Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля

Автор: Абдуллаев А.Р., Савочкина А.А.

Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi

Рубрика: Математика

Статья в выпуске: 4 (23), 2013 года.

Бесплатный доступ

Рассмотрена периодическая задача для уравнения вида x"(t)+ƒ(x(t))x''(t)+kx(t)=h(t). Для случая ограниченной функции ƒ(x(t))и к ˂ 0 получены достаточные условия существования решения.

Уравнение ван дер поля, периодическая задача, ния

Короткий адрес: https://sciup.org/14729884

IDR: 14729884

Текст научной статьи Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля

В настоящей работе рассматривается периодическая краевая задача для уравнения

x "(t) + f (x (t))x 'tt) + kxt) = h (t), (1)

x ( 0 ) = x ( ® ), x '( 0 ) = x '( a ) , (2) где t e [ 0, a ] , x : [ 0, ю ] ^ R1 - искомая функция, f : R 1 ^ R 1 непрерывная функция и h : [ 0, ю ] ^ R 1.

Уравнение (1) является уравнением "типа Ван дер Поля", так как, с одной стороны, является частным случаем уравнения Льенара, когда g ( x ) = kx , а с другой стороны, является уравнением Ван дер Поля при k = 1 . Уравнение (1) с k ^ 1 возникает в современных математических моделях, в частности при моделировании микроэлектромеханиче-ских (MEMS) систем [1].

Определим следующие функциональные банаховы пространства: L2 = L 2 [ 0, ю ] -пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке [ 0, ю ] , с нормой

II x L HI x ( t ) 2 dt >

W 2 = W 2 [ 0, a ] - про-

странство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций x : [ 0, ю ] ^ R1 таких, что x " e L^ , с нормой II x\\w = | x ( 0 ) + | x ’( 0 ) + 1| x ’||. Символом W ,0 обозначим подпространство

W00 = {x e W2 /x(0) = x(a),x'(0) = x'(a)}.

Пространство W 0 будем рассматривать и как гильбертово пространство H = W 0 со скалярным произведением

0x, y)H = x(0)y(0) + x(0)y(0) + j x(t)y(t)dt.

Согласованная со скалярным произведением норма ||| является эквивалентной норме ||-||^0, причем справедливо неравенство I <. ^ 4iк •

Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию x е W , которая почти всюду на [ 0, j \ удовлетворяет уравнению (1) и периодическим краевым условиям (2). Отметим, что периодическая задача (1), (2) на пространстве W 0 становится эквивалентной только уравнению (1).

Применяемая в статье техника исследования, основана на теореме о разрешимости квазилинейного операторного уравнения, доказанная в работе [2]. Для удобства чтения, приведем здесь формулировку этой теоремы.

Пусть X , Y - действительные банаховы пространства, L : X ^ Y - линейный ограниченный оператор с ядром ker L и образом R ( L ) .

Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение

Lx = Fx , (3) где оператор L : X ^ Y является фредгольмовым, F : X ^ Y - непрерывным, вообще говоря, нелинейным оператором.

В силу фредгольмовости оператора L справедливы разложения X = ker L Ф X o, Y = R ( L ) Ф Y o, причем ker L изоморфно Yo как подпространства одинаковой размерности. Изоморфизм между подпространством Yo и ядром обозначим через J : Y o ^ ker L .

Будем предполагать, что ядро def ker L = Ho оператора L является гильбертовым пространством со скалярным произведением С-) н, причем llxL0 = I lxL, x е ker L.

Проекторы на ядро и образ оператора L обозначим P : X ^ X и Q : Y ^ Y соответственно, и пусть Qc : Y ^ Y - дополнительный проектор, т.е. Qc = I Q .

Определим оператор (сужение Qc на подпространство Y o) Q 0c : Y ^ Y 0 равенством Q 0у = y Qy , y e Y .

Оператор Lo : X ^ R(L) определим как сужение оператора L на подпространство R (L). Этот оператор имеет правый обратный Kp : R(L) ^ X. Далее будем называть опе ратор Kp :R(L)^X обобщенно обратным к L оператором [3].

Сформулируем теорему существования [2] решения квазилинейного операторного уравнения (3).

Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:

  • 1)    существует такая константа с >  0 , что

  • неравенство

(JQcC (F (x + и) — F (x + v)), u — v)   > c||u — v| | ^

'                                                                  ' H O                         0

справедливо для всех x е X и произвольных и , v е H 0;

  • 2)    существуют константы a 0, b >  0 такие, что выполнено неравенство ||Fx | <  a + b||x || для всех x е X ;

    3) ь||кр|| 1 +

    k


    Л1

    c


    < 1 .


Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.

Периодическую задачу (1)–(2) будем записывать в виде операторного уравнения (3) с оператором     L : X ^ Y , полагая

X = W ° [0, j \, Y = L 2 [0, a \ ,

( Lx )( t ) = x "( t ) ,         (4)

( Fx )/tt ) = h ( t ) f ( x ( t )) x " ( t ) kxt ) .   (5)

Оператор L: W20 ^ L2, определенный равенством (4), является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром и образом ker L = {x eW 0 / x(t) = const},

a

R ( L ) = <  y e L2 / j y ( s ) ds = 0

> .

Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора L определим равенствами:

P : W 2 0 ^ W °, Px ( t ) = x ( 0 ) ,

Q : L 2 ^ L 2 , Qy ( t ) = y ( t ) - J y ( s ) ds .

J о

Изоморфизм J : Y o ^ ker L определим равенством Jy = y , y e Y o, а оператор Q 0 : L 2 ^ Y 0 равенством Q ° y = y Qy , y e L 2 .

Лемма 1 [4]. Оператор Kp : R ( L ) ^ X имеет вид

где

y = max^ 1, г, г

Г ,

г                t

(Kpy)(t) = — J sy(s)ds + J (t - s)y(sds, y e L2, г о           о и справедлива оценка K^P || ^ 1 + ^T .

Теорема 2. Пусть k <  0 и выполнены условия:

  • 1)    существует такая константа a 0 , что | f ( u ) а для любого u e R 1;

  • 2)

Т® (ay^ + ky)(73 + Г )(1 - 73® (ay 2 + ly)/k )< 1,

y = max { 1, 7 г } ,

то

Fx

L 2

<1 hl

L 2

г где Y = max< 1, г, гл — >, /2 = max

{ 1,T T } .

Тогда задача (1)–(2) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Оператор

Fo (x + u ) = JQCF (x + u),

где x e X 0, u e ker L имеет вид

1                                                \'

Fo(x + u) = —[I h(t)- f (x + u)(x + u) -г 0 7

-

1 г

(x + u ))dt = — Г (h (t) - (x (t) + u ))dt.

г 0

Интеграл j f ( x + u )( x + u ) dt = 0 в

силу

краевых условий (2).

Для произвольных x e X0, u, v e ker L оценим скалярное произведение

(JQC (F(x + u)- F(x + v)), u - v)   =

0                                    H 0

= - f (h (t) - k (x (t) + u ) - h (t) + k (x (t) + v)) - г 0

1 г,

- (u - v )dt = — f k (v - u) - (u - v)dt = - k (u - v) .

г 0

Таким образом, условие 1) теоремы 1 выполнено с константой - k .

Так как для любого x(t)e W20 справед ливы неравенства

|x(t ) < Y 1| x ( t )| w 0, xt ) Y 21 x ( t HI w 0,

г

= J h(t)- f (x(t))x ,(t)- kx(t)2 dt

7 0

( г

+ J a 21 x '(t)2 dt 7 0             7

<

г

+ J \kxt t ) dt

7 0          7

,2 • Y2 2 — ~iniw • Y 1'^-mw r« L 2 + Т3 т ( a Y 2 + 2 )| x|w 0.

<

+

Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполнено с константами a = || h || ^, b = 73 г ( a y 2 + kyl ) .

Справедливость условия 3) теоремы обеспечивает выполнение условия 3) теоремы 1. Если учесть, что оператор F : X ^ Y , определенный равенством (5), вполне непрерывен, то все условия теоремы 1 выполнены. Это означает, что операторное уравнение (3) имеет решение, а следовательно задача (1)–(2) разрешима. Теорема доказана.

Список литературы Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля

  • Абдуллаев А.Р., Жиганкова П.О. Периодические решения уравнения Льенара, моделирующего микроэлектромеханические системы (MEMS)//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. 2012. № 10. C. 3-5.
  • Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В., Савочкина А.А. О разрешимости квазилинейного уравнения с монотонным оператором//Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 2 (98). С. 80-85.
  • Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологических нетеровых операторов: моногр. Челябинск, 1994. 93 с.
  • Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач//Изв. вузов. Математика. 1996. № 11. С. 14-22.
Статья научная