитических решений, применение основанных на упрощающих гипотезах математических моделей механики сплошных сред для математического моделирования сложных динамических процессов не позволяет в полной мере использовать возможности современной вычислительной техники. В силу того, что физический эксперимент все чаще стал заменяться математическим, успехи в этом направлении невозможны без создания математических моделей нового поколения, учитывающих неоднородность и реальные свойства веществ.

Наиболее полными и перспективными являются математические модели, основанные на гипотезе взаимопроникающих взаимодействующих континуумов [1–7]. В классе этих

Механика математических моделей есть простые и более сложные. Сложность математических моделей зависит от сделанных упрощений. Из-за сложности математической модели в процессе упрощения при переходе от общей математической модели к частной могут возникать физические противоречия такие как, например, не инвариантность относительно преобразования Галилея [8, 9].

В настоящее время теория математических моделей механики многокомпонентных сред активно развивается. С помощью изучения и применения упрощенных математических моделей идет накопление информации и опыта решения задач механики многокомпонентных сред. Продолжают сосуществовать диффузионные модели и математические модели, основанные на теории взаимопроникающих взаимодействующих континуумов. Математические модели, основанные на теории взаимопроникающих взаимодействующих континуумов, являются не замкнутыми. Для замыкания их требуются дополнительные соотношения, определяющие взаимодействие компонентов и фаз.

Целью настоящего исследования является построение равновесной математической модели, основанной на теории взаимопроникающих взаимодействующих континуумов, для исследования процессов инициировании и распространения детонационных волн в конденсированных взрывчатых веществах.

1. Общие уравнения сохранения многокомпонентных гетерогенных сред

Для описания как гомогенных, так и гетерогенных смесей методами механики сплошной среды необходимо ввести понятие многоскоростного континуума и определить взаимопроникающее движение его составляющих. Многоскоростной континуум представляет собой совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или компоненту) смеси один и тот же объем, занятый смесью. Каждый из этих составляющих континуумов в каждой точке характеризуется своей приведенной плотностью ρ_i (масса i -й составляющей в единице объема среды), скоростью v_i ( i = 1, 2, …, N ) и другими параметрами, относящимися к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким образом, в каждой точке объема, занятого смесью, будет определено N плотностей ρ_i , N скоростей v_i , по которым можно определить параметры смеси в целом, такие как: плотность смеси, среднемассовую (барицентрическую) скорость смеси, тензор поверхностных сил O k и вектор массовых сил g

NN

P = ЕPi, Pv = ЕPivi, i=1

NN

°=Ео, pg=Е Pigi, i=1

где o i - тензор поверхностных сил, относящийся к i -ой компоненте, а g i - вектор массовых сил, относящийся к i -ой компоненте.

Для определения скорости движения составляющих относительно центра масс смеси или среды в целом используют диффузионные скорости w_i

N wi = vi - v, ЕPiwi = 0.                                   (3)

i = 1

Удельную энергию смеси Е (приходящуюся на единицу массы среды) определим как сумму внутренней e и кинетической K энергий

E = e + K .

Рассмотрим случай, когда внутренняя энергия смеси аддитивна по массе входящих в нее составляющих

N

Pe = Е P i e i ,                                        ⁽⁴⁾

i = 1

где e_i – удельные внутренние энергии фаз составляющих смесь, а кинетическая энергия определяется лишь макроскопическим движением фаз:

pK = E ^

i = 1 ²

Тогда энергия смеси может быть представлена в виде

N

V-pE = E p i e i + it" v ².

i = 1

J

N

=ЕpiEi, Ei i=1

v i ² e . i 2

Из равенств (5) и (3) следует, что рК ^ 12pv2, так как pv2 N

P K \ ⁺ E

²     i = 1

P i w^W

.

Следовательно, кинетическая энергия многоскоростной среды определяется не только ее движением как целого со скоростью центра масс, но и скоростями относительного движения составляющих, чему соответствует второе слагаемое равенства (7).

Для описания многоскоростной сплошной среды будем использовать субстанциональные производные di dt и d dt (барицентрическую субстанциональную производную), соответственно связанные с движением i-й составляющей и с движением среды в целом: д k д

di dt	д = — + V,- д t 1	•V	д + v k д t 1	• V k ^
d dt	д = —+ v • д t	Ve	д E — + V k • д t	V k =-

+ vk "ТГ, д t      дxk

д кд — + vkг. д t      дxk

Суммирование производится только по верхним индексам, относящимся к координатным осям.

Механика смесей строится на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Поэтому далее нужно записать балансовые соотношения массы, импульса и энергии для каждой составляющей в некотором фиксированном в пространстве объеме смеси V , ограниченном поверхностью S , учитывая при этом обмен (взаимодействие) не только с внешней (по отношению к выделенному объему V ) средой, но и соответствующий обмен (взаимодействие) массой, импульсом и энергией между составляющими внутри объема V .

В отличие от гомогенных смесей, где каждый компонент может рассматриваться как занимающий весь объем смеси равноправно с другими компонентами (V1 = V2 =

...

= Vn = V ), в

гетерогенной смеси каждая фаза занимает лишь часть объема смеси ( V 1 + V 2 + ... + V_N = V ). В общем случае гетерогенных смесей выделенный объем интегрирования можно представить разбитым на отдельные объемы, каждый из которых заполнен только одной какой-нибудь фазой.

В связи с этим в теории гетерогенных смесей необходимо использовать величины a _i ( i = 1, 2, ..., N ), характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой

a1 + a2 +... + aN = 1     (ai > 0),

и, таким образом, помимо приведенных плотностей pi, определяются истинные плотности веществ фаз pi0 (масса i-й фазы в единице объема i-й фазы)

P 0 = P i К .

химические

Если в многокомпонентной гетерогенной смеси имеют место фазовые и превращения, то система законов сохранения может быть представлена в виде [1]:

P+v- PV д t             1

N

= Е J ji , j = 1

dv

P ,' = Vkak + Pigi + Е(Pji - JjiVi), dt d (   V2)                      N

Pi^- ei+ — =V-ci+Pigi• v--Vqi+E[Eji-Jji(ei+ т)], dt v     2 j                           j=1

( i = 1,2,..., N ) , J ij =- J ji , J ii = 0,      P ij =- P ji , P ii = 0,      E ij =- E ji , E ii = 0.

Механика

Обмен импульсом между i -й и j -й фазами в единицу времени и в единице объема смеси представляется в виде суммы двух слагаемых:

P ij = - P ji = R ji + J ji V ji ,   ( i = 1,2,..., N ) .

Здесь Rj - межфазная сила (отнесенная к единице объема смеси). Второе слагаемое в правой части равенства (12) - изменение импульса соответствующей фазы за счет фазовых и химических превращений. Следовательно, уравнение сохранения импульса может быть переписано следующим образом р/^' = Vk0 + P'g' + £(Rj' + Jj'(Vj' -V')). dt                      j=1

Рассмотрим величину E j , характеризующую приток энергии от i -ой к j -ой фазе, отнесенный к единице объема и времени. Эта величина может быть также представлена в виде суммы нескольких слагаемых

E j =- E ji = W j + Q ji + ^J H ( e j' + 1( V ji ) ² ), ( i = 1,2,..., N ) ,

где первый член правой части описывает передачу энергии между фазами за счет работы межфазных сил, второй - теплообмен между фазами и, наконец, последний член представляет собой изменение энергии фазы за счет фазовых и химических превращений. Следовательно, уравнение сохранения полной энергии i -ой фазы принимает следующий вид

С    V² ^

p^ e +t И t ^     J

di

dt

N

= V" ci + Pig' " V' -V qi + ^[Wj' + Qj' + JjlX ej' -j=1

v_ji e ^ ⁺

—)].

Для построения равновесной модели смеси потребуется уравнение сохранение внутренней энергии i-ой фазы. С этой целью получим уравнение кинетической энергии i-ой фазы путем умножения уравнения сохранения импульса (11) на скорость i-ой фазы. В результате получается следующее уравнение d ,2 ^ p'd [ t J=v'-

N

^V k ^ k ⁺ p i g i • v ⁺ E [ R ji • v ⁺ J ji ⁽ v ji ^- v ) • v ^] . j = 1

Вычитая из уравнения полной энергии i-ой фазы (16) уравнение кинетической энергии i-й фазы, получим уравнение сохранения внутренней энергии i-ой фазы в следующей форме d                                       n                                  1

P i , ⁽ e ' ) = ^V " ⁽ c ' ^- q ' ) ^{+ P} ' ^g ' " ^V ' ^{- V} ' ^{V 0 +} ^ [ W ji ^- R j' " ^V ' ^{+ Q} j' ^{+ J} j' ⁽ e j' ^- e ' ) ⁺ 7 ^J j' ⁽ v j' ^- v ' ^)2] . ⁽¹⁷⁾ at                                                 j = 1                                           ²

Таким образом, проблема многофазного движения в рамках многоскоростной (многожидкостной) модели сводится к заданию условий совместного движения фаз и определению величин, описывающих внутрифазные (силовое о '¹ , энергетическое с ' и q ' ) и межфазные (массовое J j, , силовое P j , энергетическое E j' ) взаимодействия.

• 2.    Уравнения сохранения равновесной двухфазной гетерогенной смеси

Не ограничивая общности, рассмотрим равновесную смесь двух фаз. Для таких смесей температуры, давления и скорости фаз совпадают

T 1 = T ₂ = T ( x , t ), P 1 = P ₂ = P ( x , t ), v 1 = v ₂ = v ( x , t ).                      (18)

Это предположение справедливо для широкого класса физических явлений, когда

• 1)    плотности фаз одного порядка;

• 2)    перемещения фаз относительно друг друга малы;

• 3)    значения коэффициентов температуропроводности фаз велики;

• 4)    уровни давлений в фазах значительно выше значений компонентов девиаторной части тензора напряжений;

• 5)    значения поверхностных сил значительно больше массовых.

Этим условиям будет соответствовать математическая модель инициирования сильными ударными волнами конденсированных взрывчатых веществ (ВВ) и распространения в них детонации. В этом случае первая фаза представляет собой ВВ, а вторая - продукты детонации

(ПД), которые образуются процессе химического превращения ВВ. В силу того, что в начальный момент времени вторая фаза отсутствует и появляется только в результате химического превращения, очень важно правильно согласовать внутренние энергии исходного ВВ и появившихся ПД.

Для двухфазной равновесной гетерогенной смеси уравнения неразрывности фаз и смеси (11), с учетом сделанных выше предположений, можно записать виде

^P + V- ( p i v ) = - J , "p ' + V- p v ) = J , ^P + V- ( p v ) = 0,             (19)

• о t                         a t                       a t

где J – массовая скорость химического превращения ВВ в ПД.

Учитывая предположения (18) и второе равенство (1), получим уравнение сохранения импульса смеси

P d = -V P .                               (20)

dt

С учетом предположений (18) получим вид уравнений для внутренней энергии фаз:

P i ^ ( e i ) = -a_x P V- ( v ) - J ( e 21 - e i ),                           (21)

P 2 d ( e 2 ) = -« 2 P V - ( v ) + J ( e i2

- e ₂ ) ,

здесь e ₂₁ и e ₁₂ – теплоты образования ВВ и ПД соответственно.

Если воспользоваться первыми двумя уравнениями (19), равенства (21) и (22) можно преобразовать следующим образом:

d (pi ei ) = -ax P V-(v) - Je21,(23)

dt (P2 e2 ) = -^2 P V- (v) + Jei2.(24)

Суммируя левые и правые части уравнений (23) и (24), получим уравнение сохранения удельной внутренней энергии смеси d (Piei + P2e2) + PV- (v) = JQv,(25)

dt где Qv – теплота взрыва. Если воспользоваться третьим равенством (19) и ввести массовые концентрации с = pi / p, с2 = p2 / p, то уравнение (25) принимает следующий вид d (ci ei + c 2 e2) + Pd (i/P) = JQv / p.(26)

dtdt

Система уравнений равновесной двухфазной гетерогенной смеси содержит 14 неизвестных: v , p , P, T, p _i, p ₂, P _i ⁰ , P 0 , e _i, e ₂, c _i, с ₂, a _i, a ₂. Для их нахождения воспользуемся законами сохранения (19), (20), (25) или (26). Система законов сохранения замыкается уравнениями состояния ВВ [10–13] и ПД [14–16]:

P = P i ( P i⁰ , T i ), P = P ₂( P ₂ ⁰ , T ₂), T = T i = T ₂, e i = e i ( P i⁰ , T i ), e ₂ = e ₂( p ₂⁰, T ₂)        (27)

и обычными для многокомпонентных и гетерогенных смесей связями:

« i + « 2 = i, P i = « i P\ , p 2 = « 2 P 2⁰ , P = “ i p ! + ^ 2 P 0 , C i + c 2 = i, C i = P i / P , C 2 = P 2 / p . (28)

Предложенная система уравнений равновесной двухфазной гетерогенной смеси с дополнениями (27) и (28) становится замкнутой. Однако требуется проверка ее на гиперболичность и инвариантность относительно преобразования Галилея.

• 3.    Исследование на гиперболичность и инвариантность системы уравнений гетерогенной смеси

Анализ системы уравнений на гиперболичность можно проводить как в эйлеровых, так и в лагранжевых переменных. Мы воспользуемся массовыми переменными Лагранжа и ограничимся одномерным плоским случаем, так как основные качественные закономерности

Механика просматриваются и в этом частном случае. Также примем, что вязкость и теплопроводность отсутствуют, то есть будем рассматривать среду без диссипации энергии.

Переход от эйлеровых переменных к лагранжевым осуществим с помощью следующих

формул:

d д д д 1 д -=--+ v —, — =--. dt   д t    д x    д m   p д x

Система уравнений (19), (20), (25) примет вид:

d r + p 2 i v = 0-                             (29) dt      д m dv =-3 5 ,                                  (30) dt    д m d ( p i e1 + p 2 e 2 ) + p P ^V- = 0.                              (31) dt           д m

В силу принятого выше допущения об отсутствии теплопроводности, уравнение сохранения энергии можно заменить уравнением сохранения энтропии вдоль траектории каждой частицы:

dS = 0. dt

Заменим в уравнении сохранения импульса производную от давления:

д P f дP ) 3p f дP) д S p n д S — = 1 — 1 +1 1 — = c 2-^~ + PS —, д m vp ) ,d m V д SJ п д m д m д m X f Z S x p где c = ^(дP[dp)s - скорость звука, PS = (дP/дS)p.

Так как лагранжевы координаты каждой частицы сохраняются вдоль ее траектории, то полная производная в уравнениях (29)–(31) является частной в лагранжевых координатах:

d д dt д t

Тогда система уравнений (29)–(31) примет вид:

p + p2 ^v = 0, d t P dm

d v   2 dp n d S

— + c 2 — + PS — = 0, d t     д m     д m

” = 0. д t

Составим матрицу коэффициентов при производных по координате

f 0

A = c ²

V

p 2 0)

⁰ P S

0 0

J

Решая уравнение (32)

det(A - XE) = X(X - c2p2 ) = 0, находим собственные значения:

X 1 = 0, X 2 = c p , X 3 = - c p .

Они вещественны и различны при условии, что ( д P /d p ) $ >  0, которое выполняется для предложенной равновесной гетерогенной смеси. Таким образом, система (29)–(31) имеет гиперболический тип.

Проведем анализ системы (19), (20), (25) на инвариантность относительно преобразования Галилея по аналогии с [8–9]. Введем новую систему координат, которая движется с постоянной скоростью D относительно старой. Скорость в новой системе координат будет равна vH = v + D, координата определяется из уравнения xH = x + Dt.

Производные по координате и времени определяются следующим образом:

d d     d   dd

— =--, — = — + D.

dx dxH   d t d td

Снова ограничимся одномерным плоским случаем, тогда системы (19), (20), (25) примут вид:

др др d v _ — + v— + р — = 0, d t d x ' d x

d v     dvd р— + pv— =, dt     dxd

^d ( р 1 e l ⁺ р 2 e 2 ) ₊ v ^d ( р e l ⁺ р 2 e 2 )

d t

d x

+ P — = JQ_V .

v .

d x

Запишем эти уравнения, для новой системы координат:

Эр + Dр + (vH _D)3р + р2(1н^£) = 0, d t     dx            dxd р ^(vH^D1 + PD ^(vHTD1 + р( vH tx

D ) ^d( v H - D ) =_d P d x       d x

^d ( р 1 e l ⁺ р 2 e 2 L _n^d ( р 1 e l ⁺ р 2 e 2 )^z      _nA ^d ( р 1 e l ⁺ р 2 e 2 )^ n^d ( v H ^{- D} )_

+ Dг vtt — DI+ P= d t                dx        x H           dxd

После несложных преобразований и сокращения членов с противоположными знаками, получим уравнения, полностью совпадающие с (33), (34) и (35) соответственно. Таким образом, система уравнений равновесной двухфазной гетерогенной смеси инвариантна относительно преобразования Галилея.

Выводы

По результатам данной работы можно сделать следующие выводы:

• 1.    Система законов сохранения в равновесной математической модели двухфазной смеси может быть сведена к системе законов сохранения для смеси, когда замыкающими уравнениями являются уравнения состояния для удельной внутренней энергии и давления фаз, а также обычные для гетерогенных смесей соотношения;

• 2.    Система законов сохранения в равновесной математической модели двухфазной смеси является гиперболичной;

• 3.    Система законов сохранения в равновесной математической модели двухфазной смеси инвариантна относительно преобразования Галилея.

Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.А03.21.0011.