Регуляризация и выбор параметра решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода

Автор: Беделова Нургуль Салибаевна, Асанов Авыт, Орозмаматова Жыпар

Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki

Рубрика: Физико-математические науки

Статья в выпуске: 3 т.8, 2022 года.

Бесплатный доступ

В работе рассматриваются нелинейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. Для решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву, доказана теорема единственности и выбран параметр регуляризации. При исследовании применяются понятие производной по возрастающей функции, метод регуляризации по М. М. Лаврентьеву, методы функционального анализа, методы преобразования уравнений, методы интегральных и дифференциальных уравнений. Предложенные методы можно использовать для исследования интегральных, интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра-Стилтьеса высоких порядков, также при качественном исследовании некоторых прикладных процессов в области физики, экологии, медицины, теории управления сложными системами. Могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах некорректных задач, для численного решения интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. А также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода.

Еще

Регуляризация, решения, нелинейные интегральные уравнения вольтерра-стилтьеса, третий род, выбор параметра регуляризации

Короткий адрес: https://sciup.org/14123621

IDR: 14123621

Текст научной статьи Регуляризация и выбор параметра решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.968                                        

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса не всегда сводится к интегральным уравнениям Вольтерра, так как интеграл Стилтьеса не всегда сводится к интегралу Римана или интегралу Лебега. Поэтому изучение интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса представляют самостоятельный интерес.

Материал и методы исследования

В работе используется метод регуляризации по М. М. Лаврентьеву, выбран параметр регуляризации, методы функционального анализа, методы преобразования уравнений, методы интегральных и дифференциальных уравнений. Выбором параметра получена оптимальная оценка приближенного решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода.

Рассмотрим уравнение:

г                                                                              (1)

m(t)u(t) + I K(t,s, u^s^^dp^s) = f(t),   te[t0, T],  T > t0

^ 0

где K(t,s, и ), f(t), m(t)-заданные функции, m ( t 0) = 0, m(t)-неубывающая непрерывная функция на [t o , T], u ( t ) -неизвестная функция на [t o , T], (p(t ) -возрастающая непрерывная функция на [t 0 , T].

Наряду с уравнением (1) будем рассматривать уравнение:

(f + m(t))tf(t, г) + I K(t,s, u(s,f))dp(s) = f(t) + fu(t0),  te[t0,T],

to где 0 < s-малый параметр, (t,s) eG= {(t,s): t0 < s < t < T}.

Всюду будем предполагать, что K(t, s, и)представимо в виде:

K(t,s,u) = K0(t,s)u + K1(t,s,u), где (t,s,u)EGxR.                      (3)

Различные вопросы теории интегральных уравнений исследовались во многих работах. В частности, в [1] исследованы линейные интегральные уравнения второго рода и их системы на конечных и бесконечных интервалах. В [2] дан обзор результатов по интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. В [3] для линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами доказано существование многопараметрического семейства решений. Но основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [4], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. В работах [5] и [6] исследованы уравнения Вольтерра первого рода и обратные задачи. В [7] и [8] доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву для систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с негладкими матричными ядрами. В [9] для систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. В [10] для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. В [11] на основе нового подхода исследованы вопросы существования и единственности решения для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода c особенностью в одной точке на конечном промежутке. В [12] на основе подхода предложенного в [11] изучен класс интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на конечном промежутке. В работах [13] и [14] на основе подходов предложенных в [11] и [12], разработан улучшенный новый подход исследования систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями на конечном промежутке. В работе [15], на основе понятия производная функции по возрастающей функции введенный в [14], исследовались линейные и нелинейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса первого и второго родов. В [16] для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. В [17] выбран параметр регуляризации для решения линейного интегрального уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. Здесь для решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода (1) построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву, доказана теорема единственности и выбран параметр регуляризации.

Предположим выполнения следующих условий:

  • a)     K ( t , s ) e C (G) , K o ( t , t ) e С [ 1 0, T ],   K o ( t , t ) 0 при t e [ 1 0, T ];

  • б)    при t т для любых ( t , s ), ( t , s ) e G справедлива оценка

\Ko(t,s) - Ko(t,s)\

  • где l — известное неотрицательное число.

    • с) K1(t, t, u) = 0, (t, u) G [t0,T] x R, K1(t, 5, 0) = 0 при(С, s) G G, при t > т

    для любых (t, s, и) (т, s, и), (t, s, u2), (т, s, u2) G G x R справедлива оценка

    г

    lKi(t,s,Ui) - Ki(t,s,Ui) - K(t,s,u2) + K(t,s,u2)\ < I2 I Ko(s,s)dcp(s') + m(t) \ui -U2I,

    где l2 — известное неотрицательное число. Здесь C [ t 0, T ] — пространство всех непрерывных функций и ( t ), определенных на [ t 0, T ] с нормой || и ( t )||  = max| ( t )||.

    t e [ t o , T ]

    Будем обозначать  CY[t0, T],0 < у < 1 линейное пространство всех функций  и(t), определенных на [ t0, T ] и удовлетворяющих условию

    |и(t) - и(s)| < M^(t) - ^(s)|Y   ,  ^(t) = J K0(s, s)d^(s) + m(t), t 0

    где M-положительная постоянная, зависящая от и ( t ), но не от t и s.

    В дальнейшем используются следующие леммы 1, 2 и 3. Лемма 1. Пусть выполняются условия а) и su( t) F (t ■ s) =--e s + m (t)

    t

    K ( t , t ) d y ( t ) s + m ( t )

    1 o

    K o( t , t )

    f K o ( s s ) e J  ..... s [ u ( t ) u ( s )] d y ( s ).

    “ s + m ( t )              s + m ( s )

    где и (fie C [ 1- T ] ,

    0и (t0) = 0, Тогда

    I F ( t , s)| c < M ( M i + M , ) e s Y ,

    где M = sup | u ( t ) u ( s )|/   Щ ( t ) щ ( s )| Y   M, = sup[ * e * ], M 2 =j e z z Y dz .

    t , s e [ t o , T ]                                                                     * > o                            o

    Доказательство. Пусть u ( t ) e C [ t 0, T ] , o у 1 . Тогда оценим первый член формулы (4):

    t s [ u ( t ) - u ( t o)] e j s + m ( t )

    K o ( t , t ) --------dy ( t ) s + m ( t )

    < sM [ щ ( t )] Y s + m ( t )

    m ( t )         1

    s + m ( t ) s + m ( t )

    t

    J K o ( t , t ) d y ( t ) t 0

    = Ms 1 Y s Y    у ( t )      s^

    [ s + m ( t )] 1 Y s + m ( t )

    Оценим вторую член (4):

    < MMe s Y ,

    t e [ t o , T ].

    f K o ( s s ) e 4 t o s + m ( t )

    K i ( t , t )

    -     dy ( t )

    s + m ( t )

    £ [ ^ < t ^- K ( - a d y ( s ) s + m ( s )

    M ε   t

    ≤         ee s+m (t )tJo

    £ + m ( t ) JYo ( s s ) s + m ( s )

    f Ko ( t , t )

    —   -       d y ( t )

    s + m ( t )

    e s            ×

    t

    x [ m ( t ) - m ( s ) + J Ko ( t , t ' d y(r )] Y d y (s ) <

    s

    Me ε

    [ s + m ( t )] 1 - Y

    m ( t )

    t   —[--------- s+m (t)

    ∫e to

    + ' f K o ( t , t ) s + m ( t ) s

    dy(T)][  m(t)   + s + m (t)

    г K0 ( t , t )            Ko ( s , s )

    +   ——- dy(T)]Y —01—- dy( s) = MesY s + m (t )        s + m (s)

    -^ +[ ^ 2 d y ( t ) s + m ( t ) J s + m ( t )

    e - z z γ dz Me εγ e - z z γ dz ,

    m ( t ) s + m ( t )

    t e [ t o , T ].

    Учитывая оценки (6), (7), из (4) получим оценку (5). Лемма 1 доказана.

    Лемма 2. Пусть выполняются условии а), б) и

    t

    K o t )

    e К (s s') J m     ( '

    Ho (t■ t, s) =--[Ko (t■ t) — Ko (t, t)] + f          e s s + m (t)                     £ s + m (t)

    Тогда справедлива оценка

    |H ( t , t , s )| ( e + 1) 1 ■  ( t , t ) e G , s o.

    ----1     [ K o ( s , t ) K o ( t , t )] d y ( s )■ s + m ( s )

    Доказательство. Сначала покажем, что

    1                                      j K o C ss. d y ( s )

    Ho (t■ T, s) = —         [Ko(t■ t) — Кo (т, t)]e £ £“ s s + m(t)

    -

    s + m ( t )   s + m ( s )

    —^ K 1 ( ££ d y ( t )     (9)

    K ( s , s )       s + m ( t )

    o----- e s         x

    4 K 0 ( t . T ) - K 0 ( s , - )] d y ( s ) .

    В самом деле

    t           _ | K 0 - " d ^ )

    f---- тте +   ’    -J0 (-,-)[ K o ( t ) - K "— )]d M s ) =------[ K ( t ,t ) - K o —— )]

    s + m ( t )             s + m ( )                            s + m ( t )

    Г K o - L ,                                                                                              f K o( T )J,

    I                    ( t )                                                                                                                                                                                I               d ^

    • * e s ‘ + m(T '     = - = —1—[ K o ( t ) - K o ( t , t )]--1—[ K ( t , t ) - K o —— )] e T + m" 1

    • 1     s + m ( t )                       s + m ( t )

    Учитывая (10) имеем (9). Далее из (9) получим

    _J K C^) d y ( s )                 t              -J K°(T"1 d M " )

    1                                        s+ m ( s )                1          K ■ , ■       s+ m ( t )

    Ho(t".s) <          Ko(t—) -K0(t,t) e T          +             0     es          [Ko(t,T)-Ko(s,T)] d^(s) < s + m (t)                                 s + m (t) s + m (s)

    m ( t ) f K 0 ( s . s )                                                   f K 0 ( t,t )                m ( t)

    K ( s . s )               m ( t )        s + m ( t ) 1 s + m ( s ) yS        1        K ( s . s )    1 s + m ( t ) ^^   -,

    < l [    ——- d M s ) + —^^] ee      T       +           -—- es       ee s + m ( ' ) l *

    s + m ( s )         s + m ( t )                       s + m ( t ) s + m ( s )

    t                                                              t - m ( t ) - f Kt—- d ^— )

    * [ f K o ( s . s ) d y ( s ) + m ( t )] d ^ ( s ) l1e [sup( v e -v ) + Це f e s m™^ s s +mT)     ( - 1) *

    v > 0

    • * [ f^ d ^ ( s ) + ^- ] d s [- mt )- s + m ( s )         s + m ( t )     s + m ( t )

    Лемма 2 доказана.

    Лемма 3. Пусть выполняются условия

    а), с) и P(t,T, 4 (t,e)) =

    -

    t

    ° ( -^ d y— )] Ц + Це e-v v d v = Ц (1 + e ) .

    J : s + m ( - )                  Jo

    ----— [/u(t)+

    £+m(t)   1

    t

    t

    • 4— . s )) - K , ( t . u ( - ))] + f

    τ

    k o( -- ).

    K ( s . s ) ~J s + m ( - ) M ( - )

    s + m ( s )

    1     *

    s + m ( t )

    [ K ( s, t . u ) + 4" . s ))] - K ( s . t . u ( t ))] d ^ ( s ).

    Тогда справедлива оценка

    |p(t,T, 4 (t,e))| 2 (1 + e)| 4 (t,e)|,   (t,T, 4)eGxR, e > 0.

    Доказательство. Сначала покажем, что

    1                                       - f^ d y ( q )              (13)

    P(t. t. 4(t. s)) =--— [K1 (t. t. u(t) + 4(t. s)) - K1 (t. t. u(t))]e -"+q 4      - s + m (t)

    K 0( q . q ) t                 -            d y ( q )

    1         K ( s . s )      s + m ( q )

    -     e s          [K 1(t—. u—) + 4—. s)) - K 1(s—. u(t) + 4(t. s)) - s + m (t) s + m (s)

    - K 1 ( t . t . u ( t )) + K 1 ( s . t . u ( t ))] d y ( s )

    В самом деле t                                        гK o( q, q)

    1       K (s, s)   J £+m (q)

    •   0      es           [ Ki( t ,t, u (t ) + ^(t, s)) - Kj( t ,t, u (t ))] d,( s) =x

    £ + m ( t ) s + m ( s )                                                          s + m ( t )

    -jK^ d, ( q )

    x [ K 1 ( t , t , u ( t )) + ^ ( t , s )) - K 1 ( t , t , u ( t ))] e s£+mq       s - T =------ — [ K i ( t , t , u ( t ) + ^ ( t , s )) -

    1 s + m ( t )

    1                                      - j^ d , ( q )

    - K1( t ,t, u (t ))] -           [ K1( t ,t, u (t ) + ^(t, s)) - K1( t ,t, u (t ))] e     q4.

    s + m ( t )

    Учитывая (14) из (11) имеем (13).

    Далее из (13) получим

    1                                                                         -j^ d , ( q )

    IP(t, t, ^(t, s))| <----- K (t, t, u(t) + ^(t, s)) - K (t, t, u(t) + ^(t, s)) - K (t, t, u(t)) + K (t, t, u(t))| e 's+m(q)     + s + m (t)

    1       t              - j K of qqd , ( q )

    +-----— f— , essm(q’    |[K1(ttu(t) + ^(т,s))-K1(stu(t) + ^(т,s)) -K 1(tтu(t)) + K1(sтu(t))]| d,(s) < s + m (t) s + m (s)

    1      t                                   - i K S d„ ,

    <------— l2 [K1(q,q)d,(q) + m(t) u(t) + c(t,s)-u(t) e т s + m (t)   • t                       [Ko( q. q)

    +--j Ko(s,s )   j s+m (q) ^ ? x s + m (t) т s + m (s)

    t

    t

    x l2 j K ( q , q ) d , ( q ) + m ( t ) | u ( t ) + ^ ( t , s ) - u ( t )| d , ( s ) l 2 { j

    s

    _ т

    K ( q , q )           m ( t )

    0   d,( q) + —— s + m (q)        s + m (t)

    - j m f t t- j-K OM) d , ( q )

    s + m ( t )    s + m ( q )

    ee        т          +

    + f K o ( s:s ) „/,4   m - [f K o ( q , q ) Ma m ( t )

    i                ee        e                                   i,\ q ) i

    “ s + m ( s )                      • s + m ( q )         s + m ( t )

    d , ( s )} ^ ( т , s ) =

    - 1 2 e

    m ( t )     r K o( q , q )                                     m ( t ) f K o( q , q )

    K o( q , q )                 m ( t )        s + m ( t ) J s + m ( q ) * ( q ) , f K o( s , s ) J s + m ( t ) J s + m ( q )

    o      d,( q) +----) e       т           + o      e       s           x s + m (q)        s + m (t)                      s + m (s)

    K o ( q , q )             m ( t )

    x ( o       d * ( q ) +          ) d * ( s )

    s + m ( q )         s + m ( t )

    |^ ( t , s )| <  l2e [sup( v e ''') + v > o

    J K o ( q , q ) d , ( q ) + m^

    т s + m ( q )         s + m ( t )

    j e V1|' dv1 ]^(т,s)| < m (t)

    s + m ( t )

    < 1 2 e ( e - 1 + 1)1 ^ ( т , s ) - 1 2(1 + e )| £ ( t , s ).

    1 f 2

    Так как sup( v e v ) -   , e vv d v - 1. Лемма 3 доказана.

    v > o             e

    Теорема 1. Пусть выполняются условия а) , б), с) и уравнение (1) имеет решение u(t) £ C ^ [t0>T], 0 < у < 1. Тогда решение и ( t , s ) уравнения (2) при £ ^ 0 сходится по норме C[t0,T] к u(t). При этом справедлива оценка

    I U ( t , s ) - u ( t )[ <  KMM3 sY ,

    I u (t) - u (s )                                          f где M = sup t, s e[ 10, T ]

    -, M , = SUp ( v e - ),     M 2 = f e z z Y dz ,     M , = ( M , + M 2) e ,

    И t ) - ^ ( s )|              v > 0                       0

    К = exp{(1 + e)(l 1 + ^[«PCO — ^(t o )]}

    Доказательство. В уравнении (2) сделаем замену

    u ( t , £ ) = U ( t ) + % (t , £ )

    где u ( t ) - решение уравнения (1). Подставляя (16) в (2) имеем

    ^ ( t , £ ) +\ K ° ( s , /) ^ ( s , £) d * ( s ) + ( —Ц—[ K о( t , s ) - K о( s , s Ш s , £ ) d * ( s ) + J —1—[ K i( t , s , u ( s ) + £ £ + m ( t )               £ + + m ( t )                                    £ + m ( t )

    ε

    + £ ( s , £ )) - K i ( t , s , u ( s ))] d * ( s ) =--— [ u ( t ) - u ( t ° )].

    £ + m ( t )

    Используя резольвенту

    R ( t , s , £ )

    f K o ( s , s ) -   -      d p ( s )

    A q ( s , s )      £ + m ( s )

    es

    £ + m ( t )

    ядра [ - K o( s , s)/( £ + m(t )], уравнению (17) сводим к эквивалентному уравнению

    ^ (t, £) = jH°(t, s, £)^(s, £)d*(s) + JP(t, s, £(s, £))d*(s) + f -(t, £),  t e [t°, T] , t °                                                       t° где P (t, s, ^( s, £)) — определена в лемме 3.]

    tt          -fe d 1 q 1

    H , ( I , t , £ ) =-- -[ K ° ( t , t ) - K ° ( t , t )] +f          e -   1 ' ’    ------ -[ K , ( s , t ) - K ° ( t , t )] d ^ ( s )

    £ + m ( t )                        £ + m ( s )              £ + m ( t )

    r K ° ( q , q ,)

    £ [ u (‘> - u ( t ° )]   ! + m ( q ' ""

    f°(t,£) = -   £ + m (t) e            -J t ° r K °(q, q)

    - M e-i . .. * q £ u c t w s ) d ^ s)

    £ + m ( t )                £ + m ( s )

    Если u ( t ) e C Y [ t ° , T ],  ° у 1 , то в силу леммы 1 из (20) имеем

    II f , ( t , £ )||с < MM £ , где M 3 = ( M 1 + M 2 ) e

    Если выполняются условия а) и б), то в силу леммы 2 из (19) получим

    I H ° (t , t , £ )| <  ( e + 1) / 1 ,  ( t , t ) e G , £ °

    Учитывая леммы 3 и оценки (22), из (18) имеем t

    I ^ ( t , £ ) f [ l 1 + l 2 ] (1 + e - ' ) e £ ( s , £ ) d * ( s ) + 1 f > ( t^  t e [ t ° , T ]

    t °

    В силу оценки (21), и обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана [15] из (23) вытекает оценки (15). Теорема 1 доказана.

    Следствие.     Если     выполняются     условия     а),     б),     с)     и t

    m(t) + JKo(s, s)dф(s) > ° при t e (t0, T) и  ^(t) —  строго возрастающая функция при t°

    t e [ t ° , T ], то решение уравнения (1) единственно в пространстве С у [ t 0, T ],  ° у 1 .

    Доказательство. Пусть уравнение (1) имеет два решения u (t ) и u2 ( t ) из C Y [ t0 , T ] .

    Тогда tt

    m ( t ) щ ( t) + J K ( t , s , и ( s )) d ^ ( s ) = m ( t ) u2 ( t) + J K ( t , s , u2 ( s)) d p (s ),   t e [ t 0, T ]

    t 0                                                                         t 0

    Отсюда tt

    m ( t )[ u ( t ) - u2 ( t )] + J K o( t , s )[ щ ( s) - u2 ( s )] d ^ ( s ) + J [ K ( t , s , щ ( s )) - K ( t , s , u2 ( s ))] d ^ ( s ) = 0, t 0                                                                  t 0

    t

    m ( t ) [ u1(t 0 ) - u 2( t 0)] + J K0(s,s)[ u1( t 0 ) - u 2 ( t 0 )] d^(s ) + m ( t )[ u1( t ) - u 2 ( t ) - (u1( t 0) - u 2 ( t 0 ))] + t0

    tt

    +J K0 (s, s)[ u1 (s) - u 2 (s) - (u1 (10) - u 2 (10))] d^( s) + J [ K0 (t, s) - K 0 (s, s)] [ u1 (s) - u 2 (s)] d^( s) + t 0                                                                                                          t 0

    t

    +J [ K (t, s, u (s)) - K (s, s, u (s)) - K (t, s, u2 (s)) + K (s, s, u2 (s))] d^( s) = 0.

    t 0

    Далее

    t

    [m(t) + J K0(s,s)d^(s)]|u!(t0 ) - u2(t0)| < m(t)|u (t) - u2 (t) - (u1(t0 ) - u2 (t0 »| + t 0

    tt

    +J K0 (s, s) |u1 (s) - u 2 (s ) - ux (10) + u 2( 10) d^( s ) + J |K(o (t, s ) - K 0 (s, s )| |u1 (s) - u 2 (s )| d ^( s ) + t0                                                                                                   t 0

    t

    + JI K ( t , s , u ( s )) - K ( s , s , u ( s )) - K ( t , s , u2 ( s )) + K ( s , s , u2 ( s ))| d ^ ( s ).

    t 0

    Из (24) имеем tt

    [ m (t) + J Ko( s, s) d ^( s)] I u1 (10) - u 2( 10) I < m (t) |u1( t) - u 2 (t) - (u1 (10) - u 2( 10)) | +J K 0 (s, s) d ^( s) x t 0

    tt x sup |u (s)

    s e [ t 0 , t ]

    - u2 ( s ) - ( u ( t 0) - u2 ( t 0 ))| + J l [ J Ko ( t , t ) d ^ ( t ) + m ( t )] | u ( s ) - u2 ( s ) | d ^ ( s )

    +

    t 0

    tt

    + J l 2 [ J Ko ( t , t ) d ^ ( t ) + m ( t )] | u ( s ) - u2 ( s )| d ^ ( s ),   t e [ t 0, T ].

    t 0

    t

    Деля обе части на m (t) + J Ko (s, s) d^( s) из (25) получим t 0

    I u 1 ( t 0 ) - u 2 ( t 0 ) < | u 1 ( t ) - u 2( t ) - ( u 1 ( t 0 ) - u 2 ( t 0 ))| + SU P u 1( s ) - u 2( s ) - ( u 1( t 0 ) - u 2 ( t 0 ))| + s e [ t o , t ]

    tt

    + Jl^u (s) - u2 (s)|dp(s) + Jl2|u[ (s) - u2 (s)|dp(s),  t e [t0, T].

    t 0                                                   t 0

    Отсюда переходя к пределу при t ^ 10 получим |ux (t0) - u2 (t0 )| = 0 при t e[10, T]. Тогда u1( t0) = u 2( t 0).

    Далее из (15) имеем

    Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №3. 2022

    II u i ( t ) - u 2 ( t )| L u i ( t ) - U ( t , * )|| c + I U ( t , * ) - u 2 ( t )|| c ^ 0, при * ^ 0 . Поэтому u (t ) = u2 (t ) , при t e[t0 , T ] . Следствие теоремы 1 доказано.

    Далее предположим, что дана функция f ( t ) e C [ 1 0, T ] и число u 0, такие

    If (t) - fs (t) l < s,

    | u (t0)—u01 < aS,

    где 0 a и 0 < 5 - постоянные числа.

    Рассмотрим уравнение

    (e + m(t))d0(t,E) +

    t

    J К (t,s, u^s^d^s) = fs(t)

    t 0

    + Euo,

    te [to,T].

    Из (2) отнимая (27) вводя обозначения

    US(t,£) = u(t,e) - и s(t,£),   t€[to,T],

    Имеем

    (e + m(t))us(t,e) + £t Ko(t,s)us(s,8)dy(S) + f[Ki(t,s, и t0                                             t0

    (s,e)) - Ki(t,s,us(s,e))]dy(s) = f(t) - fs(t) + e(u(to) -Щ),   t e [to,T].

    Уравнение (29) запишем в виде

    t us(t,£) + J t0

    Ko(s,s) г + m(t)

    t

    ug(s,E)dф(s) + J -^-^^[Ko(t,s) - Ko(s,s)]ub(s,£^ t0

    t

    + J 7+тй 1 (^ u (s£)^- t0

    K i (t,s, us (s, £))]d^(s)

    te[t o , T]

    = f(t)-f5(t)  £[u(to)-Uo]

    £ + m(t)      £ + m(t) ,

    K. ,( s , s )

    Используя резольвенты ядра [ —   0     ] и обобщенную формулу Дирихле[15],

    * + m ( t )

    уравнения (30) сводим к следующему эквивалентному уравнению t

    us(t,e) = J Ho (t,s,£)us(s,e)dy(s)

    t0

    t

    + J Q (t,T, u(t,e) и(T,E))dy(T) + Fs(t,£),

    t0

    где Ho(t, s, г)-определен в лемме 2,

    F (t,e)=W—^£> +

    0           £+m(t)

    e[u(t o )—uo]

    £ +m(t)     e+m(t) f t0 K o (ss>)e

    -

    ^—т-т^а^т) f(s)—fs(s)

    J те+т(т)       \ _ °   +

    £+m(s)

    e[(t 0 0 )1 ]dy(s),

    £+m(s)

    Q (t,т, и (т,г), и s(j>e) =   (—1)

    г + m(t) t

    [K i (t, т, и (т, г)) — K i (t, т,

    С K0(s,s)

    + +         е г + m(t)

    т

    K 1 (s,т, и5(т, г))]d^(s).

    _ (СК^ТтЬ^м   1

    5 £+т(т)        —   [K 1 (s,т,^(т,г))

    г + m(s) L

    Нетрудно убедиться, что

    г +~m)(t) [K i (t- т, и (т, г)) - K i (t. т, и /т, г))]

    = ^^е -Й+т^’ 1(t,т, и (т,г)) — K, (t,т, г + m(t)

    t         K o (s,s’

    Jт (г + m(t))(г + m(s)) K i (t,т, и й(т,г))] d^(s).

    _ rtKaTT),,' г е ^£+т(т)      [Ki(t, т, ^(т, г))

    Учитывая условию с) и тождество (34), из (33) имеем

    Q (t,b и (г, г) и 5(т,г))

    =   (—1)

    г + m(t)

    + K (т, т, и

    _ ( С Мт,т)

    е ^ £+т(т)      1(г,т, и (т, г)) — К(т, т, и (т,г))

    8(т,г’) —K 1 (t,т, и 8(т,г’)]

    1____K^____е_£Ж*»ю fKlft т ^ г))

    Л (t + mp))(t + m(s))              [K i (t.T. u (T.^))

    K i (t,T, и 5(т,г)) K i (s,T, и (т,г)) + K i (s,T, и 6(t,e))] dф(s).

    В силу(26), из (32) имеем

    I F s ( t , s )|| L 2( | + aS ).

    В силу леммы 2, для H0(t, s, г’справедлива оценка (8).

    Оценим Q(t, т, и (т, г), и0(т, г)). Учитывая условию а) и с) из (35) получим

    _ t K0 (г,т)

    |Q(t,т, и(т,г’, и8(т,г’)| < ^^е J^+»w   } |/т Ко(т,т^(т’+ m(t’]| и t     Kq(s,s')1         t                              _J—~, ^ф(т)

    (т,г)— и „(т,г)|+) у----г----—[   K0(т,т)d^(т) + m(t)]e  S£+m(T’   V7| u

    8           т ( £ +m(t))(£+m(s)) s 0

    (т,г) — и 8(т,г)|d^(s)] < / 2 | и (т,г) —

    _[I r t K°(S,S^ (s)+ ^(tld   t K0(s,s)            m(t)

    и х(т,г)| ее 'r^»^'^' г+т(ст  °^d^(s)+     ] +

    S                                 т £+m(s)          £+m(t)

    tK0(r,r)          m(t)

    ^ М^е [' 5г+т(Т)^ (т)+ г+ти ] [^-^^Ы^^т) +- m t)- ]d^(s) < /2е[ т £+m(s)                          s £+т(т)          £+m(t)            2

    ∞ sup( e ~vv) + f e~vvdv]\u(T, £) - v *>                 0

    u s ( т , £ | ] = l 2( e + 1)| и ( т , £ ) - u5 ( t , £ )|}.

    В силу оценки (36), (8), (37)и учитывая (28), из (31) имеем

    |u5(t,£)| < ^ (l i + l2)(e + 1)|u5(s,£)|d

    te[to,r].

    Далее, в силу следующую оценку обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана[15], из (38) получим yu5(t,E)^c

    Известно, что

    I vs(t,£)v(t )| L ^1И(t, £)l L+1 v(t, £) -v(t )l L

    Отсюда, учитывая (39) имеем

    || v5(t,E) - у (t)||c < M4(^+a6) + ||v(t,£)-v(t)|L, где число M определен по формуле (40). Далее в силу теоремы 1 из (41) получим

    |vs(t,E)- v (t)||

    Пологая £ = 52 из (42) получим

    || v 5(t,52) -u(t)^ < Mi^2 +o5) + M5 д2, где числа М4,М5определены в (40) и (42).

    Таким образом, доказана следующая теорема 2.

    Теорема 2. Пусть выполняются условия а), б), с) и уравнение (1) имеет решение и( t) е Crv [ t0, T ],  0 < у < 1, щ (1)=/^ K(s, s)d^(s) + m(t), te[t0,T].       Тогда      решение и ^(t, £)уравнения (27) при £ = д2 ^ 0 сходится по норме C[t0, T] к и(t). При этом справедлива оценка (43).

    Пример. Рассмотрим уравнения (1) при

    • 10 = 0, T = 1, ^(t) = St,  K,(t,s) = (1 +1)(1 - St), m(t) = t, K,(t,s,U = (I - s) -U, t е [0,1],

    1 + и

    • т. е. рассмотрим следующее уравнению

    tu(t) + } [(1 +1)(1 - SU)u(s) + ^-s^S)]d(Ts) = f (t), t е[0,1].                      (44)

    ■0                             1 + U2( s )

    В этом случае условия а), б), с) теоремы 1 и 2 выполняются. Так как при t > n, t, n е [0,1] справедлива оценка

    t

    |K0 (t, s) - K0(n, s)| = (t - П)(1 - Vs ) ^ m(t) ^ [J K0 (s, s)d^(s) + m(t)]• η

    Здесь l = 1.

    При t > тдля (t, s, u1), (t, s, u2), (t, s, u1), (t, s, u2)eG x R справедлива оценка

    |K1(t,s,u1) — K1(r,s,u1 — K1(t,S,U2) + K1(l, 5, U2)| < (t — t)

    U1

    _ —_

    1+ U1+

    <

    i 1+1 U„||u„|

    (t-T)| U1

    u2И—12?   2 2 < (t —t)|u — и |.

    21 (1+ U )(1+U )               1      2

    Таким образом 12 = 1.

    Результаты и обсуждение

    Для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса III рода построены регуляризирующие операторы и выбран параметр регуляризации.

    Заключение

    После выбора параметра регуляризации для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода были сделаны следующие выводы:

    • 1.    Найдены достаточные условия единственности и регуляризации решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода;

    • 2.    Рассмотрен выбор параметра регуляризации для решения класса нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода;

    • 3.    Доказаны теоремы единственности решений для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода.

    От чистого сердца автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Авыт Асанову за ценные советы, предложения и замечания, сделанные им при подготовке данной статьи.

  • Список литературы Регуляризация и выбор параметра решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода

    • Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 234 с.
    • Цалюк З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. 1977. Т. 15. №0. С. 131-198.
    • Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 31-33.
    • Bedelova N., Asanov A., Orozmamatova Z., Abdullaeva Z. Regularization and Choice of the Parameter for the Third Kind Nonlinear Volterra-Stieltjes Integral Equation Solutions // International Journal of Modern Nonlinear Theory and Application. 2021. V. 10. №2. P. 81-90. https://doi.org/10.4236/ijmnta.2021.102006
    • Denisov A. M. Elements of the theory of inverse problems. (VSP). 1999.
    • Asanov A. Regularization, uniqueness and existence of solutions of Volterra equations of the first kind. De Gruyter, 2011. https://doi.org/10.1515/9783110943238
    • Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Доклады Академии наук. 1989. Т. 309. №5. С. 10521055.
    • Иманалиев М. И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Доклады Академии наук. 2007. Т. 415. №1. С. 14-17.
    • Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. О решениях систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями // Доклады Академии наук. 2017. Т. 474. №4. С. 405-409. https://doi.org/10.7868/S086956521704-001X
    • Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. №5. С. 592-596.
    • Asanov A., Matanova K., Asanov R. A class of linear and nonlinear Fredholm integral equations of the third kind // Kuwait Journal of Science. 2017. V. 44. №1. P. 17-28.
    • Асанов Р. А. Один класс систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с вырожденными матричными ядрами // Наука, новые технологии и инновации Кыргызстана. 2017. №5. С. 69-72.
    • Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. Об одном классе систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. №3. С. 387-387. https://doi.org/10.1134/S037406411803010X
    • Асанов А. Производная функции по возрастающей функции // Журнал Естественных наук. 2001. №1. С. 18-64.
    • Асанов А. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода // Журнал Естественных наук. 2002. №2. С. 79-95.
    • Асанов А., Беделова Н. С. Один класс линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода // Вестник КазНПУ им. Абая. 2014. №4. Вып. 48. C. 8-13.
    • Bedelova N. et al. Regularization and Choice of the Parameter for the Third Kind Nonlinear Volterra-Stieltjes Integral Equation Solutions // International Journal of Modern Nonlinear Theory and Application. 2021. V. 10. №2. P. 81-90. https://doi.org/10.4236/ijmnta.2021.102006
    Еще
    Статья научная