Разработка методики оптимизации параметров штампов компрессорных лопаток авиационных двигателей

пряжений в области пера Px (рис. 2), в области формирования хвостовика (Qx) и в области мостика заусеничной канавки вдоль подошвы хвостовика (Gх) (рис.5), стремящихся сместить вкладыши штампов.

Суммарные сдвигающие усилия при известной геометрии поковки, в основном, определяются величиной угла ТАУ3. Правильно выбранный поворот поковки в штампе позволяет:

• 1.    Уменьшить сдвигающие горизонтальные усилия на обе половины штампа, повысив за счет этого точность размеров поковки.

• 2.    Облегчить заполнение гравюры штампа и повысить его стойкость.

• 3.    Создать условия для надежной укладки заготовки в штамп перед ее деформацией.

• 4.    Создать базы контроля размеров поковки на торце хвостовика и снизить расход металла на штамповочные уклоны.

Этот угол может быть принят в качестве одного из независимых варьируемых параметров при постановке задачи оптимизации. На величину сдвигающих усилий также влияют: размеры мостика заусеничной канавки (b/MOST) (рис. 4) и угол его поворота jj относительно оси штампа (рис. 5). Для определения оптимальных параметров штамповой оснастки применим метод математического моделирования [1, 3, 5-7], а затем, используя рассчитанные параметры, можно автоматизировать и построение объектов заготовительно-штамповочного производства в среде CAD – системы [2, 4].

Целевая функция имеет вид:

А + В + С ^ min , (1) где А – сдвигающие усилия на поверхности пера,

Рис. 1. Угол поворота поковки в штампе на нижнем вкладыше

В – сдвигающие усилия на участке замка,

С – усилия, действующие на поверхность мостика.

Для решения поставленной задачи необходимо знать закон распределения нормальных напряжений на каждом участке гравюры штампа. Деформацию металла на участке формирования пера можно с достаточной точностью рассматривать как осадку широкой полосы под плоскими плитами, если принять следующие допущения:

• 1.    Кривизна профиля поперечного сечения гравюры пера в каждом сечении меняется незначительно и не влияет на величину и характер распределения нормальных напряжений.

• 2.    Толщина деформируемого пера постоянна и равна среднему значению в пределах каждого сечения.

С учетом указанных допущений можно принять линейный закон распределения нормальных напряжений (рис. 3) в виде:

Р = ст _s * (1+(0.5a-x) / h), (2) где а – ширина профиля гравюры пера в каждом сечении по хорде; h – средняя толщина полосы в каждом сечении.

h = Fсеч/ а, (3) где Fсеч – площадь поперечного сечения профиля пера поковки в рассматриваемом сечении.

_ * 2 _CTs " Vs CTs , (4)

где CT _s — предел текучести штампуемого материала.

Эпюра нормальных напряжений на участке мостика может быть описана уравнением :

G = ст _s * (1 + b / MOST).          (5)

Рис. 2. Схема разложения вектора нормальных напряжений на участке гравюры пера

(А-А, А1-А1, А2-А2, А3–А3 – сечения пера штампа)

В этом выражении отношение b / MOST является переменной величиной и задается из технологических соображений в пределах: 4 <  b / MOST <  6. На рис. 4 показана эпюра распределения нормальных напряжений вдоль оси гравюры штампа. Анализ эпюры показывает, что характер изменения напряжений в области хвостовика определяется по сложному закону в зависимости от стадии заполнения полости штампа. В конце процесса в этой области напряжения могут достигать максимального значения. В целях упрощения задачи приняты средние значения напряжений в этой области:

Q = ( ст * (1 + ——) + ст * (1 + °'⁵ a "  x )) /2 , (6)

ср s MOST s h

Для нахождения сдвигающего усилия в области пера вся поверхность пера разбивается на конечные участки (рис. 2). Усилия, приходящиеся на единицу поверхности, находятся из разложения нормальных напряжений. Ввиду незначи-

Рис. 3. Эпюра распределения нормальных напряжений по ширине гравюры пера

*           ,     X          X

P= о s (1+(0.5a-x)/hmax)

G o _s (1+b/MOST)

Qy мостик перо хвостовик

Fз ETA1/2

Рис. 4. Эпюра распределения нормальных напряжений вдоль оси гравюры штампа

тельного уклона гравюры штампа в направлении оси OZ составляющей Pzi пренебрегаем. Тогда

^Pxi = P yi tg Y i ,           (7)

где Pxi , Pyi – составляющие вектора нормальных напряжений.

Общее сдвигающие горизонтальное усилие можно получить из выражения:

A = Л P xi dF .

F

где Pxi – горизонтальное усилие, действующие на единицу площади гравюры пера.

Так как перо разбивается на конечные участки, то для нахождения усилия на всей поверхности пера перейдем от интеграла к сумме:

n 1 n 2

A = EE ^{P (} j tgV y ,      (9)

i = 1 j = 1

где P ( x ij ) – эпюра нормальных напряжений на поверхности пера;

Y j - угол наклона касательной к оси ОХ в средней точке участка поверхности.

После подстановки получаем:

л!      nl    0 5 a - x

A = E w* E (1 +        ") tg ( Y j + TAY 3) ,(11)

i=1              j=1                  hi где Yj + TAY 3 определяет новое положение касательной.

Теперь выражение А полностью определяет сдвигающие усилия по всей поверхности пера штампа.

На гравюру штампа в области хвостовика действуют напряжения Qср. Разложение Qср по трем осям принимает вид:

Q y = Q cp cos( BETA1/2) ,      (12)

Q x = Q y sin TAY 3 = Q_cp cos( BETA1/2)sin TAY 3, (13) где ВЕТА1 – угол наклона поверхности хвостовика вдоль оси OZ (рис. 4), а Q_ср –величина средних напряжений в продольном сечении штампа.

Cдвигающее усилие, действующее на участке замка, находится по формуле:

В = ff Q x dFз ,             (14)

Fз где границы площади замка Fз изменяются в пределах -clkp

n1 n2

а = EE ^(1+

I=1 j=1

^{0,5 a}i - xy h_i

)tgYj , (10)

В = ^2^ cos( BETA1/2)sin TAY 3 cakp (ck 5 p + ck 7 p )/2 x

где n1– количество разбиений по оси z, n2 – количество разбиений по оси х, l – длина пера между разбиениями по z, a – хорда сечения пера по х.

Угол поворота поковки в штампе естественно изменяет положение любого элемента поверхности.. Тогда выражение (10) примет вид:

b 0.5a 1

x (2 +--+----(cakp - 2clkp))

MOST h h

,(15)

где ck5p, ck7p, cakp, clkp – габаритные размеры хвостовика (рис. 6).

На мостик действуют нормальные напряжения G. В виду того, что гравюра хвостовика повернута в штампе на ТАУ3, угол наклона мостика ф = ( ф 1 + ТАУ3) будет определять величину

Рис. 5. Расчет угла наклона мостика ф к оси штампа

сдвигающего горизонтального напряжения:

Gx = G sin ф .               (16)

Общее усилие, действующее на площадь мостика:

С = JJG sin фdFм.

Fм

Границы площади мостика находится в пределах 0

G

^ (1 +-------) .

^s MOST^.

После интегрирования имеем:

С = <г*(1 + MosTbsin(ф1 + TAY3)cakp/cosф1. (19)

Таким образом, значение функции цели связано с назначенными варьируемыми параметрами (формулы 1-19).

Установим систему ограничений.

Все ограничения являются параметрическими. Угол TAY3 теоретически может меняться в пределах –90 до 90 градусов. На параметр b/ MOST накладываются технологические ограничения от (b/MOST)min до (b/MOST)max .

Разъем штампов по подошве хвостовика лопатки может переходить из области (а2-а1) по входной кромке в область (с2-с1) – по выходной. Угол мостика заусеничной канавки может изменяться в пределах от - ф 1 до ф 1max (рис.5), где ф 1 задаются из конструктивных соображений, т.е.

• ■    с1 - c2 , , ■ c2 - al

arcsin-------< ф1 < arcsin-------. (20)

cakp cakp

Тогда система ограничений для принятой целевой функции (1) сформирована из геометрических и технологических соображений имеет следующий вид:

Рис. 6. Габаритные размеры хвостовика

Таблица 1. Результаты использования предлагаемого алгоритма оптимизации для заготовок компрессорных лопаток двигателя НК-36

№ изделия	b/h	ф1, град.	TAY3, град.	Целевая функция
1	5.14	2.67	-8.20	0.07
2	5.99	0.53	-5.34	0.02
3	5.20	5.85	-7.98	0.09

Q = ^

4 < —-— < 6

MOST

• ■    cl - a 2             ■ c 2 - al

arcsin-------< ф1< arcsin-------. (21)

cakp cakp

• - 90 < TAY3 < 90

Итак, в качестве вектора варьируемых параметров выбираем х= {TAY3, b/MOST, ф}, система ограничений - Q , функция цели - величина сдвигающего усилия.

Сформулируем задачу минимизации сдвигающих усилий в терминах математического программирования.

Найти вектор х*, принадлежащий области Q = {х: х_min< x < x_max}, такой, чтобы F(x*) было минимальным для любого х из области Q .

Целевая функция (1) выпуклая и ограничения тоже выпуклые. Это позволяет решать задачу с помощью эффективного метода деформируемого многогранника (комплексный метод Бокса). Он является модификацией симплексного метода Нелдера – Мида, однако позволяет учитывать наложенные ограничения.

Решаемая задача состоит в минимизации функции вида:

f(x)=f(x1,x2,^,xn), где х1= TAY3, x2 = ф 1, x3=b/ MOST, и значения х задаются с помощью явных ограничений lj < xj < uj, j=1,^,n. (22)

Значения lj и uj являются нижней и верхней границами переменных. В нем предполагается, что известны значения n, ljи uj и начальная точка х1, удовлетворяющая всем ограничениям (22). В первую очередь необходимо выбрать k точек, которые удовлетворяют ограничениям, а также вычислить целевую функцию во всех k точках. Множество этих точек есть комплекс, k=2n.

Точка х₁, удовлетворяющая всем ограничениям, задана ( ф 1 = 0.0, ТАУ3=0.0, b/h = 4.0) . Остальные точки, удовлетворяющие неравенству (22), могут быть выбраны следующим образом:

xij = lj+r (uj - lj),j=1,…,n; i=2,…,k, (23) где r – псевдослучайная равномерно распределенная переменная в интервале (0,1). Точки, выбираемые в соответствии с уравнением (23) для данного j, будут автоматически удовлетворять неравенству (22).

Конечно, поскольку точка х₁ находится внутри области ограничений, то комплекс будет состоять из допустимых точек. При нахождении точки минимума вычисляются две величины, использующиеся при проверке сходимости метода: среднее квадратичное отклонение о для k значений функции и максимальное расстояние d_m между двумя точками комплекса. Первая величина вычисляется через ss²:

о '

(Xe )2 - 'f¹

e=1                      k

Величины о² и dm проверяются на сходимость к заданной точности Е 1= 0.01, Е₂ = 0.001 и процедура поиска минимума заканчивается.

Пользуясь разработанным методом оптимизации для вектора варьируемых параметров (b, ф 1, TAY3), были получены результаты (табл. 1) для трех заготовок компрессорных лопаток: оптимальный угол поворота поковки в штампе, угол поворота и ширина облойного мостика на торце хвостовика.

Полученные параметры позволяют сформировать поверхность разъема штампа в области хвостовика, оптимизировать угол поворота поковки в штампе, обеспечив практически полное отсутствие сдвигающих горизонтальных усилий на вкладыши штампов. Численная величина па- раметров не противоречит аналогичным значениям, применяемым на производстве для отлаженных технологических процессов.