Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля
Автор: Абдуллаев А.Р., Савочкина А.А.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 4 (23), 2013 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрена периодическая задача для уравнения вида x"(t)+ƒ(x(t))x''(t)+kx(t)=h(t). Для случая ограниченной функции ƒ(x(t))и к ˂ 0 получены достаточные условия существования решения.
Уравнение ван дер поля, периодическая задача, ния
Короткий адрес: https://sciup.org/14729884
IDR: 14729884
Текст научной статьи Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля
В настоящей работе рассматривается периодическая краевая задача для уравнения
x "(t) + f (x (t))x 'tt) + kxt) = h (t), (1)
x ( 0 ) = x ( ® ), x '( 0 ) = x '( a ) , (2) где t e [ 0, a ] , x : [ 0, ю ] ^ R1 - искомая функция, f : R 1 ^ R 1 непрерывная функция и h : [ 0, ю ] ^ R 1.
Уравнение (1) является уравнением "типа Ван дер Поля", так как, с одной стороны, является частным случаем уравнения Льенара, когда g ( x ) = kx , а с другой стороны, является уравнением Ван дер Поля при k = 1 . Уравнение (1) с k ^ 1 возникает в современных математических моделях, в частности при моделировании микроэлектромеханиче-ских (MEMS) систем [1].
Определим следующие функциональные банаховы пространства: L2 = L 2 [ 0, ю ] -пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке [ 0, ю ] , с нормой

II x L HI x ( t ) 2 dt >
W 2 = W 2 [ 0, a ] - про-
странство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций x : [ 0, ю ] ^ R1 таких, что x " e L^ , с нормой II x\\w = | x ( 0 ) + | x ’( 0 ) + 1| x ’||. Символом W ,0 обозначим подпространство
W00 = {x e W2 /x(0) = x(a),x'(0) = x'(a)}.
Пространство W 0 будем рассматривать и как гильбертово пространство H = W 0 со скалярным произведением
0x, y)H = x(0)y(0) + x(0)y(0) + j x(t)y(t)dt.
Согласованная со скалярным произведением норма ||| является эквивалентной норме ||-||^0, причем справедливо неравенство I <. ^ 4iк •
Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию x е W , которая почти всюду на [ 0, j \ удовлетворяет уравнению (1) и периодическим краевым условиям (2). Отметим, что периодическая задача (1), (2) на пространстве W 0 становится эквивалентной только уравнению (1).
Применяемая в статье техника исследования, основана на теореме о разрешимости квазилинейного операторного уравнения, доказанная в работе [2]. Для удобства чтения, приведем здесь формулировку этой теоремы.
Пусть X , Y - действительные банаховы пространства, L : X ^ Y - линейный ограниченный оператор с ядром ker L и образом R ( L ) .
Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение
Lx = Fx , (3) где оператор L : X ^ Y является фредгольмовым, F : X ^ Y - непрерывным, вообще говоря, нелинейным оператором.
В силу фредгольмовости оператора L справедливы разложения X = ker L Ф X o, Y = R ( L ) Ф Y o, причем ker L изоморфно Yo как подпространства одинаковой размерности. Изоморфизм между подпространством Yo и ядром обозначим через J : Y o ^ ker L .
Будем предполагать, что ядро def ker L = Ho оператора L является гильбертовым пространством со скалярным произведением С-) н, причем llxL0 = I lxL, x е ker L.
Проекторы на ядро и образ оператора L обозначим P : X ^ X и Q : Y ^ Y соответственно, и пусть Qc : Y ^ Y - дополнительный проектор, т.е. Qc = I — Q .
Определим оператор (сужение Qc на подпространство Y o) Q 0c : Y ^ Y 0 равенством Q 0у = y — Qy , y e Y .
Оператор Lo : X ^ R(L) определим как сужение оператора L на подпространство R (L). Этот оператор имеет правый обратный Kp : R(L) ^ X. Далее будем называть опе ратор Kp :R(L)^X обобщенно обратным к L оператором [3].
Сформулируем теорему существования [2] решения квазилинейного операторного уравнения (3).
Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:
-
1) существует такая константа с > 0 , что
- неравенство
(JQcC (F (x + и) — F (x + v)), u — v) > c||u — v| | ^
' ' H O 0
справедливо для всех x е X и произвольных и , v е H 0;
-
2) существуют константы a > 0, b > 0 такие, что выполнено неравенство ||Fx | < a + b||x || для всех x е X ;
3) ь||кр|| 1 +
k
Л1
c
< 1 .
Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.
Периодическую задачу (1)–(2) будем записывать в виде операторного уравнения (3) с оператором L : X ^ Y , полагая
X = W ° [0, j \, Y = L 2 [0, a \ ,
( Lx )( t ) = x "( t ) , (4)
( Fx )/tt ) = h ( t ) — f ( x ( t )) x " ( t ) — kxt ) . (5)
Оператор L: W20 ^ L2, определенный равенством (4), является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром и образом ker L = {x eW 0 / x(t) = const},
a
R ( L ) = < y e L2 / j y ( s ) ds = 0
> .
Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора L определим равенствами:
P : W 2 0 ^ W °, Px ( t ) = x ( 0 ) ,
Q : L 2 ^ L 2 , Qy ( t ) = y ( t ) — - J y ( s ) ds .
J о
Изоморфизм J : Y o ^ ker L определим равенством Jy = y , y e Y o, а оператор Q 0 : L 2 ^ Y 0 равенством Q ° y = y — Qy , y e L 2 .
Лемма 1 [4]. Оператор Kp : R ( L ) ^ X имеет вид
где
y = max^ 1, г, г
Г ,
г t
(Kpy)(t) = — J sy(s)ds + J (t - s)y(sds, y e L2, г о о и справедлива оценка K^P || ^ 1 + ^T .
Теорема 2. Пусть k < 0 и выполнены условия:
-
1) существует такая константа a > 0 , что | f ( u ) < а для любого u e R 1;
-
2)
Т® (ay^ + ky)(73 + Г )(1 - 73® (ay 2 + ly)/k )< 1,
y = max { 1, 7 г } ,
то
Fx
L 2
<1 hl
L 2
г где Y = max< 1, г, гл — >, /2 = max
{ 1,T T } .
Тогда задача (1)–(2) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Оператор
Fo (x + u ) = JQCF (x + u),
где x e X 0, u e ker L имеет вид
1 \'
Fo(x + u) = —[I h(t)- f (x + u)(x + u) -г 0 7
-
1 г
(x + u ))dt = — Г (h (t) - (x (t) + u ))dt.
г 0
Интеграл j f ( x + u )( x + u ) dt = 0 в
силу
краевых условий (2).
Для произвольных x e X0, u, v e ker L оценим скалярное произведение
(JQC (F(x + u)- F(x + v)), u - v) =
0 H 0
= - f (h (t) - k (x (t) + u ) - h (t) + k (x (t) + v)) - г 0
1 г,
- (u - v )dt = — f k (v - u) - (u - v)dt = - k (u - v) .
г 0
Таким образом, условие 1) теоремы 1 выполнено с константой - k .
Так как для любого x(t)e W20 справед ливы неравенства
|x(t ) < Y 1| x ( t )| w 0, xt ) < Y 21 x ( t HI w 0,
г
= J h(t)- f (x(t))x ,(t)- kx(t)2 dt
7 0
( г
+ J a 21 x '(t)2 dt 7 0 7
<
г
+ J \kxt t ) dt
7 0 7
,2 • Y2 2 — ~iniw • Y 1'^-mw r« L 2 + Т3 т ( a Y 2 + 2 )| x|w 0.
<
+
Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполнено с константами a = || h || ^, b = 73 г ( a y 2 + kyl ) .
Справедливость условия 3) теоремы обеспечивает выполнение условия 3) теоремы 1. Если учесть, что оператор F : X ^ Y , определенный равенством (5), вполне непрерывен, то все условия теоремы 1 выполнены. Это означает, что операторное уравнение (3) имеет решение, а следовательно задача (1)–(2) разрешима. Теорема доказана.
Список литературы Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля
- Абдуллаев А.Р., Жиганкова П.О. Периодические решения уравнения Льенара, моделирующего микроэлектромеханические системы (MEMS)//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. 2012. № 10. C. 3-5.
- Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В., Савочкина А.А. О разрешимости квазилинейного уравнения с монотонным оператором//Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 2 (98). С. 80-85.
- Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологических нетеровых операторов: моногр. Челябинск, 1994. 93 с.
- Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач//Изв. вузов. Математика. 1996. № 11. С. 14-22.