Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка
Автор: Алиханов Анатолий Алиевич, Апеков Аслан Мартинович, Хибиев Асланбек Хизирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.23, 2021 года.
Бесплатный доступ
В данной работе рассматривается первая краевая задача для уравнения Аллера дробного по времени порядка с обобщенными функциями памяти. Для численного решения поставленной задачи построены две разностные схемы повышенного порядка аппроксимации. В случае переменных коэффициентов предложена разностная схема второго порядка аппроксимации, как по времени, так и по пространству. А для обобщенного уравнения Аллера с постоянными коэффициентами предложена компактная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной и второго порядка по времени. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки для решений предложенных разностных схем. Доказана их безусловная устойчивость и сходимость. Показано, что скорость сходимости совпадает с порядком погрешности аппроксимации в случае достаточно гладкого решения исходной задачи. На базе предложенных алгоритмов проведены численные расчеты тестовых задач, подтверждающие полученные теоретические результаты. Все вычисления выполнялись с помощью языка программирования Julia v1.5.1.
Дробная производная, обобщенная функция памяти, априорные оценки, уравнение диффузии дробного порядка, разностные схемы, устойчивость, сходимость
Короткий адрес: https://sciup.org/143178029
IDR: 143178029 | УДК: 519.633 | DOI: 10.46698/p3608-5250-8760-g
Higher-order approximation difference scheme for the generalized Aller equation of fractional order
In this paper, the first boundary value problem for the Aller equation of fractional time order with generalized memory functions was considered. For the numerical solution of the problem, two difference schemes of an increased order of approximation are constructed. In the case of variable coefficients, a second-order difference scheme of approximation is proposed, both in time and in space. A compact difference scheme of the fourth order of approximation in space and the second order in time for the generalized Aller equation with constant coefficients is proposed. A priori estimates for solutions of the mentioned difference schemes are obtained by the method of energy inequalities. Their unconditional stability and convergence are proved. It is shown that the convergence rate coincides with the order of approximation error in the case of a sufficiently smooth solution of the original problem. On the basis of the proposed algorithms, numerical calculations of test problems were carried out, confirming the obtained theoretical results. All calculations were performed using the Julia v1.5.1 programming language.
Список литературы Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка
- Samko S. G, Kilbas A. A. and Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications.—Florida: CRC Press, 1993.—1006 p.
- Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus.—N. Y.: Academic Press, 1974.—322 p.
- Podlubny I. Fractional Differential Equations.—San Diego: Academic Press, 1999.—340 p.
- Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics.—Singapore: World Scientific, 2000.—472 p.
- Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo, J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations.—Amsterdam: Elsevier, 2006.—540 p.
- Alikhanov A. A. Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings // Appl. Math. Comput.—2012.—Vol. 219, № 8.—P. 3938-3946. DOI: 10.1016/j.amc.2012.10.029.
- Alikhanov A. A. Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation // Appl. Math. Comput.—2015.—Vol. 268.—P. 12-22. DOI: 10.1016/j.amc.2015.06.045.
- Sandev T., Chechkin A., Kantz H., Metzler R. Diffusion and Fokker-Planck-Smoluchowski equations with generalized memory kernel // Fract. Calc. Appl. Anal.—2015.—Vol. 18, № 4.—P. 1006-1038. DOI: 10.1515/fca-2015-0059.
- Alikhanov A. A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations // Differ. Equ.—2011.—Vol. 46, № 5.—P. 660-666. DOI: 10.1134/S0012266110050058.
- Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Comp. Phys.—2015.—Vol. 280.—P. 424-438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
- Alikhanov A. A. Stability and convergence of difference schemes for boundary value problems for the fractional-order diffusion equation // Comput. Math. and Math. Phys.—2016.—Vol. 56, № 4.—P. 561575. DOI: 10.1134/S0965542516040035.
- Alikhanov A. A. A time-fractional diffusion equation with generalized memory kernel in differential and difference settings with smooth solutions // Comput. Methods Appl. Math.—2017.—Vol. 17, № 4.— P. 647-660. DOI: 10.1515/cmam-2017-0035.
- Alikhanov A., Beshtokov M., Mehra M. The Crank-Nicolson type compact difference scheme for a loaded time-fractional Hallaire's equation // Frac. Calc. Appl. Anal.—2021.—Vol. 24, № 4.—P. 1231-1256. DOI: 10.1515/fca-2021-0053.
- Gao G. H., Alikhanov A. A., Sun Z. Z. The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations // J. Sci. Comput.—2017.—Vol. 73, № 1.—P. 93-121. DOI: 10.1007/s10915-017-0407-x.
- Хибиев А. Х. Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.—2019.—T. 23, № 3.—С. 582-597. DOI: 10.14498/vsgtu1690.
- Khibiev A., Alikhanov A., Huang C. A second order difference scheme for time fractional diffusion equation with generalized memory kernel.—2021. arXiv:2108.10596 [cs, math].
