Разрешимость краевой задачи для вырождающихся уравнений соболевского типа

Рассмотрим уравнение

XAD2^{2 m +1}u(x,t) + ( - 1) m Bu(x,t) = f (x,t),

где m >  0 — целое, X = Xi + iX 2 — комплексное число, D k = d^ k .

Оператор A эллиптико-параболический второго порядка вида ∂

Au =Ъ—(aj (x)uxj) + ao(x)u, aj (x^i^j > 0, x G Q, € G R, ∂xi оператор B эллиптический такого же вида

Bu = dX i (b ij (x)u x j ) + bo(x)u, b^ij(x)CiCj >  m0 | € | 2, m0 > 0, x G Q, € G R n ,

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до n ).

В случае эллиптико-параболического оператора A подобные уравнения рассматривались в работах А.И. Кожанова [1-5] с действительнозначной функцией f (x,t) ; техника, используемая в настоящей работе, будет близка к технике вышеуказанных работ.

Пусть Q есть ограниченная область пространства R n переменных xi,...,x n с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г , Q = Q х (0, T) - цилиндрическая область, 0  + ^ ,S = Г х (0, T) . Функция f (x,t) имеет вид f (x,t) = f1(x,t) + if₂(x,t) . Функции f1(x,t) , f₂(x,t) , a ^ij (x) , bij (x) , i,j = 1,...,n , ao(x) , bo(x) действительнозначные, заданные при x G Q , t G [0, T] .

Будем считать выполненными условия aij(x) = aji(x), bij(x) = bji(x), x G Q, i,j = 1,...,n.                      (4)

Первая краевая задача: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x,t) |s = 0,                                              (5)

u(x, 0) = D t u(x, 0) = ... = D_t m u(x, 0) = 0, u(x,T) = D_tu(x,T ) = ... = Dm - 1 u(x,T ) = 0 x G Q.

Уравнение (1) можно свести к системе уравнений

J A1A^‘2m+1u1(x, t) — A2AD2m+1u2(x, t) + (—1)mBu1(x, t) = f1(x, t), ( A2AD2m+1ui(x,t) + AiADt2m+1U2(x,t) + (—1)mBu2(x,t) = f2(x,t), и именно эта система в дальнейшем будет анализироваться.

Через V0 будем обозначать анизотропное пространство Соболева с нормой n2

/ ( | v | ² + | v t | ² + | D2 ^{m +}M² + £ | D2 ^{m +1}V x i X j | ²)dxdt

^Q                               i,j =1

Ниже через v = (vi,..., v n ) будем обозначать вектор внутренней нормали к границе Г в текущей точке x .

Теорема 1. Пусть для операторов A и B выполнены указанные выше условия (2)–(4). Кроме того, пусть выполняются условия fs(x,t) G L2(Q), Dtfs(x,t) G L2(Q),...,Dt4m+2fs(x,t) G L2

fs(x, 0) = Dtfs(x, 0) = ... = Dt^4mfs(x, 0) = 0, fs(x,T) = Dtfs(x,T) = ... = D4^m-1fs(x,T) = 0,  x G Q,   s = 1, 2.

Ai > 0,   | A |> 0,

3 ai(x) : ai > 0,   Ciai(x)^2 < aij(x)^i^j < C2ai(x)£2, Ci > 0, x G Q, £ G Rn;

|aXjk(x)| < Mai(x), x G Q, i,j, k = 1,...,n;

aij(x)vivj = 0 Vx G Г;

ao(x) < — ao < 0, bo(x) < —bo < 0 Vx G Q;

aij(x) G C2(Q), bij (x) G C2(Q), ao(x) G C(Q), bo(x) G C(Q).

Тогда существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (5), (6) и при- надлежащее пространству V0 .

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Пусть ε есть положительное число, alj(x), i,j = 1, ...,n, есть функции aij (x) = aij (x) + ebij (x),

A0 , B0 , A0ε и Aε есть операторы задаваемые равенствами

∂

Aou =     (a j (x)uxj),

∂xi ^∂

Aoiu = dx (al (x)uxj),

∂

Bou = dxi (b j (x)uxj),

A_eu = Ao_eu + ao(x)u.

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти решение системы уравнений

J XiAJDtm + udx, t) — X₂A_eD2m⁺ⁱU₂(x, t) + ( —1)mBu1(x, t) = f1(x, t) t X2A_eD2^m+1U1(x,t) + XiA_eD2^m+1U2(x,t) + ( —1)^mBu2(x,t) = f₂(x,t),

(7_е)

удовлетворяющее условиям

Ui(x,t) Is = 0,   U2(x,t) Is = 0, us(x, 0) = Dtus(x, 0) = ... = Dmus(x, 0) = 0,                        (16)

u_s(x, T) = D_tu_s(x, T) = ... = Dp^-iu_s(x, T) = 0, x G Q, s = 1, 2.

Система (7_e), регуляризирующая систему (7), является системой псевдопараболических уравнений. Поскольку оператор A0_ε– эллиптический, то эта система разрешима в пространстве V0 – см. [6]; более того, эту систему можно дифференцировать по переменной t столько раз, сколько позволяет правая часть (вновь см. [6]).

Возникающие ниже постоянные Kr, r = 1,11, будут определяться коэффициентами операторов A и B, функциями f1(x,t) и f₂(x,t), а также числом T и числами Xi, i = 1, 2.

Покажем, что для краевой задачи (7_е), (16) имеют место «хорошие» априорные оценки. Умножим первое уравнение (7_е) на ( —1)^m(T—t)[XiUi — X2U2], второе — на (—1)^m(T —t)[X2Ui + X1U2] и сложим. Интегрируя в получаемом равенстве по частям, используя условия теоремы, неравенство Юнга, получаем первую априорную оценку

T

J / a^j Dm Dmuixj + Dtmu2xi Dm-2   dxdt+

0Ω

T

+ / / [ui + u2] dxdt +

0Ω

nT

Д2+Д2 E / /^(T- t) [ulxi ^{+ u}2xi^{] dxdt}< Ki.

^{1   2}i=1 0 Ω

На следующем шаге 2m + 1 раз продифференцируем систему уравнений (7_е) по переменной t. Заметим, что вследствие условий (9) и (10) для функций D_t^2m+1u1, D_t^2m+1u2 будут выполняться условия (16). Умножим первое уравнение на (—1)^m(T — t)[XiD2^m+1ui — X₂D2^m+1u₂], второе уравнение на (—1)^m(T — t)[X₂D^^u + X_iD2^m+iu₂] и сложим. Полученное равенство также интегрируем по области Q. Выкладки, аналогичные тем, которые привели к неравенству (17), дают вторую априорную оценку

T / ai [D3^m+iuix_lD3^m+iuiXj + D3^m+iU2Xi/'t    x2 ] dxdt+

0Ω

+ J/ [(D2^m+iui)² + (D2^m+iu2)²] dxdt+                       (18)

0Ω

+ p+p E T /(T — t) [(Dm+^ix.)² + (D2^m+iU2Xi )²] dxdt < K.

^{1+ 2}i=1 0 Ω

Для получения третьей априорной оценки первое из уравнений системы (7_е) умножим на (—1)^m(T — t)[X_iBou_i— X2B0U2], а второе - на (—1)^m(T — t)[X₂Bou_i + X_iBou₂], и сложим. Также интегрируя по частям как в левой, так и в правой части полученного равенства, применяя неравенство Юнга, нетрудно перейти к неравенству

T

• / / aijbkl [DtmuixjxkDmuixixi + D_t^mu₂xjxkD_t^mu₂xixi] ^dxdt

0Ω

T

+e ^J / (BoDtmui)² + (BoD_f^mU2)² dx+                        (19)

0Ω

T

• ⁺Х2+1Д2 / /^{(T —} t)  ⁽B0ui^{)2 + (B}0u2⁾² ] dxdt< ^K5 ⁺|Ii| ⁺|I2| ⁺|I3| ^{+ |1}Г |,

• 1  2_0Ω

  где

  
  

T

• I1    = J J aXjk(x)bkl(x) (DtmuixjDmuixixl + Dtmu2xjDtm^x-xl) dxdt, 0Ω

T

• I2 = / / a^x(x)bki (x) (Dtmuixi Dmuixkxj + Dm^Dtmu2x_kxj) dxdt,

0Ω

T

1з = / / axk(x)bX^li(x) (DmuixjDmuixi + Dmu2xjDmuix^ dxdt,

0Ω

T

Ir = J J a^x(^Wmuix₃^vidx; (^(xlDmuixi) - a^x(x)DmuixjdL (b^kl(x)Dm^uixi) ^vk⁺ 0Γ                    ^{k                                    i}

+ a^x(x)DmU2xjVidxk yk^l(x)Dmu2xl) - a^x(x)Dtu2xj dx- (b^kl(x)Dtu2xl) v^ dSdt.

Поскольку u(x,t) = 0 при x G Г, то D_tu(x, t) = ... = Dmmu(x,t) = 0 и, далее, DtuxjVk = D_t^mu_xkνj (в силу обращения в нуль касательной производной). Отсюда и из условия (13) граничный интеграл в (19) будет равен нулю. Проанализируем слагаемые |I1 |, |I2 |, |I3| правой части неравенства (19). Для |I1 | условие (12) и оценка (17) дают оценку

TT

I J J aXjk(x)bkl(x)DmuixixlDmuixjdxdt I < M J J Vai(x)|Dmuixixl ||bkl(x)||Dmuixj |dxdt < 0Ω0Ω

TT

< ^2 J J at(x)(DmuixiXl )2dxdt + MM2 J J(bkl(x))2(Dmuixj )2dxdt. 0Ω0Ω

Также будет и для слагаемых с функцией u₂(x,t).

Во втором интеграле, вследствие неравенства Коши – Буняковского и условия (11), будет

T

II2I < Кб/ajax (x^muix-Xk Dm^iXjXk)²(aij (x)D_fmuixi Dtmuixi) 2 dxd< 0Ω

₂nT                   ₂nT

< ^т2 E J J ai(x)(Dmuixixk)2dxdt+ §2 E J J(Dmuixi)2dxdt, k=1 0 Ω                                l=1 0 Ω аналогично для интеграла с функцией u2(x, t) (здесь и ранее 8 - произвольное положительное число). Далее, |I3 | есть конечные величины — в силу оценок (17) и (18). Суммируя, получаем неравенство

|I1| ⁺|I2| ⁺|I3| < ⁸1

Т

n

^[ [ ai(x) ((Dtmuix-xi l=1 0 Ω

)² + (DmU2xixl)2) dxdt + C,

в котором δ1 есть произвольное положительное число, число же C определяется числом δ1 и коэффициентами aij(x),bij(x), ao(x), bo(x). Учитывая (20), из неравенства (19) получаем оценку

J J ^^x) [(Dmmuix-xk)2 + (DtmU2x-xk)²] dxdt+ 0Ω

+e ^J J [(BoDmmui)² + (BoD_fmU2)²] dxdt+

0Ω T

⁺x2+x2 J J⁽T — t) [^(B0^ui) ^{+ (B}0u2) ] ^dxdt< K7.

1  2_0Ω

Далее, 2m + 1 раз дифференцируем уравнения системы (7_е) по переменной t. Умножим первое уравнение на ( —1)^m(T — t)[AiBoD2^m+iu_i— A₂BoD2^m+iu₂], а второе - на ( —1)^m(T — t)[A2BoD2^m+iui +AiBoD2^m+iu2], сложим и проинтегрируем. Сделав выкладки, аналогичные тем, которые привели к оценке (21), получим следующую оценку

T

J Jai(x) (D3^m+iuixiXk)2 + -     ..    )2 dxdt+

0Ω

T

+e^J J (BoD_t^3m+iui)² + (BoD_t^3m+iU2)2 dxdt+

0Ω T

+T231V2 ^J J (BoD2^2m+iui)2 + (B₀D2^m+iU2)2 dxdt < K₈.

_λ2_+λ2           0 t 1          0 t 2                 8

Умножим первое уравнение системы на ( —1)^m[AiAoui — A2Aou2], а второе - на

(—1)^m[A2Aoui + A1Aou2] и сложим

(—1)^m(Ai + A2) (A_eD2^m+iU1A0U1 + A_eD2^m+1U2AoU2) + Ai (BuiAoui + BU2A0U2) — ^{— ( —1)m [A}i^fi^Aoui ^{— A}2^f1^Aou2 + ^A2^f2A0u1 + ^A1^f2^A0u2^].

Интегрируя это равенство по частям, получим неравенство

T J [(Ao_eDt^mui)² + A Dm u.: ² dxdt+

0Ω

⁺x'2+X'2 J J la b (uixiXiuixjXk^{+ U}2xiXi^u2xjXk )] ^dxdt< 1⁺2 _{0 Ω}

T

T

T

< 2| J J aX^j(x)b^kl(x)DmuixjD^mu2xixldxdT| + 2| J J aij(x)bk^zi(x)DmuixjxkDmu2xldxdr| +

0Ω T

0Ω T

+1 J J axk (x)bxi(x)Dmu2xjDmuixldxdT| + | J J axk (x)b^kli (x)DmuixjDmu2xldxdT| + 0Ω                          0Ω

T

^{+ |} J J aij ^(x)Dm^uiXj ^vidl; (bkl^(x)Dm^u2xi) ^— aij ^(x)Dm^uiXj dxi (bkl ^(x)Dm^u2xi) ^vk⁺

0Γ                    ^{k                                    i}

+ aij(x)Dmmu2xjVid^dk (bklMDmmuixl) — aij(x)Dmmu2xj dx; (b^kl(x)Dmuixl) v^| dSdT| + K9.

Первый интеграл в правой части (23) будет оцениваться с помощью неравенства Юнга, условия (12) и оценок (17), (21). Второй интеграл оценивается также неравенством Юнга, оценками (17), (21) и условием (11). Третий и четвертый интегралы – конечены в силу оценки (17). Граничные интегралы также будут равны нулю, в силу условий (13) и (15). Получим следующую оценку

T J [(Ao_eDmui)²dx + (Ao_eDmU2)²] dxdt < K_w. 0Ω

Оценка (24) означает, что

AoDmui + B Dm u — ^i(x,t) G L2(Q), AoDmu2 + E^oDtmU2 — ^(x,t) G L2(q).

Рассмотрим равенство

T mm mm  mm mm j J ((AoDt U1A0Dt ui + AoDt U2A0Dt U2) + E(BoDt U1A0Dt ui + BoDt U2AoDt u2 )) dxdt — 0Ω

T

— J J(^1(x,t)AoDmu1 + y₂(x, t)AoDmu₂)dxdt.

0Ω

Повторяя для интеграла

T e j J(BoDmuiAoDmui + BqDtm^AoDm^dxdt 0Ω все выкладки, которые делались при анализе аналогичных интегралов правой части неравенства (19), получим, что следствием включений (25) и условий теоремы будут включения

AoDtmui € UkQ)    AqDmu2 e b2(QY

Далее, 2m + 1 раз дифференцируем уравнения системы (7_е) по t. Умножим первое уравнение системы на (—1)^m\AiAo_eD2^m+1ui — A2Ao_eD3m⁺ⁱU2], а второе уравнение на (—1)^m\X₂A_0eD2^m+1u₁ + A_iA_0eD2^m^¹ u2] и сложим.

Повторяя все выкладки, которые делались при анализе неравенства (19), придем к оценке

T

/ / [(Ao_eD3m⁺ⁱ ui)² + (Ao_eD3^m+1U2)²] dxdt < K_n.                  (26)

0Ω

Оценка (26) означает справедливость включений

AoD3^m+iui + eBoD3^m+iui e L2(Q),    AoD3^m+4i e L2(Q),

AoD3^m+iU2 + eBoD3^m+iU2 e L2(Q),    AoD3m⁺ⁱU2 e L2(Q).

Заметим, что из этих включений и оценок (17), (18), (21), (22) следуют включения B0D_t^mu1 ∈ L2(Q), BqDtmU2 G L2(Q). Повторяя рассуждения [7], касающиеся второго основного неравенства для эллиптических операторов, получим, что для функций ui(x, t) и U2(x, t) выполняется u_i(x, t) e L2(0, T; W2(Q)), u₂(x, t) G L2(0, T; W2(Q)).

Продифференцируем уравнения системы (7_e) 4m + 2 раза по переменной t и умножим первое уравнение системы на (—1)^m[A_iAo_eD4^m+2u_i— X₂AoeDtm⁺²u2], а второе уравнение на ( —1)^m[A2Ao_eD4^m+2ui + AiAo_eD4^m+2U2]. Анализируя полученное равенство тем же образом, каким анализировалось равенство (19), получим включения

Ao^^Ui + eBoD5m⁺²ui e L2(Q),    AoD5m⁺²ui e L2(Q),

AoD5^m+2U2 + eBoD5m⁺²U2 e L2(Q),    AoD5m⁺²U2 e L2(Q).

Отсюда получаем B₀D3m⁺ⁱu_ie L2(Q), B₀D3m⁺ⁱu₂e L2(Q). Следовательно, ^^2m+1u_i e L2(0,T; W2(Q)), D3m⁺ⁱU2 e L2(0,T; W2(Q)). Переходя к пределу по параметру регуляризации (см., например, [2, 3]), получим, что краевая задача (7_е)-(16) имеет решение, для которого выполняются оценки (17), (18), (21), (22) с e = 0. А это и означает существование требуемого решения системы (7) и далее — уравнения (1).

Теорема 2. Пусть выполняются условия (8)-(12), (14), (15) теоремы 1 и пусть существует такое ао > 0, что ai(x) > ао > 0     Vx e Г, i = 1, ...,n.                          (27)

Тогда существует решение u(x,t) уравнения (1) такое, что u(x,t) e L^(0, T; W2(Q)), D3m⁺ⁱu(x,t) e L^(0,T; W2(Q)) и удовлетворяющее условиям (5)-(6).

Доказательство. Пусть функция ^(x) есть функция из класса C2(Q) такая, что ^(x) > ^0 > 0 при x G Q_p, ^(x) > 0 при x G Q2_P, ^(x) = 0 при x G Q \ Q_2p. Здесь Q_p = {x G Q : 0 < d(x, Г) < р}, ^2р = {x G Q : 0 < d(x, Г) < 2р}, р — положительное число, величину которого определим позже.

Положим vl(x,t) = ^(x)ul(x,t), v2(x,t) = ^(x)u2(x,t).

В области ^2р выполняются равенства

A A Dt' + ^    - X2AED^+1V2xiXj + (-1)mBDt2m+1vixiXj = f + ij   m     m      ij  m      m       ij  mm

+Al [aexj Dt Cxi Dt ul + ae Dt ^XiXj Dt ul + 2ae Dt Cxi Dt ulxj J ij   m     m      ij  m      m       ij  mm

A2\aexj Dt Cxi Dt u2⁺ae Dt Cxixj Dt u2 ^{+ 2}ae Dt Cxi Dt u2xj^{J +} m ⁱj  m m ij m      m      ij m m

⁺(^-1) [bxj Dt Cxi Dt ul ⁺b j Dt ^xixj Dt ul ^+2bj Dt Cxi Dt ulxj J,

A2AeD2m+1 Vlxixj + Al AeDt2m+1V2xixj + ИГB^1 V2x^ = И + ij                           ijij

^+A2[aexj Dt Cxi Dt ul ⁺ae Dt Cxixj Dt ul ^{+ 2a}e Dt Cxi Dt ulxj^{J +} ij _{m m} ij _{m      m}      ij _{m m}

+Al [aexj Dt Cxi Dt u2 + ae Dt cxixj Dt u2 + 2ae Dt Cxi Dt u2xjJ + m ij  m m ij m m ij m m

⁺(^-1)  [bxj Dt ^xi Dt u2 ^{+ b}j Dt Vxixj Dt u2 ^{+ 2b}j Dt ^xi Dt ^u2xj J-

Обозначим правые части равенств (28) и (29) как Fl(x,t) и F2(x,t) соответственно. Заметим, что вследствие оценок (17) — (22) выполняются включения Fl(x,t) G L2(Q), F2(x,t) G L2(Q). Пусть число р настолько мало, что в ^2р выполняется ai(x) > 01 > 0

(вследствие гладкости функций ai(x), компактности Г и условия (27) такое р существует). Тогда оператор A в Q_2pбудет равномерно эллиптическим. Второе основное неравенство для эллиптических операторов и оценки (17) — (22) означают, что выполняются неравенства

52 j^X^ Vlxixj (x,T ))²dx< MlE 52 /(DtVlxixj (x,T))2 dx + M2 E j V2xixj (x,T) dx + M3, i,j=1 _Ω                                    i,j=1 _Ω                                 i,j=1 _Ω

n

E i,j=1 Ω

(D^tV2xixj (x,T))²dx< MlE

n

E i,j=1 Ω

(Dt V2xixj (x,T))2 dx + M2

n i,j=1 Ω

vlxixj(x,T) dx+M3,

в которых числа M1 - M3 определяются лишь коэффициентами операторов A и B , а также областью Q. Складывая эти неравенства, учитывая, что число E может изначально считаться сколь угодно малым, используя далее представления

TT

Dt vlxixj (x, T) = Dt vlxixj (x, t) dt, Dt v2xixj (x, T) =    Dt v2xixj (x, t) dt, и, наконец, применяя неравенство Гельдера, получим априорную оценку

n

5J,

[(DtVlxixj (x,T))2 + (DtV2xixj (x,T))2J dx< M4.

Из оценки (30) равенств

2 +1            2 +1               2 +1             2 +1               2 +1

VDt    ulxtxj - Dt vlxixj   ^xi Dt ulxj   Vxj Dt ulxi   Vxixj Dt ul,

2m+1          2m+1             2m+1           2m+1             2m+1

VDt u2xixj^—Dt v2xixj - Vxi Dt u2xj^—YXj Dt ^u2xi - Vxixj Dt ^u2, оценок (17) — (19) и из строгой положительности функции ЁМ в Qp следует, что выполняется оценка

Ё f ■ i,j=1_Ωρ

(x, t) + D2^m+1u2x_ixj (x, t)] dx< M5.

Пусть функция ^(x) такова, что ^(x) E C²(Q), ^(x) — 0 для x E Г и ^(x) > 0 для x E Q, |^_xi (x)| < K-^/^(x) для x E Q, i — 1,..., n. Умножим первое уравнение системы на (—1)^m^(x)[A1Bou1 — A₂Bou₂], а второе-на (—1)^m^(x)[A₂Bou1 + A1Bou₂], проинтегрируем как по временной переменной, так и по области Q, и сложим. Получим следующее равенство

2 j ^^(x)[⁽A_eui⁾² Ω

t

+ (A_eU2)²] dx — j j v[Ao_eU2 • B0U1

— Ao_eu1 • Bou₂] dx dT+

+

t j j ^[aoU2Bui — aoUiBu2]

0Ω

dx dr +

t

// t^

— f1A_eu1] dx dT.

В этом равенстве второй интеграл правой части представляет собой конечную величину — это легко показать, если проинтегрировать по переменной xi по частям и воспользоваться оценками (17) – (19). Далее, в первом интеграле правой части (32) после перехода к формально сопряженным операторам, т.е. после интегрирования по частям, с использованием свойств функции ^(x), вновь получим конечную величину. Оценивая теперь последний интеграл правой части (32) с помощью неравенства Юнга, получим оценку

J ^(x) [(A_eDmui(x,t))² + (A_eDmu2(x,t))²] < Мб.

Ω

2m + 1 раз продифференцируем систему уравнений (7_е) по переменной t и повторим выкладки, которые привели к оценке (33), но, умножив первое уравнение на (—1)^m+1^(x)[A₁B₀D2^m+1u₁(x, t) — A2B0D2^m+1u₂(x, t)], и второе - на

(—1)m+1^(x)[A2B0D2m+1u1(x, t) + A1B0D2m+1u2(x, t)], получим оценку j y(x) {[AeD3m+1ui(x,t)]2 + [AeDt3m+1U2(x,t)]2} dx < M7.              (34)

Ω

В оценках (30), (31), (33) и (34) числа M4 –M7 определяются лишь коэффициентами операторов A и B, а также областью Q и числами T, A1, A2.

Из оценки (34) следует, что при почти всех t из (0, T) имеют место включения

V^(x)BDmui(x,t) E L2(Q), V^(x)BD^mU2(x,t) E L2(Q).

Из этих включений и оценки (31) следуют включения

BD_t^mui(x,t) E L2(Q), BDm^mU2(x,t) E L2(Q);

поскольку же оператор B эллиптичен, то эти включения означают, что

Ui(x,t) E L^(0,T; W22(Q)), U2(x,t) E L^(0,T; W2(Q)), причем нормы функций ui(x,t) и U2(x,t) в пространстве L^(0, T; W^(Q)) ограничены равномерно по параметру ε.

Повторяя все выкладки, которые привели к оценкам (31) и (34), но для 4m + 1 раз продифференцированной по t системы (7_е), получим включения

D2m+1ui(x,t) Е L . 01/; W2(^)), Dm+Mx^) Е L . 01/; W^)), причем нормы функций ui(x,t) и U2(x,t) в пространстве L^(0,T; W^(Q)) ограничены равномерно по параметру ε.

Из доказанного следует, что в системе (7_е) можно перейти к пределу по параметру е при е ^ 0 [1, 2]; предельные функции ui(x,t) и U2(x,t) будут представлять собой решение системы (7), принадлежащее требуемому в теореме классу. А это и означает существование требуемого решения уравнения (1).

Замечание 1. Если А2 = 0, то система (7) распадается на два независимых (одинаковых по структуре) уравнения. Для таких уравнений разрешимость первой краевой задачи, в близкой к настоящей работе ситуации, рассматривалась в [5] (более точно, в [5] установлена разрешимость первой краевой задачи в весовых пространствах).

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проект №4402) и ФЦП ≪Научные и научнопедагогические кадры инновационной России≫ на 2009–2013 гг. (ГК 02.740.11.0609).