Регуляризация решения неклассических линейных уравнений Вольтера первого рода с начальным условием

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.983                                        

Интегральные уравнения первого рода являются основными в разделе интегро-дифференциальных уравнений. Над этой проблемой работали многие математики [1–5].

Рассматривается решение и регуляризация неклассического интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Поставлена задача и введена норма решения u(t). Решается неклассическое интегральное уравнение Вольтерра первого рода. Далее оценивается решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода. В итоге доказанным фактом формулируется теорема. Рассмотрим соответствующий пример.

Постановка задачи:

Рассмотрим интегральное уравнение

t

J K ( t , s ) u ( s ) ds = f ( t ) ; t ^G [ t о , T ^]

^{a (} t )

a (t ) , K ( t , s ) и f ( t ) - заданные функции, где a (t ) g С 1 [ 1 ₀, T ] , a (t ) = в < t₀ , f ( t ) g С ¹[ 1 ₀, T ], a ( t ) <  t при всех t g [ t ₀, T ] ,    K(t, s)   и    K ‘‘ ( t, s ) - непрерывные функции в области

G = {( t , s ): a (t ) <  s <  t <  T } , a ( t ) - возрастающая функция в [ t ₀, T ] .

Для u(t) g С[t0,T] введем норму ||u(t)||c = sup |u(t)| t g[ 10, T ]

Предположим выполнение следующих условий:

• а) K ( t , s ) и K ‘‘ ( t , s ) - непрерывные функции в области G = {( t , s ):   a ( t ) <  s <  t <  T } , K ( t , t ) >  a >  0

при всех t ^{g [} t ₀, T ^] ;

• b)   a ( t ) ,   a '( t ) ,   f ( t ) ,   f '( t ) g C [ 1 0 , T ] ,   a ( 1 0 ) = в < 1 0 ,   a (T ) = 1 0 , при всех t g [ 1 0 , T ] , где   a ( t ) -

• возрастающая функция в [t0, T]. Пусть

U ( t ) = ^ ( t ) , t G [ e , 1 0 ]                                                                 (2)

где ^ ( t ) - известная непрерывная функция в [ в , t ₀ ].

Решение:

Пусть t g [ t_Q , T ]. Тогда дифференцируя интегральное уравнение (1), имеем [5-7]:

K ( t , t ) u ( t ) - K ( t , a ( t )) u ( a ( t )) a '( t ) + J K ‘ ( t , s ) u ( s ) ds = f '( t )

^{a (} t )

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №4. 2023 отсюда получим:

u ₍ t ) = K ( t, a ( t )) u a t )_{) a}' ( t ) - J K&s ) u ( s ) ds +- f ’ l t )- ; t e[ t o , T ] K ( t , t )                     J . ) K ( t , t )             K ( t , t )

Учитывая условия a), b) и (2) интегральное уравнение (3) запишем в виде:

u ( t ) = —[ Кt (b ^s ) _u (_s ) d _s + p ( t ) , t ^{e [} t o , T ^] t , K ( t , t )

где

k ( t, a ( t ))                     t 0 к ‘ ( t , s ) , ₄,      f '( t )

P ( t ) =     -      ^(a ( t ) № (t ) — t -   ® ( s ) ds +         ; t e[ t ₀, T ]

’     K ( t , t )            ’         „ J t ) к ( t , t )’       K ( t , t )

Полагая t = t _o и учитывая (2) и (5) из (1) и (4), получим:

t о

JK(tо, s)u(s)ds = f (to) ;

^{a (} t o )

^ ⁽ t 0 ) =

K ( t o , a ( t o )) K ( t o , t o )

t o

^(a (t o))a'( to) — J a (t)

K^ t o , s ) K ( t o , t o )

u ( s ) ds +

f '( t o ) K ( t o ,t o )

Рассмотрим следующее интегральное уравнение

t sv (t, s) + J K (t, s ) v (s, s) ds = f (t) + s^( t0 ) a (t)

с условием

v ( t , s ) = ^ ( t ) , t ^{e [ e} , t o ^]

где s >  O — некоторый малый параметр. В интегральном уравнении (8) сделаем подстановку:

v ( t , s ) = u ( t ) + ; ( t , s ) , t е [ в , T ]                                      (10)

подставив (10) в (8), имеем:

tt su(t) + ; (t, s) + JK(t, s)u(s)ds + JK(t, s);(s, s)ds = f (t) + s^(t0) , a( t)                             a (t)

В силу (1) из (11) получим:

t

s; ( t , s ) + J K ( t , s ) ; ( s , s ) ds = s [ ^ ( t ₀ ) — u ( t )]

^{a (} t )

Учитывая (10), условию (9) и (2) имеем:

; ( t , s ) = O ; t ^{e [ e} , t o ^] .

Из (12) разделив интеграл получим:

t o

t

£^(t,£)+ J K( t,sX(s,£)ds + J

K( t,sX(s, £)ds =£[ф(t0)

- u(t)].

a(t)

t0

t о                                               t

S? (t, £) + j K(t, s)^(s, £)ds + j K(t, s)^(s, £)ds = £[^(t0) - u(t)] .

^{a (} t )                                   t 0

В силу (13) имеем:

t 0                                                                                (15)

j ^{K (} t , ^s ) ^ ^{( s} , ^£ ) ^ds = ⁰ , t _е [Д T ]

^{a (} t )

и отметим, что ^ ( t ₀) = u ( t ₀) ;

Тогда в силу (15) из (14) получим:

t

£; ( t , £ ) + j K ( t , s ) ^ ( s , £ ) ds = £ [ ^ ( t ₀ ) — u ( t )]

t 0

Дифференцируя уравнение (16), имеем:

t

£^ '( t , £ ) + K ( t , t ) ^ ( t , £ ) + j K ‘ ( t , s ) ^ ( s , £ ) ds = -£ U'tt )

t 0

с начальным условием

^ ( 1 0 , £ ) = 0

Уравнение (17) линейное интегро-дифференциальное уравнение первого порядка

^ (t , £ ) + ¹ K ( t , t X ( t , £ ) = — u '( t ) — ¹ j K ‘ ( t , s ) ^ ( s , £ ) ds ^{£                              £} t 0

с условием (18). Задача Коши (18)-(19) эквивалентны следующему интегральному уравнению:

t  — ¹ j K ( t , t ) dT (           1 s                            \                                    ⁽²⁰⁾

^(t,£) = —je £s       u'(s) + -jK's(s,t)^(t,£)dT ds t 0               \           £ t 0                           )

Теперь воспользуемся формулой Дирихле [8] и из (20) имеем:

t

^ ( t , £ ) = j H ( t , T , £ ) ^ ( t , £ ) d T + F ( t , £ )

t 0

где

j t   — —j K ( t , t ) d T

H ( t , t , £ ) = — e ^{£ s}        K ‘ ( s , t ) ds ,

£

T

t t  —JK (r-r ) dr

F(t, s) = -J e s s t 0

u ‘(s)ds .

Пусть M ₀ = sup | K_t ‘ ( t , s )| < да , u ₀ = \\u '( t )|| ( t , s ) e G

Тогда из (22) и (23) имеем оценку:

C

= sup — '( t )| < да t e [ 1 0 , T ]

1            -

H ( t , t , s ) <  M 0 e ^s t -

1            .

— a ( t - s ) ε

^M ds = —- s e αε

1 ε

( t - s)

s = t

< M ; (t -T) e G α s = t 0

t

| F (t- s )

ue

—a⁽t - s)         s

ε ds = u ; α

t '[в- T]

Далее в силу (24) и (25) из (21) имеем:

t_M

^(t- s)

|u о Is a 5 t 'в- T ]

С помощью леммы Гронуолла-Беллмана [9] из (26) получаем:

J Mds

I^(t,s)| < u^-e* ^a , t e [10,T], т. е.

α

II^⁽t-^s)Ic<

I Uol M⁰(T-t0) e ^a

ε

α

I^u 0I

последний стремится к нулю при s ^ 0, т. е. liml|^(t, s)  < lim —0 e s^0       c  s^0 a

M⁰( T -10)

^a    s = 0

Доказанным фактом выше можно сформулировать следующую теорему.

Теорема: пусть выполняются условия а), в) и функция — (t) e C'[t₀, T] является решением интегрального уравнения (1) с условием (2). Тогда решения интегрального уравнения (8) с условием (9) сходится решению — (t) при s ^ 0, т. е. справедлива следующая оценка

||v⁽t, £) ^-u⁽t)С< M 1^s

где

—    M⁰( t -10)

M_{ =  ⁰e ^a     ,

α

^M0 = ^suP |^Kt‘⁽t^{- s}) , (t, s )eG

—0 = u,(t )| IC = suP — ‘(t )| t e[ 10- T ]

Пример: рассмотрим следующее интегральное уравнение:

Jet^-su(s)ds = e‘; t e[0;1]

t-1

с условием

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №4. 2023

u(t) = e , t e[-1;0]

Здесь a(t) = t-1 , t0 = ⁰ , в = -1 , T = 1 , K(t,s) = et^-s , ^a'(t) = 1 , f (t) = e‘ . Кроме того

предположим, что при t е[-1;0] u(t) = e‘, ^(t) = e‘. В этом случае K(t,а(t)) = e, K'_t(t,s) = e* ^s,

K (t, t) = 1 при (t, s) = G = {(t, s): t-1 < s< t< 1}

Проверим условию (6) и (7):

J e-sesds = J ds = 1,

-1                 -1

0                         0

1 = ^(0) = P(0) = ee-1 - J e^-sesds +1 = 1 - J ds +1 = 2 -1 = 1.

-1                            -1

Решение интегрального уравнения (28) с условием (29) эквивалентно к следующему

интегральному уравнению:

t u (t) = P(t) - J e-su (s)ds, t e [0;1]

где

⁰                         ZJtfO-L/Z>

P (t) = ee  -I e eds + e = e - e \ ds + e = 2 e - e s = 2 e + e (t-1) : = e (2 +1 -1) = e (I +1)

t-1

P(t) = e (t +1) ; t e[0;1]

Тогда решение интегрального уравнения (12) записывается в виде:

R (t, s) = - e⁽t^-s) e "⁽t^-s) =-1

u(t) = e (t +1)-Je^s(s +1)ds =

u = s + 1 du = ds

dv = e^sds v = e^s

= e (t +1) - e^s(s + 1)t₀+J e^sds = e‘ (t +1) - e‘ (t +1) +1 + e^s|t_o = 1 + et-1 = et

т.е. окончательно получим решение

u (t) = e‘

Теперь оценим решение уравнения (28). В этом случае для интегрального уравнения (28) уравнение (8) записывается:

t

£v(t, £) + J et^-sv(s, s)ds = e + £ , t e [0;1], t-1

А начальное условие (9) выглядит следующим образом:

v(t, £) = et, t e[-1;0],

То есть будем решать интегральное уравнение (33) в условии (34). Теперь мы покажем регуляризации решения интегрального уравнения (33) в начальном условии (34) и решения интегрального уравнения (28) в начальном условии (29). Для этого произведем преобразование в интегральном уравнении (33) следующим образом:

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №4. 2023

v(t, £) = et + ^(s, £) , t e [0;1],

Затем мы приведем его к следующему интегральному уравнению относительно £( t, £)

с начальным условием.

t

£, (t, £) + j et-s^(s, £)ds = £ , t e [0;1] ,

^(t, £) = 0, t e[-1;0],

Тогда задача (36) - (37) сводится к следующему интегральному уравнению:

t

£; (t, £) + j e⁽t^-s)^(s, £)ds = £[1 - et ], t e [0;1],

Дифференцируя уравнение (38), имеем:

t

£^'(t, £) + ^(t, £) + jet-s^(s, £)ds = -£e‘, t e [0;1], последнее уравнение перепишем в следующем виде:

t

^(t, £) +  ^(t, £) = -et -    e‘^-s^(s, £)ds , t e [0;1],

^{£              £} 0

уравнения (39) линейное интегро-дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием (37) напишем эквивалентное уравнение задача Коши (39) и (37):

t 1, (t - s )

^( t,£) = -j e£ t0

e+

V

s

A

j et ^s^(t, £)dT ds

t 0

теперь в силу (21) имеем:

^(t, £) = j H(t, T, £)^(t, £)dT + F(t, £) t 0

где

t

-  (t - s)

F(t, £) = - j e £   esds t 0

Теперь от (42) и (43) получим следующие оценки:

IH⁽t,T,^£) < — £ + 1

e

t-T

^-1(t^-T)

- e ^£

< M0 = e ,

t

IF (t, г )| <j

- 1( t - s)                 - 1( t - s)

e ^ε   e^sds ≤ eεe ^ε

s=t

= eε

s=0

Учитывая оценки (44), (45), из (41) получаем:

t

I£(t, г)| < Jе^(т, г)|dT + se, t e[0;1].

Используя неравенство Гронуолла-Беллмана для (46), мы получаем следующую оценку:

II ^( t, s) lc < llv(t, s) - u (t) lc = |v(t, s) - et||c< eee£ последний стремится к нулю при г > 0, т. е. liml|£(t, s)  < lim eees = 0

s >0           С s >0

Что требовалось — доказано.

Заключение

Поставленная задача полностью решена, т. е. неклассическое интегральное уравнение Вольтерра первого рода с помощью производной решена и выявлена регуляризация. Доказанным фактом сформулирована теорема. Применен соответствующий пример, который полностью раскрывает решение и оценку.