Различные способы поиска матрицы обратной связи для линейной динамической системы

Один из способов синтеза управления связан с идеей обратной связи, которая состоит в том, что управление корректируется в каждый момент времени на основании информации о состоянии системы. Одним из самых распространенных способов построения обратной связи для динамических систем является метод, основанный на использовании матрицы обратной связи. Построим постоянную матрицу K _, необходимую для построения линейной статической обратной связи по состоянию u = Kx , обеспечивающей наилучшее значение критерия оптимальности в классе любых управлений [1, 2].

Над данной проблемой работали многие исследователи. В [1] строится стабилизирующая матрица обратной связи, придающая функции состояния системы асимптотическую устойчивость. Это также рассматривалось в [3–5], авторы которых ставят вопрос о построении разряженной обратной связи, что позволяет сделать нулевыми максимальное количество компонент функции управления.

В [6–7] рассматривалась возможность перехода из начальной точки в конечную с помощью метода, основанного на матричных рядах, проверяя конечную точку x(T ) на возможность перейти в нее из начальной точки x (0).

Здесь показаны случаи, когда задачу из [6–7] можно существенно упростить.

Постановка задачи

Для полностью управляемой динамической системы

X          t ) + Bu ( t ),              (1)

где x g Rn , u g Rn , A и B - постоянные матрицы, t g [0, T ], где T - некоторая точка. Поставлена задача нахождения такой матрицы K , что существует функция управления u ( t ) и функция состояния (траектория) системы x ( t ), удовлетворяющие (1) и краевым условиям:

x (0) = x о , x (T ) = X t ,             (2)

и u (t ) = Kx (t), Vt g[0, T ].            (3)

Также требуется найти связь между краевыми значениями, необходимую и достаточную для решения поставленной задачи.

Подставив (3) в (1), сделаем замену

M = A + BK ( M : n x n ).        (4)

Предварительные сведения

Использованы следующие свойства линейных отображений [8].

Оператору B с матрицей m x n соответствуют следующие разложения пространств в прямые суммы:

Rⁿ = KerB + CoimB , R^m =

= CokerB + ImB, где KerB – ядро B , то есть множество решений уравнения Bz = 0; CoimB - прямое дополнение к KerB в R n ; ImB – образ B , то есть множество значений B ; CokerB - прямое дополнение к ImB

~ в R^m , то есть подпространство для B . Сужение B отображения B на CoimB обратимо.

Вводятся проекторы на KerB и CokerB, отвечающие разложению (5),которые будут обозначаться P и Q соответственно. Отображе ние b- = B(I - Q) называется полуобратным отображением. Здесь I – единичное отображение. Известен следующий результат [8].

Лемма.

Соотношение

Bz = w, w g Rm, z g Rn(6)

эквивалентно системе

Qw = 0,(7)

z = B - w+Pz,(8)

где Pz – некоторый элемент из KerB .

Решение поставленной задачи

Переформулируем задачу.

Необходимо найти связь между x и x , такую что решение x ( t ) дифференциального уравнения

X           t),(9)

с условием x (0) = x0,(10)

удовлетворяет в точке T условию x (T ) = xT.(11)

Задача Коши (9), (10) имеет решение x (t) = exp( Mt) • x0,(12)

где да ^-z^i exp( Mt )= Z —-.(13)

i = 0 i ^!

Подставив t = T в (12), получим эквивалентное (11) условие:

exp( MT) • x0 = xT.(14)

Рассмотрим уравнение для нахождения матрицы K :

BK = M - A,(15)

следующее из (4).

Рассмотрим случай, когда матрица B необратима, так как иначе решение задачи не представляет сложности. В этом случае для разрешимости (15) необходимо и достаточно

Q ( B )( M - A ) = 0.           (16)

Для разрешимости (15) необходимо и выполнение следующего утверждения:

M - A g ImB ^ M - A = ( I - Q ( B )) L ( V L : n x n ).

Это эквивалентно тому, что

M = A + ( I - Q ( B )) L ,        (17)

тогда

K = B - ( M - A ) + PL       (18)

с произвольной матрицей L : n x n .

В данной работе рассмотрены 4 таких типа матрицы M , для которых процесс нахождения K , а для первых трех — и проверки условия (14), не представляет трудности.

Особые структуры

1–я структура

Для того чтобы получить M в виде (17), найдем матрицы Q ( B ) и I - Q ( B ).

M =

Тогда

MT e

« 1

« 2

« n

Im ( B ) = <

x + 2 x₂ 2 x + 4 x₂ 3 x j + 5 x₃

x ₄

.

( a t e ¹

Или, введя замены, x1 + 2 x2 = У1,3 x1 + 5 x3 = y3, x4 = y4

a t e ²

V                     7

Отсюда, пользуясь (14), получим необхо-

димые и достаточные условия на связь между компонентами краевых значений в начальной и конечной точках.

a T = in x T 1 ^x 01

a t = in x -² x ₀₂

...

a t = in — ^x 0 n

Более того, очевидно, необходимо чтобы

x

^Ti > 0 i :1.. n . x _{0 i}

Пусть система.

дана

Пример следующая динамическая

0 )

+

+

V

0 )

u ₁

^V 4 ⁷      (20)

u

u

u

.

Следует выяснить, какая должна быть связь между компонентами краевых значений x = x (0) и x = x (1) для разрешимости задачи (1)–(3) на отрезке [0,1], а также в случае наличия такой связи найти матрицу K .

получим Im ( B ) = <

тогда

y

2 yi y3

. У 4

,

CokerB = <

⁰    2

У 2 ^{- 2} У 1

Следовательно, Q ( B ) =

тогда I - Q ( B ) =

0 '

1 J

.

- 2

,

.

Используем произвольную матрицу

L =

l 21

l 22

l 23

I ¹⁴

.

V mi

' 44 7

Тогда, пользуясь (17), легко найти M :

^l 14 ⁼⁰

	- 1 + 111	2 + l 12	l 13	1 14  )
M =	2 + 2 1 j	3 + 2 ln	2/ 13	2 1 14
	3 + 1 31	4 + 132	l 33	1 34
	V     1 41	l 42	l 43	1 + 1 44 j
Возьмем l =		- 1, l 12 =	- 2,	l 13 = 0,
,   l 31 =	- 3, l 34	= l 41 = l 42	= l 43	=0.

Получим

M =

'- 2

- 1

' 44 7

Тогда из (19) получим

- 2 = in x O.

^x 01

- 1 = in xT ²

^l 33

^x 02

=ln ^{xT 3}

,

^{1 + 1} 44

^x 03

x

= ln x04

что эквивалентно следующему требованию на связь между краевыми условиями:

x_{T 1}

x ₀₁ e ²

x_{T 2}

x ₀₂

e

^xT 3 _>0 x ₀₃

.

xT 4 >0

. x 04

Матрица M будет иметь вид:

- 2

- 1

M =

ln ^{xT 3} x ₀₃

ln ^{xT 4}

x 04 )

Так как   Im ( B ) = <

x_x + 2 x₂ 2 x + 4 x₂ 3 x + 5 x₃

x ₄

найдено

выше, а Ker ( B ) =

Coim ( B ) =

- 0.5 x^

- 0.6 x^

то

x^ + 0.5 x^ x^ + 0.6 x^

x ₄

Отсюда	( 2	- 1	0	0 A
B - =	0.5	0	0	0
	0	0	0.2	0
	V 0	0	0	1 )

Тогда по формуле (18) найдем матрицу K . Здесь l , l , l , l – произвольные числа:

K =   - 0.6 - 0.6 1    - 0.8 - 0.6 1

2–я структура

( 0

M =

.

Отсюда

(

1   0

eMT

.. 00

ll

- 0.5 - 0.5 1      - 1 - 0.5 1

l 3	l 4	A
- 0.5 1	- 0.5 1
3	4
x
0.2in - T 3 - 0.6 1	- 0.6 1
x 3	4
03 0	x T 4 in------	1
	x 04	)

a a

0'

.

a,T   .

• • • akI akT    „ ak

^a k

Тогда если x_Ti * x_Oi и — > 0 x _{0 i}

aT = xT 1  x01 ln xTk- xTk - x0 k   x0 k a t = xT 2 - x02 in xTL xTk - x0 k   x 0 k

a T = in xT^

k        x0k a t = xTn - x0n in xTk xTk - x0 k   x0 k

i :1.. n , то

Пример

■ 1 .    .    .    0   0   0.	1	(1  2  0  0.	1
x 2         0  0  0	x 2	+ 2  4  0  0	м2	(21)
•            0  0  0	x	3  0  5  0	u
	3		3
•"     ■        0  0  07	x л	V0  0  0  1 7	u А
V .	V 4 7		V 4 7

Следует выяснить, какая должна быть связь между компонентами краевых значений x₀ = x (0) и x_T = x (1) для разрешимости задачи (1)-(3) на отрезке [0,1], а также в случае наличия такой связи найти матрицу K .

Поскольку матрица B имеет такой же вид, пользуясь формулой (17) найдем матрицу M :

	(- 1 + 1 11	l 12	l 12	1 14 .
M =	- 2 + 2 lH	2 l 12	2 l 13	2 l 14
	3 + 1 31	l 32	l 33	l 34
	V 5 + 1 41	l 42	l 43	1 44 ,

Далее пусть  l12 = l13 = l14 = l32 = l33 = l34 = l42    l43 l44

Тогда получим следующие уравнения:

- 1 + Ц = ln xT !

xT-x x^xn

-2 + 2l = T-^ln -Tl xT 1 x01   x 01 .

3 + L ,= x^{T 3} - x ⁰³ In xT 1

xT 1 x 01

5 + l. = x^{T 4} - x ⁰⁴ In xT 1

xT 1 x 01

Отсюда из первой и второй строчки получим следующую связь между компонентами краевых значений:

	(    in x TV x 01	0	0	0
	xT 2 - x 02 |n xT 1	0	0	0
M =	x T 1 - x 01    x 01
	xT 3 - x 03 |n xT 1 xT 1 - x 01    x 01	0	0	0
	xT 4 - x 04 |n xT 1	0	0	0
	V x T 1 - x 01    x 01			■
Отсюда из формулы (14),			зная матрицы

B и P ( B ), найдем матрицу K . Здесь l_A , l ₂, l ₃, l ₄ - произвольные числа.

xx T1T2 2ln--------- xx 01     T1 - x     x 02    T1 -------in----+ l - x     x     1 01    01 l 2 l 3 . 14 x K= 0. 5ln -T1 + 0.5 x 01 - 0.5l 1 -0.5l 2 -0. 5l 3 -0.5l 4 0. x   - x     x T3   03    T1 2------------in----- 0.6 - 0.61 x  - x     x T1    01     01 -0.6l 2 -0. 6l 3 -0.61 4 x   - x     x T4   04 ln T1 - 5 0 0 0 x V -x     x T1    01 01 7 3-я структура ( 0    ...   0 ...    0 0 . M = a a ... ak   ... an Отсюда V 0    ...   0 ...    0 0 7 0 ...          0 ... 0 A 0 кдт a t   a t     ai t      a t

^MT e k a t e k a t ... e k a t ... e k a t e =12   kn

0         ...         00

Тогда в случае если x_T1 = 0, i = 1.. n , i ^ k , получим следующую связь между компонентами краевых значений:

2lnxTL = xT2  x02 inxT1, x 01   xT 1 x 01   x01

что, поскольку случай x_n = x ₀j, очевидно, не подходит, эквивалентно следующему утверждению:

x_Ti = 0 i = 1.. n , i ^ k

n e'T V a x0, = xT, i 0i        Ti l=1

^xT 2   ^x 02 _{= 2}

^xT 1 ^- x 01

Пример

Рассмотрим предыдущий пример.

В матрице M будем использовать следующие значения переменных l = 1,

l ₁₂ = l ₁₃ = l ₁₄ = l ₄₂ = l ₄₃ = l ₄₄ = 0,   l ₄₁

- 5.

В случае выполнения условия (22), а также условий x_.Ф x„.  и — >0 i :1.. n

Ti    0i x0i

Тогда получим

(  0     0   0   0 .

получим:

^{3 + 1} 31    ¹ 32

V 0    0

'33     ¹ 34

0   0 7

<

Из этого получим:

x^ = 0 i :1.. n , i * 3 Ti

l e 33 ((3+L -)x„ - + L_x„_ + L_x„_ + L xc„ . )= x__

31  01  32 02 33 03 34 04    T 3

.

Существуют следующие варианты развития событий.

• 1)    x =0 , тогда получим:

• ⁽⁽3 + ¹ 31 ) x Qi + ¹ 32 x 02 + ¹ 34 x 04 )     у— .

_e 33

Тогда если x = x = x = 0 , то задача разрешима только в случае, если x =0 . В качестве l , l , l , l можно тогда взять любые числа.

Если же, например, x ₀₂ * 0, то можно взять

расположены по диагонали, начиная с к + 1-го

элемента первой строки.
	Г 0   ...	а 1	...	0	0   '
	0   ...	0	а 2	...	0
M =	.            . 0  0	. ...	. 0	. ...	. a n - k
	.            . к 0   ...	. 0	. ...	. 0	. 0 J

Экспериментальным путем можно получить

Г 0

...

...

1 ^ак +1 0

...

>

_M 2₌

• 2^ak +2

...

x

1 3, = - 3, 1 34 = 0, 1 33 = 0, 1 32 =     .    (24)

x ₀₂

Существуют и другие варианты решения, помимо (24), так как здесь требуется только выполнение условия (23).

2) x ₀₃ * 0 .

2a) x ₀₁ = x ₀₂ = x ₀₄ = 0 .

2b) e^{l 33} l = ^{xT 3} .

x 03

Поскольку минимальное значение функ ции f (x) = ex равно - -, то в случае если вы-e

полняется

x T 3       1

x03      e, существует такое значение l , для которого выполняется (25). В качестве l , l , l можно взять любые значения.

Пусть без ограничения общности x ₀₂ * 0.

Тогда задача решается аналогично (24).

После нахождения l , l , l , l соответствующим способом найдем матрицу K . Здесь l , l , l —произвольные числа:

K =

l

0.5 - 0.5 1

0.2 1   - 0.6 1

31        1

к      - 5

l

- 0.5 1

0.2 1   - 0.6 1

32      2

l

- 0.5 1

0.2 1   - 0.6 1

33       3

l

- 0.5 1

0.2 1   - 0.6 1

34      4

0      J

.

4–я структура

Рассмотрим те

матрицы,

в которых

первые k элементов первой строки нулевые. А все элементы, которые могут быть ненулевыми,

.

.

.

.

...

.

.

.

.

...

...

а n-2к n-к

..

к

Здесь

.

.

...

.

.

J

2 k  первых

элементов

первой

строки нулевые.

А в общем виде

M^s =

.

.

...

...

.

.

...

5 - 1

а

■ П 1 + ik i=0

.

...

.

..

.

5 - 1

.^П а 2 + ik i =0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5 - 1

П а , .

.  „ n - 5k + ik i=0

.

...

.

.

/ n -1 о        ™ для 5 <----. Здесь 5 k первых элементов первой

k строки нулевые.

л              n -1  , ,_s

А для s >     M

k

Тогда получим

=0.

..

..

.

..

..

.

5 - 1

П “1 +ik i=0

s !

...

..

.

.

...

..

..

.

« 2

...

П а2+ik i=0

s !

..

..

.

...

Л

e^M =

...

...

...

к ⁰

..

..

.

..

..

.

..

..

.

..

..

.

..

..

...

...

...

...

..

..

.

...

.

...

...

..

..

.

П an - sk+ik i=0

s !

.

..

..

.

...

...

...

...

...

...

..

..

.

..

..

.

...

ak

...

...

...

...

...

...

..

..

.

..

.

.

...

¹           ,

Как видно, при наличии у матрицы подобной структуры проверка нужной связи между компонентами краевых значений представляет из себя трудности, и придется в этом случае пользоваться технологиями из [6]. Однако нахождение матрицы численными методами в данном случае упрощается.