Разложение атомического оператора

Доказана, теорема, о разложении атомического оператора, по специальному базису из решеточных гомоморфизмов. Показано, что такое разложение в определенном смысле единственно.

• 1.    Предварительные сведения

В этом параграфе приведены обозначения и сведения из теории векторных решеток, необходимые для дальнейшего изложения.

• 1.1.    Всюду ниже Е — векторная решетка, F — порядково полная векторная решетка. Полосу всех порядково ограниченных линейных операторов из Е в F обозначим через L~(E,F). Пусть L~(E,F) полоса в L~(E,F), порожденная множеством решеточных гомоморфизмов Hom(F,F). Напомним, что оператор Т Е L~(E,F) называют атомическим, если он попадает в полосу L~(F,F).

Линейный оператор о из идеала G векторной решетки F в F назовем ортоморфизмом, если он порядково ограничен и сохраняет полосы, т. е. о (К Л G^ С К для любой полосы К из F. Через Orth(G,F) обозначим множество всех ортоморфизмов из G в F.

Если Orth(T, F) := Orth(G,F), где G — порядковый идеал в F, порожденный Т(Е), то для произвольного решеточного гомоморфизма Т имеет место {T}^±J- = Orth(T,F) оТ.

• < Это утверждение является следствием теоремы Кутателадзе (см. [2; 3.3.4, 3.3.5 (4)]). ▻

• 1.2.    Множество ^(F) всех порядковых проекторов, упорядоченное правилом тг <  р <^=^ тг о р = тг, является булевой алгеброй (см. [3; 1.3.5]).

Пусть В — булева алгебра. Подмножество Е С В минорирует подмножество В_о С В, если для каждого 0 <  b Е В_о существует ж Е Е такой, что 0 <  х < Ь. Будем называть Е минорантным для В_о.

Если Е минорантно в В, то всякий ненулевой элемент В является супремумом некоторого дизъюнктного подмножества Е.

• < Доказательство данного утверждения, известного как «принцип исчерпывания», можно найти в [4]. ▻

• 1.3.    Множество попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов Д из F в F назовем строго порождающим, если Т-Д^ = L~(E,F) и im(S)^±J- = F при всех S Е Н.

Лемма. Пусть Е и F — векторные решетки, причем F — расширенное К-пространство и F = (U{T(F) : Т Е Hom(F, F)})^±±. Для любого ненулевого проектора л в F существует подпроектор 0 ^ р < тг такой, что в L~ (Е, лЕ) имеется строго порождающее множество решеточных гомоморфизмов.

• < Пусть Т Е Hom(F,TrF) и пусть T(F)^±J- = Fi С ttF. Обозначим через Т максимальное множество попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов из F в Fi таких, что T(F)^±J- = Fi ^ {0}. Рассмотрим множество £ := T^v П Ь~^Е,Е1). Если £ = {0}, то Т удовлетворяет условию леммы. Пусть £^ {0}, т. е. существуют решеточные гомоморфизмы S Е Hom(F,Fi) такие, что S Е T^L , причем из максимальности Т следует, что S(F)^±J- ^ F^. Обозначим множество всех подобных гомоморфизмов через Fq := £ И Hom(F, Fi).

• 2.    Разложение атомического оператора

  • 2.1.    Проектор тг Е ^(F) назовем (7, Е)-однородным, если в L~(F,ttF) существует строго порождающее множество "Я_а такое, что card(?/_a) = 7 и, кроме того, для каждого ненулевого проектора р < л и для любого строго порождающего множества "Я попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов из F в pF выполняется card(%) > 7.

• 2.2.    Теорема. Пуств Е и F — векторные решетки, причем F — порядково полна и расширена. Тогда существует множество кардиналов Г и для каждого кардинала 7 Е Г существуют проектор тг₇ Е ^(F) и семейство попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов (Ф₇,_а)_а^₇ из Е в F такие, что справедливы следующие утверждения:

Из максимальности Т следует, что существует F₂ С Fi такой, что Fq П Hom(F,F₂) = {0}. Обозначим через F_o := Fi Л F^. Ясно, что F_o ^ {0}. Тогда существует разбиение {р^} единицы 1у₀ такое, что для любого £ существует решеточный гомоморфизм S^ Е Fo и S^(F)^±J- = p^(F₀). Но тогда существует оператор S такой, что Se = ^p^S^e (для е Е Е₊), причем S Е Fq и S(F)^±± = Fq, что противоречит максимальности Т. >

Непосредственно из приведенного доказательства следует утверждение.

Строго порождающее множество в L~^E,F) существует тогда и толвко тогда, когда в нем существует хотя бы один оператор S такой, что im(S)^±J- = F.

Строго порождающее множество Н_а удовлетворяющее сформулированным выше условиям назовем атомическим базисом в L~(F,ttF).

Если тг — ненулевой проектор со строго порождающим множеством, то существует (7, Е)-однородный проектор р такой, что 0 ^ р < тг.

< Рассмотрим множество ненулевых подпроекторов проектора тг. Поставим в соответствие каждому из таких проекторов р кардинал 7 — наименьший из кардиналов строго порождающих множеств в L~(E, pF). Прообраз относительно отображения тг Н д(тг) наименьшего из этих кардиналов и будет требуемым проектором. >

• (1)    (тг₇)_7ег представляет собой разбиение единицы в булевой алгебре ^3(F), причем тг₇ ^ 0 при всех 7 Е Г;

• (2)    тг₇ является (7, F) -однородным проектором;

• (3)    (1шФ_71(е)^±± = tt₇(F) (7EP,q<7);

• (4)    каждый оператор Т Е L^(E,F) допускает единственное представление в виде:

т = То + О-^ О-^

где То Е L^(E,F) и a_7ja Е 0г1Ь(Ф_71а, tt₇(F)).

• <    Для доказательства существования разбиения единицы тг₇ воспользуемся «принципом исчерпывания». Согласно 1.3 в любом проекторе тг содержится подпроектор р такой, что р < я и в L~ фЕ, pF) есть строго порождающее множество. Ввиду 2.1 в проекторе р с указанным выше свойством содержится хотя бы один (7,1?)-однородный проектор р₇. Следовательно, множество (у, 5)-однородных проекторов в ^(F) мино-рантно.

Определим функцию ф : ^(F) —> Г следующим образом. Если р Е ^P(F) — фрЕ)-однородный проектор, то ф^р) = 7.

Если же проектор р не (7, F)-oднopoдeн, то ввиду минорантности множества (у, F)-oднopoдныx проекторов его можно представить в виде супремума (7, F)-однородных проекторов. И в этом случае фЛ) равно супремуму кардиналов однородных компонент.

Для доказательства корректности этого определения необходимо доказать, что супремум тг₇ (7, F)-oднopoдныx проекторов Л^)^^ также (у, F)-oднopoдeн. Для этого достаточно доказать, что в тг₇ существует строго порождающее множество мощности 7.

Пусть Ф^,_<7 — атомический базис в Ьф (Е, p^F), тогда Ф_а^₇ = 52^е= ^«<₇ будет атомическим базисом в L~(F,tt₇F). В противном случае, в L~(F,tt₇F) существует оператор Ф дизъюнктный ко всем базисным векторам. Однако из определения этого оператора следует, что его проекция р^ на любую из (у, F)-oднopoдныx компонент должна быть дизъюнктна к соответствующему атомическому базису. Это возможно только тогда, когда р^Ф=0. В силу произвольности £ получаем, что Ф = 0. Тем самым тг₇ — (7, F)-oднopoдный проектор.

Согласно 1.2 в ^(F) существует разложение единицы на (у, F)-oднopoдныe компоненты (тг7)7ег- Операторы, требуемые в пунктах (3) и (4), будут в точности атомическими базисами соответствующих полос.

Не ограничивая общности, для простоты обозначений, докажем единственность разложения оператора Т в одной из компонент с (7, F)-oднopoдным проектором. Пусть сИф_а и сг^Фа — два разложения оператора Т. Пусть эти разложения не совпадают в первом элементе. Тогда Si = сфФ1 — о"1Ф1 ^ 0. В то же время из того, что 1т(Ф_а)^±± = (tt₇F) следует, что Si дизъюнктен к остальным базисным элементам. Это противоречит тому, что разность двух разложений должна быть равна нулю. Таким образом наше разложение единственно. >

Один атомический базис можно получить из другого путем перестановки и «перемешивания». Иначе, если мы имеем два базиса (Ф_а)_а^₇и (Ф_а)_а^₇, то для каждого a< 7 существует разбиение единицы ^„д)р^^ такое, что

^«Л = 52 "«Д^^^^^а, где оад Е Ог1Н(7га1/3Фа,7га1/3(Е)).

• <    Рассмотрим разложение оператора Ф_а по базису (Ф_а)_а^₇. Из предыдущей теоремы имеем, что

• Ф« = о-52 оа о Ф„.

В качестве ^«д^р^ будем рассматривать проекторы на полосы, порождаемые образами ст_аоф_а. Их дизъюнктность непосредственно вытекает из следствия к теореме

Кутателадзе о том, что два решеточных гомоморфизма, мажорируемые решеточным гомоморфизмом, дизъюнктны в том и только в том случае, когда дизъюнктны их образы. То, что тг₇ — разбиение единицы следует из того, что im(T_a)^±± = F. Теперь для 7г_а/зФ_а и 7г_а/зФ_а существует ортоморфизм ст^д такой, что

ТТаД^а = СТаД^аДФ». ▻