Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля

В настоящей работе рассматривается периодическая краевая задача для уравнения

x "(t) + f (x (t))x 'tt) + kxt) = h (t), (1)

x ( 0 ) = x ( ® ), x '( 0 ) = x '( a ) , (2) где t e [ 0, a ] , x : [ 0, ю ] ^ R¹ - искомая функция, f : R ¹ ^ R ¹ непрерывная функция и h : [ 0, ю ] ^ R ¹.

Уравнение (1) является уравнением "типа Ван дер Поля", так как, с одной стороны, является частным случаем уравнения Льенара, когда g ( x ) = kx , а с другой стороны, является уравнением Ван дер Поля при k = 1 . Уравнение (1) с k ^ 1 возникает в современных математических моделях, в частности при моделировании микроэлектромеханиче-ских (MEMS) систем [1].

Определим следующие функциональные банаховы пространства: L₂ = L ₂ [ 0, ю ] -пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке [ 0, ю ] , с нормой

II x L HI x ^{( t} ) ^{2 dt} >

W ₂ = W ₂ [ 0, a ] - про-

странство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций x : [ 0, ю ] ^ R¹ таких, что x " e L^ , с нормой II x\\_w = | x ( 0 ) + | x ’( 0 ) + 1| x ’||. Символом W ,⁰ обозначим подпространство

W00 = {x e W2 /x(0) = x(a),x'(0) = x'(a)}.

Пространство W ⁰ будем рассматривать и как гильбертово пространство H = W 0 со скалярным произведением

0x, y)H = x(0)y(0) + x(0)y(0) + j x(t)y(t)dt.

Согласованная со скалярным произведением норма ||| является эквивалентной норме ||-||^0, причем справедливо неравенство I <. ^ 4iк •

Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию x е W , которая почти всюду на [ 0, j \ удовлетворяет уравнению (1) и периодическим краевым условиям (2). Отметим, что периодическая задача (1), (2) на пространстве W 0 становится эквивалентной только уравнению (1).

Применяемая в статье техника исследования, основана на теореме о разрешимости квазилинейного операторного уравнения, доказанная в работе [2]. Для удобства чтения, приведем здесь формулировку этой теоремы.

Пусть X , Y - действительные банаховы пространства, L : X ^ Y - линейный ограниченный оператор с ядром ker L и образом R ( L ) .

Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение

Lx = Fx , (3) где оператор L : X ^ Y является фредгольмовым, F : X ^ Y - непрерывным, вообще говоря, нелинейным оператором.

В силу фредгольмовости оператора L справедливы разложения X = ker L Ф X _o, Y = R ( L ) Ф Y _o, причем ker L изоморфно Y_o как подпространства одинаковой размерности. Изоморфизм между подпространством Y_o и ядром обозначим через J : Y _o ^ ker L .

Будем предполагать, что ядро def ker L = Ho оператора L является гильбертовым пространством со скалярным произведением С-) н, причем llxL0 = I lxL, x е ker L.

Проекторы на ядро и образ оператора L обозначим P : X ^ X и Q : Y ^ Y соответственно, и пусть Q^c : Y ^ Y - дополнительный проектор, т.е. Q^c = I — Q .

Определим оператор (сужение Q^c на подпространство Y _o) Q 0c : Y ^ Y 0 равенством ^{Q 0}у = y ^— Qy , y ^{e Y} .

Оператор Lo : X ^ R(L) определим как сужение оператора L на подпространство R (L). Этот оператор имеет правый обратный Kp : R(L) ^ X. Далее будем называть опе ратор Kp :R(L)^X обобщенно обратным к L оператором [3].

Сформулируем теорему существования [2] решения квазилинейного операторного уравнения (3).

Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:

• 1)    существует такая константа с >  0 , что

• неравенство

(JQcC (F (x + и) — F (x + v)), u — v)   > c||u — v| | ^

'                                                                  ' H O                         ⁰

справедливо для всех x е X и произвольных и , v е H ₀;

• 2)    существуют константы a >  0, b >  0 такие, что выполнено неравенство ||Fx | <  a + b||x || для всех x е X ;

  3) ^ь||^кр|| ¹ +

  k

  
  

  Л1

  c

  
  

  < 1 .

  
  

Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.

Периодическую задачу (1)–(2) будем записывать в виде операторного уравнения (3) с оператором     L : X ^ Y , полагая

X = W ° [0, j \, Y = L ₂ [0, a \ ,

( Lx )( t ) = x "( t ) ,         (4)

( Fx )/tt ) = h ( t ) — f ( x ( t )) x " ( t ) — kxt ) .   (5)

Оператор L: W20 ^ L2, определенный равенством (4), является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром и образом ker L = {x eW 0 / x(t) = const},

a

R ( L ) = <  y e L₂ / j y ( s ) ds = 0

> .

Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора L определим равенствами:

P : W ₂ ⁰ ^ W °, Px ( t ) = x ( 0 ) ,

Q : L 2 ^ L 2 , Qy ( t ) = y ( t ) — - J y ( s ) ds .

J о

Изоморфизм J : Y _o ^ ker L определим равенством Jy = y , y e Y _o, а оператор Q 0 : L ₂ ^ Y 0 равенством ^Q ° y = y ^— Qy , y ^{e L} 2 .

Лемма 1 [4]. Оператор K_p : R ( L ) ^ X имеет вид

где

y = max^ 1, г, г

Г ,

г                t

(Kpy)(t) = — J sy(s)ds + J (t - s)y(sds, y e L2, г о           о и справедлива оценка K^P || ^ 1 + ^T .

Теорема 2. Пусть k <  0 и выполнены условия:

• 1)    существует такая константа a >  0 , что | f ( u ) <  а для любого u e R ¹;

• 2)

Т® (ay^ + ky)(73 + Г )(1 - 73® (ay 2 + ly)/k )< 1,

y = max { 1, 7 г } ,

то

Fx

L ₂

<1 hl

L ₂

г где Y = max< 1, г, гл — >, /2 = max

{ 1,T T } .

Тогда задача (1)–(2) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Оператор

Fo (x + u ) = JQCF (x + u),

где x e X ₀, u e ker L имеет вид

1                                                \'

Fo(x + u) = —[I h(t)- f (x + u)(x + u) -г 0 7

-

1 г

(x + u ))dt = — Г (h (t) - (x (t) + u ))dt.

^г 0

Интеграл j f ( x + u )( x + u ) dt = 0 в

силу

краевых условий (2).

Для произвольных x e X0, u, v e ker L оценим скалярное произведение

(JQC (F(x + u)- F(x + v)), u - v)   =

0                                    _{H 0}

= - f (h (t) - k (x (t) + u ) - h (t) + k (x (t) + v)) - г 0

1 г,

- (u - v )dt = — f k (v - u) - (u - v)dt = - k (u - v) .

^г 0

Таким образом, условие 1) теоремы 1 выполнено с константой - k .

Так как для любого x(t)e W20 справед ливы неравенства

|^x(t ) < Y 1| x ^{( t} )| w 0, xt ) <  Y 21 x ^{( t} HI _w 0,

г

= J h(t)- f (x(t))x ,(t)- kx(t)2 dt

7 0

( г

+ J a 21 x '(t)2 dt 7 0             7

<

г

+ J \kxt t ) dt

7 0          7

,2 • ^{Y2 2} — ~iniw • ^{Y 1}'^-mw r« L 2 + Т3 т ^{( a} Y 2 + ² )| x|_w 0.

<

+

Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполнено с константами a = || h || ^, b = 73 г ( a y 2 + ky_l ) .

Справедливость условия 3) теоремы обеспечивает выполнение условия 3) теоремы 1. Если учесть, что оператор F : X ^ Y , определенный равенством (5), вполне непрерывен, то все условия теоремы 1 выполнены. Это означает, что операторное уравнение (3) имеет решение, а следовательно задача (1)–(2) разрешима. Теорема доказана.