Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка
Автор: Алиханов Анатолий Алиевич, Апеков Аслан Мартинович, Хибиев Асланбек Хизирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.23, 2021 года.
Бесплатный доступ
В данной работе рассматривается первая краевая задача для уравнения Аллера дробного по времени порядка с обобщенными функциями памяти. Для численного решения поставленной задачи построены две разностные схемы повышенного порядка аппроксимации. В случае переменных коэффициентов предложена разностная схема второго порядка аппроксимации, как по времени, так и по пространству. А для обобщенного уравнения Аллера с постоянными коэффициентами предложена компактная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной и второго порядка по времени. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки для решений предложенных разностных схем. Доказана их безусловная устойчивость и сходимость. Показано, что скорость сходимости совпадает с порядком погрешности аппроксимации в случае достаточно гладкого решения исходной задачи. На базе предложенных алгоритмов проведены численные расчеты тестовых задач, подтверждающие полученные теоретические результаты. Все вычисления выполнялись с помощью языка программирования Julia v1.5.1.
Дробная производная, обобщенная функция памяти, априорные оценки, уравнение диффузии дробного порядка, разностные схемы, устойчивость, сходимость
Короткий адрес: https://sciup.org/143178029
IDR: 143178029 | DOI: 10.46698/p3608-5250-8760-g
Список литературы Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка
- Samko S. G, Kilbas A. A. and Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications.—Florida: CRC Press, 1993.—1006 p.
- Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus.—N. Y.: Academic Press, 1974.—322 p.
- Podlubny I. Fractional Differential Equations.—San Diego: Academic Press, 1999.—340 p.
- Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics.—Singapore: World Scientific, 2000.—472 p.
- Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo, J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations.—Amsterdam: Elsevier, 2006.—540 p.
- Alikhanov A. A. Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings // Appl. Math. Comput.—2012.—Vol. 219, № 8.—P. 3938-3946. DOI: 10.1016/j.amc.2012.10.029.
- Alikhanov A. A. Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation // Appl. Math. Comput.—2015.—Vol. 268.—P. 12-22. DOI: 10.1016/j.amc.2015.06.045.
- Sandev T., Chechkin A., Kantz H., Metzler R. Diffusion and Fokker-Planck-Smoluchowski equations with generalized memory kernel // Fract. Calc. Appl. Anal.—2015.—Vol. 18, № 4.—P. 1006-1038. DOI: 10.1515/fca-2015-0059.
- Alikhanov A. A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations // Differ. Equ.—2011.—Vol. 46, № 5.—P. 660-666. DOI: 10.1134/S0012266110050058.
- Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Comp. Phys.—2015.—Vol. 280.—P. 424-438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
- Alikhanov A. A. Stability and convergence of difference schemes for boundary value problems for the fractional-order diffusion equation // Comput. Math. and Math. Phys.—2016.—Vol. 56, № 4.—P. 561575. DOI: 10.1134/S0965542516040035.
- Alikhanov A. A. A time-fractional diffusion equation with generalized memory kernel in differential and difference settings with smooth solutions // Comput. Methods Appl. Math.—2017.—Vol. 17, № 4.— P. 647-660. DOI: 10.1515/cmam-2017-0035.
- Alikhanov A., Beshtokov M., Mehra M. The Crank-Nicolson type compact difference scheme for a loaded time-fractional Hallaire's equation // Frac. Calc. Appl. Anal.—2021.—Vol. 24, № 4.—P. 1231-1256. DOI: 10.1515/fca-2021-0053.
- Gao G. H., Alikhanov A. A., Sun Z. Z. The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations // J. Sci. Comput.—2017.—Vol. 73, № 1.—P. 93-121. DOI: 10.1007/s10915-017-0407-x.
- Хибиев А. Х. Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.—2019.—T. 23, № 3.—С. 582-597. DOI: 10.14498/vsgtu1690.
- Khibiev A., Alikhanov A., Huang C. A second order difference scheme for time fractional diffusion equation with generalized memory kernel.—2021. arXiv:2108.10596 [cs, math].
