Разрешимость одной задачи типа Неймана для тригармонического уравнения в шаре

Пусть S = {x e Rn :| x |< 1} - n -мерный единичный шар в евклидовом пространстве Rn с нормой | x |= ^x2 + x2 +-----+ xn , а дS = {x e Rn :| x |= 1} - единичная сфера. В единичном шаре S рас смотрим следующую краевую задачу типа Неймана для однородного тригармонического уравнения

А ³ и = 0, x e S ,                                          (1)

д и I           дА и I           дА ² и ।

IV S = ^{ф 0}, "V S = ^ф "V" S = ^ф"                    ⁽²⁾

где —— внешняя нормальная производная к единичной сфере, ф0, ф1 и ф2 - заданные функции дv на дS. Данная задача обобщает известную задачу Навье [1], которую также называют задачей Рикье [2]. Для бигармонического уравнения такая задача является частным случаем задачи, исследованной в [3-5]. Условия разрешимости других постановок задач типа Неймана можно найти в работах [6-11]. В работе [12] для краевых задач для полигармонического уравнения с нормальными производными в граничных условиях получено достаточное условие фредгольмовости этих задач и приведена формула их индекса. В [13] исследовались полиномиальные решения задачи Дирихле для тригармонического уравнения.

Под решением задачи (1)-(2) будем понимать такие тригармонические в S функции и ( x ), для которых v • V и ( x ) ^ ф ₀ ( $ ), v • VA и ( x ) ^ ф ( $ ) и v- VA ² и ( x ) ^ ф ₂ ( $ ) при x ^ $ , где v - внутренняя нормаль в точке $ e д S , проходящая через точку x e S .

Сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Пусть ф _к e C( д S ) при к = 0,1,2. Решение задачи типа Неймана (1)-(2) существует, если выполнено условие

Математика

L Ф 2⁽ x ) ds x = ⁰

∂S и это решение единственно с точностью до константы.

Доказательство. Известно, что всякая тригармоническая в S функция может быть представлена в виде u ( x ) = u ₀ ( x ) + | x |² u 1 (x ) + | x|⁴ u ₂ ( x ) (см., например, [14, с. 531] или [15]. Пусть и (x ) - некоторая гармоническая в S функция и Л = ^ ” =1 x i D xi . Нетрудно убедиться, что верны равенства

2,2.            -t n i                          i2

А(|x| и(x)) = A(|x| )и(x) + 2^2xiDxiu(x) + |x| Au(x) = (2n + 4Л)и(x), i=1

поскольку A| x |² = 2 n . Аналогично найдем

A (| x|⁴ u ( x )) = A (| x | ⁴) u ( x ) + 2| x |² ^ 4 x_iD_xi u ( x ) + | x |⁴ A u ( x ) = i =1

= 4( n + 2) | x|² u ( x ) + 81 x |² Л и ( x ) = 41 x |² ( n + 2 + 2 Л ) и ( x ), поскольку A| x |⁴ = ^ n =1 (4| x |² + 8 x ²) = 4( n + 2)| x |². Значит можно записать

A u ( x ) = A ( u ₀ ( x ) + | x|² u 1 ( x ) + | x|⁴ u ₂ ( x )) = 2( n + 2 Л ) u 1 ( x ) + 4| x |² ( n + 2 + 2 Л ) u ₂ ( x ), откуда, учитывая, что функции Л u 1 ( x ) и Л u ₂ ( x ) гармонические в S , найдем

A ² u ( x ) = 8( n + 2 Л )( n + 2 + 2 Л ) u ₂ ( x ).

Рассмотрим граничные условия (2). Пусть v - внешняя нормаль к дS. Поскольку внутренняя нормаль к дS, проходящая через точку x е S имеет вид -v = -x/ |x|, то v -Vu(x)|дS = ЁдS =Лul дs , i=1 Ixl и значит граничные условия (2) можно переписать в виде

Л u\ д s = Ф о, ЛA u\ д s = ft, ЛA ² u\ д s = Ф 2 .                            (4)

Пусть u ₀ , u ₁ и u ₂ такие гармонические в S функции, что u k |д _s = Ф _к , k = 0,1,2. Тогда

Л u - U 0Iд s = 0, ( ЛA u - U 1)|д s = 0, ( ЛA ² u - U 2)|_d s = 0.                   (5)

Пусть опять u ( x ) - некоторая гармоническая в s функция. Так как Л - линейный однородный дифференциальный оператор первого порядка, то

Л (| x² u ( x )) = Л (| x | ²) u ( x ) + | x |² Л и ( x ) = | x |² (2 + Л ) и ( x )

и аналогично

Л (| x|⁴ u ( x )) = | x |⁴ (4 + Л ) и ( x ).

Поэтому, вспоминая значения A u ( x ) и A ² u ( x ), вычисленные выше, из (5) получим

( Л u 0 + | x |² (2 + Л ) u 1 + | x |⁴ (4 + Л ) u 2 - U 0) I д s = 0, а также

(2 Л ( n + 2 Л ) u 1 + 41 x | ( Л + 2)( n + 2 + 2 Л ) u 2 - ц) | д s = 0, и наконец

(8 Л ( n + 2 Л )( n + 2 + 2 Л ) u 2 - U 2 ) | д s = 0.

Отсюда сразу следует, что

( Л u 0 + (2 + Л ) u 1 + (4 + Л ) u 2 - U 0 ) I д s = 0,

(2 Л ( n + 2 Л ) u 1 + 4( Л + 2)( n + 2 + 2 Л ) u 2 - Ц) | д s = 0,                      (6)

(8 Л ( n + 2 Л )( n + 2 + 2 Л ) u 2 - U 2 ) | д s = 0.

Поскольку внутри внешних скобок находятся гармонические в S функции, то в силу теоремы единственности решения задачи Дирихле в S получим систему уравнений для гармонических в S функций и ₀ ( x ), и 1 ( x ) и и ₂ ( x )

Л и о + (2 + Л ) U 1 + (4 + Л ) и 2 = U o ,

2 Л ( n + 2 Л ) и 1 + 4( Л + 2)( n + 2 + 2 Л ) и ₂ = U 1 ,                        (7)

8 Л ( n + 2 Л )( n + 2 + 2 Л ) и ₂ = и ₂

с гармонической правой частью. Эту систему можно переписать в матричном виде

	A ( Л ) и ( x ) = V ( x ),	(8)
где обозначено
	' Л    Л + 2             Л + 4        А       ( и 0 ^	U 0
A ( Л ) =	0  2 Л ( n + 2 Л )   4( Л + 2)( n + 2 + 2 Л )  , U = и 1	, V = U 1 .
	v 0       0      8 Л ( n + 2 Л )( n + 2 + 2 Л ) J      ( и 2 ;	y U 2 >

Итак, всякое решение и ( x ) = и ₀ ( x ) + | x |² и 1 (x ) + | x|⁴ и ₂ ( x ) задачи (1)-(2) порождает решение системы уравнений (7). Верно и обратное утверждение, т. е. если U ( x ) = ( и ₀ ( x ), и 1 ( x ), и ₂ ( x )) - решение системы уравнений (7), то тригармоническая функция и ( x ) = и ₀ ( x ) + | x|² U 1 ( x ) + | x|⁴ и ₂ ( x ) будет удовлетворять условиям (6), а значит (5) и (4) и следовательно условиям (2).

Решим систему уравнений (7). Рассмотрим ее последнее уравнение

8 Л ( n + 2 Л )( n + 2 + 2 Л ) и 2 = U 2 . (9)

Обозначим здесь <у(x) = 8Л(n + 2Л)(n + 2 + 2Л)и2(x). Тогда будем иметь в S уравнение Л^(x) = u2(x), в котором <у(x) и u2(x) - гармонические в S функции. Это уравнение имеет решение только и только тогда, когда и2 (0) = 0 и оно единственно с точностью до константы. Действительно, если и2 (x) и <у(x) гармонические в S функции, то в окрестности нуля они имеют вид n                2                         n                2

Ю ( ^x ) = « ( ^{0) +} £ й №^{+О (}| x | ), ^u 2^{( x} ) = ^u 2^{(0) +} I ^u 2 x ^{+O (}| x )•

=1                                             =1

Поэтому в окрестности нуля должно выполняться равенство

£ « №+0 (1 x ²) = ^(0) + Z u 2 x_/ +O (| x ²).

n

n

t =1

i =1

Полагая в нем x = 0 , получим u ₂ (0) = 0 - необходимое условие существования решения уравнения Л№ x ) = u ₂ ( x ). Достаточность этого условия следует из представления [10]

1 dt

<у( x) = J0 u2( tx) —+ C, которое справедливо, если u2(0) = 0 (интеграл сходится). Нетрудно убедиться, что для такой функции <у(x) будет Л^(x) = u2(x) в S. Таким образом из (9) относительно и2(x) получаем другое уравнение

32( n /2 + Л )( n /2 + 1 + Л ) u₂ = f u ( tx ) dt- + C , ² J0 ²' t

где C - произвольная константа. Рассмотрим оператор [4]

M ^ u = J 0 u ( tx ) t ^ ^{- 1} dt , который действует на гармонические в S функции и определен при Я >  0. Очевидно, что операторы М _х и M ^ коммутируют

М _л М ^ и ( x ) = М _л j 0 u ( tx ) t “ ^{- 1} dt = | 0 T ^{z 1} J 0 u ( t T x ) t “ ^{- 1} dtd T =

= J 0 ' “' J 0 u ( t T x T ^{z 1} dtd T = M M _xu ( x ).

Математика

Для оператора M - при - >  0 верны равенства

( Л + - ) M _ли( x ) = ( Л + - ) J¹ и ( tx ) t ^{- - 1} dt = J¹ ^ x u ( tx ) t ^- dt + - M U x ) = ^{0               J0} i = 1

= J 0 ( u ( tx )) T ^- dt + - M - u ( x ) = u ( tx ) t ^- 10 - - J 0 u ( tx ) t ^{- - 1} dt + - M - u ( x ) = u ( x ).

Поэтому уравнение (10) можно переписать единственным образом в виде . .        1                  . ,       . , z \ C                           ,

^u 2^{( x} ) = 32 M n /2+1 M n /2 ^M 0 ^U 2^{( x} ) ⁺ 32 M n /2+1 M n /2¹

Нетрудно подсчитать, что

M 1 = f1t--1 dt = t-l 1 = 1, -   J0        - I0 - а поэтому из (11) находим u 2 (x ) = 312 Mn / 2+1 Mn / 2 M 0U2 ( x) +

= 32 M n /2+1 M n /2 ^M 0 ^U 2⁽ X ) ⁺

C 1     1

32 n /2 + 1 n /2

C

8 n ( n + 2)

•

Обратимся теперь ко второму уравнению системы (7). Подставим в него найденное значение u ₂ ( x ). Учитывая, что если P ( t ) полином, то P ( Л )1 = P (0) будем иметь

. . .                             8 ..                                                    .. .. . . C

^{4 Л (} n ^{/2 + Л ) U} 1 ⁺ — ^{( Л + 2)(} n ^{2 + 1 + Л )} M n / 2+1 M n / 2 ^M0 ^U 2 ^{( x} ) ^{+          8(} n ^{+ 2)} = Ц-

32                                          8 n ( n + 2)

Отсюда выводим

4 Л ( n /2 + Л ) u1 = to1 ( x ),

где обозначено

1C to1(x) = и1(x) - -(Л + 2)Mn /2M0и2 (x).

4 n

Аналогично исследованию решений уравнения (9), полученное уравнение имеет решение, если

1,

Ш1 (0) = U1 (0) - -(Л + 2)Mn/2M0U2 (x) x=0

4 n

Нетрудно видеть, что поскольку и ₂ (0) = 0 , то

( Л + 2) M n /2 M 0 ^ 2 ( x )| x =0 = M n /2 ^ 2 ( x )| x =0 + 2 M n /2 M 0^ ( x )| x =0 = 0,

C а значит уравнение (13) имеет решение только в случае, если и1(0) =—. Выберем произвольную n константу C так, что C = nu1(0), а значит условие разрешимости уравнения (13) будет выполнено. В этом случае и2(x) из (12) примет вид u2 (x) =   Mn /2+1 Mn / 2M0U2 (x) + я /^L

•

32                       8 n ( n + 2)

Следовательно, решение уравнения (13) существует и имеет вид u (x) =1 Mn /2 M 0^1 (x) + C1, где с учетом найденного значения C

® 1 ( x ) = ц ( x ) - ц (0) - 4 ( Л + 2) M n / 2 M 0 U 2 ( x ) = ц ( x ) - ц(0) - ¹ M n /2 (1 + 2 M 0 ) ^ 2 ( x ).

Поэтому u 1 ( x ) имеет вид

U 1 ( x ) = 4 M n /2 M 0 1 U 1 ( x ) - U 1 (0) --4 M n /2 (1 + 2 M 0 ) j V 2 ( x ) + C 1 .

Это решение единственно с точностью до константы C 1 . Теперь обратимся к первому уравнению системы (7). Запишем его в виде

Л u 0 (x) = to) (x), где обозначено to0 (x) = и0 (x) - (Л + 2)u1 (x) - (Л + 4)u2 (x).

Как было показано выше, решение этого уравнения существует только в случае to Q (0) = 0. Проверим выполнимость условия существования решения. Подставим в to ₀(x ) найденные значения u 1 ( x ) и u ₂ ( x ) из (15) и (14)

to )( x ) = U q ( x ) - ( Л + 2) | 4 M n /2 M 0 j U x ) - ^(0) - | M n /2 (1 + 2 M 0 ) ^( x ) + C )-

• ^{-    ( Л + 4)} — ^Mn /2+1 M n /2 ^M 0 ^U 2^{( x} ) ⁺ g z I =

V 32                       8 n ( n + 2) )

• =    u ( x ) - 4 M n /2 (1 + 2 M 0 ) ^ U 1 ( x ) - ц(0) - 1 M n /2 (1 + 2 M 0 ) ^ x ) - 2 C -

• -    M n /2+1 M n /2 (1 + 4 M o ) U z ( x ) + -t ^ ⁰- = U (x ) - 2 C 1 - з Ц ^ -

• 32                             8n(n +2)                2(n +2)

  -4-Mn/2(1 + 2MоХЩСx)-ц(0)) +—Mn/2(2Mn/2(1 + 2Mo)²-Mn/2+1(1 + 4MqUx).

Если положить здесь x = 0, то с учетом равенства и2 (0) = 0 получим too(0) = Uo(O) - 2C1 - -в-

2( n + 2)

Для того, чтобы to ₀ (0) = 0, необходимо выполнение равенства

C 1 = 2 U o (O) -

U 1 (0)

4( n + 2).

С этим учетом u 1 ( x ) из (15) примет вид

U 1 ⁽ x ) = ¹ M n /2 ^M 0 I ^U 1⁽ x ) ^- U ( ^{0) - 1 M}n / 2 ^{(1 + 2 M} 0 ) | ^U 2⁽ x ) ^{+ 1 U} 0^{(0) -} , ^{U (0} * .      ⁽¹⁶⁾

4 V               4                )         2        4( n + 2)

Поэтому, если произвольную константу C1 выбрать таким образом, то первое уравнение системы (7) будет разрешимо и его решение запишется в виде u 0( x) = M 0 to0( x) + C2.

С учетом найденного значения to0 (x) будем иметь u 0 (x) = M 0 (Uo (x) - Uo(O)) - 1 Mn /2(1 + 2 M 0) Mq (u (x) - ц (0)) + + 312Mn/2(2Mn/2(1 + 2Mo)2 -Mn/2+1(1 + 4M0))MoU(x) + C2.

Итак, решение системы уравнений (7) построено и находится по формулам (14), (16) и (17), а значит тригармоническая функция u ( x ) = u ₀ ( x ) + | x|² u 1 ( x ) + | x|⁴ u ₂ ( x ) является решением задачи (1)-(2). Условие существования этого решения и ₂ (0) = 0 можно переписать в терминах граничных функций в виде (3). Решение задачи единственно с точностью до константы C ₂ . Выполнимость граничных условий в указанном смысле обеспечивается непрерывностью результата применения коэффициентов операторной матрицы A ( Л ) к гармоническим функциям u ₀ ( x ), u 1 ( x ) и u ₂ ( x ), находимым из (14), (16) и (17). Нетрудно видеть, что степени оператора Л из матрицы A ( Л ) при действии на эти функции «компенсируются» операторами M ^ и поэтому дополнительной гладкости, кроме непрерывности функций и ₀ ( x ), U 1 ( x ) и и ₂ ( x ), не требуется. Последнее же обеспечивается непрерывностью граничных функций ф ₀(s ), ^( s ) и ф ₂(s ). Теорема доказана.

Математика