Регуляризация в обратных динамических задачах для уравнения $SH$ волн в пористой среде
Автор: Имомназаров Холматжон Худайназарович, Имомназаров Шерзад Холматжонович, Рахмонов Турдимухаммад Тухтаматович, Янгибоев Зойир Шобердиевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
Построены регуляризирующие алгоритмы для динамических обратных задач для одномерного уравнения $SH$ волн в насыщенных жидкостью пористых сред, в которых происходит потеря энергии при межкомпонентном трении.
Обратная задача, регуляризация, коэффициент трения, континуальной теории фильтрации // сиб. жур. индустриальной
Короткий адрес: https://sciup.org/14318421
IDR: 14318421
Текст научной статьи Регуляризация в обратных динамических задачах для уравнения $SH$ волн в пористой среде
Многие инженерные проблемы сводятся к решению чисто математических задач. Переход от инженерных задач к чисто математическим нередко представляет большие трудности, поэтому создание математических моделей физических процессов — важнейшее направление современной науки. Широкое распространение в задачах механики жидкости и газа получили краевые задачи, т. е. задачи, в которых либо форма объекта (подземного контура плотины, водонефтяного контакта, контура профиля крыла самолета и т. д.) находится по заданным характеристикам, либо характеристики рассчитываются при заданной его форме. Первые задачи получили название прямых краевых задач, а вторые — обратных [1]. В частности, эти задачи возникают в разведочной геофизике при поиске нефтяных слоев и при выборе параметров волнового воздействия на месторождения нефти и газа с целью интенсификации добычи. Развитие моделей фильтрации в пористых средах, являющихся определяющими в решении геофизических задач, началось во второй половине XIX столетия. В основу научной разработки большинства вопросов фильтрации был положен закон сопротивления при фильтрации жидкости, установленный экспериментальным путем в 1856 г. французским инженером А. Дарси. Закон выражает пропорциональность скорости фильтрации флюида градиенту напора. Коэффициент фильтрации характеризует среду и жидкость одновременно, т. е. зависит от размера частиц, их формы и шероховатости, пористости среды, ее проницаемости, вязкости жидкости. Первые теоретические исследования фильтрации, основанные на этом законе, были начаты Ж. Дюпюи и продолжены Ф. Форхгеймером. Первые двухскоростные математические модели для описания распространения сейсмических волн в насыщенных жидкостью пористых средах были разработаны в работах Я. И. Френкеля, М. Био [2, 3]. Неизотермическая модель фильтрации в предположении аддитивности энтропии компонент пористой среды была получена методом законов сохранения в работе П. Робертса, Д. Лопе [4]. Континуальная теория фильтрации, не ограниченная предположением такого рода, была построена в работах В. Н. Доровского [5, 6] также в рамках
© 2013 Имомназаров Х. Х., Имомназаров Ш. Х., Рахмонов Т. Т., Янгибоев З. Ш.
2. Постановка задачи
метода законов сохранения. Закон Дарси получается в качестве следствия уравнений упомянутых теорий в одном из предельных случаев.
Последние десятилетия внимание математиков направлено на так называемые некорректные задачи, т. е. задачи, у которых решение может не существовать или быть неединственным, неустойчивым. К числу таких задач относятся и многие обратные начально-краевые задачи математической физики. Ряд математических постановок обратных задач теории распространения волн для модели упругих сред впервые был рассмотрен А. С. Алексеевым [7, 8]. Обнаружилась их связь с одномерными обратными спектральными задачами, рассмотренными И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [9], а также М. Г. Крейном [10, 11]. В работе [12] установлена связь метода Баранова — Кюнетца с дискретным аналогом метода Гельфанда — Левитана. При этом условия разрешимости уравнений Гельфанда — Левитана фактически приводили к возможности коррекции неточно заданных сейсмограмм. Достаточно полную библиографию по теории обратных задач для уравнений гиперболического типа можно найти в [13–23].
В данной работе, используя идеи работы [23], строятся регуляризирующие алгоритмы для динамических обратных задач для одномерного уравнения SH волн в насыщенных жидкостью пористых средах, в которых происходит потеря энергии при межкомпонентном трении.
Пусть полупространство z > 0 заполнено неоднородной пористой средой. Уравнения распространения сейсмических SH волн с учетом поглощения энергии, обусловленной коэффициентом межкомпонентного трения b(z), имеют вид [24, 25]
Ps(z)utt = (^(z)Uz )z - Pl (z)b(z)(ut — Vt),(1)
Pl(z)vtt = Pl(z)b(z)(ut - Vt).(2)
Здесь u и v — компоненты векторов скоростей смещений частиц упругого пористого тела и жидкости с парциальными плотностями p s (z) и p i (z) соответственно. Предположим, что пористая среда покоится при t < 0:
u|t=0 = Ut |t=0 = 0,(3)
v|t=0 = vt |t=o = 0.(4)
Пусть на границе z = 0 приложена сила:
^Uz |z=o = 5(t)(5)
Здесь 6(t) — функция Дирака.
Требуется по информации (5) и по заданным один раз непрерывно дифференцируемым положительным функциям p s (z), ^(z), непрерывным положительным функциям P l (z), b(z) определить дважды непрерывно дифференцируемые функции u(t,z) , v(t,z) из (1)–(4). Такую задачу будем называть прямой динамической задачей для уравнений SH волн в пористой среде.
В приложениях наибольший интерес представляют задачи об определении переменных коэффициентов дифференциального уравнения. Это связано с тем, что дифференциальные уравнения, как правило, описывают физические процессы, а коэффициенты уравнения связаны с физическими характеристиками среды, в которой протекают эти процессы. Так как непосредственно эти коэффициенты измерить невозможно, то задача об определении свойств вещества является, по существу, обратной.
Используя методику предложенную в [23] для обратной задачи теории упругости, построим регуляризирующий алгоритм следующих обратных задач:
Задача 1. Требуется по информации u|z=0 = ф(t) (*)
восстановить ^(z) из (1)-(5) (при этом считаются известными остальные функции р s (z), P l (z), b(z) = x(z)P l (z))-
Задача 2. Требуется по информации ( * ) восстановить р s (z) из (1)-(5) (при этом считаются известными остальные функции x(z), P l (z), ^(z))-
Задача 3. Требуется по информации ( * ) восстановить x(z) из (1)—(5) (при этом считаются известными остальные функции p s (z), p i (z), ^(z))-
Задача 4. Требуется по информации ( * ) восстановить р i (z) из (1)-(5) (при этом считаются известными остальные функции p s (z), ^(z), x(z))-
3. Сведение к канонической форме
Введем вместо z координату x:
z
Z dξ x = / ct (0 , где ct(z) = ^jP'S^) есть скорость распространения поперечных сейсмических волн в пористой среде.
После перехода к координате x скорость распространения сейсмических волн в пористой среде становится равной единице. Так как д 1 д
∂z ct ∂x , то уравнения (1), (2) имеют канонический вид
U tt U xx = (ln ст) U x b(x) (ut v t ), P s (x) |
x > 0, |
(6) |
v t = b(x)(U - v), x > 0, |
(7) |
|
u | t =0 = u t | t =0 = 0, |
(8) |
|
v | t =0 = 0, |
(9) |
|
I _ ^(t) u x | x= 0 = ст(0)' |
(10) |
В формуле (6) ст(х) = ^^(x)ps(x ) — акустическая жесткость, ст > 0. Далее предположим, что выполнены
0 < P0s 6 Ps(x) 6 P00s < го, 0 < P0l 6 Pl(x) 6 Pool < ro, 0 < b0 6 b(x) 6 b00 < ro, где p0s, P0l, b0, P00s, P00l, b00 — заданные постоянные.
Теперь обратная задача 1 переформулируется следующим образом: пусть на отрезке [0, T] задана функция u|x=0 = Ф(t), t G [0,T], (12)
и требуется определить ст(x), x G [0, T/2]. Обозначим через A оператор решения прямой задачи, ф = A ln ст, ст G C 1 [0,T/2], и обозначим через Ф образ пространства C 1 [0, T/2] при отображении A.
Следуя работам [7, 8, 21-23], можно показать, что Ф — множество в C 1 [0, T], определенное равенством
Ф = |ф g C 1[0,T] : ф(0) < 0, kψk2L2 (0,T)
+
T/ 2 T/ 2 ZZ
ф ( | t — s | )^(t)^(s) dtds > 0, V ф G L 2 (0,T ) 0 ,
- T/ 2 - T/ 2
причем оператор A является гомеоморфизмом C 1 [0,T] на Ф.
4. Регуляризирующий алгоритм
Пусть вместо функции ф = A ln ст известно ее приближенное значение ф G C 1 [0, T], кФ — фк 6 5. Если ф G Ф, то в силу непрерывности A -1 на Ф в качестве приближенного значения ст можно взять СТ = exp[A -1 ф]. Будем предполагать, что ф G C 1 [0, T], ф(0) < 0, но, вообще говоря, не принадлежит множеству Ф. Естественный метод нахождения приближения в этом случае состоит в построении отображения R : Ф ^ C 1 [0, T/2], Ф = {ф G C 1 [0, T] : ф(0) < 0 } , аппроксимирующего обратный оператор A -1 на Ф и определенного на всем множестве Ф [7, 8, 21-23].
Как показано в [21, 22], исходная обратная задача сводится к нелинейному уравнению типа Вольтерра. В данной работе, следуя [23], предлагается регуляризирующий алгоритм, сохраняющий его «вольтерровость».
Прежде всего покажем, что оператор A действует из C 1 [0, T/2] в C 1 [0, T], причем (A ln ст)(0) = — 1/ст(0) < 0. Пусть ст G C 1 [0, T/2]. Будем искать решение задачи (6)-(10) в классе кусочно-гладких функций вида
u(x, t) = 9(t — x)u д (x, t),
v(x, t) = 9(t — x)v д (x, t).
Здесь 9(t) — функция Хевисайда, и д , v д — сужения u, v на замкнутую область 4 = { (x, t) : 0 6 x 6 t } , u д ,v д G C 1 ( 4 ).
Тогда из (6)-(10) вытекает, что при любом T > 0 сужения u, v на треугольник 4 (T) = { (x, t) : 0 6 x 6 t 6 T — x } , которые будем обозначать снова через u, v , должны удовлетворять соотношениям
Lu ≡ u tt
-
u xx = (In ст) u x
— b(x) P l (u t — v t ), 0 < x < t < T — x,
P s (x)
v t = b(x)(u — v), 0 < x < t < T — x,
U x | x =0 = 0, 0 6 t 6 T,
u(x, x)
Pa(Q)a(x)
-
b ( y ) Pl ( y ) 2 ps ( y )
dy
Q 6 x 6 T/2,
v | t =0 = Q, Q 6 X 6 T/2.
Нетрудно видеть, что задача (13)–(17) эквивалентна уравнениям
u(x, t) = Ш
t + X

^(Q)
-
-
x
2/(ln a) 0 (0 di J' U(i,Z ) dZ
(t+x)/2 t+x—§ (t—x)/2
+ | j (ln a) 0 (0 di J' U(i,Z ) dZ + | j (ln a) 0 (£) di j U(i,Z ) dZ
0 § 0
x
+ 1 / b® Pf,
2 J P s (i)
t+x—§ z di j (w(€,Z) - b(i)j t—x+§ 0
e b ( § )( z s ) u(i,s) ds) dZ
(t+x)/2 t+x-§ z di [ (w(i,C) - b(i)
- 1 f b(^) P=1
2 J P s (i)
■ u({,s)
(t-x)/2 t-x-§ z di j (w«,<) - b(i)
-1 / *0^
2 J p s (i)
/e— b ( § )( z — s ) u(i’s) ds)dZ’
t
b®)!®^ u<x,s) 0
-------------- — Rx b(y)Pl(y) dy где U = ux, W = ut, w(x) = -1/y/a(Q)a(x) e Jo 2ps(y) y. Дифференцируя (18) по x и t, получаем интегральные уравнения на функции U(x,t), W(x,t), u(x,t), решение которых существует и единственно в C(4(T)). Подставляя U(x, t), W(x, t) в (18), найдем решение u(x,t) (из класса C 1) задачи (13), (15), (16). Подставляя u(x,t) в (19), найдем решение v(x,t) задачи Коши (14), (17). Отсюда в частности вытекает, что функция ф(t) = u|x=0 будет из C 1[Q,T] и ф(Q) = -1/a(Q) < Q, т. е. ф G Ф.
Покажем теперь, что уравнение A ln a = ф, ф G Ф, эквивалентно уравнению Вольтер-ра. Для этого введем в рассмотрение банахово пространство Z вектор-функций
z(x,t) = (zi (x,t),Z2 (x,t),Z3 (x),Z4 (x)) , непрерывных на 4(T), с естественно определенной операцией умножения на скалярные функции из C (4(T)) и нормой kzk = max {kzi||, ||z21|, ||z31|, ||z41|}.
В Z выделим подмножество Z 0 , состоящее из вектор-функций вида
Z 0 (x,t) = (Pф)(x,t)
= 1 2 ф (t+ x) - 2 ф (t- x), 2 ф (t+ x) + 2 ф (t - x), ф (2x), 1MQ)!, ф е ф . (20)
Очевидно, между Z q и Ф имеется взаимно однозначное соответствие. Если в (20) ф Е Ф, то будем писать z q Е Z q . Определим оператор M : Z х R + ^ Z , R + = { t : t > 0 } , формулами:
x
(M (z,a)) i (x, t)
j f (z, a)(e) [z i (e, t + x - e) + z i (e, t - x + e)] de q
+ 2
x b«' Pl^
J P s (e)
Q
n z i^ t+ x - e) + z i (e, t - x + e) + z 2 (e, t+ x - e)
t+x - ^
+ Z 2 (e,t - x + <) — b(£) j e - b® ( t + x - 5 - s ) Z 2 (e,s) ds
Q t-x+£
- b (0 j e -^- x+t - s^e^ dsO de, Q
x
(M(z,a)) 2 (x,t) = j f (z,a)(e) [z i (e,t + x - e) - z i (^,t - x + e)] de Q
x
. Z b<« ^
2 J Ps«)
Q
n z i (€, t+ x - e) - z i (e, t- x + e) + z 2 (£i t+ x - ^)
t+x - ^
- Z 2 (^,t - x + <) - b(^) j e - b^^^^t+x-^ - s) Z 2 (e,s) ds
Q t-x+^
+ b(O J e
Q
x
-
b ( S )(t-x+ S -s) Z 2 (^,s) d^d^,
x
(M (z,a)) 3 (x)=2 f f(z,a)(^)z i (^, 2x - ^) de + f b(£)-Pl(|) n z i (^,2x - ^) P s (^)
Q
Q
2 x - ^
+z 2 (e, 2x - e) - ь(^) у e-b^-^s Z 2 (^,s) dsO de, Q
x
(m (z,a))4 (x) = - j f (z,a)(e)z4 (e) de, Q где f (z, a) = Z3Z4/(1 + az3)(1 + az4).
Лемма 1. Уравнение z = z q + M (z, 0) , z q Е Z q , разрешимо в Z тогда и только тогда, когда z q Е Z q .
-
<1 Пусть z q Е Z q . По определению множеств Z q и Ф это означает, что существует функция
ст Е Ci[0,T/2], a> 0, такая, что A ln ст = ф, где ф однозначно определяется функцией zq согласно (20). Далее, по определению ф(t) = u|x=Q, t Е [0,T], где u(x,t) — решение задачи (13), (15), (16)
с функцией ст = exp[A -i ф]. Покажем, что тогда вектор-функция
z(x,t) = ( u x (x,t),u t (x,t), [u(x,x)] , 1/u(x,x) )
удовлетворяет уравнению z = zo + M(z, 0). Действительно, обращая волновой оператор d2/dx2 — d2/dt2 по формуле Даламбера с учетом данных Коши u|x=g = ф(t), ux|x=o = 0 и вытекающего из (16) соотношения bρl
f(z, 0) + TT" 2ps
u' + bp i u 2p s
— ct)'
находим
x
t + x —
u(x,t) = 2ф(t + x) + |ф(t — x) + jf (z, 0)(^) de j zi (£,<) dz 0
x t+x-^Z
+ 1 [b)P e d^ [ { z i (e,z)+ z 2 (^,z) — b(£) e-< )(Z-s) z 2 (^,s) ds } dz.
-
2 J Ps(^) J J>
0 t-x+^0
Отсюда дифференцирование по x приводит к равенству zi(x,t) = zoi(x,t) + (M(z, 0))i(x,t).
Дифференцируя обе части равенства (22) по времени, получим z2(x,t) = zo2(x,t) + (M(z, 0))2(x,t).
Затем, полагая в (22) t = x, дифференцированием получим za (x) = zga(x) + (M (z, 0))a (x).
Наконец, по определению z4(x) = —za(x)z4 (x), откуда вытекает, что z4(x) = zo4 + (M(z, 0))4(x).
Обратно, пусть z ∈ Z — решение уравнения z = zo + M(z, 0), zo G Zg-
Тогда функция z 4 (x) G C 1 [0, T/2] удовлетворяет соотношению z 4 + f (z, 0)z 4 = 0, условию z 4 (0) = 1/ф(0) < 0 и, следовательно, везде отрицательна. Положим
x
u(x, t) = ф(t) + [ zi(^, t) de, (x, t) G 4(T), o (23)
-X b(y) etil dy ct(x) = — z4(x) e 0 Ps y , x G [0, T/2], где ф — функция из Ф, соответствующая zo. Покажем, что пара (u, ст) удовлетворяет равенствам (13), (15), (16). Действительно, по определению ux = zi, ст /ст = 2z4/z4 =
—2f (z, 0) и, следовательно,
u(x,t) = ф(t) + 2
ξ
x
∂∂ξ t+S-n
ф(t + i) + ф(t - i)
ζ
-
+ [ b(n) ^M dn [ {u z (n,z) - b(n) / e J Ps(n) J J
t - S+n
= ^ ф(t + x) + ^ ф(ф — x) —
xt
-
+ 1 / b(i) ^ di /
-
2 J Ps(i)J
x
-
1 [ о (0
-
2 J <)
ζ
s 0 t+S- n
- [ °тП2 dn [ U n (n,Z ) dZ
J o(n) J
0 t - S+n
b(n)(z - s ) u s (n, s) ds^ dZ^ di
t+x-S di J us(i,Z) dZ t-x+S
u z «,Z ) — b«) J e - b^ - s
u s (i, s) ds^ dZ.
Отсюда видно, что u E C 1 (4(T )) и выполняются равенства (13), (15).
Проверим выполнение (16). Полагая в (23) t = x и дифференцируя, находим d , , z , d 1 X
—u(x, x) = z 3 (x) = — —— . dx dx \Z 4 (x) /
В силу того, что z 4 < 0, из (23) вытекает равенство
,____________ xb ' dy z4(x) = — pa(0)a(x) e0 Ps v
.
Тогда
__________ - X b k v l PlM dy i i u(x, x) + 1/ P a(0)a(x) e 0 2ps(v) = u(0, 0) + ^(0) = Ф(0) - z-^ = 0.
Итак, пара (u, о), u E C 1 ( A (T)), о E C 1 [0, T/2], о > 0, удовлетворяет равенствам (13)(17). По определению множества Ф отсюда вытекает, что функция ф(t) = u | x =o принадлежит Ф, а следовательно, z o E Z o . B
Таким образом, установлено, что решения уравнений A ln о = ф, ф E Ф, и z = z o + M (z, 0), z o E Z o , равносильны. Пусть теперь вместо функции ф E Ф задано ее приближенное значение ф E Ф, кф — ф к 6 5, причем для простоты будем считать, что ф(0) = ф(0) (неравенство ф(0) = ф(0) не вносит принципиальных изменений). В терминах функций z o = Рф и z o = Рф это означает, что z o E Z o , z o E Z o и ||z o — z o k 6 5. Если z o не принадлежит Z o , то по лемме 1 уравнение z = z o + M (z, 0) не имеет решений.
Перейдем к исследованию регуляризованного уравнения z = z o + M(z,a) , a > 0. Пусть B r — шар в Z радиуса r ,
B r = {z E Z : | z | 6 r } ,
| z | (x)=max< sup | z 4 (x,t) | , | z 2 (x,t) | , | z a (x) | , | z 4 (x) | >, z E Z. x 6 t 6 T - x
Лемма 2. (1) M E C 1(Z x R+; Z), т. е. оператор M непрерывен из Z х R+ в Z и имеет непрерывные частные производные Mz(z, a), Ma(z, a).
-
(2) Для любых z G Z , a > 0 ,
x
H M(z,a) H (x) 6 2a / H z H (i) di,
X G [0,T/2],
где c i (a,T ) = (1 + 2b oo p^l)(1 + 2Tb oo ) .
1 0 Is
-
(3) Для любых r > 0 , a > 0 , z G B r , y G B r ,
x
HM (z,a) - M (y,a) H (x) 6 C 2
( r, a, T )
Hz — уН(1) di, x G [0,T/2],
где C 2 (r,a,T ) = ( 1 + 4r V « + b oo " O'/ ' a)(1 + 2Tb oo )/(2a) .
p 0 ,s
C Первое утверждение очевидно и проверяется непосредственными вычислениями. Заметим, что оператор M z : Z x R + ^ L(Z; Z ) при любых фиксированных z, a является линейным непрерывным оператором Вольтерра. Докажем неравенство (25). Из определения оператора M вытекает, что для любого a > 0
x
H M(z,a) H (x) 6 2 / f|f(z,a) | + 1 b(i)Pl^) H z ^ Ci)di J \ 2 p s (| )/
0 x
+ 1 [ 6di.
2 P s ( i )
Отсюда с учетом (11) и неравенства | f(z,a) | 6 1/(4a) [23] получим неравенство (25). Неравенство (26) доказывается аналогично, если учесть, что функция f (z, a) удовлетворяет неравенству [23]
|f(z,a) - f(y,a)| 6 max {| z i — У 1 1 , | z 2 — У 2|} • ▻
α
Рассмотрим теперь регуляризованное уравнение z = zo + M(z, a).
Теорема 1. Пусть z o G Z . Тогда для любого a > 0 в Z существует единственное решение z(a) уравнения (27) , более того, как функция параметра a оно непрерывно дифференцируемо в R + и
H z(a) H 6 H z o II exp(c i T/4a). (28)
C Установим сначала априорную оценку (28). Пусть z(a) G Z — решение, отвечающее значению a > 0. Из неравенства (25) следует, что x
H z(a) H (x) 6 H z o H + 2a / H z(a) H (i)di, x G [0,T/2], (29)
и оценка (28) получается применением неравенства Гронуолла к (29).
Покажем единственность решения. Пусть z(a), y (a) G Z — два решение уравнения (27). Поскольку оба решения лежат в шаре B r( a ) , r(a) = ||z 0 || exp(c i T/4a), то на основании леммы 2 их разность w(a) = z(a) — y(a) удовлетворяет неравенству
x
|w(a)k(x) 6 с2(г(а),а,т ) j ||z — y^) <, x E [^T/2]
которое для любых a > 0 имеет единственное решение w(a) = 0, т. е. z(a) = y(a) .
Докажем существование решения методом последовательных приближений.
z ( n +1) (a) = z 0 + M(z (n) (a), a'), n > 0, z (0) = z 0 .
Используя неравенство (25) и принцип индукции, нетрудно показать, что для n > 0
Имеем
(30) любого
n
"'(a) H (x) 6 k zJ fl X 1(yx) 6 k z) fl exp(c i T/4a), —* k! \ 2a /
k =0
т. е. все приближения лежат в шаре B r ( a ) .
Рассмотрим последовательность w ( n ) (a) = z ( n +1) (a) —
k w (0) (a) | = | M(Z 0 ,a) | 6 C 3 « z (0) k ,
- z ( n ) (a). Имеем
_ ciT c3 4a ,
x
| w ( n ) (a) | = \\ M(z n (a),a ) — M ( z n -1 (a),a )| 6 c 2 (r(a),a,T ) j | w ( n -1) (a^W, 0
n > 1,
и следовательно, для любого n > 0
| w ( n ) ( a ) | 6 C 3 |Ы|1 ( c 2 TY'. n! \ 2 ;
Отсюда вытекает, что ряд Z 0 + Р П =0 w ( n ) (a) мажорируется сходящимся числовым рядом
1 CeTT\ kz0k + c3kz(0)k 52 n ( у ) = kz0 11(1 + c3e 2T/^
n =0
и, следовательно, последовательность
n
z ( n +1) (a) = z 0 + M (z ( n ) (a),a ) = z 0 + X w ( m ) (a)
m =0
сходится в Z . Поскольку все z ( n ) (a) E B r ( a ) , то
z(a) = lim z ( n ) (a) E B r ( a ) .
n →∞
Переходя в (30) к пределу, в силу непрерывности оператора M получаем, что z — решение уравнения (27).
Непрерывная дифференцируемость решения z(a) вытекает из теоремы о неявной функции [26]. Действительно, согласно лемме 2 оператор G : Z х R + ^ Z , G(z, a) = z — Z 0 — M (z, a), имеет непрерывные производные G a = — M a , G z = I — M z . При этом для любых (z, a) E Z х R + , G z (z, a) : Z ^ Z имеет ограниченный обратный оператор (в силу того, что M z (z, a) — линейный непрерывный оператор Вольтерра). Следовательно, по теореме о неявной функции z(a) E C 1 ( R + , Z ). B
Рассмотрим случай z o G Z o . Тогда согласно лемме 1 в Z существует единственное решение z(0) уравнения z = z o + M (z, 0) (единственность решения следует из единственности исходной обратной задачи [21, 22]). Следовательно, если z o G Z o , то уравнение (27) разрешимо в Z единственным образом для любых а > 0. Нетрудно видеть, что в этом случае решение z(а) будет непрерывно дифференцируемым на замкнутой полуоси R + . Действительно, по теореме 1 достаточно доказать гладкость z(a 2 ) в окрестности точки а = 0. Последнее вытекает опять из теоремы о неявной функции, поскольку существует решение уравнения G(z, 0) = 0, G G C + (Z х R , Z), где G(z, а) = G(z, а 2 ), и оператор G z (z(0), 0) имеет ограниченный обратный. Сформулируем этот результат как следствие из теоремы 1.
Следствие. Если z o G Z o , то решение уравнения (27) существует и единственно в Z для всех а > 0 и принадлежит классу в C 1 ( R + , Z ) .
Вернемся теперь к исходной задаче. Итак, нам известна функция ф G Ф такая, что ф(0) = ф(0), кф — фк 6 5 , ф G Ф. Следовательно, z o = Рф G Z o и z o = Рф G Z o , k z o — z o k 6 5.
Рассмотрим уравнение z = z o + M (z, а). По теореме 1 при а > 0 оно имеет единственное решение в Z . Обозначим его через 5(а). Решение уравнения z = z o + M(z, а), а > 0, обозначим через z(а). Напомним, что z(0) соответствует точному решению обратной задачи. Функция Z(a) порождает оператор R : Z o х R + ^ Z , R(z o , а) = 5(а). Следующая теорема по сути утверждает, что этот оператор является регуляризирующим для уравнения z = z o + M(z, 0).
Теорема 2. Пусть 5 6 5 o . Тогда существует функция а(5) G C(0,5 o ] , а > 0 , lim^ o а(5) = 0, такая, что lim^ o Р( а(5)) — z(0) | = 0.
C В силу неравенства треугольника ^ г(а) — z(0) | 6 ^ г(а) — z(а) k + ||z(а) — z(0) | . Пусть α 6 α 0 , где число α 0 будет указано позже. Согласно следствию из теоремы 1, функция z(а) G C 1 ( R + ,Z) и, следовательно, существует константа С 1 такая, что для всех а G [0, a o ] ||z(а) — z(0) | 6 C i а. Оценим разность Z(а) — z(а):
Р(а) — z(а) k (x) 6 ||zq — z o | + ||M(г(а),а)) — M (z(а), а)) | (х).
Как и при доказательстве (26), нетрудно получить неравенство
x j Р(а) — zMIIK)d6
| M(Z(а),а)) — M На),а))||(х) 6 Г + 2^1 2а а
Заметим, что нормы kz(а)k равномерно ограничены на R+ некоторой константой 1, зависящей от zo. Это следует из непрерывности функции z(a) на R+ и оценки (28). Таким образом,
x
||Z(a) — z(а)k(x) 6 5 + — / ||Z(а) — z^)^) d£, α x G [0,T/2],
где C 2 = (c i + 41^q q )/2, откуда в силу неравенства Гронуолла получим оценку
р(а) — z(^) | (x) 6 5e C 2 T/ 2 a .
В результате приходим к неравенству
||Z(а) — z(0) | 6 C 1 а + 5e C 2 T/ 2 a .
Теперь достаточно взять
_ Ci + 4ivao t = 1 + ln(5o/5) 2 , где ao = (tI + pT212 + C1 T/2) = a(5o). Тогда kz(a(5)) — z(0)k 6 C1 a(5) + Ve5o5 ^ 0,
-
5 ^ 0. B
Из доказательства теоремы видно, что оператор R будет равномерно регуляризирую-щим оператором на любом подмножестве Z oi множества Z o вида Z oi = {z o ^ Z o : 1(z o ) <1} .
Множество Z 0 l принято называть множеством корректности рассматриваемой обратной задачи [27].
Замечание. Соответствующие леммы и теоремы имеют место для обратных задач 2, 3 и 4. Для исследования обратных задач 3 и 4 надо взять вектор-функцию z(x, t) в виде
z(x,t) = [u x (x,t),u t (x,t), [ u(x, x) p a(0)a(x) ]
___________1___________
u(x, x) pa(0)a(x)
В заключение авторы выражают благодарность Перепечко Ю. В. за обсуждение проблемы и за ряд ценных замечаний, которые были учтены при подготовке статьи.
Список литературы Регуляризация в обратных динамических задачах для уравнения $SH$ волн в пористой среде
- Нужин М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации.-Казань: КГУ, 1963.-140 с.
- Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве//Изв. АН СССР. Сер. География и геофизика.-1944.-Т. 8, \No 4.-C. 133-150.
- Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range//The J. of the Acoustical Society of America.-1956.-Vol. 28, \No 2-P. 168-178.
- Roberts P. H., Loper D. E. Dynamical processes in slurries//Structure and Dynamics of Partially Solidified System. NATO ASI. Serie E.-1987.-Vol. 125.-P. 229-290.
- Доровский В. Н. Континуальная теория фильтрации//Геология и геофизика.-1989.-\No 7.-C. 39-45.
- Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Феноменологическое описание двухскоростной среды с релаксирующими касательными напряжениями//ПМТФ.-1992.-Т. 33, \No 3.-C. 403-409.
- Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики//Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных.-М: Наука, 1967.-С. 9-84.
- Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн//Изв. АН СССР. Сер. Геофизика.-1962.-\No 11.-С. 1514-1531.
- Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции//Изв. АН СССР. Сер. Математика.-1951.-Т. 15, \No 4.-C. 309-360.
- Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма -Лиувилля//Докл. АН СССР.-1951.-Т. 76, \No 1.-С. 21-24.
- Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи//Докл. АН СССР.-1954.-Т. 94, \No 6.-С. 987-990.
- Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики//Мат. проблемы геофизики.-Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975.-Вып. 6, ч. 2.-С. 7-53.
- Романов В. Г. Обратные задачи математической физики.-М.: Наука, 1984.-261 c.
- Белишев М. И., Благовещинский А. С. Динамические обратные задачи теории волн.-СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.-268 c.
- Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1986.-287 с.
- Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.-М.: Наука, 1980.-286 с.
- Imomnazarov Kh. Kh. Estimates of conditional stability of some combined inverse problems for Maxwell's equations and equations of porous media//Comp. Appl. Math.-2001.-Vol. 20.-P. 20-34.
- Имомназаров Х. Х. Численное моделирование некоторых задач теории фильтрации для пористых сред//Сиб. жур. индустриальной математики.-2001.-Т. 4, \No 2(8).-С. 154-165.
- Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи.-Новосибирск: Наука, 1983.-207 с.
- Имомназаров Х. Х., Холмуродов А. Э. Прямые и обратные динамические задачи для уравнения SH волн в пористой среде//Вестн. НУУЗ. Сер. Механика и математика.-2006.-\No 2.-C. 86-91.
- Imomnazarov Kh. Kh., Kholmurodov A. E. Direct and inverse dynamic problems for SH-waves in porous media//Math. and Computer Modelling.-2007.-Vol. 45, \No 3-4.-P. 270-280.
- Пестов Л. Н. Об одном способе регуляризации одномерной задачи теории упругости//Тр. ВЦ СО РАН. Мат. моделирование в геофизике.-Новосибирск, 1993.-Т. 1.-С. 112-124.
- Доровский В. Н., Перепечко Ю. В., Роменский Е. И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформирунмых средах//ФГВ.-1993.-\No 1.-С. 100-111.
- Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum.-New York: Nova Science Publishers Inc., 1995.-192 p.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1968.-496 с.
- Бухгейм А. Л. Разностные методы решения некорректных задач.-Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986.-149 с.