Регуляризация решения нелинейного интегрального уравнения первого рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.983                                        

Теоретическая часть интегральных уравнений изучалась и исследовалась во многих различных работах. В частности, в работе [1] рассмотрен о полилинейных уравнениях Вольтерра 1 рода. В работе [2, 3] изучаются «О единственности решения операторных уравнений Вольтерра» и «Регуляризация и единственность решений уравнений Вольтерра первого рода».

В работах [4–10] исследованы об решение интегральных уравнений Вольтерра первого рода. В работах [11–14] построен регуляризирующий оператор для решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица и доказаны теоремы единственности.

В данной работе представлено решение неклассического нелинейного линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода.

Постановка задачи

Рассмотрим

t

J K ( t , s , u ( s )) ds = f ( t ); t g [ t ₀, T ] a ( t )

где a(t) g С[10,T] , a(10) = 10 , a(t) < t , f (t) - на отрезке [10, T] и K(t,s,u(s)) - в области G = {(t, s):  10 < t < T,  a(t) < s < t}  (t < t а(т) < a(t)) заданные функции. u(t) - искомая функция на отрезке [t0, T]. Требуем выполнения следующих условий:

1 0 a ( t ) g С 1 [ 1 ₀, T ], a (t ) >  0 при почти всех t g [ 1₀,T ] ;

2 0 При фиксированным t g [ t₀ , T ] , K _o ( t , s ) g L [ a ( t ), T ] и K _o ( t , t ) >  m >  0 при почти всех t g [ 1 0 , T ] ;

|(cc ) © I

3 0 V t , т , ( t >  т ) при всех ( t , s ), ( т , s ) е G , | ^ ₀ ( t, т ) - K _o ( s, т )| <  L₀\t - s |, L ₀ >  0 - const .

4 0 При всех     ( t, т ,и )     ,     ( s , т , u )     ,     ( t , т , u₂ )     и     ( s, т ,u₂ ) е G x R ,

|K(t, т ,u₂) — K ( s, т ,u₂) — K(t, т ,u ) + K ( s, т ,и )| < L|t — s\u — u₂ 1, L >  0 — const . K ( t , t , и ) = 0

и K 1 ( a 1 ( t ), t , u ) = 0 , при V ( t , u ) е [ 1 ₀, T ] x R , K ( t , s ,0) = 0 при V ( t , s ) е G

Решение:

Пусть K ( t , s , u ( s )) = K ( t , s ) u ( s ) + K ( t , s , u ( s )) Тогда уравнение (1) можно представить

tt

J K ( t , s ) u ( s ) ds + j K ( t , s , u ( s )) ds = f ( t ); t е [ t ₀, T ]

a ( t )                                a ( t )

Наряду с уравнением (2) рассмотрим tt

8 v ( t , 8 ) + j K _o ( t , s ) v ( s , г ) ds + j K ( t , s , v ( s , 8 )) ds = f ( t ) + 8 u ( t ₀) ; t е [ t ₀, T ] a ( t )                                a ( t )

0 <  8 <  1 некоторый малый параметр. Его решение будем искать в виде

v ( t , 8 ) = u ( t ) + ^ ( t , 8 ) ;                                                      ⁽⁴⁾

где u(t)- решение уравнения (2), а { (t, s')- неизвестная функция.

Подставив решение (4) в уравнение (3) и выполнив ряд преобразований [11–14], получим следующее уравнение:

a (t)                                  a( t)                                    t                                                 (5) ^( t, 8 ) = j H 0( t ,т,8)^(т,8 ) dт + j H 1( t ,т, 8)^(т, 8 ) dт + j H 2( t ,т, 8 )^(т, 8 ) dт + 10                                             10                                           a (t) a( t)                                                     a (t) + j No (t ,т, u (т), ^(т, 8), 8) dт + j N (t ,т, u (т),^(т, 8), 8) dт + t 0                                                              t 0 t + jN2(t,т,u(т),^(т,8),8)dт + U(t,8) ; t е[10,T] a (t) где

1 t j K 0 ( s , s ) ds

H ₀( t , т , 8 ) = -K ₀( a ^ч( т ), т ) e ^{8 a — 1( т} ’ ε

1    — ^- j K 0 ( s , s ) ds                                     1    ^— 8 ^{J K 0 ( s} , ^s ) ^{ds                                                          (7)}

H 1 ( t, т , 8 ) = — e ^{8 т}        [ K 0 ( t, т ) — K 0 ( т , т ) ] +    e ^{a (} ' )       [ K 0 ( t , т ) — K 0 ( a ‘( т ), т ) ] —

εε

1 ^a )                — ¹ j K 0 ( т , т ) d т

2       K 0 ( s , s ) e ⁸        [ K 0 ( t , т ) — K 0 ( s , т ) ] ds ;

ε τ

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №12. 2023

1'                                                                                                                                                                            1 ‘.

1     - J K o ( s , s ) ds                                         1 I                  - J K o ( t , t ) d T

H ₂( t , t , £ ) = - e ^{£ t}       [ K o ( t , t ) - K o ( T , T ) ] - K o ( s , s ) e ^{£ s}        [ K o ( t , t ) - K o ( s , t

££

τ

-1 JK o( s, s) ds

N o ( t , t , u ( t ), £ ( t , £ ), £ ) =    e ⁽⁾       [ K 1 ( t , t , u ( t ) + ^ ( t , £ )) - K 1 ( t , t , u ( t ))]

ε

I   -1J K 0( s, s) ds(10)

N ( t , T , u ( t ), ^ ( t , £ ), £ ) = - e ^{£ t}       [ K ( t , T , u ( t ) + ^ ( t , £ )) - K j ( t , T , u ( t )) -

ε

1 ^a ^T )            - ¹ J K o ( T , T ) d

- K ( t , t , u ( t ) + ^ ( t , £ )) + K ( t , t , u ( t ))] -        K _o( s , s ) e ^£s       [ K ( t , T , u ( t ) + ^ ( t , £ )) -

£

• -    K ( s , t , u ( t ) + ^ ( t , £ )) - K ( t , t , u ( t )) + K ( s , t , u ( t ))] ds ;

1 - ¹ J K ₀( s , s ) ds                                                                                     ⁽¹¹⁾

N 2 ( t , T , u ( t ), ^ ( t , £ ), £ ) = - e ^{£ t}       [ K 1 ( t , T , u ( t ) + ^ ( t , £ )) - K 1 ( t , T , u ( t ) + ^ ( t , £ )) -

ε

1 '.

1                      - J K o ( T , T ) d T

- K 1 ( t , t , u ( t )) + K 1 ( t , t , u ( t ))] -      K o ( s , s ) e ^{£ s}        [ K 1 ( t , t , u ( t ) + ^ ( t , £ )) -

£

• -    K ( s , t , u ( t ) + ^ ( t , £ )) - K ( t , t , u ( t )) + K ( s , t , u ( t ))] ds ;

t

^- - ^{J K o( s} , ^s ) ds     1 '                - ¹ J K o ( T , T ) d

U ( t , £ ) =- [ u ( t ) - u ( t ₀)] e ’ ⁰         -      K _o ( s , s ) e ^£ s        [ u ( t ) - u ( s )] ds ;

^ε ' 0

Далее нам понадобится следующие леммы доказанная в [11-14].

Лемма 1. Если выполняются условия 10-20, тогда для функции H0(t, T, £) определенной по формуле (8) имеет место а (')

J | H o ( ' , T , £ ) d T <  Y o ^; ' ^{e [} ' 0, ^{T ]}

' 0

где Y 0 =

I K 0^{( v} , ^{a ( v ))}| ^a '^{( v} )

SUP 1—1л— v< 10, T ]       K 0(v,V )

Лемма 2. Пусть H (t, T,£) и H2 (t, T, £) определены по формулами (9),(10)

соответственно. Кроме того выполняются условия 10 - 30. Тогда справедливы оценки

1) |H1(t, t,£)|

m

• 2) |H2(t, t,£)| < L0, (t, t) e G = {(t, t):  10 < t < T,  a(t) < t< t};

m

Лемма 3. Пусть выполняется 1⁰-2⁰ и функция U(t, £) (£ > 0) определена формулой

(14). Тогда:

• 1)    Если u (t) e С [ 1₀, T ], то на отрезке [ 1₀, T ] справедлива оценка

IIU(t,£)lIc - 3Iu(t)llce £'~в + ®u(£в)=C°(£); ° < в < i, где ^u (S') = sup \u (t) - u (s)|; t - s| < S

• 2)    Если u(t) e C^Y[t°,T], ° < /< 1, то на отрезке [t₀, T] справедлива оценка

IU (t, £)|c< c° C^,

где С =

sup t, S e[ t °, T ]

| U (t) - U ( S )|

‘ - s^{Y   ;}

w

C_o = Je-m^TT^Y-¹dr . °

Лемма 4. Пусть выполняются условия 10,20 и 40 функции N°(t,т,u(т),^(т,£),£) , N(t,T,u(т),^(т,£),£) и N(t,T,u(т),^(т,£),£) определены соответственно формулами (11), (12) и (13). Тогда имеют места следующие неравенства

• 1)    |N°(t,т,u(т),^(т,£),£)| < L'e  |^(т,£)|;

m

• ²⁾    N1 (t, т, u(т), ^(т, £), £)| < L- (— + 2e⁴ +1)|^(т, £)|; mm

• 3)    |N2 (t, т, u(т), ^(т, £), £)| < — ^(т, £)| m

Доказательство. Если переходить к оценке в (11), (12) и (13) соответственно с учетом условий леммы, получаем требуемые оценки.

1   ^-1IK°^(т,т)^dт

IN°(t,т,u(т),^(т,£),£)| = e   -^(т)       K-(t,т,u(т) + ^(т,£)) -

£

-K(а^-1(т),т,u(т) + ^(т,£)) -K(t,т,u(т)) + K(а~'(т),т,u(т))| <

-m(t-а *(т))

< e ^£       L- (t - а ~ (т))^(т, £)| < sup e“^(т, £)|L- < e|£(т, £)|.

£                                   v >°                   т

^{а ,(т})

+? I т

m

1   -  (t - т)

IN,(t,т,u(т),^(т,£),£)| <-е ^£    L1(t - т)|^(т,£)| +

1               —IK °^{(т ,т})^dт

-¹1к°(т,т)dт                        u = t - s, dv = —K (s, s)e ^£s       ds,

K_o(s, s)e ^£s       L (t - s)^(т, £)|ds =                     £        _t

—K °(т ,т) dт du = - ds,         v = e £s

<

< ^

L,                      1             ^- JK°^(т.^т)dт

< — sup[e mvv] +  (t - s)e £s m v >°          s

L1

-I1t

\ ^{а (т})     —JK°(т,т)dт

+ — J Le ^£s      ds<

£  т

Le-¹

m²

^{+ L}1

t - а'(т)  ^-m⁽t-^{а 1(т}))   t - т  -m⁽t^-т)

-----— e ^£     +---e ^£

£

£

+ L¹

а Чт)

£

J

m

⁽t^-s) , e ^£ds

>|^(т,^£)| <

<

Le ¹             / -mv \ L £ /^- 7⁽t^-а'^(т))     ^- 7⁽t^-т \ I       L   e^, e ¹       ₄               |

+ ²L1^sup^{(e  v}) + ¹   (^{e £       - e £}    )^^(т,^£) < ^⁽---+ ^{2 e} + ¹⁾^^(т,^£) ;

m      v >°      £ m                     mm

IN₂(t,t,u(t),^(t,8),8)| < ¹e ε

x L (t - s)|^(t, 8)|ds<

-¹ Ko(t,t ) dт

ε

τ

1 t              ^-1J ^Ko^(t T) ^dт

^L1⁽t^{- T})|^(^{T, 8})| + p J^K0⁽s, s)e ^{S        x}

τ

1^t

1             —J K o(t ,t dT u = t — s, dv = —Ks (s, s) e 8 s       ds,

ε du = - ds,

— J K о (t ,t ^t v = e ^εs

1 —1J K o(t ,t ^t                            1 —1J K o(t ,t ^t=

= e 8t       L1(t - t)\^(т, 8) + e 8s       L1(t - s)|^(т, 8)

ε                              ε

• 1     ' —1J Ko(t,t)dr                , L, Г — m(t — s)         L ..

+ L e ^8s      ds^^, 8) < — e ⁸ds< — ^(t, 8) .

εε

ττ

И так сформулируем основные результаты.

Теорема. Пусть выполняются условия 10-40 и в₁ = Y₀eM⁽T ‘^о)< 1, где

Yo =

| Kо(и, a(u))|а'(и) sup J------------------- и

M = 2L0 (e4 +1) + L1 (— + 3e 1 + 2) . mmm

Тогда: 1) Если уравнение (1) имеет решение u(t) в пространстве C[1₀,T], то решение

v(t, 8) уравнения (2) при 8 ^ 0 сходится по норме C[t0, T] к решению u(t) и справедлива оценка eM (T—tо)— ±

||v⁽t, ⁸) ^—u⁽t)||_c<           ^[3|u⁽t)||_c e^1—в + wu (8^е )^] .

^{1 — в}1

где Wu (8^е ) = sup |u(t) — u (s)|;

t-s ≤ε^β

• 2)    Если уравнение (1) имеет решение u(t) в пространстве C^Y[1₀,T] , (0 < Y< 1) то решение v(t,8) уравнения (2) при 8 ^ 0 сходится по норме C[tо,T] к решению u(t) и справедлива оценка

_eM (T—tо)                                                        (22)

||v⁽t,⁸) ^—u⁽t)||_c<          CоcyY^8Y ,

^{1 —}A

∞ где

C_o= J e^—m^^—1dт, C_Y =

Iu (t) — u (s )| sup ¹-------------¹

γ t, s€[ t о,T]      t — s

Доказательство. В силу лемм 1–4 из (7) имеем:

a (t)                                             a (t)                                               t

I ^( t, 8 )| < J |Ho( t ,t, 8 )| ^(t, 8 )| dт + J \H X t ,t, 8 )| ^(t, 8 )| dт + J \H2( t ,t, 8 )| ^(t, 8 )| dт + t 0                                                      t 0                                                    a ( t )

a (t)                                                      a( t)

+ J No( t ,t, u (t ), ^(t, 8 ), 8 )| dт + J N₍(t ,t, u (t ), ^(t, 8), 8 )| dт + t 0                                                                t 0

t

+ JN2(t,t,u(t),^(t,8),8)|dт + \U(t,8)|^;t € ^[tо,^{T] ;}

^{a (}t)

^{a (}t )

I£(t,£)| < Yo||^T,£)||c + j [—(2e- +1) + —#T£)|dr +

Сmm t 0

a(t)    ,.p-1

+ [ [-1— + -4 — + 2e-+1) + -^«(r,£)dr + U(I,£) t e[t„,T]; m m mm t 0

Отсюда для Vt e[1₀, T] получим

t

||^(t, £)||c < Yo|^(t, £)||c + JM|£T, £)|dт + U(t, £)| t0

где M = ^2-0( e¹+1) + L4 — + 3e^_1+ 2) m    mm

Применяя к этому неравенству неравенство Гронулла-Бельмана, мы получаем следующее неравенство:

||^t,£)||_c< Y0eM⁽T-t⁰⁾|Пt,£)||_c + e^M(T-⁰⁾|U(t,£)||_c

Из этого следует (23) на основе леммы 3. Теорема доказана.

Заключение

Поставленная задача полностью разрешена, т. е. решение неклассического нелинейного интегрального уравнения является единственным и построен оператор регуляризации.