Разработка математической модели сети, использующей конкурирующий доступ к среде передачи данных

Сетевая информационная инфраструктура промышленных предприятий, объединяющая технологическое оборудование, производственные участки, цеха до недавнего времени строилась в основном на базе закрытых фирменных протоколов, которые внедрялись их разработчиком исходя из соображений решения определенного класса задач. В результате в широкую инженерную практику сегодня внедрено несколько десятков сетевых протоколов реального времени, специально ориентированных на построение систем промышленной автоматизации. Сети на основе стандарта Ethernet до недавнего времени применялись в основном на верхних уровнях систем автоматизации. Однако в процессе решения задач комплексной автоматизации все чаще возникают вопросы интеграции MES, ERP/EAM систем с системами АСУТП, использования в них информации, получаемой с нижних уровней управления технологическими процессами.

Построение информационной сетевой части подобных комплексных систем на базе единой технологии Ethernet значительно упрощает структуру сети, улучшает ее стоимостные параметры, уменьшает количество циклов преобразования информации, что имеет своим прямым следствием увеличение надежности и быстродействия информационной системы в

целом. До н едавнего времени в качестве недостатков технологии Ethernet назывались некоторые технические особенности, критически важные в сетях промышленного назначения, – высокая стоимость именно на уровне устройств и отсутствие гарантированного времени доставки сообщения от источника к получателю. Однако технология Ethernet непрерывно развивается, и сегодня аргументы о дороговизне и недетерминированности этой технологии построения сетей уже не соответствуют действительности. Решения на базе Ethernet используются для создания защищенных сетей: промышленных предприятий, энергетических компаний, тепловых пунктов, распределенных систем IP-наблюдения, систем контроля трафика и т.п.

Однако случайный метод доступа к среде передачи, на котором основывается Ethernet, вносит стохастичность времени передачи данных. При реализации необходимо учитывать не только неопределенность времени доставки данных (пакетов, заявок, сообщений), но и возможность потери информации. Эти проблемы можно решать при проектировании сети, выбирая конфигурацию с требуемыми параметрами времени доставки и размеров пакетов.

Основных причин стохастичности времени передачи данных в сети Ethernet две: коллизии в среде передачи данных и очереди в коммутаторах. Известны модели, позволяющие рассчитывать время доставки с учетом возникновения коллизий [1].

Для моделирования времени доставки с учетом очередей была рассмотрена следующая сеть (рис.1):

Составим для него систему уравнений

Колмогорова:

' Р о,о ( t ) = - п Я Р о,о ( t ) + P i,o ( t )

P i,o ( t ) = -( n A + ц ) P i,o ( t ) +

A»A t ) + ц Р 2,о ( t )

Отправитель                   Получатель пакетов                        пакетов

Рис. 1. Схема сети

P j ,o ( t ) = -( n A + ц ) P j ,o ( t ) + n A P j -i,o ( t ) + ц Р , _Ч1,о ( t )

P n _д( t ) = -(( n -1) A + ц ) P n _д( t ) + n A P N ,o ( t ) + ц P N ,2 ( t )

Примем следующие допущения:

• •    имеется n - источников заявок;

• •    в каждом источнике заявки формируются с интенсивностью X ;

• •    коммутатор имеет буфер на N заявок;

• •    обработка заявок осуществляется с интенсивностью μ.

• •    когда очередь достигает уровня N , то вновь сформированная заявка остается в источнике до тех пор, пока не появится возможность отправить ее в буфер коммутатора;

• •    при этом последующая заявка в данном источнике не формируется. Если в рассматриваемой системе имеется несколько источников со сформированными заявками, то освобождающееся место в буфере коммутатора они занимают на конкретной основе с одинаковой вероятностью.

При этих допущениях для определения закона распределения времени обслуживания заявки от источников сформируем вектор, характеризующий состояние системы: (j',i ), где j - количество пакетов в очереди коммутатора, j = 0, N ; i - количество источников, имеющих пакеты, i = 0, n .

На рис. 2 представлен граф Марковского процесса гибели и размножения с непрерывным временем.

Рис. 2. Граф состояний системы

P n , i ( t ) = -(( n - i ) A + ц ) P n/ 1 ) +

( n - i + 1) AP n ,_m( t ) + ц P N ,2 ( t )

[ P n , n ( t ) = - ц P N , n ( t ) + AP n , n .( t )

Рассмотрим стационарные вероятности состояний системы, т.е. когда

^Pj , i ⁽ - ) = ⁰

(т.е. левые части уравнений равны 0).

Тогда получим р P0,0

1 - p ^{N + 1}

^{1 -} Р

) +

,

^{( n - 1)!} N + n _д р A nⁿ - 1

ⁿ 11 П / где A = £ -(-) i ;

i = 0 i! Р nA Р =—.

Р

Искомый закон распределения времени обслуживания заявки можно представить следующим образом:

f ( t ) = f .,0 ( t ) + ... + f N ,0 ( t ) + f N ,1 ( t ) + ... + f N _д ( t )

где  fj 0 (t) - закон распределения времени обслуживания заявки при условии, что в момент прихода в систему она заняла j-ю очередь в буфере; fN i(t) - закон распределения времени обслуживания заявки при условии, что в момент прихода в систему (i-1) источников имеют заявки и буфер полон.

Таким образом, fj 0(t) и fNi(t) - это условные законы. Закон распределения fj 0 (t)

можно представить следующим образом:

f    ( t ) = P       f .( t )            (2)

J j,0       j - 1,0y j где Pj -10 — вероятность того, что в момент прихода заявки в систему находилась (j'-1) заявок, таким образом, пришедшая заявка заняла j-е место в очереди коммутатора; fj (t) - закон распределения времени обслуживания заявки, расположенной на j-м месте в буфере. Так как закон обслуживания коммутатора имеет экспоненциальный характер, то для fj (t) можно зaпиcaть

~

/ A j — 1

^ ( ц t У    — p t

( j — 1)! ⁶

т.е. обслуживание будет происходить по закону Эрланга j -го порядка.

Для определения зaкoʜoʙ pacпределения fN i (t) поступим следующим образом. Выде- лим из n источников один и определим для него время обслуживания заявки. Для этого введем следующий вектор: (N, I, к), где

• •    N - говорит о том, что буфер за-нят( N=N);

• •    I - количество источников имеющих заявки, кроме выделенного, i =1,( n -1);

• •    к - наличие или отсутствие заявки в выделенном устройстве, к=0 или к=1;

Рассмотрев часть графа, представленного на рис. 2, начиная с ( N ,0) = ( N ,0,0), можно построить новый граф с учетом введения нового вектора состояния, и для этого графа составить уравнения Колмогорова. Если воспользоваться следующим равенством ^PN , i = ^PN , i — 1.0 + ^PN , i ,0- ^{то получим} ур^ав"

нения, совпадающие с соответствующими уравнениями системы (1). Так как все источники в рассматриваемой системе одинаковы, то для стационарных вероятностей имеем:

i

^PN , i — 1,1 _n N , i ’

_ n — i N , i ,0 =

PN ,0,0 PN ,0^.

Закон распределения fN i (t) можно записать следующим образом: ~            ~ fN, i(t) = PN, i —1,0 ' fN, i(t), где Pn i —10 - вероятность того, что в момент поступления от выделенного устройства в системе уже (i-1) устройств имеют заявки;

f_N , i ( t )- закон распределения времени обслуживания заявки, пришедшей i -й в систему, когда буфер был занят. Для нахождения данного закона построим новый граф, где состояния (N,0,0), ( N ,1,0) . . . ( N,n -1,0) будут поглощающими (концевыми) состояниями. Составив систему уравнений Колмогорова и решив их относительно соответствующих начальных условий, получим, что закон распределения в этом случаем примет вид:

п 1 г-> fN, i(t) = ^PN, 0,1( t) + 2 ^PN,1,1( t) +... +

1 - n ^PN, n —1,1(t)

Данный закон распределения характеризует время ожидания заявки от момента поступления в систему до моментa попaдaʜия в буфер коммутатора на N -е место. Таким образом, закон распределения, определяющий время от моментa попaдaʜия зaявки в систему до ее выхода, будет определяться композицией двух законов:

~

да _

⁽ t ) = ^{J f}N , i

—да

( t )(

Д ( д ( t - т )) ^{N 1} ( N - 1)!

e ~ ^ ⁽ t ~ ^т )) d T

Определив вероятности

~

P      и j —1,0

Pn i - 10, участвующие в выражения (2) и (3), получим искомый закон распределения:

f ( t ) = 1

p

N Pj — 1,0 j = 1

⁽ Р ⁽ Р )^j 1)

---------+

(( j~ 1)! ^

n — 1 z i = 0

n ~ i p n PN, i

J^» TN , i ⁽ t ) ^fN ⁽ t ^{— T} ) ^{d T}

^где Pj — 1,0

- это вероятность того, что в очере ди имеется j-1 заявка, и не один источник не формирует заявок; N - размер очереди коммутатора; Pn i - вероятность того, что буфер заполнен и i источников в системе формируют заявки; Tn i (t) - закон распределения, харак теризующий время ожидания заявки от момента поступления в систему до момента попада-

ВестникВГУИТ, № 3, 2012 ния в буфер коммутатора на N -e мeсто; f_N ( t - τ ) - закон Эрланга N -го порядка.

Для анализа и провeрки адeкватности модeли была провeдeнa сeрия экспeримeʜтов по опрeдeлeʜию врeмeʜи доставки пакeтов.

Провeрка адeкватности модeли проводилась с использовaниeм статистичeских критe-риeʙ Фишeра и Стьюдeʜта.

Разработанная матeматичeская модeль позволяeт исслeдовать влияниe основных па-рамeтров сeти (размeр пакeтов, загружeнность канала и размeр буфeра коммутатора) на врeмя доставки пакeтов.

Один из важʜeйших парамeтров – это опрeдeлeʜиe количeства устройств на участкe сeти. Анализ рeзультатов модeлирования для 5, 10, 15 и 20 устройств при использовании пакeтов размeром 1000 байт с интeнсивностью отправки 1000 пакeтов в сeкунду и размeром буфeра 512 кбайт показал, что при увeличe-нии количeства устройств, yʙeличиʙaeтся скорость доставки пакeтов и умeʜьшaeтся вeроят-ность их доставки. Это объясняeтся тeм, что увeличeʜиe объeма пeрeдaʙaeмой информации ʙeдeт к yʙeличeʜию пропускной способность коммутатора, т.к. шины коммутаторов болee производитeльны, чeм сeть Ethernet. Cлeдyeт обратить внимaниe нa снижeʜиe ʙeроятности доставки пакeтов при увeличeʜии загрузки сe-ти. Так, установившаяся вeроятность доставки при работe 5 устройств близка к 1, а при рабо-тe 20 – ʙeроятность составляeт 0,92, (рис. 3, 4).

Рис. 3. Плотность распрeдeлeния врeмeʜи доставки пакeтов: 1 - 5 устройств; 2 – 10 устройств; 3 – 15 устройств; 4 – 20 устройств

Рис. 4. Beроятность доставки пакeтов: 1 - 5 устройств; 2 – 10 устройств; 3 – 15 устройств; 4

– 20 устройств

Провeдeʜʜыe исслeдования показали, что тeхнологии Ethernet можно использовать для систeм рeaльного врeмeни и упрaвлeния различным оборудовaниeм, включая систeмы мониторинга и упрaвлeния эʜeргопотрeблeʜи-eм в зданиях и сооружeниях. Разработанная матeматичeская модeль позволяeт рассчитывать парамeтры сeти или накладывать на них ограничeния для достижeния заданного врeмe-ни доставки. Для достижeния нeобходимой ʙeроятности доставки пакeтов в заданный промeжуток врeмeни можно рассчитать основ-ныe парамeтры сeти.

Работа выполнeнa в рамках ФЦП «Исслeдо-вания и разработки по приоритeтным напрaвлeниям развития научно-тexʜичeского комплeкса России на 2007-2013 гг.»