Разрешимость обратной начально-краевой задачи с известным значением на прямой

Почти во всех сферах науки и техники, при решении практических задач, обратные задачи занимают особое место. Математические модели современных проблем геофизики, океанологии, атмосферы, физики техники и других наук описываются с помощью дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. Различные обратные задачи рассмотрены в работах [1-5].

Наша статья посвящена разрешимости обратной задачи, т. е. восстановления ядра в начально-краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка с известным значением искомого решения на прямой x = x ₀, x ₀ е (0,1).

Нами доказано существование и единственность решения поставленной обратной задачи.

Для достижения поставленной цели нами использованы: метод сведения обратной задачи к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, метод функций Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями.

При решении поставленной обратной задачи найдены достаточные условия существования и единственность решения обратной задачи по восстановлению ядра в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка.

Постановка задачи. Исследуем линейное неоднородное интегро-дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных: t utt (t, x)=auxxtt (t, x)+Puxx (t, x) + j K (t - s) uss (s, x) ds + f (t, x), (t, x) gQ,(1)

с начальными условиями:

u(0, x) = ф(x), ut (0, x) = ^(x), 0 < x < 1,(2)

однородными краевыми условиями:

u(t,0) = u(t,1) = 0,  0 < t < T,(3)

а также с известным значением искомого решения u ( t , x ) на прямой x = x ₀, x ₀ g (0,1):

u(t,x0) = g(t),  t g[0,T],(4)

где постоянные в <  0,0 <  a ,0 <  T известны, f ( t , x ) - известная функция, K ( t ) и u ( t , x ) -неизвестные функции, Q = {( x , t ) 10 <  x <  1, 0 <  t <  T }.

Ставится вопрос: при каких условиях в области Q существует единственное решение { K ( t ), u ( t , x )} обратной задачи (1)-(4)?

Пусть выполняются следующие условия:

U₁.    Известная функция    f ( t , x )   непрерывна в замкнутом прямоугольнике

Q = {( x , t )|0 < x < 1, 0 < t < T }.

U 2 . ^ ( x ), ^ ( x ) g C ²[0,1], ^ (0) = ^ (1) = 0, ^ (0) = ^ (1) = 0 .

U 3 . g g C ³[0, T ], _Ф(x 0 ) = g (0).

Лемма 1. Пусть у = - ^в >  0, а , в g R ,  тогда резольвента R ( t , s ) ядра K ( t , s ) = / ( t - s ),

a

( t , s ) g G = { ( t , s ) :0 <  s <  t <  T } определяется однозначно и в явном виде:

R ( t , s ) = Ду sh ( Ду ( t - s ) ) , ( t , s ) g G .                             (5)

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно доказать следующее равенство t

R ( t , s ) = j K ( t, r ) R( r ,s ) d r + K ( t , s ), ( t , s ) g G .

s

Для проверки этого равенства мы вставляем выражения для ядра K ( t , s ) = у ( t - s ) и резольвенты R ( t , s ) = Д у sh ( Ду ( t - s ) ) :

tt j K (t ,r) R (r, s) dr + K (t, s) = j y( t - r) Ду sh (Ду (r - s)) dr + /(t - s) = ss

= -y (.t - s )ch(0) + Д у sh ( Ду ( r - s ) )| _ + y (t - s ) = Д у sh ( Ду ( t - s ) ) = R ( t , s ).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть f (x) g C[0,1] и a > 0, тогда решение двухточечной краевой задачи z"(x) - — z(x) = f (x),  x g (0,1), z(0) = z(1) = 0

a можно записать с помощью функции Грина [6]:

z(x) = j G(x,^) f (5)d^, где

Математика

—

G ( x , £ ) H

—

Введем обозначение

e ^a sh 4^  _л ^

eа — 1

e ^а sh 4^

1 ^

_ e а

_e a ₊2 a

e ^a ₊2^

sh 4-

eа — 1

sh 4^

—

— ±

_ e a

a ¹ 2

-

e ^a , 0 <  x <  ^ <  1,

e ^a , 0 <  £ <  x <  1.

v ( t , x ) = u_tt ( t , x ).

Интегрируя (10) по переменной t , имеем:

t ut (t, x) = J v (s, x) ds + C (x),

где С ( х ) – произвольная функция.

Учитывая начальное условие u t (0, x ) = ^ ( x ), выберем С ( х ) так, чтобы выполнялось начальное условие:

это

Отсюда получаем:

u_t (0, x ) = J v ( s , x ) ds + C ( x ) ^ C ( x ) = i//( x ).

t ut (t, x) = J v (s, x) ds + ^( x).

Далее, интегрируя (7) по переменной t , имеем:

t т

t

u ( t , x ) = J J v ( s , x ) dsd т + J ^ ( x ) dt + C 1 ( x ),

0 0

где С 1 ( х ) – произвольная функция.

Учитывая начальное условие u (0, x ) = ф (x ), выберем С 1 ( х ):

u (0, x ) = J J v ( s , x ) dsd T + J i//( x ) dt + QC x ) ^ Q( x ) = ф (x ).

0 т

t т

Для двойного интеграла J J v ( s , x ) dsd т , используя формулу Дирихле, получаем:

J J v ( s , x ) dsd т = J J v ( s , x ) d т ds = J v ( s , x ) ds J d т = J ( t — s ) v ( s , x ) ds .

t т

tt

t

tt

Отсюда получаем:

0 s

t u (t, x) = J (t — s) v (s, x) ds + ^( x) t + ф( x)

Учитывая обозначение (6) интегро-дифференциальное уравнение (1) запишем в виде: t v (t, x)=avxx (t, x) + ^uxx (t, x) + J K (t — s) v (s, x) ds + f (t, x),

t а интеграл J K(t — s)v(s, x)ds можно записать в виде tt

J K(1 - 5)v(5, x)ds = J K(s)v(1 - s, x)ds .(10)

Дифференцируя соотношение (8) дважды по переменной x , получаем t uxx (1, x) = J (1 - s)vxx (s, x)ds + ""(x)t + Ф"(x).(11)

Подставляя выражения (10) и (11) в уравнение (9), получим: tt v (1, x)=avxx (1, x)+В J (t — s) vxx (s, x) ds + B""(x) 1 + вф"( x) + J K (s) v (1 - s, x) ds + f (1, x), или

.    .     1   ,    . в*св . в .     1                                 1 _, vxx (1,x)--v(1,x) =--[(1 - s)vxx(s,x)ds--v (x) 1--ф^^(x)--[K(s)v(1 - s,x)ds--f (1,x) .(12)

a        a*               a       a      a*a

Учитывая лемму 1, получим vxx (1, x) -—v(1, x) = Y""(x) 1 + уф"(x) - — I" K(s)v(1 - s, x)ds - — f (1, x) + a                      a*               a

+

t                                                                                                      Is j Ys sh (YY(t — s)) —v(s, x) + YV"(x)s + Ф"(x)--J K(r)v(s - r, x)dr

0     ^v        \^{a                      a} 0

t

—

1 J,

—f ( s , x ) ds . a

На основании обозначения (6) из однородных краевых условий (3) имеем: v ( 1 ,0) = v ( 1 ,1) = 0,  0 <  1 <  T .

Применяя лемму 2 к задаче (13), (14), получаем интегральное уравнение Вольтерра вторго рода:

t

v ( 1 , x ) = j G ( x , 5 ) U/ "( 5 ) t + ф "( 5 ) - - Jk ( s ) v ( 1 - s , 5 ) ds 0        V                    ^a 0

V

- -f ( t , 5 ) + a

t

s

\

+

jsh( Yy ( t - s )) ¹ v ( s , 5 ) + у" "( 5 ) s + ф "( 5 ) - — j* K ( r ) v ( s - r , 5 ) d r - —f ( s , 5 ) ds d ^ .  (15)

0 ^x        T^{a                        a} 0                  ^a J J

j

Пусть

1        ( f^15 + f| /""(5)s + /ф"(5) -f^t5 Ish(Yy(1 -s))ds d5 (16) a    0V                     a J            ’ J

F ( 1 , x ) = J G ( x , 5 ) ж "( 5 ) 1 + /ф "( 5 )

—

0         V

Тогда интегральное уравнение (15) примет вид:

1 t ¹

v (1, x)=—j j G(x, 5)R(1, s)v(s, 5)d5ds - a 00

- - f f G ( x , 5 ) K ( s ) v ( 1 - s , 5 ) d 5 ds - - f s R ( 1 , s ) G ( x , 5 ) K( r ) v ( s - r , 5 )d r d 5 ds + F ( 1 , x ).

^a 00                         ^a 000

Нетрудно заметить, что в равенстве (17) при 1 = 0:

v (0, x ) = F (0, x ), x e [0,1].

Дифференцируя равенство (17) по переменной t и учитывая соотношение (18), имеем

1 1

1                                                      t 1 1                                                           t 1

v t ( 1 , x ) + - [ G ( x , 5 ) F (0, 5 ) d 5 K ( 1 ) = ¹ [ [ G ( x , 5 ) R_t ( 1 , s ) v ( s , 5 ) d ^ ds — f [ G ( x , 5 ) K ( s ) v_t ( 1 - s , 55

L ^a 0                 J       ^a 00                          ^a 00

-

-¹J J f G ( x , 5 ) R t ( 1 , s ) к( r ) v ( s - r , 5 ) d 5 d r ds + F t ( 1 , x ).                  (19)

^a 000

Математика

Теперь в полученном соотношении (19) полагаем, что x = x ₀. Учитывая условие (4) и соотношение (8), мы получаем следующее равенство:

t 1

t 1

1                                                                 t 1 1                                                                      t 1 1

- f G(x0, 5)F(0, 5)d5 K(t) = - f f G(x0, 5)Rt (t, s)v(s, 5)d^dsf f G(x0, 5)K(s)vt (t - s)d^ds a 0                   J       a 0 0                              a 0 0

-

- “ J i I G ( x ₀, 5 ) R t ( t , s ) K ( t ) v ( s - T , 5 ) d ^ d T ds + F t ( t , x ₀) - g "'( t ). ^a 000

Таким образом, для определения неизвестных K ( t ), v ( t , x ), v t ( t , x ) мы получили систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода (17), (19) и (20).

Нами доказана следующая теорема.

1 1

Теорема. Пусть выполняются условия U1, U2, U3 и неравенство — j G(x0, 5)F(0,5)d5 * 0. То- a 0

гда при достаточно малом значении T >  0 обратная задача (1)-(4) имеет единственное решение { u ( t , x ), K ( t ) } в классе C ^2,2 ( [ 0, T ] x [ 0,1 ] ) x C [ 0, T ] .

Причем u ( t , x ) e C ^2,2 ( [ 0, T ] ^x [ 0,1 ] ) « u xxtt ( t , x ) e C ( [ 0, T ] x [ ^0,l ] ) .