Регуляризация и выбор параметра решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода
Автор: Беделова Нургуль Салибаевна, Асанов Авыт, Орозмаматова Жыпар
Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 3 т.8, 2022 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматриваются нелинейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. Для решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву, доказана теорема единственности и выбран параметр регуляризации. При исследовании применяются понятие производной по возрастающей функции, метод регуляризации по М. М. Лаврентьеву, методы функционального анализа, методы преобразования уравнений, методы интегральных и дифференциальных уравнений. Предложенные методы можно использовать для исследования интегральных, интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра-Стилтьеса высоких порядков, также при качественном исследовании некоторых прикладных процессов в области физики, экологии, медицины, теории управления сложными системами. Могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах некорректных задач, для численного решения интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. А также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода.
Регуляризация, решения, нелинейные интегральные уравнения вольтерра-стилтьеса, третий род, выбор параметра регуляризации
Короткий адрес: https://sciup.org/14123621
IDR: 14123621
Текст научной статьи Регуляризация и выбор параметра решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice
УДК 517.968
В общем случае интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса не всегда сводится к интегральным уравнениям Вольтерра, так как интеграл Стилтьеса не всегда сводится к интегралу Римана или интегралу Лебега. Поэтому изучение интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса представляют самостоятельный интерес.
Материал и методы исследования
В работе используется метод регуляризации по М. М. Лаврентьеву, выбран параметр регуляризации, методы функционального анализа, методы преобразования уравнений, методы интегральных и дифференциальных уравнений. Выбором параметра получена оптимальная оценка приближенного решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода.
Рассмотрим уравнение:
г (1)
m(t)u(t) + I K(t,s, u^s^^dp^s) = f(t), te[t0, T], T > t0
^ 0
где K(t,s, и ), f(t), m(t)-заданные функции, m ( t 0) = 0, m(t)-неубывающая непрерывная функция на [t o , T], u ( t ) -неизвестная функция на [t o , T], (p(t ) -возрастающая непрерывная функция на [t 0 , T].
Наряду с уравнением (1) будем рассматривать уравнение:
(f + m(t))tf(t, г) + I K(t,s, u(s,f))dp(s) = f(t) + fu(t0), te[t0,T],
to где 0 < s-малый параметр, (t,s) eG= {(t,s): t0 < s < t < T}.
Всюду будем предполагать, что K(t, s, и)представимо в виде:
K(t,s,u) = K0(t,s)u + K1(t,s,u), где (t,s,u)EGxR. (3)
Различные вопросы теории интегральных уравнений исследовались во многих работах. В частности, в [1] исследованы линейные интегральные уравнения второго рода и их системы на конечных и бесконечных интервалах. В [2] дан обзор результатов по интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. В [3] для линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами доказано существование многопараметрического семейства решений. Но основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [4], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. В работах [5] и [6] исследованы уравнения Вольтерра первого рода и обратные задачи. В [7] и [8] доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву для систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с негладкими матричными ядрами. В [9] для систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. В [10] для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву. В [11] на основе нового подхода исследованы вопросы существования и единственности решения для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода c особенностью в одной точке на конечном промежутке. В [12] на основе подхода предложенного в [11] изучен класс интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на конечном промежутке. В работах [13] и [14] на основе подходов предложенных в [11] и [12], разработан улучшенный новый подход исследования систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями на конечном промежутке. В работе [15], на основе понятия производная функции по возрастающей функции введенный в [14], исследовались линейные и нелинейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса первого и второго родов. В [16] для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. В [17] выбран параметр регуляризации для решения линейного интегрального уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. Здесь для решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра-Стилтьеса третьего рода (1) построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву, доказана теорема единственности и выбран параметр регуляризации.
Предположим выполнения следующих условий:
-
a) K ( t , s ) e C (G) , K o ( t , t ) e С [ 1 0, T ], K o ( t , t ) > 0 при t e [ 1 0, T ];
-
б) при t > т для любых ( t , s ), ( t , s ) e G справедлива оценка
\Ko(t,s) - Ko(t,s)\
где l — известное неотрицательное число.
-
с) K1(t, t, u) = 0, (t, u) G [t0,T] x R, K1(t, 5, 0) = 0 при(С, s) G G, при t > т
для любых (t, s, и) (т, s, и), (t, s, u2), (т, s, u2) G G x R справедлива оценка
г
lKi(t,s,Ui) - Ki(t,s,Ui) - K(t,s,u2) + K(t,s,u2)\ < I2 I Ko(s,s)dcp(s') + m(t) \ui -U2I,
где l2 — известное неотрицательное число. Здесь C [ t 0, T ] — пространство всех непрерывных функций и ( t ), определенных на [ t 0, T ] с нормой || и ( t )|| = max| |и ( t )||.
t e [ t o , T ]
Будем обозначать CY[t0, T],0 < у < 1 линейное пространство всех функций и(t), определенных на [ t0, T ] и удовлетворяющих условию
|и(t) - и(s)| < M^(t) - ^(s)|Y , ^(t) = J K0(s, s)d^(s) + m(t), t 0
где M-положительная постоянная, зависящая от и ( t ), но не от t и s.
В дальнейшем используются следующие леммы 1, 2 и 3. Лемма 1. Пусть выполняются условия а) и su( t) F (t ■ s) =--e s + m (t)
t
K ( t , t ) d y ( t ) s + m ( t )
1 o
K o( t , t )
— f K o ( s ■ s ) e J ..... s [ u ( t ) — u ( s )] d y ( s ).
“ s + m ( t ) s + m ( s )
где и (fie C [ 1- T ] ,
0
I F ( t , s)| c < M ( M i + M , ) e s Y ,
где M = sup | u ( t ) — u ( s )|/ Щ ( t ) — щ ( s )| Y M, = sup[ * e * ], M 2 =j e z z Y dz .
t , s e [ t o , T ] * > o o
Доказательство. Пусть u ( t ) e C [ t 0, T ] , o < у < 1 . Тогда оценим первый член формулы (4):
t s [ u ( t ) - u ( t o)] e j s + m ( t )
K o ( t , t ) --------dy ( t ) s + m ( t )
< sM [ щ ( t )] Y s + m ( t )
m ( t ) 1
s + m ( t ) s + m ( t )
t
J K o ( t , t ) d y ( t ) t 0
= Ms 1 Y s Y у ( t ) s^
[ s + m ( t )] 1 — Y s + m ( t )
Оценим вторую член (4):
< MMe s Y ,
t e [ t o , T ].
f K o ( s ■ s ) e 4 t o s + m ( t )
K i ( t , t )
- dy ( t )
s + m ( t )
£ [ ^ < t ^- K ( - a d y ( s ) s + m ( s )
M ε t
≤ ee s+m (t )tJo
£ + m ( t ) JYo ( s ■ s ) s + m ( s )
f Ko ( t , t )
— - d y ( t )
s + m ( t )
e s ×
t
x [ m ( t ) - m ( s ) + J Ko ( t , t ' d y(r )] Y d y (s ) <
s
Me ε
[ s + m ( t )] 1 - Y
m ( t )
t —[--------- s+m (t)
∫e to
+ ' f K o ( t , t ) s + m ( t ) s
dy(T)][ m(t) + s + m (t)
г K0 ( t , t ) Ko ( s , s )
+ ——- dy(T)]Y —01—- dy( s) = MesY s + m (t ) s + m (s)
-^ +[ ^ ^£ 2 d y ( t ) s + m ( t ) J s + m ( t )
∞
∫ e - z z γ dz ≤ Me εγ ∫ e - z z γ dz ,
m ( t ) s + m ( t )
t e [ t o , T ].
Учитывая оценки (6), (7), из (4) получим оценку (5). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть выполняются условии а), б) и
t
K o t )
e К (s s') —J m ( ' ’
Ho (t■ t, s) =--[Ko (t■ t) — Ko (t, t)] + f e s s + m (t) £ s + m (t)
Тогда справедлива оценка
|H ( t , t , s )| < ( e + 1) 1 ■ ( t , t ) e G , s > o.
----1 [ K o ( s , t ) — K o ( t , t )] d y ( s )■ s + m ( s )
Доказательство. Сначала покажем, что
1 — j K o C ss. d y ( s )
Ho (t■ T, s) = — [Ko(t■ t) — Кo (т, t)]e £ £“ s s + m(t)
-
s + m ( t ) s + m ( s )
—^ K 1 ( ££ d y ( t ) (9)
K ( s , s ) s + m ( t )
—o----- e s x
4 K 0 ( t . T ) - K 0 ( s , - )] d y ( s ) .
В самом деле
t _ | K 0 - " d ^ — )
f---- тте ■ ‘ + ’ -J0 (-,-)[ K o ( t — ) - K "— )]d M s ) =------[ K „ ( t ,t ) - K o —— )]
s + m ( t ) s + m ( ■ ) s + m ( t )
Г K o — - L , f K o( T — )J,
I ( t ) I d ^
-
* e s ‘ + m(T ' ■ = - = —1—[ K o ( t — ) - K o ( t , t )]--1—[ K „ ( t , t ) - K o —— )] e T + m" 1
-
1 s + m ( t ) s + m ( t )
Учитывая (10) имеем (9). Далее из (9) получим
_J K C^) d y ( s ) t -J K°(T"1 d M " )
1 s+ m ( s ) 1 K ■ , ■ s+ m ( t )
Ho(t".s) < Ko(t—) -K0(t,t) e T + 0 es [Ko(t,T)-Ko(s,T)] d^(s) < s + m (t) s + m (t) s + m (s)
m ( t ) f K 0 ( s . s ) f K 0 ( t,t ) m ( t)
K ( s . s ) m ( t ) s + m ( t ) 1 s + m ( s ) yS 1 K ( s . s ) 1 s + m ( t ) ^^ -,
< l [ ——- d M s ) + —^^] ee T + -—- es ee s + m ( ' ) l *
s + m ( s ) s + m ( t ) s + m ( t ) s + m ( s )
t t - m ( t ) - f Kt—- d ^— )
* [ f K o ( s . s ) d y ( s ) + m ( t )] d ^ ( s ) < l1e [sup( v e -v ) + Це f e s m™^ s s +mT) ( - 1) *
v > 0
-
* [ f^ d ^ ( s ) + ^- ] d s [- mt )- s + m ( s ) s + m ( t ) s + m ( t )
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть выполняются условия
а), с) и P(t,T, 4 (t,e)) =
-
t ∞
° ( -^ d y— )] < Ц + Це e-v v d v = Ц (1 + e ) .
J : s + m ( - ) Jo
----— [/u(t)+
£+m(t) 1
t
t
-
4— . s )) - K , ( t — . u ( - ))] + f
τ
k o( -- ).
K ( s . s ) ~J s + m ( - ) M ( - )
s + m ( s )
1 *
s + m ( t )
[ K ( s, t . u — ) + 4" . s ))] - K ( s . t . u ( t ))] d ^ ( s ).
Тогда справедлива оценка
|p(t,T, 4 (t,e))| 2 (1 + e)| 4 (t,e)|, (t,T, 4)eGxR, e > 0.
Доказательство. Сначала покажем, что
1 - f^ d y ( q ) (13)
P(t. t. 4(t. s)) =--— [K1 (t. t. u(t) + 4(t. s)) - K1 (t. t. u(t))]e -"+q 4 - s + m (t)
K 0( q . q ) t - d y ( q )
1 K ( s . s ) s + m ( q )
- e s [K 1(t—. u—) + 4—. s)) - K 1(s—. u(t) + 4(t. s)) - s + m (t) s + m (s)
- K 1 ( t . t . u ( t )) + K 1 ( s . t . u ( t ))] d y ( s )
В самом деле t гK o( q, q)
1 K (s, s) J £+m (q)
• 0 es [ Ki( t ,t, u (t ) + ^(t, s)) - Kj( t ,t, u (t ))] d,( s) =x
£ + m ( t ) s + m ( s ) s + m ( t )
-jK^ d, ( q )
x [ K 1 ( t , t , u ( t )) + ^ ( t , s )) - K 1 ( t , t , u ( t ))] e s£+mq s - T =------ — [ K i ( t , t , u ( t ) + ^ ( t , s )) -
1 s + m ( t )
1 - j^ d , ( q )
- K1( t ,t, u (t ))] - [ K1( t ,t, u (t ) + ^(t, s)) - K1( t ,t, u (t ))] e q4.
s + m ( t )
Учитывая (14) из (11) имеем (13).
Далее из (13) получим
1 -j^ d , ( q )
IP(t, t, ^(t, s))| <----- K (t, t, u(t) + ^(t, s)) - K (t, t, u(t) + ^(t, s)) - K (t, t, u(t)) + K (t, t, u(t))| e 's+m(q) + s + m (t)
1 t - j K of qqd , ( q )
+-----— f— , essm(q’ |[K1(ttu(t) + ^(т,s))-K1(stu(t) + ^(т,s)) -K 1(tтu(t)) + K1(sтu(t))]| d,(s) < s + m (t) s + m (s)
1 t - i K S d„ ,
<------— l2 [K1(q,q)d,(q) + m(t) u(t) + c(t,s)-u(t) e т s + m (t) • t [Ko( q. q)
+--j Ko(s,s ) j s+m (q) ^ ? x s + m (t) т s + m (s)
t
t
x l2 j K ( q , q ) d , ( q ) + m ( t ) | u ( t ) + ^ ( t , s ) - u ( t )| d , ( s ) < l 2 { j
s
_ т
K ( q , q ) m ( t )
0 d,( q) + —— s + m (q) s + m (t)
- j m f t t- j-K OM) d , ( q )
s + m ( t ) s + m ( q )
ee т +
+ f K o ( s:s ) „/,4 m - ’ [f K o ( q , q ) Ma m ( t )
i ee e i,\ q ) i
“ s + m ( s ) • s + m ( q ) s + m ( t )
d , ( s )} ^ ( т , s ) =
- 1 2 e
m ( t ) r K o( q , q ) m ( t ) f K o( q , q )
K o( q , q ) m ( t ) s + m ( t ) J s + m ( q ) * ( q ) , f K o( s , s ) J s + m ( t ) J s + m ( q )
o d,( q) +----) e т + o e s x s + m (q) s + m (t) s + m (s)
K o ( q , q ) m ( t )
x ( o d * ( q ) + ) d * ( s )
s + m ( q ) s + m ( t )
|^ ( t , s )| < l2e [sup( v e ''') + v > o
J K o ( q , q ) d , ( q ) + m^
т s + m ( q ) s + m ( t )
j e V1|' dv1 ]^(т,s)| < m (t)
s + m ( t )
< 1 2 e ( e - 1 + 1)1 ^ ( т , s ) - 1 2(1 + e )| £ ( t , s ).
1 f 2
Так как sup( v e v ) - , e vv d v - 1. Лемма 3 доказана.
v > o e
Теорема 1. Пусть выполняются условия а) , б), с) и уравнение (1) имеет решение u(t) £ C ^ [t0>T], 0 < у < 1. Тогда решение и ( t , s ) уравнения (2) при £ ^ 0 сходится по норме C[t0,T] к u(t). При этом справедлива оценка
I U ( t , s ) - u ( t )[ < KMM3 sY ,
I u (t) - u (s ) f где M = sup t, s e[ 10, T ]
-, M , = SUp ( v e - ), M 2 = f e z z Y dz , M , = ( M , + M 2) e ,
И t ) - ^ ( s )| v > 0 0
К = exp{(1 + e)(l 1 + ^[«PCO — ^(t o )]}
Доказательство. В уравнении (2) сделаем замену
u ( t , £ ) = U ( t ) + % (t , £ )
где u ( t ) - решение уравнения (1). Подставляя (16) в (2) имеем
^ ( t , £ ) +\ K ° ( s , /) ^ ( s , £) d * ( s ) + ( —Ц—[ K о( t , s ) - K о( s , s Ш s , £ ) d * ( s ) + J —1—[ K i( t , s , u ( s ) + £ £ + m ( t ) £ + + m ( t ) £ + m ( t )
ε
+ £ ( s , £ )) - K i ( t , s , u ( s ))] d * ( s ) =--— [ u ( t ) - u ( t ° )].
£ + m ( t )
Используя резольвенту
R ( t , s , £ )
f K o ( s , s ) - - d p ( s )
A q ( s , s ) £ + m ( s )
es
£ + m ( t )
ядра [ - K o( s , s)/( £ + m(t )], уравнению (17) сводим к эквивалентному уравнению
^ (t, £) = jH°(t, s, £)^(s, £)d*(s) + JP(t, s, £(s, £))d*(s) + f -(t, £), t e [t°, T] , t ° t° где P (t, s, ^( s, £)) — определена в лемме 3.]
tt -fe d ’ 1 q 1
H , ( I , t , £ ) =-- -[ K ° ( t , t ) - K ° ( t , t )] +f e - 1 ' ’ ------ -[ K , ( s , t ) - K ° ( t , t )] d ^ ( s )
£ + m ( t ) £ + m ( s ) £ + m ( t )
r K ° ( q , q ,)
£ [ u (‘> - u ( t ° )] ! • + m ( q ' ""
f°(t,£) = - £ + m (t) e -J t ° r K °(q, q)
- M e-i . .. * q £ u c t w s ) d ^ s)
£ + m ( t ) £ + m ( s )
Если u ( t ) e C Y [ t ° , T ], ° < у < 1 , то в силу леммы 1 из (20) имеем
II f , ( t , £ )||с < MM £ , где M 3 = ( M 1 + M 2 ) e
Если выполняются условия а) и б), то в силу леммы 2 из (19) получим
I H ° (t , t , £ )| < ( e + 1) / 1 , ( t , t ) e G , £ > °
Учитывая леммы 3 и оценки (22), из (18) имеем t
I ^ ( t , £ ) < f [ l 1 + l 2 ] (1 + e - ' ) e £ ( s , £ ) d * ( s ) + 1 f > ( t,£^ t e [ t ° , T ]
t °
В силу оценки (21), и обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана [15] из (23) вытекает оценки (15). Теорема 1 доказана.
Следствие. Если выполняются условия а), б), с) и t
m(t) + JKo(s, s)dф(s) > ° при t e (t0, T) и ^(t) — строго возрастающая функция при t°
t e [ t ° , T ], то решение уравнения (1) единственно в пространстве С у [ t 0, T ], ° < у < 1 .
Доказательство. Пусть уравнение (1) имеет два решения u (t ) и u2 ( t ) из C Y [ t0 , T ] .
Тогда tt
m ( t ) щ ( t) + J K ( t , s , и ( s )) d ^ ( s ) = m ( t ) u2 ( t) + J K ( t , s , u2 ( s)) d p (s ), t e [ t 0, T ]
t 0 t 0
Отсюда tt
m ( t )[ u ( t ) - u2 ( t )] + J K o( t , s )[ щ ( s) - u2 ( s )] d ^ ( s ) + J [ K ( t , s , щ ( s )) - K ( t , s , u2 ( s ))] d ^ ( s ) = 0, t 0 t 0
t
m ( t ) [ u1(t 0 ) - u 2( t 0)] + J K0(s,s)[ u1( t 0 ) - u 2 ( t 0 )] d^(s ) + m ( t )[ u1( t ) - u 2 ( t ) - (u1( t 0) - u 2 ( t 0 ))] + t0
tt
+J K0 (s, s)[ u1 (s) - u 2 (s) - (u1 (10) - u 2 (10))] d^( s) + J [ K0 (t, s) - K 0 (s, s)] [ u1 (s) - u 2 (s)] d^( s) + t 0 t 0
t
+J [ K (t, s, u (s)) - K (s, s, u (s)) - K (t, s, u2 (s)) + K (s, s, u2 (s))] d^( s) = 0.
t 0
Далее
t
[m(t) + J K0(s,s)d^(s)]|u!(t0 ) - u2(t0)| < m(t)|u (t) - u2 (t) - (u1(t0 ) - u2 (t0 »| + t 0
tt
+J K0 (s, s) |u1 (s) - u 2 (s ) - ux (10) + u 2( 10) d^( s ) + J |K(o (t, s ) - K 0 (s, s )| |u1 (s) - u 2 (s )| d ^( s ) + t0 t 0
t
+ JI K ( t , s , u ( s )) - K ( s , s , u ( s )) - K ( t , s , u2 ( s )) + K ( s , s , u2 ( s ))| d ^ ( s ).
t 0
Из (24) имеем tt
[ m (t) + J Ko( s, s) d ^( s)] I u1 (10) - u 2( 10) I < m (t) |u1( t) - u 2 (t) - (u1 (10) - u 2( 10)) | +J K 0 (s, s) d ^( s) x t 0
tt x sup |u (s)
s e [ t 0 , t ]
- u2 ( s ) - ( u ( t 0) - u2 ( t 0 ))| + J l [ J Ko ( t , t ) d ^ ( t ) + m ( t )] | u ( s ) - u2 ( s ) | d ^ ( s )
+
t 0
tt
+ J l 2 [ J Ko ( t , t ) d ^ ( t ) + m ( t )] | u ( s ) - u2 ( s )| d ^ ( s ), t e [ t 0, T ].
t 0
t
Деля обе части на m (t) + J Ko (s, s) d^( s) из (25) получим t 0
I u 1 ( t 0 ) - u 2 ( t 0 ) < | u 1 ( t ) - u 2( t ) - ( u 1 ( t 0 ) - u 2 ( t 0 ))| + SU P u 1( s ) - u 2( s ) - ( u 1( t 0 ) - u 2 ( t 0 ))| + s e [ t o , t ]
tt
+ Jl^u (s) - u2 (s)|dp(s) + Jl2|u[ (s) - u2 (s)|dp(s), t e [t0, T].
t 0 t 0
Отсюда переходя к пределу при t ^ 10 получим |ux (t0) - u2 (t0 )| = 0 при t e[10, T]. Тогда u1( t0) = u 2( t 0).
Далее из (15) имеем
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №3. 2022
II u i ( t ) - u 2 ( t )| L < u i ( t ) - U ( t , * )|| c + I U ( t , * ) - u 2 ( t )|| c ^ 0, при * ^ 0 . Поэтому u (t ) = u2 (t ) , при t e[t0 , T ] . Следствие теоремы 1 доказано.
Далее предположим, что дана функция f ( t ) e C [ 1 0, T ] и число u 0, такие
If (t) - fs (t) l < s,
| u (t0)—u01 < aS,
где 0 < a и 0 < 5 - постоянные числа.
Рассмотрим уравнение
(e + m(t))d0(t,E) +
t
J К (t,s, u^s^d^s) = fs(t)
t 0
+ Euo,
te [to,T].
Из (2) отнимая (27) вводя обозначения
US(t,£) = u(t,e) - и s(t,£), t€[to,T],
Имеем
(e + m(t))us(t,e) + £t Ko(t,s)us(s,8)dy(S) + f[Ki(t,s, и t0 t0
(s,e)) - Ki(t,s,us(s,e))]dy(s) = f(t) - fs(t) + e(u(to) -Щ), t e [to,T].
Уравнение (29) запишем в виде
t us(t,£) + J t0
Ko(s,s) г + m(t)
t
ug(s,E)dф(s) + J -^-^^[Ko(t,s) - Ko(s,s)]ub(s,£^ t0
t
+ J 7+тй[к 1 (^ u (s’£)^- t0
K i (t,s, us (s, £))]d^(s)
te[t o , T]
= f(t)-f5(t) £[u(to)-Uo]
£ + m(t) £ + m(t) ,
K. ,( s , s )
Используя резольвенты ядра [ — 0 ] и обобщенную формулу Дирихле[15],
* + m ( t )
уравнения (30) сводим к следующему эквивалентному уравнению t
us(t,e) = J Ho (t,s,£)us(s,e)dy(s)
t0
t
+ J Q (t,T, u(t,e) и(T,E))dy(T) + Fs(t,£),
t0
где Ho(t, s, г)-определен в лемме 2,
F (t,e)=W—^£> +
0 £+m(t)
e[u(t o )—uo]
£ +m(t) e+m(t) f t0 K o (s’s>)e
-
—
^—т-т^а^т) f(s)—fs(s)
J те+т(т) \ _ ° +
£+m(s)
e[“(t 0 —“ 0 )1 ]dy(s),
£+m(s)
Q (t,т, и (т,г), и s(j>e) = (—1)
г + m(t) t
[K i (t, т, и (т, г)) — K i (t, т,
С K0(s,s)
+ + е г + m(t)
т
— K 1 (s,т, и5(т, г))]d^(s).
_ (СК^ТтЬ^м 1
5 £+т(т) — [K 1 (s,т,^(т,г))
г + m(s) L
Нетрудно убедиться, что
г +~m)(t) [K i (t- т, и (т, г)) - K i (t. т, и /т, г))]
= ^^е -Й+т^’ [к1(t,т, и (т,г)) — K, (t,т, г + m(t)
—
—
t K o (s,s’
Jт (г + m(t))(г + m(s)) K i (t,т, и й(т,г))] d^(s).
_ rtKaTT),,' г е ^£+т(т) [Ki(t, т, ^(т, г))
Учитывая условию с) и тождество (34), из (33) имеем
Q (t,b и (г, г) и 5(т,г))
= (—1)
г + m(t)
+ K (т, т, и
_ ( С Мт,т)
е ^ £+т(т) [К1(г,т, и (т, г)) — К(т, т, и (т,г))
8(т,г’) —K 1 (t,т, и 8(т,г’)]
—
—
1____K^____е_£Ж*»ю fKlft т ^ г))
Л (t + mp))(t + m(s)) [K i (t.T. u (T.^))
K i (t,T, и 5(т,г)) — K i (s,T, и (т,г)) + K i (s,T, и 6(t,e))] dф(s).
В силу(26), из (32) имеем
I F s ( t , s )|| L < 2( | + aS ).
В силу леммы 2, для H0(t, s, г’справедлива оценка (8).
Оценим Q(t, т, и (т, г), и0(т, г)). Учитывая условию а) и с) из (35) получим
_ t K0 (г,т)
|Q(t,т, и(т,г’, и8(т,г’)| < ^^е J^+»w } |/т Ко(т,т^(т’+ m(t’]| и t Kq(s,s')1 t _J—~, ^ф(т)
(т,г)— и „(т,г)|+) у----г----—[ K0(т,т)d^(т) + m(t)]e S£+m(T’ V7| u
8 т ( £ +m(t))(£+m(s)) s 0
(т,г) — и 8(т,г)|d^(s)] < / 2 | и (т,г) —
_[I r t K°(S,S^ (s)+ ^(tld t K0(s,s) m(t)
и х(т,г)| ее 'r^»^'^' г+т(ст °^d^(s)+ ] +
S т £+m(s) £+m(t)
tK0(r,r) m(t)
^ М^е [' 5г+т(Т)^ (т)+ г+ти ] [^-^^Ы^^т) +- m t)- ]d^(s) < /2е[ т £+m(s) s £+т(т) £+m(t) 2
∞ sup( e ~vv) + f e~vvdv]\u(T, £) - v *> 0
u s ( т , £ | ] = l 2( e + 1)| и ( т , £ ) - u5 ( t , £ )|}.
В силу оценки (36), (8), (37)и учитывая (28), из (31) имеем
|u5(t,£)| < ^
(l
i
+
l2)(e
+ 1)|u5(s,£)|d te[to,r]. Известно, что I vs(t,£)—v(t )| L ^1И(t, £)l L+1 v(t, £) -v(t )l L • Отсюда, учитывая (39) имеем || v5(t,E) - у (t)||c < M4(^+a6) + ||v(t,£)-v(t)|L, где число M определен по формуле (40). Далее в силу теоремы 1 из (41) получим |vs(t,E)- v (t)|| Пологая £ = 52 из (42) получим || v 5(t,52) -u(t)^ < Mi^2 +o5) + M5 д2, где числа М4,М5определены в (40) и (42). Таким образом, доказана следующая теорема 2. Теорема 2. Пусть выполняются условия а), б), с) и уравнение (1) имеет решение и( t) е Crv [ t0, T ], 0 < у < 1, щ (1)=/^ K(s, s)d^(s) + m(t), te[t0,T]. Тогда решение и ^(t, £)уравнения (27) при £ = д2 ^ 0 сходится по норме C[t0, T] к и(t). При этом справедлива оценка (43). Пример. Рассмотрим уравнения (1) при 10 = 0, T = 1, ^(t) = St, K,(t,s) = (1 +1)(1 - St), m(t) = t, K,(t,s,U = (I - s) -U, t е [0,1], 1 + и т. е. рассмотрим следующее уравнению tu(t) + } [(1 +1)(1 - SU)u(s) + ^-s^S)]d(Ts) = f (t), t е[0,1]. (44) ■0 1 + U2( s ) В этом случае условия а), б), с) теоремы 1 и 2 выполняются. Так как при t > n, t, n е [0,1] справедлива оценка t |K0 (t, s) - K0(n, s)| = (t - П)(1 - Vs ) ^ m(t) ^ [J K0 (s, s)d^(s) + m(t)]• η Здесь l = 1. При t > тдля (t, s, u1), (t, s, u2), (t, s, u1), (t, s, u2)eG x R справедлива оценка |K1(t,s,u1) — K1(r,s,u1 — K1(t,S,U2) + K1(l, 5, U2)| < (t — t) U1 _ —_ 1+ U1+ < i 1+1 U„||u„| (t-T)| U1 — u2И—12? 2 2 < (t —t)|u — и |. 21 (1+ U )(1+U ) 1 2 Таким образом 12 = 1. Результаты и обсуждение Для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса III рода построены регуляризирующие операторы и выбран параметр регуляризации. Заключение После выбора параметра регуляризации для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода были сделаны следующие выводы: 1. Найдены достаточные условия единственности и регуляризации решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода; 2. Рассмотрен выбор параметра регуляризации для решения класса нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода; 3. Доказаны теоремы единственности решений для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. От чистого сердца автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Авыт Асанову за ценные советы, предложения и замечания, сделанные им при подготовке данной статьи.
Далее, в силу следующую оценку
обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана[15], из (38) получим
yu5(t,E)^c
Список литературы Регуляризация и выбор параметра решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода
- Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 234 с.
- Цалюк З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. 1977. Т. 15. №0. С. 131-198.
- Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 31-33.
- Bedelova N., Asanov A., Orozmamatova Z., Abdullaeva Z. Regularization and Choice of the Parameter for the Third Kind Nonlinear Volterra-Stieltjes Integral Equation Solutions // International Journal of Modern Nonlinear Theory and Application. 2021. V. 10. №2. P. 81-90. https://doi.org/10.4236/ijmnta.2021.102006
- Denisov A. M. Elements of the theory of inverse problems. (VSP). 1999.
- Asanov A. Regularization, uniqueness and existence of solutions of Volterra equations of the first kind. De Gruyter, 2011. https://doi.org/10.1515/9783110943238
- Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Доклады Академии наук. 1989. Т. 309. №5. С. 10521055.
- Иманалиев М. И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Доклады Академии наук. 2007. Т. 415. №1. С. 14-17.
- Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. О решениях систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями // Доклады Академии наук. 2017. Т. 474. №4. С. 405-409. https://doi.org/10.7868/S086956521704-001X
- Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. №5. С. 592-596.
- Asanov A., Matanova K., Asanov R. A class of linear and nonlinear Fredholm integral equations of the third kind // Kuwait Journal of Science. 2017. V. 44. №1. P. 17-28.
- Асанов Р. А. Один класс систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с вырожденными матричными ядрами // Наука, новые технологии и инновации Кыргызстана. 2017. №5. С. 69-72.
- Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. Об одном классе систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. №3. С. 387-387. https://doi.org/10.1134/S037406411803010X
- Асанов А. Производная функции по возрастающей функции // Журнал Естественных наук. 2001. №1. С. 18-64.
- Асанов А. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода // Журнал Естественных наук. 2002. №2. С. 79-95.
- Асанов А., Беделова Н. С. Один класс линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода // Вестник КазНПУ им. Абая. 2014. №4. Вып. 48. C. 8-13.
- Bedelova N. et al. Regularization and Choice of the Parameter for the Third Kind Nonlinear Volterra-Stieltjes Integral Equation Solutions // International Journal of Modern Nonlinear Theory and Application. 2021. V. 10. №2. P. 81-90. https://doi.org/10.4236/ijmnta.2021.102006