Разложимые меры со значениями в порядково полных векторных решетках

Развитие теории интегрирования для мер со значениями в K -пространствах (поряд-ково полных векторных решетках) дало возможность строить содержательные примеры пространств Банаха — Канторовича, являющихся «векторными» вариантами классических L _p -пространств [1] и пространств Орлича [2, 3]. В этих примерах свойство разложимости нормы — одно из центральных свойств векторнозначных норм — достигалось с помощью свойства модульности меры. Впервые понятие меры со свойством модульности появилось в работах Д. Магарам [4, 5]. Обстоятельные изложения свойств таких мер даны в книгах А. Г. Кусраева, С. А. Малюгина [6] и А. Г. Кусраева [1].

Естественно ожидать, что свойство модульности меры m, заданной на полной булевой алгебре B со значениями в K -пространстве F , должно влиять на свойство разложимости значений меры m, т. е. для любого e ∈ B и любого разложения

m(e) = У 1 + У 2                                      (1)

в сумму положительных элементов y 1 , y 2 ∈ F должно следовать существование таких e 1 , e ₂ G B, что e = e 1 V e ₂ и m(e i ) = y i , i = 1, 2.

В том случае, когда условие (1) выполняется лишь для дизъюнктных положительных y 1 , y 2 ∈ F, можно говорить о дизъюнктной разложимости значений меры m. Если F есть поле действительных чисел R , то любая мера m : B ^ R является дизъюнктно разложимой, а свойство разложимости для такой меры равносильно непрерывности булевой алгебры B. Естественно, что, и в случае произвольного K -пространства F свойство разложимости меры связано с наличием в B дополнительного порядкового свойства, являющегося «F -вариантом» понятия непрерывности.

• (с) 2008 Закиров Б. С., Чилин В. И.

• 2.    Предварительные сведения

В настоящей работе рассматриваются меры на B со значениями в K -пространства F с единицей. Показывается, что свойство дизъюнктной разложимости значений меры m позволяет так задать на B структуру левого модуля над булевой алгеброй ∇ единичных элементов из F, что m(ae) = am(e) для всех a £ V , e £ B. Представление B в виде ∇ -модуля дает возможность ввести понятие ∇ -непрерывности для булевой алгебры B. Устанавливается, что ∇ -непрерывность является необходимым и достаточным условием для того, чтобы мера m : B ^ F была разложимой.

Используются терминология и результаты теории булевых алгебр из [7], теории K-пространств из [8], теории векторных мер из [1, 6].

Пусть B — произвольная булева алгебра, 0 и 1 B — наименьший и наибольший элементы в B. Для каждого подмножества A С B через sup A ( V A), inf A ( Л A) обозначаются его точные верхняя и нижняя грани соответственно. Говорят, что булева алгебра B полна, если для всякого подмножества A С B существует sup A. Элементы e,g £ B называют дизъюнктными, если eg : = e Л g = 0. Семейство ненулевых элементов из B называется дизъюнктным , если его члены попарно дизъюнктны. Булева подалгебра B 0 в полной булевой алгебре B называется правильной, если (sup A) £ B o для любого подмножества A ⊂ B 0 . Ясно, что правильная подалгебра сама является полной булевой алгеброй.

Ненулевой элемент e из булевой алгебры B называется атомом, если eB := { g £ B : g 6 e } = { 0, e } . Булеву алгебру B называют атомической, если для каждого ненулевого элемента e £ B существует атом q 6 e. В случае, когда в B нет атомов, булеву алгебру B называют непрерывной . Если полная булева алгебра B не является непрерывной, то существует такой элемент 0 = e £ B, что eB — атомическая, ( 1 b — e)B — непрерывная булевы алгебры [7, III, §2].

Нам понадобится следующее важное свойство полных булевых алгебр.

Теорема 2.1 (см. [7, III, §2]) . Пусть B — полная булева алгебра, 0 = e £ B и пусть D минорантное подмножество в eB, т. е. для всякого 0 = g £ eB найдется ненулевое q £ D, для которого q 6 g. Тогда существует дизъюнктное подмножество D i С D, со следующими свойствами:

• 1)    sup D 1 = e = sup D;

• 2)    для любого q £ D i существует элемент g £ D такой, что q 6 g.

Пусть F — K -пространство с единицей 1 , ∇ — полная булева алгебра всех единичных элементов из F, X ( V ) — стоуновский компакт, соответствующий V . Согласно [8, V, §4], F отождествляется с фундаментом F 0 из C ^ (X ( V )), при этом C (X( V )) С F 0 , а единице 1 соответствует функция, тождественно равная 1. В дальнейщем, считаем, что F = F 0 , при этом для любых a £ V ,x £ F определен элемент ax £ F, отвечающий функции a(t)x(t),t £ X ( V ). Через s(x) будем обозначать след элемента x £ F, т. е. s(x) = sup _n > 1 ( 1 Л n | x | ). Ясно, что s(x)x = x, и если ax = x, a £ V , то a >  s(x).

Пусть B — произвольная полная булева алгебра. Отображение m : B ^ F называется F -значной мерой на B, если

• 1)    m(e) > 0 для любого e £ B;

• 2)    m(e V g) = m(e) + m(g), если e,g £ B и e Л g = 0;

• 3)    m(e _a ) ^ 0, для любой сети e _a ^ 0, e _a £ B.

• 3.    Дизъюнктно разложимые меры

Мера m называется строго положительной, если из m(e) = 0, e £ B, следует, что e = 0.

Поскольку s(m(e)) 6 s(m( 1 s )) для всех e G B, то { m(e) : e 6 B } C s(m( 1 s ))F. В дальнейшем всегда считаем, что s(m( 1 B )) = 1 ; в противном случае вместо F рассматриваем K -пространство s(m( 1 B ))F.

Строго положительная F -значная мера m называется дизъюнктно разложимой (d-разложимой), если для любых e G B и разложения m(e) = a i + a ₂ > a i Л а 2 = 0, a i G F , существуют такие e i G B, что e = e _i V e ₂ и m(e i ) = a i , i = 1,2. Заметим, что из равенства m(e i V e ₂ ) = a i + a 2 = m(e i ) + m(e ₂ ) следует, что e i e 2 = 0. Легко видеть, что если a = a _i + a ₂ , a _i Л a ₂ = 0, a _i , a ₂ G F, то s(a) = s(a _i ) + s(a ₂ ) и a i = s(a i )a, i = 1, 2. Поэтому мера m — d-разложима тогда и только тогда, когда для любых e G B, a G s(m(e)) V существует такое g G eB, что m(g) = am(e).

Замечание 2.1. На самом деле для выполнения свойства d -разложимости достаточно потребовать, чтобы для любого a G V существовало такое g G B, что m ( g ) = am ( 1 B ) .

Действительно, в этом случае, для элементов e G B, a G s(m(e)) V имеем, что m(e) = m(ge) + т(( 1 в — g)e), где g G B и m(g) = ат( 1 в ). Так как m(ge) 6 m(g), то s(m(ge)) 6 a. Аналогично s(m(( 1 B — g)e)) 6 1 — a. Следовательно, am(e) = m(ge), где ge G eB.

Утверждение 3.2. Пусть m — строго положительная d -разложимая F -значная мера на полной булевой алгебре B . Тогда существуют правильная подалгебра B 0 в B и булевый изоморфизм ф из V на B o такие, что m(ф(a)e) = am(e) для всех a G V , e G B.

C Пусть a G V . Существует такое g G B, что m(g) = am( 1 B ). Поскольку s(m( 1 B )) = 1 , то s(m(g)) = a. Пусть g i G B и m(g i ) = am( 1 B ) = m(g). Покажем, что g i = g. Если g i 6 g, то m(g) = m(g i ) + m(g Л Cg i ), и, в силу строгой положительности меры m имеем, что g Л Cg ₁ = 0, т. е. g = g _i . Пусть r = g _i Л Cg = 0. Тогда 0 = m(r) 6 m(Cg) = ( 1 — a)m( 1 B ), в частности, 0 = s(m(r)) 6 ( 1 — a). Так как g i = gg i V r, то m(g i ) = m(gg i ) + m(r), и потому 0 = ( 1 — a)m(g _i ) = ( 1 — a)m(r) = m(r) = 0. Из полученного противоречия следует, что элемент g G B, для которого m(g) = am( 1 ), определен однозначно. Определим отображение ф : V ^ B, полагая ф(a) = g. Ясно, что ф( 1 ) = 1 в , ф(0) = 0, кроме того, ф — инъекция и s(m(ф(a))) = a для всех a G V . Пусть a, b G V , ab = 0, q = ф(a) V ф(Ь). Поскольку m(ф(a))m(ф(b)) = 0, то ф(a)ф(b) = 0. Следовательно, m(q) = m(ф(a)) + т(ф(Ь)) = (a + Ь)т( 1 в ), т. е. q = ф(a V b). Таким образом, ф есть инъективный булев гомоморфизм из V в B. Пусть { a i } i_Gi C V , a = sup i_Gi a i и a i a j = 0, i = j. Положим q = sup _iGI ф^). Тогда m(q) = 52_{i G}I m(ф(a i )) = iT IiE i a i m( 1 B ) = am( 1 B ). Следовательно, ф(a) = q = sup i_Gi ф^ф. Это означает, что B o = { ф(a) : a G V} есть правильная подалгебра в B, при этом m(ф(a)) = am( 1 B ) для всех a G V .

Пусть e G B,a G V ; тогда m(e) = m(ф(a)e) + т(ф( 1 — a)e). Так как m(ф(a)e) 6 m(ф(a)) = am( 1 B ), т(ф( 1 — a)e) 6 ( 1 — a)m( 1 B ), то am(e) = m(ф(a)e). B

Пусть теперь B, ∇ — произвольные полные булевые алгебры. Известно (см., например, [7, II, §2]), что относительно алгебраических операций eg := e Л g, e 4 g := (e Л Cg) V (Ce Л g) множества B и V являются булевскими кольцами. Предположим, что B является левым модулем над ∇ . Будем говорить, что этот модуль нормален , если выполнены следующие условия:

• 1.    a 1 B = 0 для любого 0 = a G V ;

• 2.    если a i e = 0 для некоторых a i G V , e G B,i G I, то (sup _iGi a i )e = 0.

Зададим отображение ф : V ^ B, полагая ф(a) = a 1 B .

Утверждение 3.3. Если B — нормальный левый модуль над ∇ , то ψ есть инъек тивный гомоморфизм из V в B, при этом ф( V ) является правильной подалгеброй в B.

C Ясно, что ф — кольцевой гомоморфизм из V в B, ф( 1 v ) = 1 в , и поэтому ф — булев гомоморфизм из V в B, в частности, ф( V ) — булева подалгебра в B. Если 0 = a G V , то ф(a) = a l = 0, т. е. ф — инъективно.

Пусть a i G V , i G I , g = sup _iGi ф(a _i ), r = ф(sup _iGI a i ). Ясно, что g 6 r. Если e = r Л Cg, то a i e = a i ( 1 B e) = ф^фе = 0 для всех i G I. Поскольку B — нормальный модуль над V , то

0 = (sup a i )e = (sup a i ) 1 B e = ф(sup a i )e = re = e. i ∈ I            i ∈ I                   i ∈ I

Следовательно, ф(sup i_GI a i ) = sup i_Gi ф(a i ), т. е. ф( V ) — правильная подалгебра в B. B

Замечание 3.4. Если B , ∇ — полные булевы алгебры и существует изоморфизм ф из V на правильную подалгебру ф( V ) в B, то, задавая действие V на B по правилу a • e = ф(a)e, a G V , e G B, получим, что B есть нормальный левый модуль над V .

Пусть F — K -пространство с единицей 1 , ∇ — полная булева алгебра всех единичных элементов из F, m — строго положительная F -значная мера на полной булевой алгебре B, причем s(m( 1 s )) = 1 . Говорят, что m обладает свойством модульности, если B является нормальным левым модулем над V и m(ae) = am(e) для всех a G V , e G B.

Утверждение 3.5. Для строго положительной меры m : B ^ F следующие условия эквивалентны:

• (i)    m — d-разложима;

• ( ii )    m обладает свойством модульности.

• 4.    Разложимые меры

C Импликация (i) ^ (ii) следует из утверждения 3.2 и замечания 3.4, а импликация (ii) ^ (i ) — очевидна. B

Пусть, по-прежнему, F — K -пространство с единицей 1 , ∇ — полная булева алгебра всех единичных элементов из F. Рассмотрим следующее усиление свойства d -разложимости. Строго положительную F -значную меру m, заданную на полной булевой алгебре B, назовем разложимой, если для любых e G B и разложения a i + a 2 = m(e), a i G F , a i >  0, существуют такие e i G B, что e = e i V e 2 и m(e i ) = a i , i = 1, 2. Ясно, что мера m разложима в том и только в том случае, когда для любых e G B , 0 6 a 6 m ( e ), a G F существует такое g G eB, что m(g) = a.

Приведем пример d-разложимой, но не разложимой меры. Пусть B = V , m(a) = a для всех a ∈ B. Ясно, что m — строго положительная d -разложимая F -значная мера. В то же время, не существует a G B, для которого m(a) = 2 -1 1 , т. е. m не является разложимой мерой.

Легко видеть, что в случае F = R , свойство разложимости меры m равносильно непрерывности булевой алгебры B. Естественно ожидать, что и в общем случае разложимость F -значной меры должна отражаться на внутренней структуре булевой алгебре B. Приведем характеризацию таких булевых алгебр с помощью понятия ∇ -носителя.

Пусть B — нормальный левый модуль над V . Для каждого e G B положим z(e) = C (sup { b G V : be = 0 } ). Ясно, что z(e)e = e, и если be = e, b G V , то z(e) 6 b. Элемент z(e) называется V -носителем для e G B.

Булеву алгебру B назовем V -непрерывной, если для любого 0 = e G B существует такое g G eB , g = e, что z(g) = z(e).

В случае V = { 0, 1 } , понятие V -непрерывности совпадает с известным определением непрерывности булевой алгебры.

Утверждение 4.1. Пусть B — нормальный левый ∇ -модуль. Следующие условия эквивалентны:

• (i)    B является V -непрерывной;

• (ii)    eB = V e := { ae : a G V} для любого 0 = e G B.

C (i) ^ (ii) : Так как B — V -непрерывная булева алгебра, то для каждого 0 = e G B существует такое g G eB, g = e, что z(g) = z(e). Предположим, что g = ae для некоторого a G V . Тогда ag = g, и потому z(g) 6 a. Следовательно, z(e) 6 a и g = ae = e, что не так.

• (ii)    ^ (i): Пусть 0 = e G B. Обозначим через D совокупность всех таких систем { g i } iei с B, для которых z(g i )z(g j ) = 0 при i = j, g i 6 e, g i = z(g i )e, i, j G I. Так как eB = V e, то найдется такое g G eB, что g = ae для всех a G V . Следовательно, D — не пустое множество. Упорядочим D по включению и, используя лемму Куратовского — Цорна, выберем максимальный элемент E = { g i } _{i e}i из D. Положим q = sup _iGi g i . Ясно, что q G eB и z(q) = sup _iGi z(g i ) 6 z(e). Если b = z(e) Л Cz(q) = 0, то найдется такое g o G beB, что g o = abe для всех a G V . Это означает, что z(g o ) 6 b и g o = z(g o )e. Добавляя элемент g 0 к системе E, получим, что E не является максимальным элементом в D. Следовательно, b = 0, т. е. z(q) = z(e), при этом q = e. B

Пусть m — d -разложимая F -значная мера на полной булевой алгебре B. Тогда B является нормальным ∇ -модулем (утверждение 3.2 и замечание 3.4). Согласно утверждению 3.5 имеем, что m(e) = m(z(e)e) = z(e)m(e) для всех e G B, т. е. s(m(e)) 6 z(e). Если b = z(e) Л Cs(m(e)), то m(be) = m(e) — m(s(m(e))e) = 0. Следовательно, be = 0, и поэтому bz(e) = 0, т. е. b = 0. Таким образом, V -носитель z(e) совпадает с носителем s(m(e)) для всех e G B.

Теорема 4.2. Для d-разложимой меры m : B ^ F следующие условия эквивалентны:

• (i)    m — разложимая мера;

• (ii)    булева алгебра B является V -непрерывной.

C (i) ^ (ii) : Пусть 0 = e G B. Выберем g G eB, для которого m(g) = 2 ^{- 1} m(e). Тогда g = e и z(g) = s(m(g)) = s(m(e)) = z(e). Следовательно, B есть V -непрерывная булева алгебра.

• (ii)    ^ (i): Пусть 0 = e G B. Покажем, что для любого 0 = q G s(m(e)) V существует такое 0 = b G qeB, что m(b) 6 2 ^{- 1} qm(e). Так как qeB = V qe (см. утверждение 4.1), то существует такое 0 = g G qeB, что g = zqe для всех z G V . Положим z o = s(m(g)), e o = z o e. Так как m ( g ) = z o m ( g ) = m ( z o g ) и мера m — строго положительна, то g = z o g 6 e o , при этом s(m(e o )) = z o s(m(e)) = z o 6 q. Если g G V e o , то g = ze o = zz o e для некоторого z G V , что противоречит соотношению g / V e. Следовательно, g G (e o B \V e o ). Положим z 1 = z o { m(g) 6 2 ^{- 1} m(e o ) } . Если z 1 = 0, то, положив b = z 1 g, получим, что b G qeB, m ( b ) = z 1 m ( g ) = 0 , в частности, b = 0 , при этом m ( b ) 6 2 ^{- 1} z 1 m ( e o ) 6 2 ^{- 1} qm ( e ) .

Предположим, что z 1 = 0. Тогда z o 6 { 2 ^{- 1} m(e o ) < m(g) } , т. е. 2 ^{- 1} m(e o ) =

2 ^{- 1} z o m(e o ) < z o m(g). Положим d = e o ( 1 b — g). Поскольку g = e o , то d = 0, при этом e o = d V g, dg = 0, d 6 z o . Поэтому m(e o ) = m(d) + m(g), и 0 = m(d) = z o m(d) = z o m(e o ) — z o m(g) < 2 ^{- 1} z o m(e o ) 6 2 ^{- 1} qm(e).

Таким образом, для любых 0 = e G B, 0 = q G s(m(e)) V найдется такое 0 = b G qeB, что m(b) 6 2 ^{- 1} qm(e), в частности, z(b) = s(m(b)) 6 q.

Пусть 0 = e G B и

E = { 0 = z G s(m(e)) V : z = s(m(b)) для некоторого b G zeB с m(b) 6 2 ^{- 1} m(e) } .

В силу доказанного выше, множество E минорантно в s(m(e)) V . Согласно теореме 2.1, существует дизъюнктное подмножество E i = { z i } i^i С E, для которого sup E i = sup E = s(m(e)), при этом z i = s(m(b i )), для некоторого b i G z i eB с m(b i ) 6 2 ^{- i} z i m(e). Положим b = sup _iGI b i . Тогда b G eB , m(b) = Z_{i e}I m(b i ) 6 2 ^{- 1} Z_{i eI} z i m(e) = 2 ^{- i} m(e), и s(m(b)) = sup _iGi s(m(b i )) = s(m(e)).

Таким образом, для каждого 0 = e G B существует такое b G eB, что s(m(b)) = s ( m ( e )) и m ( b ) 6 2 ^{- 1} m ( e ) .

Пусть теперь a G F , 0 = a 6 m(e), 0 = e G B. Тогда 0 = q = s(a) 6 s(m(e)), e 1 = qe = 0, s ( m ( e 1 )) = q. Выберем 0 = b 1 G e 1 B, для которого s ( m ( b 1 )) = q и m(b i ) 6 2 ^{- 1} m(e i ) = 2 ^{- 1} qm(e). Затем выберем 0 = b 2 G b i B так, чтобы s(m(b 2 )) = s(m(b i )) = q и m(b 2 ) 6 2 ^{- 1} m(b i ) 6 2 -2 qm(e). Продолжая этот процесс, построим убывающую последовательность ненулевых элементов { b n } С eB, для которой s(m(b n )) = q и m(b n ) 6 2 ^{- n} qm(e) при всех п = 1, 2,... Так как 0 = s(a) = q = s(2 ^{- n} qm(e)), то найдется такое п о , что z = q { 2 ^{- n} 0 m(e) 6 a } = 0. Ясно, что g = b _n 0 z G eB, s(m(g)) = z, 0 = m(g) = zm(b n ₀ ) 6 2 — n ⁰zm(e) 6 a. Следовательно, для любого 0 = a 6 m(e), a G F , найдется такое g G eB, что 0 = m(g) 6 a. Осталось показать, что g G eB можно выбрать так, чтобы m ( g ) = a.

Положим D = {b G eB : m(b) 6 a}. Рассмотрим в D частичный порядок, индуцированный из B, и пусть Do = {ej}jej — линейно упорядоченное подмножество из D,eo = sup Do G B. Ясно, что eo G eB, при этом m(eo) = sup m(ej) 6 a. Это означает, j∈J что e0 ∈ D0 , т. е. e0 является мажорантой для D0 . Из леммы Куратовского — Цорна заключаем, что в D существует максимальный элемент g.

Пусть m(g) = a. Тогда g = e и в = a — m(g) = 0, при этом

m(e — g) = m(e) — m(g) >  a — m(g) = в.

В силу доказанного ранее, найдется ненулевой элемент g i G (e — g)B, для которого m(g _i ) 6 в. Следовательно, g + g _i 6 e и m(g + g _i ) = m(g) + m(g _i ) 6 m(g) + в = a, что противоречит максимальности g. Таким образом, m(g) = a. B

Приведем пример F -значной разложимой меры, в случае, когда F есть алгебра L o (Q) всех измеримых действительных функций, заданных на измеримом пространстве (Q, Х, ц) со счетно аддитивной a-конечной мерой ц (равные почти всюду функции отождествляются). Пусть ν — строго положительная числовая счетно аддитивная мера на полной булевой алгебре B. Отображение u : (Q, Х,ц) ^ B называется ступенчатым, если u = P n = _i g i X A i , где g i G B , A i G Х, A i П A j = 0 , i = j, X A i (ш) = 1 b для ш G A i и X A i (ш) = 0 в противном случае.

Обозначим через r(B) — множество всех ступенчатых отображений из (Q, Х,ц) в B. Отображение u : (Q, Х,ц) ^ B назовем измеримым, если существует такая последовательность { u n } С r(B), что v (и(ш) 4 и _п (ш)) ^ 0 при п ^ го для п. в. ш G Q. Пусть L 0 (Q,B) — множество всех измеримых отображений из (Q, Х,ц) в B. Для произвольных u,v G L 0 (Q,B) положим u 6 v, если u(ш) 6 v(ш) для всех ш G Q. Тогда L o (Q, B) становится булевой алгеброй с единицей 1 (ш) = 1 в , нулем 0(ш) = 0, дополнением (Cu)(ш) = C (u(ш)), при этом (u V v)(ш) = u(ш) V v(ш), (u Л v)(ш) = u(ш) Л v(ш), ш G Q.

Рассмотрим в булевой алгебре L q (Q, B) идеал J = { u G L q (Q, B) : u(ш) = 0 п. в.}, и через L q (Q, B) обозначим фактор-булеву алгебру L q (Q,B)/J. В [9] показано, что L q (Q, B) есть полная булева алгебра, при этом булева алгебра B(Q) всех идемпотентов в L q (Q) отождествляется с правильной булевой подалгеброй B q = { e G L q (Q, B) : u = x a , A G S } в L q (Q, B), где e — класс эквивалентности из L q (Q, B) с представителем u. Ясно, что для каждого u G r(B) числовая функция v(u(ш)) измерима. Поэтому для каждого v G L q (Q,B ) функция v (v(w)) = lim n .^ v(v n (w)), ш G Q, также измерима на (Q, S,^), где v n G r(B), v(v(ш) Д v _n (ш)) ^ 0 при n ^ го для п. в. ш G Q. Таким образом, определено отображение m : L q (Q,B) ^ L q (Q) по правилу, m(e) = [v (v(w))] ~ , где f ~ — класс эквивалентности из L q (Q) с представителем f. В [9] установлено, что m есть L q (Q) - значная строго положительная мера на L q (Q,B), при этом, очевидно, что m является d-разложимой (см. замечание 3.1).

Пусть теперь (B, v ) — непрерывная булева алгебра. Покажем, что в этом случае мера m разложима.

Без ограничения общности, можно считать, что v ( 1 b ) = 1. Пусть e G L q (Q,B) , 0 6 a 6 m(e), a G L q (Q). Поскольку m(e) 6 m( 1 L ₀ (Q ,B ) ) 6 1 b (q) , то vraisup a 6 1. Положим A 1¹) = ^{a<  2 ^}, A 2¹) = ^{ 2 ^{6 a 6 1}}, ^u i = ⁰ b x _A (i) + g Q¹⁾ x A (i) , где g Q¹) ^G B, ^v(g Q^{1) )} = ^{2 - 1} (такой элемент существует в силу непрерывности булевой алгебры B). Ясно, что e 1 G ^l q ^(q,b ) и m^(u 1 ⁾ = 2 ^x A (i) •

Рассмотрим теперь Ai(2) = {i-21 6 a < Ц}, i = 1, 2, 3, A® = {22 6 a 6 1}, и положим ui = 0x,(() + д22)Хл (2) + д32)Хд (2) + g42)x д(2),

Ai          A2          A3

где s22) = gQ2), g?) = gQ1), g.(2 = gQ1) + gQ2), gQ2) G B, gQ2)gQ1) = 0, v(gQ2)) = 2-2- Имеем, что u1 6 u2 и m(u2) = Pi=1 i-1 XA(2) • Используя математическую индукцию, строим ki

• ^u k = P ²=1 g ^{( k )} x A (k) > ^u k - 1 с m⁽e k ) = P ²=1 i — ¹ x A (k) , где A ki ) = ^{ i — ^{1 6 a}<  ₂' ^}, i = ii

• 1,2,•• •, 2k - 1, A^ = {6 a 6 1}, .    = 0, g* = gQk), .    = g2k-1),

g 2 ^{k - 1)} + g Q ^{k )} , •••, g 2 k - 1 = g ( ^{k - 1)} , g^ ) = g?- ¹ + g Q ^{k )} , •••, g 2 k ) = gJ - 1) + g Q ^{k )} , g Q ^{k )}

gQk)g(k-1) = 0, i = 1,2,...,2k-1, v(gQk)) = -1._

Поскольку 0 6 a — m(u k ) 6 ^k, то m(e k ) t a. Положим u = sup e k • Ясно, что e G k > 1

L q (Q, B), при этом m(u) = sup k > 1 m(e k ) = a. Следовательно, мера m : L q (Q, B) ^ L q (Q) является разложимой.