Регуляризованный след многоточечной краевой задачи с разрывной весовой функцией
Автор: Митрохин Сергей Иванович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В статье предложена методика вычисления регуляризованного следа для дифференциального оператора с кусочно-гладким потенциалом и многоточечными граничными условиями. Весовая функция дифференциального оператора является разрывной. С помощью метода Наймарка на участках непрерывности потенциала и весовой функции при больших значениях спектрального параметра получена асимптотика решений дифференциальных уравнений, задающих изучаемый оператор. Полученная асимптотика решений позволяет изучить условия "сопряжения" в точке разрыва коэффициентов. Необходимость условий "сопряжения" следует из физических соображений. Изучаемые краевые задачи возникают при изучении колебаний стержней, балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Изучены многоточечные граничные условия, определяющие оператор. Успешно выполнена технически сложная часть исследования - изучена индикаторная диаграмма уравнения, корни которого являются собственными значениями оператора. Вычислена асимптотика собственных значений оператора. С помощью асимптотики собственных значений методом Лидского - Садовничего вычислен первый регуляризованный след дифференциального оператора.
Дифференциальный оператор, спектральный параметр, многоточечные граничные условия, собственные значения, индикаторная диаграмма, регуляризованный след оператора
Короткий адрес: https://sciup.org/143178527
IDR: 143178527 | УДК: 517.927.2
Regularized trace of a multipoint boundary value problem with a discontinuous weight function
The article proposes a method for calculating the regularized trace for a differential operator with a piecewise smooth potential and multipoint boundary conditions. The weight function of the differential operator is discontinuous. Using the Naimark method on the sections of the continuity of the potential and the weight function for large values of the spectral parameter, the asymptotics of solutions of differential equations defining the operator under study is obtained. The asymptotics of the solutions enables us to study the conditions of "conjugation" at the point of discontinuity of the coefficients. The necessity of the conditions of "conjugation" follows from physical considerations. The studied boundary value problems arise in the study of vibrations of rods, beams and bridges composed of materials of different densities. The multipoint boundary conditions defining the operator are studied. The technically difficult part of the study was successfully completed - the indicator diagram of the equation whose roots are the eigenvalues of the operator was studied. The asymptotics of the eigenvalues of the operator is calculated. Using the asymptotics of the eigenvalues by the Lidsky-Sadovnichy method, the first regularized trace of the differential operator is calculated.
Список литературы Регуляризованный след многоточечной краевой задачи с разрывной весовой функцией
- Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Мат. заметки.—1977.—Т. 22, № 5.—С. 679-698.
- Будак А. Б. О разложении по собственным функциям дифференциального оператора 4-го порядка с кусочно-постоянным старшим коэффициентом // Диф. уравнения.—1980.—Т. 16, № 9.— С. 1545-1558.
- Gottlieb H. P. W. Iso-spectral operators: some model examples with discontinuous coefficients // J. Math. Anal. Appl.—1988.—Vol. 132.—P. 123-137. DOI: 10.1016/0022-247X(88)90048-0.
- Белабасси Ю. Регуляризованный след многоточечной задачи // Вестн. Московского ун-та. Сер. Математика, механика.—1981.—№ 2.—С. 35-41.
- Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР.—1953.—Т. 88, № 4.—С. 593-596.
- Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. сб.—1967.—Т. 72(114), № 2.—С. 293-317.
- Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функцион. анализ и его прил.—1967.—Т. 1, № 2.—С. 52-59.
- Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика.—1986.— № 6.—С. 3-6.
- Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Диф. уравнения.—1986.—Т. 22, № 6.— С. 927-931.
- Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Диф. уравнения.—1992.—Т. 28, № 3.—С. 530-532.
- Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН.—1997.—Т. 356, № 1.—С. 13-15.
- Митрохин С. И. Многоточечные дифференциальные операторы: «расщепление» кратных в главном собственных значений // Изв. Саратов. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2017.—Т. 17, № 1.—С. 5-18. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-1-5-18.
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.—М.: Наука, 1969.—528 с.
- Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Изв. вузов. Математика.—2018.—№ 6.—С. 31-47.
- Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения.—М.: Мир, 1967.—548 с.
- Митрохин С. И. Об асимптотике спектра многоточечных дифференциальных операторов с суммируемым потенциалом // Сиб. журн. чист. и прикл. матем.—2017.—Т. 17, № 2.—С. 69-81.
- Садовничий В. А. Теория операторов.—М.: Дрофа, 2001.—384 с.
