Разностные уравнения и полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера

В настоящей статье рассмотрен вопрос о представлении решения задачи Коши разностного уравнения

r

£ ai (j)A^l y(j ) = f (j), j E Q,                              (1)

l=0

с начальными условиями A^ly(0) = yl. 1 = 0,1,... ,r - 1, путем разложения y(j) на. сетке Q = {0,1,...} в ряд Фурье по полиномам, <ф.тогопальным по Соболеву на Q. где функции al,l = 0,1,... ,r-1, заданы на множестве Q. Aly — оператор копенной разности порядка 1. Такая задача, представляет интерес не только сама, по себе, но и в связи с тем, что к ней может быть сведена, проблема, о приближенном решении задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения вида.

r

X ai(t)y(l)(t) = f(t) l=0

с начальными условиями y^(l)(0) = yl, 1 = 0,1,... ,r -1. Заметим, что уравнение (1) можно переписать в следующем рекуррентном виде:

г—1

• ar(j')y(j + r) = X bl(j)y(j + 1) + f (j ), j E Q,                      (2)

l=0

в котором bi(j ), l = 0,1,...,r — 1, — 'заданные функции. определенные на сетке Q = {0,1,...}. Если функция |a_r(j)| >  c> 0, j Е Q, то точное решение уравнения (1) можно найти с помощью рекуррентной формулы (2). Если же для некоторых j Е Q будет ar(j ) = 0. то найти соответетвутощпе 'значения y(j + r) с помощью равенства. (2) не возможно. Кроме того, отметим еще, что если значения f (j ) функции f, фигурирующей в правой части уравнения (1), содержат погрешности измерений, то использование рекуррентной формулы (2) для нахождения решения задачи y = y(j ) может дать неудовлетворительные результаты даже в том случае, когда |a_r(j)| >  c >  0, j Е Q. Таким образом, возникает задача, о поиске альтернативных методов решения уравнения (1).

В настоящей работе предлагается новый метод решения задачи Коши (1), основанный на применении полиномов m7(x,q), n = 0,1,..., ортогональных по Соболеву относительно скалярного произведения вида г—1                       ОО

(f,g) = £ Akf (0)Xkg(0) + £ Arf (j)Arg(j)p(j),(3)

k=0

t. e.

r—1

hma,n, mr.m = X A^J0, q)Akma,m(0, q) + X ArmOnti, q)Arma,m(j, qW) = ^m k=0

где a > —1, a p(x) — весовая функция, определенная равенством (14). Полиномы m^a,_k+r (x,q) порождаются классически ми полиномами Мейкснера m^a (x,q), n = 0,1,..., ортонормированными на сетке Q с весом р(х) посредством равенства (27), причем в случае, когда 0 6 к 6 r — 1, полиномы mr, k (x, q) определяются равенством (28).

Следует отметить, что теория полиномов, ортогональных относительно скалярных произведений типа. Соболева, получила, в последние три десятилетия интенсивное развитие и нашла, ряд важных приложений (см. [1-6] и процитированную там литературу). Характерной особенностью скалярных произведений типа. Соболева, является, в частности, то, что они, как правило, содержат слагаемые, которые «контролируют» поведение соответствующих ортогональных полиномов в одной или нескольких точках числовой оси.

С другой стороны, в работах [7-18] были введены так называемые смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам как альтернативный рядам Фурье по тем же полиномам аппарат решения задач, в которых требуется одновременно приближать дифференцируемую функцию и несколько ее производных. В частности, такая задача, часто возникает при решении дифференциальных уравнений численно-аналитическими (спектральными) методами [19, 21]. Смешанные ряды по ортонормированным системам функций оказались естественным и весьма, эффективным средством решения краевых задач для дифференциальных уравнений спектральными методами. По этому поводу мы можем отослать, например, к работе [21]. В работе [18] показано, что смешанный ряд функции f по ортонормированной системе {^_k (x)} ф ₀ представляют собой ряд Фурье этой функции по новой системе функций {^r, _k (x)}k=₀, ортонормированной по Соболеву относительно скалярного произведения вида.

г—1                      b hf, д')

= X f ^(v) (a)g^(v) (a) + / f (rW) (t)p(t) dt

v=0                 a и порожденной самой системой {^k (x)}k=o

Дискретный аналог скалярного произведения (4) имеет вид (3), где функции f и g заданы на множестве П = {0,1,...}, р = p(j) - дискретная весовая функция, заданная на множестве П. В случае, когда r = 0, мы будем с читать, что ^рк=0 A^k f (0)A^kg(0) = 0. При r >  1 особой точкой в скалярном произведении (3) является x = 0. в которой контролируется поведение соответствующих ортогональных по Соболеву полиномов дискретной переменной, благодаря присутствию в (3) выражения ^рк=0 A^kf (0)A^kg(0). В настоящей работе наряду с конструированием полиномов m^an(x,q), n = 0,1,..., ортонормированных по Соболеву относительно скалярного произведения вида (3), и изучением некоторых важных свойств этих полиномов, рассмотрена также задача об одновременном приближении на. сетке П = {0,1,...} ренкншя y = y(j ) задачи Коши (1) и его копенных разностей A^vу (j) частичными сумма.ми Фурье функции у по си<'теме {m^an(x, q)}“=₀ ii их соответствующими конечными разностями. Прежде чем приступить к конструированию системы полиномов man(x, q), n = 0,1,..., ортонормированных по Соболеву относительно скалярного произведения вида. (3) и порожденных классическими полиномами Мейкс-нера. дискретной переменной, мы рассмотрим общую идею построения систем функций, ортонормированных по Соболеву и порожденных заданной ортонормированной системой функций дискретной переменной.

• 2.    Системы дискретных функций, ортонормированных по Соболеву, порожденные ортонормированными функциями

Перейдем к конструированию дискретных функций, ортонормированных по Соболеву относительно скалярного произведения (3), порожденных заданной системой {ф_к (x)}^=₀, ортонормированной на дискретном множестве П = {0,1,...} с весом p(x). Для этого нам понадобятся некоторые обозначения и понятия. Если целое k > 0, то положим atkl = a(a - 1)... (a - k + 1). a^[0] = 1 ii рассмотрим следующие функции:

фг, к (x) = <

1 (r-1)

0,

x-r

Т P (x — 1 — t)[r-1]фk-r(t),  Г 6 x

' t=0

r 6 k,

x = 0,1,..., r — 1

которые определены на сетке П = {0,1,...}. Рассмотрим некоторые важные разностные свойства системы функций ф_г,_к (x), определенных равенствами (5) и (6). Введем оператор конечной разности Af: Af (x) = f (x + 1) - f (x) ii положим A^v+1f (x) = AA^Vf (x). Имеет место следующая

Лемма 1. Имеют место равенства

	фг—v, к—v(x),	0 6 v 6 r - 1, r 6 k,
Av фr,k(x) = <	фк—r (x),	v = r 6 k,                       ^
,	фг—v, к—v(x),	ν 6 k < r,
	0,	k < ν 6 r.

C Справедливость утверждения леммы 1 при r = 1 почти очевидна, поэтому мы будем считать, что r > 2. Прежде всего згшетим. что сели f (x) = (x - 1 - t)[r—1]. то

Af(x) = (r — 1)(x — 1 — t)[r 21. поэтому для r 6 x, k в силу (6) имеем x—r+1                       x—r

A^r,k (x) =    - 1)! I X (x — t)^[r—1+k—r(t) — X(x — 1 — t)^[r^—+k—r(t)

^(r )* \ t =0                               t =0

x—r +1

7---- W X (^{(x — t)[r—11 — (x — 1 — t)[r—11}) ^k—r ^{(t) (r — 1)!} t=0

(r — 2)

x—r +1

^ ^{(x — 1 — t)[r—21}^k— 1 — ( r— 1) ^(t) = +—1 ,k— 1 ^(x).

t =0

Отсюда убеждаемся в справедливости первого из равенств (7) для r 6 x. Справедливость равенства A+,_k(x) = ^_r—1,_k—1(x) для x = 0,1,...,r — 2 очевидна. Остается проверить первое из равенств (7) для x = r — 1. Но в этом случае мы имеем

A+,k(x) = ^ry (x + 1) =

(r — 1)

x—r +1

X (x — t)^[r —^k—r (t) t =0

(r — 1)[r —11

(r — 1)

^k—r (0) = Фк—r (0),

1 x—r+1                                         (r — 2)[r—21

+—1,k—1(x) = (r — 2)! X (x — 1 — t)[r—2]+k—1)—(r—1)(t) =   (r — 2)! ^k—r(0) = ^k—r(0), поэтому мы снова находим A+,k(x) = +—1,k—1(x). Таким образом, полностью доказано первое из равенств ( 7) для 0 6 v 6 1. Его справедливость для 2 6 v 6 r — 1 выводим по индукции.

Рассмотрим второе из равенств (7). В силу уже доказанного первого из равенств (7) II того, что второе из них для r = 1 легко проверяется, имеем

A^r ^r,k (x) = AA^r 1 ^r,k (x) = A^ 1 ,k—r +1 (x) = ^k—r (x).

Тем самым мы доказали второе из равенств (7). Третье и четвертое равенства из (7) непосредственно вытекают из (5). B

Пусть 0 6 r - целое. Обозначим через lp пространство днекретных функций f = f (x). заданных на сетке О = {0,1,...}. в котором скалярное произведение hf, gi определено с помощью равенства (3). Рассмотрим задачу об ортогональности, нормированности и полноте в lp системы {+,k(x)}+0, состоящей из функций, определенных равенствами (5)

'              _                   .....

Теорема 1. Предположим, что функции ф_к (x), k = 0,1,... , образуют полную в lp ортонормиров айную систему с весом p(x). Тогда система {+,_k(x)}+₀, порожденная системой {+(x)}^₀ посредством равсиств (щ) и (6). полна в l_p и ортонормпрована относительно скалярного произведения (3).

C Из равенства (6) следует, что если r 6 k и 0 6 v 6 r — 1, то (Av+,k(x))x=0 = 0, поэтому в силу (3) и (7) имеем

∞∞ h^r,k, ^r,l i = У^ Ar ^r,k (x)Ar Фг,1 (x)p(x) = У2 ^k—r (x)^l—r (x)p(x) = §kl, k, l > r, x=0                          x=0

r- 1

h^r,k, ^r,ii = X A^v^r,k(0)A^v^r,i(0) = §ki ,   k, l < r.

v =0

Очевидно также, что h^r,k, Д,0 = 0, если k < r 6 l или l

Это означает, что функции ^r,k(t), k = 0,1,..., образуют в lp ортонормированную систему относительно скалярного произведения (3). Чтобы проверить полноту этой системы в lp предположим, нто для функции f = f (x) G lp имеют место равенства h^r,k,f i =0, k = 0,1,...

Тогда, во-первых, в силу того, что 0 = h^_r,_k ,f i = A^kf (0) при k = 0, ...,r - 1 имеем f (j) = 0 для всех j = 0,... ,r - 1. Во-вторых, из равенств h^_r,_k, f i = 0, k = r,r + 1,..., II полноты в l_p исходной системы ^_k(t), k = 0,1,... следнет. что Arf(x) = 0, x G Q, ii поэтому f совпадает e алгебраическим полиномом степени ire выше r - 1. Из этих двух фактов вытекает, что f (x) = 0, x G Q. B

Систему функций ^_r,_k(t), k = 0,1,..., мы будем называть системой, ортонормиро-ванной по Соболеву относительно скалярного произведения (3).

Из теоремы 1 следует, что система дискретных функций ^r,k(t), k = 0,1,..., является ортонормированным базисом в пространстве lp, поэтому для произвольной функции f (x) G lp мы можем записать равенство

∞

f(x) = Xhf,^r,kM,k (x),                              (8)

k=0

которое представляет собой ряд Фурье функции f(x) G lp по системе {Ду(t)}£=0, орто-нормированной по Соболеву. Поскольку коэффициенты Фурье hf, <,ki имеют вид г—1

fr,k = hf, ^,ki = £ A^vf (0)A^V^,k(0) = A^kf(0), k = 0,..., r - 1, v=0

∞∞ fr,k = hf, ^,ki = £ Arf (j)Ar^,k(j)p(j) = £ Arf (jNk—r(j)p(j), k = r,...,(9)

j=0

то равенство (8) можно переписать в следующем смешанном виде r—1          x[k]

f(x) = £Akf(0)”kr + £fr,k^r,k(x), xG Q.uo)

k=0                k=r

Поэтому ряд фурье по системе {Ду(t)}“ ₀ мы будем, следуя работам [7-18], называть смешанным рядом но исходной ортонормированной системе {Д(t)}_k=0- Отметим некоторые важные свойства, смешанных рядов (10) и их частичных сумм вида.

r—^1

Yr,n(f,x) = £ Ak f (0) — + £fr,k^r,k (x).(11)

k=0

Из (10) и (11) с учетом равенств (7) мы можем записать r—v—1            ^[k]

Avf (x) = £ Ak+vf (0)-^г + £ fr,k+vФг—v,k(x), 0 6 v 6 r - 1, x G Q,(12)

k=0                  k=r—v

A^vYr,n(f,x)= X A^k+vf(0)xk + X fr,k+v^r-v,k(x),

Av Yr,n(f,x) = Yr-v,n-v (Av f,x).

A^vYr,n(f, 0) = A^vf(0),  0 6 v 6 r - 1.                       (13)

• 3.    Некоторые сведения о полиномах Мейкснера

При конструировании полиномов, ортогональных по Соболеву и порожденных классическими многочленами Мейкснера нам понадобится ряд свойств этих многочленов, которые мы приведем в настоящем параграфе. Для произвольного а и 0 < q < 1 положим

p(x) = p(x; a,q) = qx^x7+a-+^(1 - q)a+1,                 U4)

Г(х + 1)

-n

Mna(x,q) =       An {p(x)x[n]} ,                          (16)

n!p(x)

где Anf (x) - конечна я разность n-го порядка фгикпии f (x) в т<>нке x. т. е. A⁰ f (x) = fД ^A1f⁽x> = ^Af(x) = f^{(X + 11} " f⁽x)- ^A"f⁽x> = ^"-f^{W (}n > ^ “^M = 1 a^[k] = a(a — 1)... (a — k +1) пр и к > 1. Для каждого 0 6 n равенство (15) определяет [22], алгебраический полином степени n, для которого Ma(0, q) = (n+“)- Полные доказательства приведенных ниже свойств полиномов Мейкснера M^ (x, q) можно найти, например, в [22, 23]. Прежде всего отметим, что полиномы M^a(x,q) допускают следующее явное представление:

MS(x,q) =

Г(п + а + 1) n!

n

X k=0

n[k]x[k]

Г(к + а + 1)k!

-

q

k

Если а > —1, то полиномы M^(x) = M“(x,q), n = 0,1,..., образуют ортогональную с весом p(x) (см. (14)) систему на. множестве П = {0,1,...}:

	52 Mfc(x)Ma(x)p(x) = 5n,kha (q), 0  -1,              (П) xGQ
где	∞ ha(q) = Ep(x) {Ma(x)}2 =    + Ь-ПГ(а + 1).               (IS) n                nn x=0

Нам понадобятся также следующие свойства:

AMa (x) = Mna(x+1) - Ma(x) = ^-1 ма+м            сю) Д       ,r[j] ма+rr (x,q) = E(-1)j —Mk+r-j (x, q),                     (20) j=o        j! M-l(x,q) = (n^ (q -1)l (-x)iмП-1 (x -1,q),               (21) где (a)o = 1. (a)i = a(a + 1)... (a + l — 1); l — п<'дое. 1 6 l 6 n

Лемма 2. Пусть 0 6 г. Тогда

(х + r) [r]

(k + r)^[r]

Mk (x,q)

(1 - q)^r

r

X^qH ^T)Mk+i^(x,q⁾.

"=0     iV

C Полагая в (20) a = r. имеем

r

Mj⁾(x,q) = E(—1)^V(jM-v (x,q). v=0      ^^V^

С другой стороны, мы можем записать

(x + ^Г)_И MkМ = X YjMj⁽x,q⁾,

где

Yj = jq) X P⁽t, 0, q)^ + ^ Mr⁽t, ^q)Mj^(t, ^q)

= q (i — q) X qt (k^ Mr (t q)^Mj (t q)               (23)

= г7п°XX qt Ц*~r^) (1 - q)r+1Mr'(t, q)M0(*, q), (k + r)[r](1 - q)r t=)     r(t + 1)                 k j в частности. Yj = 0 щ>n j

Yj =      q—г X р(*, r q)Mk (t, q) X (-1) (r) Mj-v (x. q)

(k + r)[r](1 - q)rt=)                   V=0

j    j-k

= „.q Vi)—г • J Ep(*-^r-q) [Mk(*-q)l²

(k + r)^[r](1 - q)^rV - kJ t=0

= ^0(-1°^ / r \,_r =    ^(-q^)o-k    / r \(k⁺ r\_{r(r + 1)}

(k + r)[r](1 - q)r j - k k        (k + r)[r](1 - q)r j - k k‘

Отсюда и из (22) находим

[r]                  k+rr

<1 - q)^q7x+■rУй^мух, q)=E<-q)^{o-k       M}jo(x, q) = E<-q)" Г Mo^ q)- >

(k + r)              j=k          j - k              i=0i

Из (17) следует, что полиномы ma(x) = ma (х, q) = (hn(q))-2 МП(х, q)( образуют ортонормированную систему на множестве И с весом p(x) = p(x,a,q), т. е.

^2 ma(x)ma(x)p(x) = 5n,k, 0 < q < 1, a > -1.(25)

xEQ

Ниже нам понадобится следующая рекуррентная формула для полиномов Мейкснера. ma (x):

^[(n + ^a + l⁾⁽n + l⁾q]² m^a₊i^(x)

= [n(q + 1) + q(a + 1) + (q + 1)x] m^a(x) — [(n + a)nq]² ■m-^x).

• 4.    Ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные многочленами Мейкснера

Из равенства (25) следует, что если a > —1, то полиномы ma(x, q), n = 0,1,..., образуют ортонормированную на Н = {0,1,...} с весом p(x) систему. Эта система порождает на Н систему полиномов mak+r(x, q), k = 0,1,..., определенных равенством x-r ma,k+r(x, q) = т—Ip X(x — 1 — t)[r-1]ma(t, q)(27)

() t=0

Кроме того, определим полиномы

x[k]

mak(x,q) = -^f, k = 0,1,...,r — 1.(28)

Покажем, что полином ma k+r(x,q) обращается в нуль, если x € {0,1,..., r — 1}. С этой целью мы рассмотрим следующий дискретный аналог формулы Тейлора:

F(x) = Qr-i(F,x)+ (r—^y X(x — 1 — t)[r-1]ArF(t), x €{r,r + 1,---},(29)

где

Qr-i (F, x) = F(0) + A F "x + ^2F<22x[2] + ... + A"    (° x[r-1].(30)

1!              2!                       (Г 1).

Так как для функции F(x) = x^[l+r]. где тталое l > 0. имеем ArF(x) = (l + r)^[r]x^[l]ii

Qr-i(F,x) = 0 . то из (29) следует, что

(r — 1)

x-r

X(x - 1 t=0

- t)[r-1]t[l]

(l + r)[r](r —

x-r

— £ (x — 1 — #)1^г-11а^г f (t) =

1)! t=0

x[l+r]

(l + r)[r].

С другой стороны, функция x[l+r] обращается в нуль в узлах x € {0,1,... , r — 1}, поэтому наше утверждение вытекает из того, что полином m^r(x, q) в силу (16) и (24) можно представить в виде линейной комбинации функций вида x[l]. Поэтому из теоремы 1 и свойства (20) непосредственно выводим следующий результат.

Теорема 2. Если a > —1. то спстема^ полиномов m^(x, q), k = 0,1,.... порожденная многочленами Мейкснера m^(x, q), n = 0,1,... , посредством равенств (27) и (28), полна в l_p и ортонормирована относительно скалярного произведения (3).

• 5.    Дальнейшие свойства полиномов mgk(x,q)

Перейдем к исследованию дальнейших свойств полиномов тД(x, q),k — 0,1, . . . Речь, в первую очередь, идет о том, чтобы получить представление полиномов m^ak(x,q), которое не содержит знаков суммирования с переменным верхним пределом типа. (27). С

-

этой целью применим формулу (29) к полиному F(x) — Mk+rr

(x, q) ii запишем

F (x) — Qr-i(F,x) + — (r

^^^^^^^^г

x-r

1)!X (x

—1—

t)^[r-1]A^rM“;r (t,q).

-

Вместо ArMk+r

(x, q) подставим его значение,

которое согласно формуле

(q^-1 )rMka(x,q) Тогда из (29) полупим

равно

F(x) - Qr-i(F,x) — ( q

^^^^^^^^г

₁r₁

q      (r — 1)!

x-r

X (x — 1 — t)[r-1]Ma(t,q).

t=0

Сопоставляя (27) и (32) с (24), находим

q^—

q

1 \ r             1

- ) W(q)}²m^g,k+r(x,q) — F(x) — Qr-i(F,x).

Из (33) имеем

r

{ha(q)}^-1/² [F(x) — Qr-i(F,x)], F(x) — Mk+r(x,q). q—1

Далее, в силу (19) A^vMa-r(x,q) — (q—¹ )^vMk+r+V(x,q). поэтому in: (16) находим k+r            q      k+r-v

Av Л/Щ (0,q) — (q

^^^^^^^^г

1Xv

Г(к + a + 1)

q     (k + r — v )!r(v — r + a + 1)

= А , — r,k,v•

Равенства (30) и (35), взятые вместе, дают

-

F(x) - Qr-i(F,x) — M£r^r

r—

(x,q) - X    /'

v=0

.

Подставив это выражение в (34), находим r          -1

{ha (q)} 2 МЩ q—1

r^{- A}r,k,vx^[v]

(x,q)     x         ^!         , k     0,1, • • • v=0    V*

Еще одно важное представление для полиномов mgk+r мы обратимся к равенствам (16) и (24):

(x, q) можно получить, если

тЩМ — ПЕ+ХД! k! {hg (q)} 2

Л      k[l]t[l]      /

|~ Г(1 + a + 1)l!

^^^^^^^^г

1 Y q

.

Подставим это выражение в (27) и воспользуемся равенством (31). Это приводит к следующему явному виду для полиномов mrk+r(x,q) (k — 0,1, • ••)

r(k + a + 1) mr,k+r (x,q)—-----------г k! {hk (q)} 2

k

X l=0

k[l]x[r+l]

Г(1 + a + 1)l!(r + l)^{[r] 1}

^^^^^^^^г

1 У

.

• 6.    Полиномы {m⁰,_k(x,q)}k=₀

Рассмотрим частный случай, который соответствует выбору a = 0. Заметим, что если a = 0, то из (35) имеем Ar,k,v = 0 при всех v = 0,1,... , r — 1. Поэтому из (36) имеем r1

—qr) {hk(q)} 2Mk+r(x,q), k = 0,1,...(37)

q-1

Далее, если мы обратимся к равенству (21), то можем записать

r

M-"+0r(x,q) = т—1 - -   x[0M■ (x - r,q).(38)

^k+'          (k + r)! \ q

Из (37) и (38) находим n ,      . k!-1

m⁰,k+r^(x,q⁾ = (k₊ r)! {hk(q)} ² x^{[ ]}Mk^{(x -}m). k = ^0,1,...

С учетом (18) и (24) этому равенству можно придать также следующий вид:

m0,k+r(x,q) = ((k + r)[0]) 2x[r]mk(x — r, q), k = 0,1,...(39)

С помощью леммы 2 равенство (39) можно записать в виде mr,k+r(x,q) =

1       X ■ Ai

(1 — q)r i>0(—q)2mk+i(x — r,q), k = 0,1,...

Наконец. если 0 6 k 6 r — 1. то в силу определения (28)

0 mr,k

x[k] (x,q) =     .

Из теоремы 1 следует, что система полиномов m0 k(x, q), k = 0,1,..., является орто-пормпроваппым оазисом в пространстве l_p. поэтому для npoirвольной функции f (x) Е l_p мы можем записать равенство

∞

f(x) = X (f, m0,k)m0,k(x, q),                              (40)

k=0

которое представляет собой ряд Фурье функции f(x) Е lp по системе {m0_k(x,q)}k=₀, ортонормированной по Соболеву относительно скалярного произведения (3). Поскольку коэ<1><1>11пнснты Фурье hf,m0 _k i имеют вид

0-1

fr,k = hf, m0,ki = Е AVf (0)AVm0,k(0, q) = Akf (0), k = 0,..., r — 1, v=0

∞ fr,k = hf, m0,ki = X Arf(j)mk-r(j, q)p(j), k = r,..., j=0

то равенство (40) можно переписать в следующем смешанном виде:

0-1              [k]      го

f(x) = X Akf(0) дт + X f0,km0,k(x, q), x Е Q.

k=0               k=0

• 7.    О представлении решения задачи Коши для разностного уравнения рядами Фурье по функциям, ортогональным по Соболеву

Как уже отмечалось выше, одним из эффективных подходов решения уравнений различных типов (дифференциальных, интегральных, разностных и т. д.) является [19, 20] так называемый спектральный метод, основанный на. представлении искомого решения рассматриваемого уравнения в виде ряда, по подходящей ортонормированной системе функций и последующего преобразования его к двойственному виду, в котором вместо искомого решения уравнения фигурируют неизвестные коэффициенты его разложения по выбранной ортонормированной системе. Мы вернемся к задаче Коши (1) и, пользуясь разложением (10), представим ее искомое решение у в виде ряда Фурье r-1 kx^ А y(x)   у A y(0) -k +   v yr,k+r^r,k+r(x), x € Q,Ml )

k=0           ■ по системе {Ду(x)}k=0, состоящей из функций, определенных равенствами (5) и (6), ортонормированных на сетке Q по Соболеву относительно скалярного произведения (3). Кроме того, в силу (12) для x € Q и 0 6 l 6 r - 1 имеем r-1-1            x[k]

Aly(x) = 52 Ak+1y(0) ""kT + ^Уг,г+к ^r-l,r-l+k{x),(42)

k=0

а из (13) следует, что

∞

Ary(x) = ^r,r+kД(x), x € Q,(43)

k=0

где для коэффициентов yr,k+r согласно (9) имеет место равенство

∞ yr,k+r = hy, Ду+гi = 52 Ary(j)^k(j)P(j)> k = 0,1,--- j=0

Отметим, что если будут найдены коэффициенты y_r,_k из (41) так, чтобы функция y(x) оказалась решением разностного уравнения (1), то мы, очевидно, получим именно то решение этого уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям Aly(0) = yl, l = 0,1,... , r - 1, другими словами, мы получим решение поставленной задачи Коши. При этом важно заметить, что частичная сумма, ряда. Фурье (41) вида. (см. (11))

r-1 _k    x[k]   А

Yr,n^(y,x) = / _v^{A y(0)} “k ⁺/yr,k+r ^r,k+r^(x) k=0              k=0

c n > r также удовлетворяет (см. (13)) начальным условиям задачи Коши (1) и поэтому может быть рассмотрена, в качестве приближенного решения этой задачи. В связи с этим возникает вопрос об оценке отклонения приближенного решения Y_rn(y,x) задачи Коши (1) от ее точного решения у, представленного в виде (41), другими словами, возникает задача об оценке остатка |y(x) - Yr,_n(y,x)|, x € Q. На подробном анализе этой проблемы мы здесь не будем останавливаться.

Чтобы завершить переход от уравнения (1) к его двойственному (спектральному) виду, подставим в левой части равенства (1) вместо конечных разностей Aly(j) их представления из (41)—(43) и в результате получим равенство

^             г—1      ^

ar (x) X yr,r+i ^i(x) + 52ai (x) 52Угг+i ^r—lr—l+i(x) = f (x)

i=0                l=0       i=0

^{r—1        r—l—1}              ^[k]

- £ai(x) £ Ak^D), l=0       k=0

которое можно переписать еще так:

∞

X yr,r+i i=0

r—1

ar (x)^i(x) + Е ai(x)^r—i,r—i+i(x)

l=0

r—1        r—l—1               [_k]

= f (x) - Eai(x) E A^k+ly(0) xy.

l=0       k=0

Полагая

r—1       r—l—1

g^(x) = ^{f (x) -} X ai^(x) X ^Ak^+ly⁽⁰⁾

l=0       k=0

x[k]

’

r—1

Fi(x) = ar (xM(x) + X ai(x)^r—i,r—i+i(x),                     (46)

l=0

запишем равенство (44) в следующем виде:

∞

X yrr+iFi(x) = g(x),  x € П.

i=0

Тем самым мы пришли к системе линейных уравнений (46) относительно неизвестных коэффициентов yr,r+i, i = 0,1,...

Рассмотрим еще один подход к получению бесконечной системы линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов y_r,_r+i, i = 0,1,... А именно, пусть {y_k(x)}k=₀ — некоторая полная в l_p ортонормированная система, состоящая из функций _Vk(x). заданных на П. Тогда мы можем каждую из функций Fi(x), i = 0,1,... , разложить в ряд Фурье по системе {^_k (x)}^=₀ и получить представление

∞

Fi(x) = XFi,k^k(x), i,x € П, k=0

где

Аналогично

где

∞

Fi,k = XFij>k(j)P(j),  i G Q.

j=0

∞

g(x) = Xgk^k(x), x € n, k=0

∞ gk = Xg(j)^k(j^(•^  k € n- j=0

Подставим в (46) вместо Fi (x) и g(x) правые части равенств (47) и (48). Тогда мы получим

∞∞∞

ЕЕy0,0+iFi,k Pk(x) = 52 gkPk(x), x € n.(49)

k=0 \i=Q

Из (49), в свою очередь, получаем систему уравнений

∞

52 yrr+iFik = gk, k € n, i=0

относительно неизвестных коэффициентов y_{0 0+i}, i = 0,1,...

• 8.    О представлении решения задачи Коши для разностного уравнения рядами Фурье по полиномам m0 _k(x,q), к = 0,1,...

Рассмотрим частный случай, когда вместо ортонормированной системы {^_k(x)})E₀ берется система полиномов Мейкснера m⁰_k(x,q), к = 0,1,... Тогда вместо системы {<, к (x)}^=₀^1Ш получим сне тему полиномов {m⁰ k (x,q)^=₀- рассмотренную памп выше в п. 6. Таким образом, если в представлении (41) функции ^r,_k(x) заменить на полиномы m0_k(x,q), то равенства (41)-(43) принимают следующий вид:

0-1      x№~

y(x) = 52 Aky(0)"гт + 52y0,k+0m0,k+0(x’q)’ x € fi> k=0

0—1—1              [k]

Aly(x) = X ^k+y(0)■ Xyo,o+km0—i,r—i+k^q), k=0

∞

A0y(x) = 52 y0,0+kmk (x), k=0

ГДС 0 6 l 6 r — 1.

x^[k]

m⁰-i,k^(x,q) = ^0—i,k^(x)= -^r, ⁰6 k 6 r^— l^— 1,                  (•jo)

m0—1,0—i+k(x, q) = Д—1,0—i+k(x), r — l 6 к < го.

Кроме того, отметим, что в силу (39) мы можем записать

^0—l,0—l+k^(x)= m⁰—i,0—i+k^(x,q⁾

= ^(r — l + k)^[0—1]) 2 x^[0—l^]m⁰_k—l₀₊i(x — r + l,q), r — l 6 k< го. (51)

Используя равенства (50), (51) и (45) можно указать способ для нахождения значений элементов матрицы [Fi (x)]₀₆i,_x<^, если только мы найдем способ для вычисления значений полиномов Мейкснера m^-^x — r + l,q), r — l 6 k< го. фигурирующих в (51). Но эту задачу можно решить, обратившись к рекуррентной формуле (26).