Регуляризация некорректного интегрального уравнения Вольтерра первого рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.9                                          

В теории ИУВ-1 и ИУВ-3 рассмотрены различные варианты МР, связанные с ядрами данных уравнений, которые встречаются в работах [1, 5-9, 11]. Особое место занимает случай МР в области ИУВ-1 или ИУВ-3, которое позволяет построить особое решение в определенном пространстве, где учитывается функция, имеющее сингулярности относительно малого параметра [5, 7]. В указанных условиях регуляризируемость исходных нелинейных ИУВ-1 или ИУВ-3 считаются в обобщенном смысле в тех пространствах, которые введены.

В связи с этим, в настоящей статье изучается некорректное ИУВ-1 вида:

Нв = J K(x, т)в2 (t)dт = F(x), где

'c ( D o ) э K ( x , t ) : K (.) <  C 01 ,( D o = {( x , t ) : 0 <  t <  x <  X},                                   (2)

(.) >  0; K (0,0) * 0,

C [0, X ] э F ( x ): F (0) ^ 0; \F (0)| <  C _o2; F ( x ) >  a >  0, V x e [0, X ],

^F , ^K     — известные функции, причем ^в

—

неизвестная функция из [11]: Z ^(0, Х ),

здесь Z ^(0, Х ) — это пространство, элементами которого являются все суммируемые с квадратом функции из L ^{[0, X ]}, а также обобщенные функции z ^{( x} ) , сосредоточенные в начале координат отрезка ^{[0, X ]} (с условием, если неотрицательная пробная функция ^{ф (0)} 1, то <  z ^{, ф} >= ^1). При этом ставится задача, доказать регуляризируемости (1) в вышеуказанном пространстве, так как при условии (2) ИУВ-1 некорректно поставленное, т.е. не имеет решение в ^{C [0, X ]}

1. Регуляризирующие алгоритмы в ИУВ-1

Чтобы доказать регуляризируемость (1) при условии (2) в обобщенном смысле, сперва проводя следующие математические преобразования, т.е. допуская:

h ( x ) = [ y +   Л ( x )] F ( x ) >  m >  0,(1 <  у = const ),

a

h (x) = y + — A(x); 0 < A(x) e L1 (0, X), a h0(x) < C03h(x),(C03 = a—1;0 < max C0j = Ci, j = 1,4),

C 0 = max(1, C 0 C ),( k = 1,5),

Ф ( x ) =   [ y + — ^ ( t )] F ( t ) d r =   h ( t ) d т ,

ГУJ

0       a0

F0(x) = F(x) — F(0);|F0(x)| < C04, Vx e [0, X], например Л(x) =^= :

4-4/ x ³

I F 0 ( x ) — F 0 ( t )| <  L F ( x — t ) <  L F — [ [ y + - ^ ( t )] F ( t ) d т =

0           0 Yaa

= LM 0 ( ф , ( x ) — ^( t )),( t <  x ; y >  1; M 0 = —),

0                                    Ya x e [0,X]: x = (^)2(^)2 < M 1(ф,(x))2, x < M1 (4X)2 (ф (x))2 < M2 (Ф0 (x))2,

1          1       3     1

Mj = X8; M2 = X 8«/X)2 = X 2, x = p exp(—p);supx(P) = k exp(—k),(k = 1,2,—),

P > 0                                  ²

„ P = 0 : x (0) = 0; p ^ ® : x ^ 0,

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №7. 2022

ИУВ-1 (1) эквивалентно преобразуется к виду:

x

J h ( т ) 0(t ) d T = ( Q0Xx ) + F ( x ),

x

Q 0 J h o TWT )( H^T ) d T + ( H 0K x ).

Далее, рассмотрим уравнение с малым параметром ε, вида

	X ( x ) + ( Ф ^ )( x ) = F £ ( x ),                                                  (5) >X )( x ) . j h ( т ) 0 £ ( t ) d T - ( Q 0 £ )( x ), 0
с условием	X ( 0 ) = 1 F ( 0 ) ,                                                                     (6) s
	С [0, X ] э F £ ( x ): | \F£ ( x ) - F ( x )|| C < A 0 ( £ ), F ( 0 ) = F ( 0)

Решение этого уравнения ищем по правилу:

^e _c ( x ) = ^{1 n} £ ( x ) ^{+ u ( x} ) ⁺ ^ £ ( x ) £

П £ (0) = F (0),u(0) = 0,^ (0) = 0, причем, относительно неизвестных функций имеют место:

П £ ( x ) = - ¹ x h ( т ) П _£ ( т ) dT + F (0)

£ о

J h ( t ) u ( t ) d T = ( Q u ) ( x ) + F 0 ( x ),

⁰                                     (см.(3))

^_s ⁺ j ^{h (} T ) ^ £ ⁽ T ) d T = ⁽ Q [1 ^П £ + u + £ ]^{) (} x ) - ⁽ Q u ⁾⁽ x ) + F £ ⁽ x ) - ^{F (} x ) - £U ⁽x ),

0                    ^£

где: а) П £ (x) - является решением (8), которое доопределяет особую функцию ^£ (х) с условием

।^ £ ( X )|

1 0, x ^ 0,

-^

^£ ^ °    I® , x = 0;

в) Функция

^ £ ( X )

определяется единственным образом из (10), причем сходится к нулю

в смысле C ^[0, X ^] когда малый параметр: ^£ ^ ⁰

1) В самом деле, во-первых, из (8) следует:

<

^п _е ⁽ x ) = F ^{( o )} exP⁽ - ^{1 ф} о ⁽ x^ £

I^п £ ⁽ x ) ^- C 02 exP⁽ - ^{1 ф} 0 ⁽ x )) ^- C 0 exp⁽ - ^{1 ф} о ⁽ x' )). £               £

Значит, получим (11).

2) Во вторых, так как функция ^{и ( x} ) является решением уравнения (9), то вводя уравнение с малым параметром вида:

x

U ( x ) + J h ( jU ( r d = (Q v_s ) ( x ) + F 0 ( x ),

можем доказать следующую лемму:

Лемма 1. При условиях (2),(3) и (7) уравнение (30) имеет решение ИУВ (13) равномерно сходится к решению (9) при ^s ^ ⁰ . Доказательство. В условиях леммы 1 уравнение (13) преобразуем к виду

и ( x) = - ^jf h T )exp( - 1( ф о ( x ) - Ф о ( Т )Ш и ) ( т ) - ( Q u )( x ) + ^s 0           ^s

⁺ F 0 ^{T ) -} F 0 ⁽ x )^} d t ^{+ 1} exp ^{( - 1 ф} о ⁽ x )) {( ^{Q u} s ^{) (} x ) + F o ⁽ x ^)} s      s

и проводим оценки вида

1 x1

а1) W hT)exP(-  (ф0(x)-ф0T)){(qU)(x)-(QU)(T}dT- s J0

X                                              X

-I 721 hT)exP(- (ф0(x)-ф0Т)){[ h0(T)Us(r)|( |^TT) Iх s о            s               T0

T хU (t )|dr dr + J |^ (x,t ) - K(t,t) |x |uj (t )|dr + x                                                                    1            1

+j K(x,т) х|l>2 (r ) dr}dr - 2[CmX  r2 +   r(LKX + CoJ]х a ay

да xJ e-zzdzlUs|IC = N0 hl|C;

1               1                                          1               1                     x

7exp(- ф0(x))(QU)(x) -  exp(-  ф,(x)) {J h0(TUs(r) х s      s                 s      s

T

X[J KTt) |xUs(t)|dr]dT + J \K(xТ) |хЦ2(t)|dr} -00

1                                                                11

- [-(7 Ф0( x )exp(--ф0( x))) XC0! r2 + C0! r1 M ,s(- Ф0( x ))2 exp( - - ф0( x))] х ass      ss

* х| ЫI C ^- [^ e-^{1 X}C 0 r 2 + C 0 r M s 2² e ’²]|Ы|| C ^- N 1 Ы|| C ,

0 <  s <  1; p = ¹ s

да

Ф 0 (x ); z ( P ) = p^k exp( - p ),( k = 1,2), J e - s sds = 1,

S r (0) = { ц ^ ( x ) e C [0, X ]: U s ( x )| - r„ V x e [0, X ] } ,

а также:

1 x- а2 )        h(T)exP(— (Ф0(x) — ф0(T)){Fo(x) — Fo(T)}dT +

S 0

+1exp(—1 Ф>(x))F0(x) |<| 4f h(T)exp(—i^Cx) — ФЖ))* SS     SS x         1                     x,1

* L F ^{( x — T} ) ^{d T +} LF. -^eXP^{( — ф} 0 ^{( x} )) <     L F _of ^exp^{( —   ( ф} 0 ^{( x} ) ^{— ф} 0 ^{( т} )) *

0             0 S      S        ay 0

* ^{1( ф} 0 ^{( x} ) ^{— ф} 0 ^{( т} )) ^{d ( — 1( ф} 0 ^{( x} ) ^{— ф} 0 ^{( т} ))) ^{+ L} f M 2 ^S ' ^{(1 ф} 0 ^{( x ))2 eX}P^{( — 1 ф} 0 ^{( x} )) <

S                   S                    0      SS

< LF [— f e-zzdz + 22 e 'MS] < L. F,                                           20

⁰ ay 0

Тогда имеет место

h j ^{( x} ) c - ^{(1 —} q o ^{) —1} L о = r i , ^ q о = N о + N 1 <  1.

u. (x ) = u( x ) + Ms (x )

С другой стороны, с помощью подстановки: j            j , для любого:

M s ^{( x} ) ^ ^S r, ⁽⁰⁾ = { M s ^{( x} ) ^{e C [0 X ] :} | M s ^{( x} ) <  r 2 , ^{V (} x ) ^ ^{[0, X ] }}

, получим

x sMs(x) + J h(t)Ms(t)dr = (Q[u + Ms])(x) — (Qu )(x) — Su(x), или, на основе резольвенты имеем:

1^х?                             1

M s ^{( x} ) = ^— Л h ^{( t} )^exP^{( —   ( ф} 0 ^{( x} ) ^{— ф} 0 ^{( т} )){^{( Q [ u +} M s ^{]) ( t ) — ( Q u ) ( t ) —}

^S о            ^S

—

—

^{( Q [ u} + M s ^{]) ( x )+ ( Q u ) ( x ) } d T + 1ex}P( " ^{1 ф} 0 ^{( x )){( Q [ u +} M s ^{]) ( x ) —} SS

(Qu )(x)} + A(S,u), где

A(s, u) = -1 f h(t)exp(—1 (ф (x) — Ф0 (t))[—u(t) + u(x)]dz — u(x) exp (—1 ф (x)), s J SS xx                    1                                                             11

II^A ( ^S , ^u )| с <  ^L u ^{ J ^(exp^{( —} - ^{( ф} 0^{( x} ) ^{— ф} 0 ^{( t} )))^{( x — T} ) ^{d ( —} - ^{( ф} 0^{( x} ) ^{— ф} 0 ^{( t} ))) ^{+ x ex}p^{( —} J ^{( ф} 0 ⁽ x ^)} <

< ^L u -{j ^(exp^{( — 1( ф} 0^{( x} ) ^{— ф} 0^{( т} ' Ж^{1( ф} 0^{( x} ) ^{— ф} 0^{( т ))] S d ( — 1( ф} 0⁽ x ) ^{— ф} 0^{( т} ))) ⁺

ya         S             SS

+ s(1 ф0(x)) exp(—1 (ф0(x)} < Lu — s{f e’zzdz + e ^ < Ж s          s          ya 0

Lu — {f e-zzdz + ee4} < 2Lu — = в, (0 < Lu = const), ya 0                 ya

u ( x ) — u ( x ) < L _u x — x .

Следовательно, учитывая оценки вида:

xx а3) ' IF I h (T)exP(-^ (ф0(x) - Ф (T)){j h0 (T)U(T ) + Ms (T)] x

T xj K(T,T )[2u(t )Ms (T) + mS (t )]dTdT + j h^Ms(T)x xj K(T,T)u2 (t)dTdT + j [K(x,T)-K(t,t)][2u(t)ms(t ) +

.+ m S ( t ) ] d T + j K ( x , t )[2 u ( t ) M s T ) + m S ( t ) d T }dt |<

T

< 2^ {XC0,( r + Г2)(2 r + Г2) + r2 XC,01 + -(2r + rsX LkX + C01)} x a xl Ims (x )| С=N0I Ims (x )| С;

I 1exp(-1Ф(x))(QU + M])(x)-(Qu)(x) |< —exp(-1Ф(x))x 0            s                                ^/0^// dooo xx

^{x [} j K ⁽ x , т ) I^x |^{2 u} ( t ) M s ( t ) + M² s ( t )| d T + j ^h 0 ⁽ T ) ^ ( т ) +

,   00

tx

⁺ M s ⁽ t )| j K ⁽ t , ^t )| ^x|^} и ( ^т ) M s ( ^T ) ⁺ M} ( ^t ) | ^{d T} d T + j ^h 0 ⁽ T ) ^x

t

. ^x| M s ^{( t} )| j K ( ^{T , T} ) |^x ^ ²( ^T )| ^{d T} d ^{T ]} < ^{[ C} 01 ^M s ^(s r i ⁺ r s ^{)s S} e~²° ⁺

'

+C01X — (r- + rs)(Sr- + rs)e-— + C01X-r-2e"’]|Ms(x)||c < N-1Ms(x)||c, aa

0 < 8 < 1; U < r, Vx e [0, X ], из (16), имеем

JI M s ( x l<( 1 - * Г' es , . q , = max q „ <  1, ~„ <  1),⁽~ = N 0 ⁺ N <  0-

А это означает, что

^Us ^{( x} ) ^ u ( x ), V х e [0, X ],

' d ^ 0

т. е., сходится в смысле ^{C [0, X ]}* Что и требовалось доказать.

7 (x)

3) Чтобы определить функцию ’ ^£   , сперва (10) преобразуем к виду

7 ⁽ x ) = ^- 4 j ^{h T )}exp^{( - 1( ф} 0 ⁽ x ) ^- ^⁽ t ^{)){( Q} U ⁺ 7 ^{+ 1 п} _е ^{]) (} т ^{) -} £             £                        £

- (Qu )(т) - (QU + 7 +1П£])(x) + (Qv )(x)}dT + 1exp(-1 ф0(x)) x £                      £      £ x {(QU + 7 +1П£])(x)-(Qu )(x)} + Д(£,и) + Д^,F,F), £ где

а £ , и ) =- ¹    h ( г ) exp ( - ¹ ( Ф о ( x ) - ф ₀ ( г ))[ - и ( г ) + и ( x )] d г - u ( x ) exp( - ¹ ( Ф о ( x )),

£            ££

ШF£,F) = --1 J h(г)exp(- 1(фо(x)-Фо(т)){F(г)-F(г)}dr + 1[F(x)-F(x)], £ ^            ££

II д(£’ и IL - Lu — {f (exp(-1 (Фо(x)- Фо (г)))[1 (Фо(x)- Фо (г))] £(-1 (Фо(x)- Фо Ш + с     ya         £              ££

⁺ £ ^{(1 Ф} о⁽ x ))exp( ^{- 1( Ф} о⁽ x ^)} <  L u — £ ^{f e ~z^{zdz +} e “'^}<  p£ .

£           £ya

Далее, для оценки (20) учитываем:

а4) |Д1 (£,F£,F)| < Aj h(r)exp(-1 (Фо(x) -Фо(г))|F£ (г)-F(г)|d £ о

+ 1 F £ ( x ) - F ( x )| <  2 А о ( £ ),(1 А о ( £ ) ——— о);

Л J ^{h (} г ⁾e^xp^{( - 1( Ф} о ⁽ x ) ^- ^⁽ T ^)){j ^h о ^{( т )}| u ( f ) + £ ( f ) + ^{1 п} £ ^{( т )} |x

£ о           £              T xj K (?,Г )[2 U(T) |x| £ (г) | + £ (T) + 21! П £ (г) |(| u(T) | +

о

+ | £ (г) ^]dfdf + x /Цт)| £(T) +1Пe(T) |j K (£г )|u2 (Г)drdi + T                  £о

+ j K ( x , г ) - K ( г , г )|[2| u ( T ) |x| £ ( Г ) | + £ ( г ) + 2¹] П _e ( г ) |x о

x

^x(l ^и ( ^г ) l ⁺ l £ ( ^г ) l^{)] d T +} ( K ⁽ x ^г ) l^{x [2}I ^и ( ^г ) l^xl £ ( ^г ) l ^{+ £} ( ^г ) ⁺ г

11,1

J⁺²- ^П £ ^{( г} ) ( ^и ( ^г )   ⁺ £ ( ^г ) ) +—^П Д ^{г )] d г } d г}  < -( ^r 1 ⁺ r 2 ) ^x

£                           £a

x

x[XCо1(2r + Г2) + 2Cо1СоJ-exp(--(Фо(г))dr ] £ c + -(r + £ c) x * £      £~ a

x [2 rC о1 С о x ¹exp( - ¹ ( Ф о ( г )) d z + C о1 С о² x ²exp( - ²( Ф о ( г )) d ^ ] + - C о1 С о x

^ £     £                 £      £a

x[2rx4exp(-!(Фо(г))dv + C„x2exp(-2(Фо(г))df] + -Cо^о[2Cо x £      £              £      £a xj Лexp(- ^(л )) d^ + (2 r1 + r^jHexpb ^(f))dт ]| £ || c +

J £       £                    о ££

+ - Cо1 rft X |£|| c + Cо x 1exp(- 1(Фо(г )) dF ] + LK —{[ X (2r + r2) + a          C      £     £ya

+2CJ 1exp(-1(Ф>(г))d^]||£IIc+ 2r1Cо/ 1exp(- 1(Фо(г))dт + Cо2 x £      £                      о ££

<

xx

4 —^exP(— W ^T )) ^{d T} + ^{2 C} J —^exP(— ^{( ф} 0 ^{( т} )) ^dT| ^£ || _c + £      £                £      £

+ C 4 A ^exP⁽ - ^{1 ( ф} 0 ^{( f} )) ^{d f }} <  T 3 ^ + q i ||£ II,_c ’ 0 ^{£       £}

I £ ( x )| <  r , , V x e [0, X ],

и

а ₅) 1 exp( - 1 ( ф 0 ( x ))|( Q [ u + £ + 1 П £ ])( x ) - ( Q u )( x )| <

< ^exp^{( - 1( ф} о ⁽ x )){j h^{( f} )\ u ( ^f ) + £ ^{( f )} + ¹ П £ ^{( f} ) |x

£      £       0                     £ xj K(f,T)[2|u(f) |x| £(f) | + £(f) + 2-| П£(T) I о

X

x(i u(T) i+i £(т) I)+4п2f )]dTdT+! ho(T) £(T)+ £0

+1П£T) |j K(f,T)|u2(f)dfdf + x K(x,T) |[2| u(f) |x £         о0

^X| ^£ ( Г ) | ^{+ £} ( ^T ) ^{+ 21} П £ ^{( T} ) Ю ^U ( ^T ) | ⁺ | ^ ( ^T ) J) ⁺

+4П2 (f)]df} < -(Г1 + Г2)[XC01(2rr + r2) + 2C01C0 x £a

x xj-exp(--(Ф>(Т))dT] £ c + -(r + £ C)[2rC0-C0 x * £      £                 a

x f ¹exp( - ^( f )) d T + C 01 C 0² f4exp( - ^( T )) d T ] + 1 C 01 C 0 x

0 £      £                0 £       £            a

c 11         x 1  .

^{x [2} Г 1 J—exp( ^- Ш т )) d f ⁺ C 6 J—exp^{( -} о ^{£        £}                0 ^£

-( ^ф 0 ⁽ т )) d f ^{] +} -C 01 C 0 ^x a

xx

^{x [2} C 0 J—^exp^{( -}   ( ^ф 0 ^{( т} )) ^{d T + (2 r} 1 ^{+ r} 2 )J—^exp^{( - ( ф} 0 ^{( т} )) ^{d T ]}| ^£ II _c ⁺

0 ^{£       £}                    0 ^{£       £}

x

+- C 01 Г 1² [ X £ _c + C 0J -exp( - -( ф 0 ( т )) d f ] + [ C 01 (2 Г 1 + r ₂) x a

5   1         7          1                           3   1        ²         1

xM1 £ 2(-ф0(x))2 exp(--(ф0(x)) + 2C01C0M1 £ 2(-ф0(x))2 exp(--(ф0(x))] x £            £                   £            £ x| £ IC + C01C02 M 1J£- ф0( x ))2 exp(--(ф0( x)) < T37£+q 21£ IC,

здесь учтены:

<

X 1        2               1          2             X f—exP(--фо (т ))dT = — T exP(--фо (т )) 0 + f

J s       s            s         s

1 _ 7 ^{т x}

z 2Z,       ,z2 ,          1        z 2Z , z       _1 x exP(--(фо(т ))d(-фо(т )) < —x exP(--(фо(x)) + M 1~r^ Vs x s        s       s        s72

X 2       7       2           2                   1        2

xJ(-фо(т))2exP(--(фо(т))d(-фо(т))dT

^{2 ф}0⁽x )

.  2            s x exP(— (фо( x))+ s              0

p² e^-pdp] < M1    ^[(7)²e’²+ J P² e^-pdp] =

4 2^{7     2}       О

=^M13F ^^[(2⁾²

— e 2

J

+ "О” f Р 2e ^РdP] = ^Mi

О

Zle"²+ ¹⁰⁵^^П ] = ^/2^? 2⁷          16 ^J

аналогично :

X1           1             ⁵

exP(- (ф (т))dr< Ms²

0^{s      s}

2 )

- 7  105 ГП e 2 +

= T^2,

x 1          1

f—exP(—(ф(т))dT <Т2s2, 0£s

X 12

Уexp(—(ф(t))dr< TJs²,(0 < T = const,i = 1,2;0 < s< 1).

0 ^s

Поэтому, имеет место

IIС (0 )c< (1 - q ) [s + 2 До (s) + То -Ts ] = Д 2 (s) ——• О,

1 Ms)   ,•

s q = max( q1 < 1, qx + q2 < 1), г о ±+ 33.

Лемма 2. Если выполняются условия леммы 1 и (12),(22), то уравнение (10) разрешимо в C^[0,X^], причем при _г;>() сходится к нулю в смысле C^[0,X^]'

Выводы:

А) Если выполняются условия лемм 1, 2, то решение ИУ (5) единственным образом представимо в виде (7), при этом ^^{X G (0,}X^]решение уравнения (5) сходится (неравномерная сходимость) при ε→0 к решению уравнения (9) с оценкой:

^

19s - и <Д 2 (s) +1 |пs (X)| < |^пs^(X)| < C0^exP^{(- 1 ф}0^(X))• s

^Д2^(S) ^{+ 1 С}0 ^exP⁽- ^{1 ф}0 ^(XU

s

s

Б) А в случае:

X = 0:9s (о) =¹F (0).

s

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №7. 2022

Кроме того, имеет место (11). Поэтому, учитывая вышеуказанные дефекты, пока не можем сказать близости решений уравнений (5) и (9) в определенном смысле.

2. Регуляризация ИУВ-1 в Z^(0,X)

В этом пункте докажем теорему о регуляризируемости ИУВ-1 в Z^(0,X) , чтобы полноценно оценить близость решений уравнений (5), (9) в этом пространстве.

Теорема 1. Пусть имеют место условия лемм 1,2 и имеет место (23). Тогда следуют:

1)	7            ,___      т     '    IH2                               (24) IIП£lX,«„</.£4,Y1 = Cо2Me 4[(t)2e2 + 7(2Л]2), (  ,^ )
2)	3    -                             (25) II 0£ - u ||Z2(0 x)< 2[Д2 (£)VX + Y£4] = M/о(£), Z(о,X )
3)	|| (Фв£ )( x )-F ( x ) Z 2(о, X) < M(£ ) ,(Mо (£ ) ,M(£ )^ о при £ ^ 0) .

Доказательство. Рассматривая второе соотношение формулы (23) в смысле нормы пространства Z (^0,X), получим:

II^п_s IIZ2< Co(sup j exp^(--^фо⁽т⁾⁾dry = C;sup[rexp(—-^(r))|j +

[0,X] о           £                       [0,X]

с         2         ₂       ¹                  2         x      -7 727

+ f т^exp ⁽--^фо^Т))d⁽- ^ф0 ⁽т^{))] 2}= Cо sup^[x^exp ⁽--^фо⁽x)) + J M1^{2 2 £ 2 (}- ^фо^{Т)) 2}X

0           £          £                [0, X ]          £          4£

.         .   2           .2           J _ I77       .2 . . . 7      .

1Xexp( —фо(г))d(-фо(т))]2 < Cо TM12 4£4sup[(-фо(x))2 exp( — фо(x)) + £          £                             [о, X ] ££

^     71         _7 777 _7         17

+ f e-^рр²dp]²<CJM 2~⁴£⁴[(⁷)²e²+ — П]²= у£⁴, ^о*   ¹         2          16 ^л "

т.е., действительно, имеет место (24).

Кроме того, из первого соотношение формулы (23) на основе нормы Z (0, X) и неравенство: (“1 + a2)' < 2''(“' + “2'), а а 0,“ а 0, следует II в -и IZ< 2[Д2(£+ т,£4 ] = Йо(£).

А это означает, что и выполняется неравенство (25).

С другой стороны, учетом (см. (5)):

|(Фв)(x) - F(x) = |в + (Ф в,)(x) - F (x) - (£ - v+и) + F (x) - F(x)|, получим

I ^(Фв£⁾⁽x^{)-F (}x )| Z 2(о, x ) < ^4[||F⁽x^{)-F (}x )| Z 2 ^{+ £ в (}x^)-u(x )| Z 2 ^{+ £}r1 IX^]< < 4[Д_о (£)4X + £M_о( £) + £^JX] = M (£ ) ——— о.

Что и требовалось доказать.

Из полученных результатов пунктов 1, 2, в итоге имеем:

Утверждение 1. В условиях теоремы 1 ИУВ-1 (1) регуляризируется по правилу (5) в Z^{(0, X}) обобщенном смысле.

Заключение

В работе исследовано нелинейное некорректное ИУВ-1 в Z (0, X) Решение исходного уравнения строится с помощью МР, которое позволило выявить достаточные условия

Z2(0,X)

разрешимости и регуляризируемости исходного уравнения в

Результаты работы могут быть использованы к обратным задачам математической физики, где вырождаются нелинейные некорректные ИУВ-1 указанного класса.