Разные системы координат и периодичность

DOI:

В статье рассматривается обобщенная периодичность аналитических функций, возникающая при рассмотрении уравнений с точки зрения разных систем кординат (теоремы 1–3) [3].

Возможность периодичности, которую мы не предполагали по условию, хорошо иллюстрирует примеры 1, 2 из доказательства теорем 1, 3. Нам понадобятся обозначения: сдвинутая направо на величину A функция /(р) совпадает при всех р = w c функцией f^w) = f(p — Л), которая одновременно является уравнением одного и того же многообразия Cj = {(p, z) : z = f (p)} в системе координат с центром в точке (—Л, 0) и комплексной переменной w, Л > 0; аналогично /2(г) = f (p + Л) при всех p = г, и уравнение z = /2(г) является уравнением исходного многообразия Cj = {(p, z) : z = f (p)} в системе координат с центром в точке (Л, 0) и комплексной переменной г, Л > 0.

В первом примере по определению f _right ( r^; ) = / ₂ ( г ) = / ( г + Л ) , Л >  0 . Очевидно для обратных функций выполнено равенство f r _ig h _t (z ) + Л = f ^(-1) ( z ) в области аналитичности и однолистности G обеих функций, Л >  0 ; данный факт следует из f r_ight ( z ) = - b + гу, f ^(-1) ( z ) = Л — b + гу, при всех z из области значений z = f ( р ) ; данное равенство влечет совпадение производных функций f r-h ( z ) , f ^(-1) ( z ) в случае аналитичности и однолистности обратных функций. Cовпадение выражений производных обратных функций в свою очередь влечет совпадение аналитических выражений производных функций df _right (p)/dp = df (p^/dp в произвольной области однозначности данных функций. Совпадение аналитических выражений производных влечет периодичность производных с параметром Л в области аналитичности и однолистности прямых и обратных функций f _right , f. (Мы использовали то, что многообразие производных в исходной системе координат совпадает с многообразием производных C j в системе координат с переменной г при любом Л.) Доказанный факт, например, выполнен для функции z = 1 /p в области G = {p : — п/ 2 <  aгgp <  n/2Q Rep >  е >  0 } (теорема 3).

Данный пример в теореме 3 приводит к возможности аналитически продолжить любую производную аналитической в некоторой открытой области G функции сдвинутой направо на величину Л >  0 функцией в условиях теоремы 3 (в виде аналитического выражения).

Аналогичный факт вытекает из рассуждения второго примера: уравнение z = / ₂( г ) в системе координат с переменной p имеет вид z = f ( p — Л ) , г + Л = p (переменная г — комплексное число в системе координат с центром в ( Л, 0) , переменная p — комплексное число в системе координат с центром в (0 , 0) ). При каждом z и комплексном числе R = p равенство z = f ( R — Л ) также выполнено в системе координат с переменной г, так как, отложив вектор R = p от центра координат в точке ( Л, 0) , после вычитания Л >  0 мы получим вектор R — Л = w, значение в котором совпадало с числом z из уравнения z = f ( p — Л ) в системе координат с центром в (0 , 0) . Мы получили, что два одинаковых уравнения z = f ( p — Л ) , z = f (R — Л ) , R = г, являются уравнением одного исходного многообразия в разных системах координат, сдвинутых одна относительно другой на Л >  0 . Данный факт возможен только в случае периодичности исходной функции (теорема 1).

В теореме 2 аналогичный результат получен несколько другим методом. В данной теореме и теореме 1 в достаточно общих условиях доказана периодичность аналитической в открытой окрестности мнимой оси функции [2–6]. В теореме 2 не используются формулировки и доказательства примеров введения и теорем 1, 3. Теорема 1, как и примеры 1, 2 введения, является обоснованием основного утверждения теорем 2, 3 о том, что с точки зрения обратной функции и сопоставления точек плоскости, а не аналитических выражений функций, существует два уравнения одного многообразия z = f ( w ) , z = f (w — Л ) в некоторой новой системе кординат, Л >  0 .

Результаты теорем 1, 2, 3 эквивалентны периодичности исходной функции [3; 6].

Применение результатов статьи к задачам механики и математической физики очевидно вытекает из совпадения аналитических функций с результатом сдвига этих функ- ций с точки зрения новых систем координат [1; 3; 6; 7].

• 1.    Периодичность аналитических функций

В теореме 1 приводится доказательство периодичности произвольной аналитической функции в относительно общих условиях [2; 3]. Утверждение теоремы 1 становится естественным с точки зрения примеров введения, использующих только обыкновенные факты комплексного анализа.

Отметим, что два разных уравнения одного многообразия влечет периодичность с периодом Л в случае аналитических функций / (р) [1; 3; 6], которую мы не предполагали. Теорема 1. С точки зрения разных систем координат с центрами в точках (0 , 0) и ( Л, 0) одно и то же многообразие имеет одинаковое аналитическое уравнение z = / (Р — Л ) , Л >  0 , при всех Р = р и Р = г , для произвольной аналитической в открытой односвязной области G функции z = / (р) , (0 , 0) G G , ( Л, 0) G G (пример 2 введения).

Доказательство. Теорема 1 является непосредственным следствием второго примера введения. (См. также пример 1 для производных аналитических функций.)

В доказательстве теоремы 2 используются несколько другие по сравнению с примерами 1, 2 введения методы.

Теорема 2. С точки зрения введения новых систем координат относительно переменных w 1 , w и р с центрами, соответственно, в точках ( — 2 Л, 0) , ( — Л, 0) и (0 , 0) аналитическая в открытой односвязной области G, содержащей эти три точки, функция / ( р ) становится периодичной с периодом Л >  0 .

Доказательство. Как и во введении, рассматривается уравнение z = / 1 ( w ) = / ( w — Л ) многообразия C j во второй системе координат с центром в точке ( — Л, 0) .

Заметим, что уравнение z = / 1 ( р ) = / ( р — Л ) совпадает с уравнением многообразия C j во второй системе кординат с переобозначенной переменной р вместо w. Перепишем равенство z = / ( р ) в форме z = / (( р + Л ) — Л ) = / ( w — Л ) . С точки зрения отмеченного факта это — уравнение перемещенного (сдвинутого) во второй центр ( — Л, 0) исходного многообразия C j в третьей системе координат с центром в точке ( — 2 Л, 0) (для всего рисунка двух систем координат, сдвинутого налево на величину Л >  0 ). Здесь мы находим w 1 = w по z как результат обратного отображения z = g(w 1 ) = / 1 ( w 1 ) для такого «сдвинутого» многообразия для переменной w 1 в третьей системе координат с центром в ( — 2 Л, 0) , g ( w ) = / ( w — Л ) . Существование двух обратных отображений одновременно возможно только при периодичности с периодом Л аналитического выражения функции z = У ⁽р ) .

Теорема 2 доказана.

В теореме 3 с помощью примеров введения и теорем 1, 2 доказана возможность аналитически продолжить аналитическую функцию / ( р ) через границу ее аналитичности в условиях теормы 1.

В теореме 3 мы предполагаем, что функция z = / ( р ) определена и аналитична в открытой области G, включающей в себя квадрат К = { р : 0 < Reр <  2ЛР| — Л < <  1т р < Л } при некотором Л >  0 .

Теорема 3. Функция z = / (р) , аналитичная в открытой области G , включающей в себя квадрат К , может быть аналитически продолжена через границу квадрата Rep = 2 Л функцией z = /(р — 2 Л ) , если обратная к ней функция р = / (^-1) (z) является однозначной аналитической функцией z в некоторой односвязной открытой области ImG , совпадающей с образом области G при отображении z = /(р) , d/ (p)/dp = 0 , р EG .

Доказательство. Теорема является непосредственным следствием примера 1 введения (можно также воспользоваться периодичностью исходной функции, доказанной в примере 2 введения и в теоремах 1, 2).

Заметим, что формально из результатов данной работы следуют все результаты статей [5–7].

Заключение

Из равенства z = / ₂ (г) = /(р + Л ) , р = г , получаем, что, как следствие примеров 1, 2, одно уравнение z = /(р + Л ) является уравнением исходного многообразия C j как в исходной, так и сдвинутой налево второй системе координат, так как значения z из равенств z = / ₂ (г) = / (г + Л ) и z = /(р + Л ) одни и те же при всех р = г из области аналитичности функции / ₂ .

На первый взгляд второе уравнение z = /(р + Л ) является уравнением сдвинутого многообразия z = / ₂ ( г ) , но с точки зрения другого рассуждения обратная функция к z = /(р + Л ) совпадает с уравнением обратной функции к исходному многообразию C j (а не к сдвинутому), а именно, если существует единственное число z из множества значений / ₂ ( г ) , то уравнение z = /(р + Л ) , верное при всех р, определяет единственную точку на плоскости комплексных аргументов, совпадающую с основанием высоты, опущенной из каждого z, по определению вообще говоря любого уравнения с тремя переменными; с этой точки зрения z = /(р + Л ) тоже уравнение исходного многообразия, а не сдвинутого (мы получаем несколько оснований высот в сдвинутых одна относительно другой точках Р, W ).

Применимость данных результатов к физическим задачам математической физики требует дальнейшего рассмотрения с точки зрения сравнения полей сдвигов с физически осуществимыми математическими моделями электромагнитных полей.