Регуляризация некорректного интегрального уравнения Вольтерра первого рода

Алыбаев Анарбек Масалбекович; Alybayev Anarbek

doi:10.33619/2414-2948/80/03

Регуляризация некорректного интегрального уравнения Вольтерра первого рода

Автор: Алыбаев Анарбек Масалбекович

Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki

Рубрика: Физико-математические науки

Статья в выпуске: 7 т.8, 2022 года.

Бесплатный доступ

В статье исследуется нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с особым решением. При этом на основе разработанного метода сингулярных возмущений доказаны вопросы регуляризируемости и единственности решения исходного уравнения во введенном пространстве, где учитывается особая функция специального типа с малым параметром. Отметим, что исследуемое уравнение вырождается во многих некорректных (условно-корректных) обратных задачах математической физики, например, в задачах: теплопроводности, фильтрации, интегральной геометрии, влагопереноса в почвогрунтах, наследственной среды [2-4, 10] и др., в чем и заключается актуальность данной статьи.

Еще

Метод регуляризации, малый параметр, некорректная задача, особое решение, интегральные уравнения вольтерра первого рода

Короткий адрес: https://sciup.org/14124451

IDR: 14124451 | УДК: 517.9 | DOI: 10.33619/2414-2948/80/03

Regularization of an ill-posed Volterra integral equation of the first kind

In the paper we study a nonlinear the first kind Volterra integral equation with a special solution. At the same time, on the base of the developed method of singular perturbations, the questions of regularizability and uniqueness of the solution of the original equation in the introduced space, where a special function of a special type with a small parameter is taken into account, are proved. We note that the equation under study degenerates in many incorrect (conditionally correct) inverse problems of mathematical physics, for example, in the problems of heat conduction, filtration, integral geometry, moisture transfer in soils, hereditary environment [2-4, 10], etc., in which is the relevance of this paper.

Еще

Текст научной статьи Регуляризация некорректного интегрального уравнения Вольтерра первого рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.9

В теории ИУВ-1 и ИУВ-3 рассмотрены различные варианты МР, связанные с ядрами данных уравнений, которые встречаются в работах [1, 5-9, 11]. Особое место занимает случай МР в области ИУВ-1 или ИУВ-3, которое позволяет построить особое решение в определенном пространстве, где учитывается функция, имеющее сингулярности относительно малого параметра [5, 7]. В указанных условиях регуляризируемость исходных нелинейных ИУВ-1 или ИУВ-3 считаются в обобщенном смысле в тех пространствах, которые введены.

В связи с этим, в настоящей статье изучается некорректное ИУВ-1 вида:

Нв = J K(x, т)в2 (t)dт = F(x), где

'c ( D o ) э K ( x , t ) : K (.) < C 01 ,( D o = {( x , t ) : 0 < t < x < X}, (2)

(.) > 0; K (0,0) * 0,

C [0, X ] э F ( x ): F (0) ^ 0; \F (0)| < C _o2; F ( x ) > a > 0, V x e [0, X ],

^F , ^K — известные функции, причем ^в

—

неизвестная функция из [11]: Z ^(0, Х ),

здесь Z ^(0, Х ) — это пространство, элементами которого являются все суммируемые с квадратом функции из L ^[0, ^X ^], а также обобщенные функции z ⁽ ^x ) , сосредоточенные в начале координат отрезка ^[0, ^X ^] (с условием, если неотрицательная пробная функция ^ф ⁽⁰⁾ 1, то < z ^, ^ф >= ^1). При этом ставится задача, доказать регуляризируемости (1) в вышеуказанном пространстве, так как при условии (2) ИУВ-1 некорректно поставленное, т.е. не имеет решение в ^C ^[0, ^X ^]

1. Регуляризирующие алгоритмы в ИУВ-1

Чтобы доказать регуляризируемость (1) при условии (2) в обобщенном смысле, сперва проводя следующие математические преобразования, т.е. допуская:

h ( x ) = [ y + Л ( x )] F ( x ) > m > 0,(1 < у = const ),

h (x) = y + — A(x); 0 < A(x) e L1 (0, X), a h0(x) < C03h(x),(C03 = a—1;0 < max C0j = Ci, j = 1,4),

C 0 = max(1, C 0 C ),( k = 1,5),

Ф ( x ) = [ y + — ^ ( t )] F ( t ) d r = h ( t ) d т ,

ГУJ

0 a0

F0(x) = F(x) — F(0);|F0(x)| < C04, Vx e [0, X], например Л(x) =^= :

4-4/ x ³

I F 0 ( x ) — F 0 ( t )| < L F ( x — t ) < L F — [ [ y + - ^ ( t )] F ( t ) d т =

0 0 Yaa

= LM 0 ( ф , ( x ) — ^( t )),( t < x ; y > 1; M 0 = —),

0 Ya x e [0,X]: x = (^)2(^)2 < M 1(ф,(x))2, x < M1 (4X)2 (ф (x))2 < M2 (Ф0 (x))2,

1 1 3 1

Mj = X8; M2 = X 8«/X)2 = X 2, x = p exp(—p);supx(P) = k exp(—k),(k = 1,2,—),

P > 0 ²

„ P = 0 : x (0) = 0; p ^ ® : x ^ 0,

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №7. 2022

ИУВ-1 (1) эквивалентно преобразуется к виду:

J h ( т ) 0(t ) d T = ( Q0Xx ) + F ( x ),

Q 0 J h o TWT )( H^T ) d T + ( H 0K x ).

Далее, рассмотрим уравнение с малым параметром ε, вида

X ( x ) + ( Ф ^ )( x ) = F £ ( x ), ⁽⁵⁾

>X )( x ) . j h ( т ) 0 £ ( t ) d T - ( Q 0 £ )( x ), 0

с условием

X ( 0 ) = ¹ F ( 0 ) , ⁽⁶⁾

С [0, X ] э F _£ ( x ): | \F_£ ( x ) - F ( x )|| C < A 0 ( £ ), F ( 0 ) = F ( 0)

Решение этого уравнения ищем по правилу:

^e _c ( x ) = ¹ ⁿ £ ( x ) ⁺ ^u ⁽ ^x ) ⁺ ^ £ ( x ) £

П £ (0) = F (0),u(0) = 0,^ (0) = 0, причем, относительно неизвестных функций имеют место:

П £ ( x ) = - ¹ x h ( т ) П _£ ( т ) dT + F (0)

£ о

J h ( t ) u ( t ) d T = ( Q u ) ( x ) + F 0 ( x ),

⁰ (см.(3))

^_s ⁺ j ^h ⁽ T ) ^ £ ⁽ T ) d T = ⁽ Q [1 ^П £ + u + £ ]⁾ ⁽ x ) - ⁽ Q u ⁾⁽ x ) + F £ ⁽ x ) - ^F ⁽ x ) - £U ⁽x ),

0 ^£

где: а) П £ (x) - является решением (8), которое доопределяет особую функцию ^£ (х) с условием

।^ £ ( X )|

1 0, x ^ 0,

^£ ^ ° I® , x = 0;

в) Функция

^ £ ( X )

определяется единственным образом из (10), причем сходится к нулю

в смысле C ^[0, X ^] когда малый параметр: ^£ ^ ⁰

1) В самом деле, во-первых, из (8) следует:

^п _е ⁽ x ) = F ⁽ ^o ⁾ exP⁽ - ¹ ^ф о ⁽ x^ £

I^п £ ⁽ x ) ^- C 02 exP⁽ - ¹ ^ф 0 ⁽ x )) ^- C 0 exp⁽ - ¹ ^ф о ⁽ x' )). £ £

Значит, получим (11).

2) Во вторых, так как функция ^и ⁽ ^x ) является решением уравнения (9), то вводя уравнение с малым параметром вида:

U ( x ) + J h ( jU ( r d = (Q v_s ) ( x ) + F 0 ( x ),

можем доказать следующую лемму:

Лемма 1. При условиях (2),(3) и (7) уравнение (30) имеет решение ИУВ (13) равномерно сходится к решению (9) при ^s ^ ⁰ . Доказательство. В условиях леммы 1 уравнение (13) преобразуем к виду

и ( x) = - ^jf h T )exp( - 1( ф о ( x ) - Ф о ( Т )Ш и ) ( т ) - ( Q u )( x ) + ^s 0 ^s

⁺ F 0 ^T ⁾ ^- F 0 ⁽ x )^} d t ⁺ ¹ exp ⁽ ^- ¹ ^ф о ⁽ x )) {( ^Q ^u s ⁾ ⁽ x ) + F o ⁽ x ^)} s s

и проводим оценки вида

1 x1

а1) W hT)exP(- (ф0(x)-ф0T)){(qU)(x)-(QU)(T}dT- s J0

X X

-I 721 hT)exP(- (ф0(x)-ф0Т)){[ h0(T)Us(r)|( |^TT) Iх s о s T0

T хU (t )|dr dr + J |^ (x,t ) - K(t,t) |x |uj (t )|dr + x 1 1

+j K(x,т) х|l>2 (r ) dr}dr - 2[CmX r2 + r(LKX + CoJ]х a ay

да xJ e-zzdzlUs|IC = N0 hl|C;

1 1 1 1 x

7exp(- ф0(x))(QU)(x) - exp(- ф,(x)) {J h0(TUs(r) х s s s s

X[J KTt) |xUs(t)|dr]dT + J \K(xТ) |хЦ2(t)|dr} -00

1 11

- [-(7 Ф0( x )exp(--ф0( x))) XC0! r2 + C0! r1 M ,s(- Ф0( x ))2 exp( - - ф0( x))] х ass ss

* х| ЫI C ^- [^ e-^{1 X}C 0 r 2 + C 0 r M s 2² e ’²]|Ы|| C ^- N 1 Ы|| C ,

0 < s < 1; p = ¹ s

да

Ф 0 (x ); z ( P ) = p^k exp( - p ),( k = 1,2), J e - s sds = 1,

S r (0) = { ц ^ ( x ) e C [0, X ]: U s ( x )| - r„ V x e [0, X ] } ,

а также:

1 x- а2 ) h(T)exP(— (Ф0(x) — ф0(T)){Fo(x) — Fo(T)}dT +

S 0

+1exp(—1 Ф>(x))F0(x) |<| 4f h(T)exp(—i^Cx) — ФЖ))* SS SS x 1 x,1

* L F ⁽ ^x ^— ^T ) ^d ^T ⁺ LF. -^eXP⁽ ^— ^ф 0 ⁽ ^x )) < L F _of ^exp⁽ ^— ⁽ ^ф 0 ⁽ ^x ) ^— ^ф 0 ⁽ ^т )) *

0 0 S S ay 0

* ¹⁽ ^ф 0 ⁽ ^x ) ^— ^ф 0 ⁽ ^т )) ^d ⁽ ^— ¹⁽ ^ф 0 ⁽ ^x ) ^— ^ф 0 ⁽ ^т ))) ⁺ ^L f M 2 ^S ' ⁽¹ ^ф 0 ⁽ ^x ^{))2 eX}P⁽ ^— ¹ ^ф 0 ⁽ ^x )) <

S S 0 SS

< LF [— f e-zzdz + 22 e 'MS] < L. F, 20

⁰ ay 0

Тогда имеет место

h j ⁽ ^x ) c - ⁽¹ ^— q o ⁾ ^—1 L о = r i , ^ q о = N о + N 1 < 1.

u. (x ) = u( x ) + Ms (x )

С другой стороны, с помощью подстановки: j j , для любого:

M s ⁽ ^x ) ^ ^S r, ⁽⁰⁾ = { M s ⁽ ^x ) ^e ^C ^[0 ^X ^{] :} | M s ⁽ ^x ) < r 2 , ^V ⁽ x ) ^ ^[0, ^X ^] ^}

, получим

x sMs(x) + J h(t)Ms(t)dr = (Q[u + Ms])(x) — (Qu )(x) — Su(x), или, на основе резольвенты имеем:

1^х? 1

M s ⁽ ^x ) = ^— Л h ⁽ ^t )^exP⁽ ^— ⁽ ^ф 0 ⁽ ^x ) ^— ^ф 0 ⁽ ^т )){⁽ ^Q ^[ ^u ⁺ M s ^]) ⁽ ^t ^{) —} ⁽ ^Q ^u ⁾ ⁽ ^t ^{) —}

^S о ^S

—

⁽ ^Q ^[ ^u + M s ^]) ⁽ ^x ⁾⁺ ⁽ ^Q ^u ⁾ ⁽ ^x ⁾ ^} ^d ^T ⁺ ^1exP( " ¹ ^ф 0 ⁽ ^x ^)){( ^Q ^[ ^u ⁺ M s ^]) ⁽ ^x ^{) —} SS

(Qu )(x)} + A(S,u), где

A(s, u) = -1 f h(t)exp(—1 (ф (x) — Ф0 (t))[—u(t) + u(x)]dz — u(x) exp (—1 ф (x)), s J SS xx 1 11

II^A ( ^S , ^u )| с < ^L u ^{ J ^(exp⁽ ^— - ⁽ ^ф 0⁽ ^x ) ^— ^ф 0 ⁽ ^t )))⁽ ^x ^— ^T ) ^d ⁽ ^— - ⁽ ^ф 0⁽ ^x ) ^— ^ф 0 ⁽ ^t ))) ⁺ ^x ^exp⁽ ^— J ⁽ ^ф 0 ⁽ x ^)} <

< ^L u -{j ^(exp⁽ ^— ¹⁽ ^ф 0⁽ ^x ) ^— ^ф 0⁽ ^т ' Ж¹⁽ ^ф 0⁽ ^x ) ^— ^ф 0⁽ ^т ^))] ^S ^d ⁽ ^— ¹⁽ ^ф 0⁽ x ) ^— ^ф 0⁽ ^т ))) ⁺

ya S SS

+ s(1 ф0(x)) exp(—1 (ф0(x)} < Lu — s{f e’zzdz + e ^ < Ж s s ya 0

Lu — {f e-zzdz + ee4} < 2Lu — = в, (0 < Lu = const), ya 0 ya

u ( x ) — u ( x ) < L _u x — x .

Следовательно, учитывая оценки вида:

xx а3) ' IF I h (T)exP(-^ (ф0(x) - Ф (T)){j h0 (T)U(T ) + Ms (T)] x

T xj K(T,T )[2u(t )Ms (T) + mS (t )]dTdT + j h^Ms(T)x xj K(T,T)u2 (t)dTdT + j [K(x,T)-K(t,t)][2u(t)ms(t ) +

.+ m S ( t ) ] d T + j K ( x , t )[2 u ( t ) M s T ) + m S ( t ) d T }dt |<

< 2^ {XC0,( r + Г2)(2 r + Г2) + r2 XC,01 + -(2r + rsX LkX + C01)} x a xl Ims (x )| С=N0I Ims (x )| С;

I 1exp(-1Ф(x))(QU + M])(x)-(Qu)(x) |< —exp(-1Ф(x))x 0 s ^/0^// dooo xx

^x ^[ j K ⁽ x , т ) I^x |² ^u ( t ) M s ( t ) + M² s ( t )| d T + j ^h 0 ⁽ T ) ^ ( т ) +

, 00

⁺ M s ⁽ t )| j K ⁽ t , ^t )| ^x|^} и ( ^т ) M s ( ^T ) ⁺ M} ( ^t ) | ^d ^T d T + j ^h 0 ⁽ T ) ^x

. ^x| M s ⁽ ^t )| j K ( ^T ^, ^T ) |^x ^ ²( ^T )| ^d ^T d ^T ^] < ^[ ^C 01 ^M s ^(s r i ⁺ r s ^)s ^S e~²° ⁺

+C01X — (r- + rs)(Sr- + rs)e-— + C01X-r-2e"’]|Ms(x)||c < N-1Ms(x)||c, aa

0 < 8 < 1; U < r, Vx e [0, X ], из (16), имеем

JI M s ( x l<( 1 - * Г' es , . q , = max q „ < 1, ~„ < 1),⁽~ = N 0 ⁺ N < 0-

А это означает, что

^Us ⁽ ^x ) ^ u ( x ), V х e [0, X ],

' d ^ 0

т. е., сходится в смысле ^C ^[0, ^X ^]* Что и требовалось доказать.

7 (x)

3) Чтобы определить функцию ’ ^£ , сперва (10) преобразуем к виду

7 ⁽ x ) = ^- 4 j ^h ^T ⁾exp⁽ ^- ¹⁽ ^ф 0 ⁽ x ) ^- ^⁽ t ^)){( ^Q U ⁺ 7 ⁺ ¹ ^п _е ^]) ⁽ т ⁾ ^- £ £ £

- (Qu )(т) - (QU + 7 +1П£])(x) + (Qv )(x)}dT + 1exp(-1 ф0(x)) x £ £ £ x {(QU + 7 +1П£])(x)-(Qu )(x)} + Д(£,и) + Д^,F,F), £ где

а £ , и ) =- ¹ h ( г ) exp ( - ¹ ( Ф о ( x ) - ф ₀ ( г ))[ - и ( г ) + и ( x )] d г - u ( x ) exp( - ¹ ( Ф о ( x )),

£ ££

ШF£,F) = --1 J h(г)exp(- 1(фо(x)-Фо(т)){F(г)-F(г)}dr + 1[F(x)-F(x)], £ ^ ££

II д(£’ и IL - Lu — {f (exp(-1 (Фо(x)- Фо (г)))[1 (Фо(x)- Фо (г))] £(-1 (Фо(x)- Фо Ш + с ya £ ££

⁺ £ ⁽¹ ^Ф о⁽ x ))exp( ^- ¹⁽ ^Ф о⁽ x ^)} < L u — £ ^{f e ~z^zdz ⁺ e “'^}< p£ .

£ £ya

Далее, для оценки (20) учитываем:

а4) |Д1 (£,F£,F)| < Aj h(r)exp(-1 (Фо(x) -Фо(г))|F£ (г)-F(г)|d £ о

+ 1 F £ ( x ) - F ( x )| < 2 А о ( £ ),(1 А о ( £ ) ——— о);

Л J ^h ⁽ г ⁾e^xp⁽ ^- ¹⁽ ^Ф о ⁽ x ) ^- ^⁽ T ^)){j ^h о ⁽ ^т ⁾| u ( f ) + £ ( f ) + ¹ ^п £ ⁽ ^т ⁾ |x

£ о £ T xj K (?,Г )[2 U(T) |x| £ (г) | + £ (T) + 21! П £ (г) |(| u(T) | +

+ | £ (г) ^]dfdf + x /Цт)| £(T) +1Пe(T) |j K (£г )|u2 (Г)drdi + T £о

+ j K ( x , г ) - K ( г , г )|[2| u ( T ) |x| £ ( Г ) | + £ ( г ) + 2¹] П _e ( г ) |x о

^x(l ^и ( ^г ) l ⁺ l £ ( ^г ) l^)] ^d ^T ⁺ ( K ⁽ x ^г ) l^{x [2}I ^и ( ^г ) l^xl £ ( ^г ) l ⁺ ^£ ( ^г ) ⁺ г

11,1

J⁺²- ^П £ ⁽ ^г ) ( ^и ( ^г ) ⁺ £ ( ^г ) ) +—^П Д ^г ^)] ^d ^г ^} ^d ^г < -( ^r 1 ⁺ r 2 ) ^x

£ £a

x[XCо1(2r + Г2) + 2Cо1СоJ-exp(--(Фо(г))dr ] £ c + -(r + £ c) x * £ £~ a

x [2 rC о1 С о x ¹exp( - ¹ ( Ф о ( г )) d z + C о1 С о² x ²exp( - ²( Ф о ( г )) d ^ ] + - C о1 С о x

^ £ £ £ £a

x[2rx4exp(-!(Фо(г))dv + C„x2exp(-2(Фо(г))df] + -Cо^о[2Cо x £ £ £ £a xj Лexp(- ^(л )) d^ + (2 r1 + r^jHexpb ^(f))dт ]| £ || c +

J £ £ о ££

+ - Cо1 rft X |£|| c + Cо x 1exp(- 1(Фо(г )) dF ] + LK —{[ X (2r + r2) + a C £ £ya

+2CJ 1exp(-1(Ф>(г))d^]||£IIc+ 2r1Cо/ 1exp(- 1(Фо(г))dт + Cо2 x £ £ о ££

4 —^exP(— W ^T )) ^d ^T + ² ^C J —^exP(— ⁽ ^ф 0 ⁽ ^т )) ^dT| ^£ || _c + £ £ £ £

+ C 4 A ^exP⁽ - ^{1 (} ^ф 0 ⁽ ^f )) ^d ^f ^} < T 3 ^ + q i ||£ II,_c ’ 0 ^{£ £}

I £ ( x )| < r , , V x e [0, X ],

а ₅) 1 exp( - 1 ( ф 0 ( x ))|( Q [ u + £ + 1 П £ ])( x ) - ( Q u )( x )| <

< ^exp⁽ ^- ¹⁽ ^ф о ⁽ x )){j h⁽ ^f )\ u ( ^f ) + £ ⁽ ^f ⁾ + ¹ П £ ⁽ ^f ) |x

£ £ 0 £ xj K(f,T)[2|u(f) |x| £(f) | + £(f) + 2-| П£(T) I о

x(i u(T) i+i £(т) I)+4п2f )]dTdT+! ho(T) £(T)+ £0

+1П£T) |j K(f,T)|u2(f)dfdf + x K(x,T) |[2| u(f) |x £ о0

^X| ^£ ( Г ) | ⁺ ^£ ( ^T ) ⁺ ²¹ П £ ⁽ ^T ) Ю ^U ( ^T ) | ⁺ | ^ ( ^T ) J) ⁺

+4П2 (f)]df} < -(Г1 + Г2)[XC01(2rr + r2) + 2C01C0 x £a

x xj-exp(--(Ф>(Т))dT] £ c + -(r + £ C)[2rC0-C0 x * £ £ a

x f ¹exp( - ^( f )) d T + C 01 C 0² f4exp( - ^( T )) d T ] + 1 C 01 C 0 x

0 £ £ 0 £ £ a

c 11 x 1 .

^x ^[2 Г 1 J—exp( ^- Ш т )) d f ⁺ C 6 J—exp⁽ ^- о ^{£ £} 0 ^£

-( ^ф 0 ⁽ т )) d f ^] ⁺ -C 01 C 0 ^x a

^x ^[2 C 0 J—^exp⁽ ^- ( ^ф 0 ⁽ ^т )) ^d ^T ⁺ ⁽² ^r 1 ⁺ ^r 2 )J—^exp⁽ ^- ⁽ ^ф 0 ⁽ ^т )) ^d ^T ^]| ^£ II _c ⁺

0 ^{£ £} 0 ^{£ £}

+- C 01 Г 1² [ X £ _c + C 0J -exp( - -( ф 0 ( т )) d f ] + [ C 01 (2 Г 1 + r ₂) x a

5 1 7 1 3 1 ² 1

xM1 £ 2(-ф0(x))2 exp(--(ф0(x)) + 2C01C0M1 £ 2(-ф0(x))2 exp(--(ф0(x))] x £ £ £ £ x| £ IC + C01C02 M 1J£- ф0( x ))2 exp(--(ф0( x)) < T37£+q 21£ IC,

здесь учтены:

X 1 2 1 2 X f—exP(--фо (т ))dT = — T exP(--фо (т )) 0 + f

J s s s s

1 _ 7 ^т ^x

z 2Z, ,z2 , 1 z 2Z , z _1 x exP(--(фо(т ))d(-фо(т )) < —x exP(--(фо(x)) + M 1~r^ Vs x s s s s72

X 2 7 2 2 1 2

xJ(-фо(т))2exP(--(фо(т))d(-фо(т))dT

²^ф0⁽x )

. 2 s x exP(— (фо( x))+ s 0

p² e^-^pdp] < M1 ^[(7)²e’²+ J P² e^-^pdp] =

4 2^{7 2} О

=^M13F ^^[(2⁾²

— e 2

+ "О” f Р 2e ^РdP] = ^Mi

Zle"²+ ¹⁰⁵^^П ] = ^/2^? 2⁷ 16 ^J

аналогично :

X1 1 ⁵

exP(- (ф (т))dr< Ms²

0^{s s}

2 )

- 7 105 ГП e 2 +

= T^2,

x 1 1

f—exP(—(ф(т))dT <Т2s2, 0£s

X 12

Уexp(—(ф(t))dr< TJs²,(0 < T = const,i = 1,2;0 < s< 1).

0 ^s

Поэтому, имеет место

IIС (0 )c< (1 - q ) [s + 2 До (s) + То -Ts ] = Д 2 (s) ——• О,

1 Ms) ,•

s q = max( q1 < 1, qx + q2 < 1), г о ±+ 33.

Лемма 2. Если выполняются условия леммы 1 и (12),(22), то уравнение (10) разрешимо в C^[0,X^], причем при _г;>() сходится к нулю в смысле C^[0,X^]'

Выводы:

А) Если выполняются условия лемм 1, 2, то решение ИУ (5) единственным образом представимо в виде (7), при этом ^^X^{G (}^0,X^]решение уравнения (5) сходится (неравномерная сходимость) при ε→0 к решению уравнения (9) с оценкой:

19s - и <Д 2 (s) +1 |пs (X)| < |^пs⁽^X)| < C0^exP⁽^-¹^ф0⁽^X))• s

^Д2⁽^S) ⁺¹^С0 ^exP⁽- ¹^ф0 ⁽^XU

Б) А в случае:

X = 0:9s (о) =¹F (0).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №7. 2022

Кроме того, имеет место (11). Поэтому, учитывая вышеуказанные дефекты, пока не можем сказать близости решений уравнений (5) и (9) в определенном смысле.

2. Регуляризация ИУВ-1 в Z^(0,X)

В этом пункте докажем теорему о регуляризируемости ИУВ-1 в Z^(0,X) , чтобы полноценно оценить близость решений уравнений (5), (9) в этом пространстве.

Теорема 1. Пусть имеют место условия лемм 1,2 и имеет место (23). Тогда следуют:

7 ,___ т ' IH² (24)

IIП£lX,«„</.£⁴,Y1 = Cо2Me ⁴[(t)²e² + 7(2Л]²), ⁽ ,^ )

3 - (25)

II 0£ - u ||_Z2_{(0 x)}< 2[Д2 (£)VX + Y£⁴] = M/о(£), Z^(о,^X )

|| (^Ф^в£ )( x )-^F ( x ) _Z 2_(о, X) < ^M(^£ ) ^,(^Mо (^£ ) ^,^M(^£ )^ ^о при ^£ ^ ⁰) .

Доказательство. Рассматривая второе соотношение формулы (23) в смысле нормы пространства Z (^0,X), получим:

II^п_s IIZ2< Co(sup j exp⁽^--^фо⁽т⁾⁾dry = C;sup[rexp(—-^(r))|j +

[0,X] о £ [0,X]

с 2 ₂ ¹ 2 x -7 727

+ f т^exp ⁽--^фо^Т⁾⁾d⁽- ^ф0 ⁽т^))]²= Cо sup^[x^exp ⁽--^фо⁽x)) + J M1²²^£^{2 (}- ^фо^Т⁾⁾²X

0 £ £ [0, X ] £ 4£

. . 2 .2 J _ I77 .2 . . . 7 .

1Xexp( —фо(г))d(-фо(т))]2 < Cо TM12 4£4sup[(-фо(x))2 exp( — фо(x)) + £ £ [о, X ] ££

^ 71 _7 777 _7 17

+ f e-^рр²dp]²<CJM 2~⁴£⁴[(⁷)²e²+ — П]²= у£⁴, ^о* ¹ 2 16 ^л "

т.е., действительно, имеет место (24).

Кроме того, из первого соотношение формулы (23) на основе нормы Z (0, X) и неравенство: (“1 + a2)' < 2''(“' + “2'), а а 0,“ а 0, следует II в -и IZ< 2[Д2(£+ т,£4 ] = Йо(£).

А это означает, что и выполняется неравенство (25).

С другой стороны, учетом (см. (5)):

|(Фв)(x) - F(x) = |в + (Ф в,)(x) - F (x) - (£ - v+и) + F (x) - F(x)|, получим

I ^(Фв£⁾⁽x^)-^F⁽x )| Z 2(о, x ) < ^4[||F⁽x^)-^F⁽x )| Z 2 ⁺^{£ в}⁽x^)-^u⁽x )| Z 2 ⁺^£r1 IX^]< < 4[Д_о (£)4X + £M_о( £) + £^JX] = M (£ ) ——— о.

Что и требовалось доказать.

Из полученных результатов пунктов 1, 2, в итоге имеем:

Утверждение 1. В условиях теоремы 1 ИУВ-1 (1) регуляризируется по правилу (5) в Z^(0,^X) обобщенном смысле.

Заключение

В работе исследовано нелинейное некорректное ИУВ-1 в Z (0, X) Решение исходного уравнения строится с помощью МР, которое позволило выявить достаточные условия

Z2(0,X)

разрешимости и регуляризируемости исходного уравнения в

Результаты работы могут быть использованы к обратным задачам математической физики, где вырождаются нелинейные некорректные ИУВ-1 указанного класса.

Список литературы Регуляризация некорректного интегрального уравнения Вольтерра первого рода

Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и числ. методы. Новосибирск: Наука, 1999. 192 с.
Аниконов Д. С. К вопросу о единственности решения обратных задач для уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. №1. С. 3-9.
Бухгейм А. Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 207 с.
Денисов А. М. О приближенном решения уравнения Вольтерра первого рода, связанного с одной обратной задачей для уравнения теплопроводности // Вестник Московского университета. 1980. Т. 15. С. 49-52.
Иманалиев М. И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. Фрунзе: Илим, 1981. 144 с.
Лаврентьев М. М. Регуляризация операторных уравнений типа Вольтерра // Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1977. С. 199-205.
Омуров Т. Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. Бишкек: Илим, 2003. 162 с.
Магницкий Н. А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. №4. С. 970-988.
Сергеев В. О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода // Доклады Академии наук. Российская академия наук, 1971. Т. 197. №3. С. 531-534.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.
Omurov T. D., Alybaev A. M. Regularization of a system of the first kind Volterra incorrect two-dimensional equations // Advances in Differential Equations and Control Processes. 2022. V. 27. P. 149-162. http://dx.doi.org/10.17654/0974324322018

Еще