Разложение атомического оператора
Автор: Табуев Сослан Наполеонович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.5, 2003 года.
Бесплатный доступ
Доказана теорема о разложении атомического оператора по специальному базису из решеточных гомоморфизмов. Показано, что такое разложение в определенном смысле единственно.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318074
IDR: 14318074
Текст научной статьи Разложение атомического оператора
Доказана, теорема, о разложении атомического оператора, по специальному базису из решеточных гомоморфизмов. Показано, что такое разложение в определенном смысле единственно.
-
1. Предварительные сведения
В этом параграфе приведены обозначения и сведения из теории векторных решеток, необходимые для дальнейшего изложения.
-
1.1. Всюду ниже Е — векторная решетка, F — порядково полная векторная решетка. Полосу всех порядково ограниченных линейных операторов из Е в F обозначим через L~(E,F). Пусть L~(E,F) полоса в L~(E,F), порожденная множеством решеточных гомоморфизмов Hom(F,F). Напомним, что оператор Т Е L~(E,F) называют атомическим, если он попадает в полосу L~(F,F).
Линейный оператор о из идеала G векторной решетки F в F назовем ортоморфизмом, если он порядково ограничен и сохраняет полосы, т. е. о (К Л G^ С К для любой полосы К из F. Через Orth(G,F) обозначим множество всех ортоморфизмов из G в F.
Если Orth(T, F) := Orth(G,F), где G — порядковый идеал в F, порожденный Т(Е), то для произвольного решеточного гомоморфизма Т имеет место {T}±J- = Orth(T,F) оТ.
-
< Это утверждение является следствием теоремы Кутателадзе (см. [2; 3.3.4, 3.3.5 (4)]). ▻
-
1.2. Множество ^(F) всех порядковых проекторов, упорядоченное правилом тг < р <^=^ тг о р = тг, является булевой алгеброй (см. [3; 1.3.5]).
Пусть В — булева алгебра. Подмножество Е С В минорирует подмножество Во С В, если для каждого 0 < b Е Во существует ж Е Е такой, что 0 < х < Ь. Будем называть Е минорантным для Во.
Если Е минорантно в В, то всякий ненулевой элемент В является супремумом некоторого дизъюнктного подмножества Е.
-
< Доказательство данного утверждения, известного как «принцип исчерпывания», можно найти в [4]. ▻
-
1.3. Множество попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов Д из F в F назовем строго порождающим, если Т-Д^ = L~(E,F) и im(S)±J- = F при всех S Е Н.
Лемма. Пусть Е и F — векторные решетки, причем F — расширенное К-пространство и F = (U{T(F) : Т Е Hom(F, F)})±±. Для любого ненулевого проектора л в F существует подпроектор 0 ^ р < тг такой, что в L~ (Е, лЕ) имеется строго порождающее множество решеточных гомоморфизмов.
-
< Пусть Т Е Hom(F,TrF) и пусть T(F)±J- = Fi С ttF. Обозначим через Т максимальное множество попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов из F в Fi таких, что T(F)±J- = Fi ^ {0}. Рассмотрим множество £ := Tv П Ь~^Е,Е1). Если £ = {0}, то Т удовлетворяет условию леммы. Пусть £^ {0}, т. е. существуют решеточные гомоморфизмы S Е Hom(F,Fi) такие, что S Е TL , причем из максимальности Т следует, что S(F)±J- ^ F^. Обозначим множество всех подобных гомоморфизмов через Fq := £ И Hom(F, Fi).
-
2. Разложение атомического оператора
-
2.1. Проектор тг Е ^(F) назовем (7, Е)-однородным, если в L~(F,ttF) существует строго порождающее множество "Яа такое, что card(?/a) = 7 и, кроме того, для каждого ненулевого проектора р < л и для любого строго порождающего множества "Я попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов из F в pF выполняется card(%) > 7.
-
-
2.2. Теорема. Пуств Е и F — векторные решетки, причем F — порядково полна и расширена. Тогда существует множество кардиналов Г и для каждого кардинала 7 Е Г существуют проектор тг7 Е ^(F) и семейство попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов (Ф7,а)а^7 из Е в F такие, что справедливы следующие утверждения:
Из максимальности Т следует, что существует F2 С Fi такой, что Fq П Hom(F,F2) = {0}. Обозначим через Fo := Fi Л F^. Ясно, что Fo ^ {0}. Тогда существует разбиение {р^} единицы 1у0 такое, что для любого £ существует решеточный гомоморфизм S^ Е Fo и S^(F)±J- = p^(F0). Но тогда существует оператор S такой, что Se = ^p^S^e (для е Е Е+), причем S Е Fq и S(F)±± = Fq, что противоречит максимальности Т. >
Непосредственно из приведенного доказательства следует утверждение.
Строго порождающее множество в L~^E,F) существует тогда и толвко тогда, когда в нем существует хотя бы один оператор S такой, что im(S)±J- = F.
Строго порождающее множество На удовлетворяющее сформулированным выше условиям назовем атомическим базисом в L~(F,ttF).
Если тг — ненулевой проектор со строго порождающим множеством, то существует (7, Е)-однородный проектор р такой, что 0 ^ р < тг.
< Рассмотрим множество ненулевых подпроекторов проектора тг. Поставим в соответствие каждому из таких проекторов р кардинал 7 — наименьший из кардиналов строго порождающих множеств в L~(E, pF). Прообраз относительно отображения тг Н д(тг) наименьшего из этих кардиналов и будет требуемым проектором. >
-
(1) (тг7)7ег представляет собой разбиение единицы в булевой алгебре ^3(F), причем тг7 ^ 0 при всех 7 Е Г;
-
(2) тг7 является (7, F) -однородным проектором;
-
(3) (1шФ71(е)±± = tt7(F) (7EP,q<7);
-
(4) каждый оператор Т Е L^(E,F) допускает единственное представление в виде:
т = То + О-^ О-^ где То Е L^(E,F) и a7ja Е 0г1Ь(Ф71а, tt7(F)). < Для доказательства существования разбиения единицы тг7 воспользуемся «принципом исчерпывания». Согласно 1.3 в любом проекторе тг содержится подпроектор р такой, что р < я и в L~ фЕ, pF) есть строго порождающее множество. Ввиду 2.1 в проекторе р с указанным выше свойством содержится хотя бы один (7,1?)-однородный проектор р7. Следовательно, множество (у, 5)-однородных проекторов в ^(F) мино-рантно. Определим функцию ф : ^(F) —> Г следующим образом. Если р Е ^P(F) — фрЕ)-однородный проектор, то ф^р) = 7. Если же проектор р не (7, F)-oднopoдeн, то ввиду минорантности множества (у, F)-oднopoдныx проекторов его можно представить в виде супремума (7, F)-однородных проекторов. И в этом случае фЛ) равно супремуму кардиналов однородных компонент. Для доказательства корректности этого определения необходимо доказать, что супремум тг7 (7, F)-oднopoдныx проекторов Л^)^^ также (у, F)-oднopoдeн. Для этого достаточно доказать, что в тг7 существует строго порождающее множество мощности 7. Пусть Ф^,<7 — атомический базис в Ьф (Е, p^F), тогда Фа^7 = 52^е= ^«<7 будет атомическим базисом в L~(F,tt7F). В противном случае, в L~(F,tt7F) существует оператор Ф дизъюнктный ко всем базисным векторам. Однако из определения этого оператора следует, что его проекция р^ на любую из (у, F)-oднopoдныx компонент должна быть дизъюнктна к соответствующему атомическому базису. Это возможно только тогда, когда р^Ф=0. В силу произвольности £ получаем, что Ф = 0. Тем самым тг7 — (7, F)-oднopoдный проектор. Согласно 1.2 в ^(F) существует разложение единицы на (у, F)-oднopoдныe компоненты (тг7)7ег- Операторы, требуемые в пунктах (3) и (4), будут в точности атомическими базисами соответствующих полос. Не ограничивая общности, для простоты обозначений, докажем единственность разложения оператора Т в одной из компонент с (7, F)-oднopoдным проектором. Пусть сИфа и сг^Фа — два разложения оператора Т. Пусть эти разложения не совпадают в первом элементе. Тогда Si = сфФ1 — о"1Ф1 ^ 0. В то же время из того, что 1т(Фа)±± = (tt7F) следует, что Si дизъюнктен к остальным базисным элементам. Это противоречит тому, что разность двух разложений должна быть равна нулю. Таким образом наше разложение единственно. > Один атомический базис можно получить из другого путем перестановки и «перемешивания». Иначе, если мы имеем два базиса (Фа)а^7и (Фа)а^7, то для каждого a< 7 существует разбиение единицы ^„д)р^^ такое, что ^«Л = 52 "«Д^^^^^а, где оад Е Ог1Н(7га1/3Фа,7га1/3(Е)). < Рассмотрим разложение оператора Фа по базису (Фа)а^7. Из предыдущей теоремы имеем, что В качестве ^«д^р^ будем рассматривать проекторы на полосы, порождаемые образами стаофа. Их дизъюнктность непосредственно вытекает из следствия к теореме Кутателадзе о том, что два решеточных гомоморфизма, мажорируемые решеточным гомоморфизмом, дизъюнктны в том и только в том случае, когда дизъюнктны их образы. То, что тг7 — разбиение единицы следует из того, что im(Ta)±± = F. Теперь для 7га/зФа и 7га/зФа существует ортоморфизм ст^д такой, что ТТаД^а = СТаД^аДФ». ▻
Список литературы Разложение атомического оператора
- Гутман А. Е., Емельянов Э. Ю., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартный анализ и векторные решетки.-Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999.-380 с.
- Кусраев А. Г. Порядковый анализ 3. Положительные операторы: Учеб. пос.-Владикавказ: Изд-во Владикавказского научного центра, 2001.-111 с.
- Кусраев А. Г. Порядковый анализ 1. Булевы алгебры. Векторные решетки: Учеб. пос.-Владикавказ: Изд-во Владикавказского научного центра, 2000.-87 с.
- Владимиров Д. А. Булевы алгебры.-М.: Наука, 1969.-318 с.