Реперные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и $\ Omega $ изотопии Антернаров
Автор: Шатохин Николай Леонидович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.9, 2007 года.
Бесплатный доступ
В работе получены результаты об алгебраических связях между тернарами двух изоморфных аффинных ельмслевовых плоскостей, которые обобщают известные результаты Скорнякова, Мартина и Стивенсона из теории классических плоскостей.
Проективная плоскость, аффинная плоскость, ельмслевовы плоскости, тернар, гомоморфизмы, изотопии, смежные точки, смежные прямые
Короткий адрес: https://sciup.org/14318226
IDR: 14318226
Текст научной статьи Реперные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и $\ Omega $ изотопии Антернаров
В статье описываются алгебраические условия, связывающие АН-тернары, коорди-натизирующие изоморфные аффинные ельмслевовы плоскости. В целях единообразия терминологии эти связи названы ω изотопиями.
Выяснению таких условий в случае однозначных аффинных и проективных плоскостей были посвящены статьи [2, 3], а также ряд статей [4–6, 7]. Среди работ недавнего времени посвященных данной проблеме следует также отметить [9].
Подобная проблема, как было отмечено в обзоре [8], становится актуальной для класса АН-плоскостей [1] в связи с их координатизацией тернарными кольцами [10].
Из определения АН-плоскости [1] вытекает, что в любой АН-плоскости H найдется тройка точек p o , p 1 , p 2 такая, что p i p j ^ p i p k для i = j = k = i; i , j , k E { 0,1, 2 } . Такая тройка точек называется невырожденной. Если p 0 , p 1 , p 2 — невырожденная тройка точек, то упорядоченная тройка (p o ,p 1 ,p 2 ) называется аффинным репером плоскости H и обозначается R(p o ,P i ,P 2 ).
Рассмотрим произвольный аффинный репер R(p o ,P i ,P 2 ) АН-плоскости H = h P,L; I, ||, ~) . Обозначим p o p i = X, p o p 2 = Y . Тогда L(p i ,Y ) / Y , L(p 2 ,X ) / X и L(p i , Y) П L(p 2 ,X ) = e. Совокупность состоящая из точки p o и пары прямых X и Y называется аффинной системой координат АН-плоскости H соответствующей реперу R(p o , p i , p 2 ) • Точка p o называется началом, а прямые X и Y — осями этой системы.
Пусть R(p o ,p 1 ,p 2 ) — репер АН-плоскости H ; R 0 (p O ,p 0 1 ,p 0 2 ) — репер АН-плоскости H 0 , а f (R) = (f (p o ), f (p i ), f (p 2 )) — образ репера при изоморфизме f : H ^ H 0 АН-плоскости H на АН-плоскость H 0 .
В данной статье решение указанной выше задачи привязано к различным возможным случаям расположения репера f (R) и репера R 0 (p o ,p 0 1 ,p 0 2 ). Поэтому рассматриваемые в работе изоморфизмы АН-плоскостей будем называть реперными изоморфизмами , соответствующими данному взаимному расположению реперов f (R) и R 0 .
Понятно, что при решении этой задачи для произвольных АН-плоскостей, параллельно решается аналогичная задача, описывающая алгебраические связи, возникающие между различными АН-тернарами одной АН-плоскости.
(с) 2007 Шатохин Н. Л.
Определение 1. АН-плоскость H = h P,L; I, ||, ~i называется изоморфной АН-плос-кости H 0 = h P 0, L0; I, k , ~) , если существуют биекции f i : P ^ P 0 и f i : L ^ L0 такие, что выполняются условия:
( V p,L) PIL О f i (p)If 2 (L), (1)
( V L,M ) L || M О f 2 (L) || f 2 (M). (2)
В дальнейшем будем считать, что f i = / 2 = f .
Используя результаты статьи [11], нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Предложение 1. Изоморфизм АН-плоскости H на АН-плоскость H 0 сохраняет отношение смежности на множестве точек и прямых, а несмежные точки и несмежные прямые плоскости H переводит, соответственно, в несмежные точки и несмежные прямые плоскости H 0 .
Направление АН-плоскости H , которое определяет прямая M этой плоскости обозначаем П м .
Следствие 1. Всякий изоморфизм f АН-плоскости H на АН-плоскость H 0 удовлетворяет условию
П м ~ n L О H f ( м ) ~ H f (l) . (3)
Замечание 1. Из определения 1 вытекает, что отношение изоморфизма АН-плоскостей является отношением эквивалентности, а из условия (2) следует, что всякий изоморфизм f : H ^ H 0 индуцирует биекцию F множества направлений АН-плоскости H на множество направлений АН-плоскости H 0 , определенную условием
F (П м ) = П м о О f (M) = M 0 . (4)
Используя аксиомы тернарного кольца [10], можно установить справедливость утверждения.
Предложение 2. Если для TR T = h T ; t, 0,1, ~) и TR T 0 = h T 0 ; t, 0,1, ~) существуют биекции а, в, Y, 5 : T ^ T 0 такие, что
( V a, b, c Е T ) 5(t(a, b, c)) = t(a(a), в(b), Y(c)), (5)
то справедливы следующие свойства:
-
1) y = 5 О а(0) = 0 О в(0) = 0 ;
-
2) y(0) = 0 = 5(0) ^ а(0) = 0 , в(0) = 0 , y = 5 (а Е D О а(а) Е D 0) (b Е D О в(b) Е D0) ;
-
3) Y(0) = 0 , в (1) = 1 О а = в; Y(0) = 0 , а(1) = 1 О в = 5.
В дальнейшем считаем АН-тернары H = h T ; t,t o , 0,1, ~) и H 0 = h T 0; t,t o , 0,1, ~) построенными, соответственно, над реперами R ( p 0 , p i , p 2 ) и R 0 ( p 0 0 , p 0 i , p 0 2 ) АН-плоскостей H и H 0 (H = H r ,H 0 = H R о ). Через (p o ; X,Y ) и (p 0 ; X 0 ,Y 0) обозначаем аффинные системы координат АН-плоскостей H и H 0 соответствующие реперам R и R 0 ; точки p 0 , p 1 , p 2 (а также точки p 0 0 , p 0 1 , p 0 2 ) отождествляем с точками (0, 0), (1, 0), (0, 1), а прямые X и Y ( X 0 и Y 0 ) — с прямыми [0, 0] и h 0,0 i . Через D и D' обозначаем множества делителей нуля вместе с нулями АН-тернаров H и H 0 соответственно.
Определение 2. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~) называется ш о , w i , W 2 , ..., W 8 изотопным АН-тернару H 0 = h T 0; t, t o , 0,1, ~) , если соответственно:
-
0) существует биекция а : T ^ T 0 такая, что
- (V a, u, v Е T) а(t(a, u, v)) = t(a(a), a(u), a(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) а(t o (b, m, n)) = t o (a(b), a(m), a(n));
-
1) существуют биекции а, в : T ^ T ' и 6 : D ^ D' такие, что
- (Va, u, v Е T) e(t(a, u, v)) = t(a(a), в(u), в(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) a(t o (b, m, n)) = t o (в(b), 6(m), a(n));
-
2) существуют биекции а, в, Y : T ^ T ' и при этом а : D ^ D' такие, что
- (Va,u,v Е T) e(t(a, u, v)) = t(a(a), y(u), в(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) а(^(^ m, n)) = ^(в(b), а(m), а(n));
-
3) существуют биекции а, в, Y : T ^ T ' и биекция 6 : D ^ D 0 такие, что
- (Va,u,v Е T) в(t(a, u, v)) = t(а(a), y(u), в(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) а(t o (b, m, n)) = t o (в(b), 6(m), а(п));
-
4) существуют биекции а т , в а , Y : T ^ T ', для любого а из T и для любого m из D и биекция 6 : D ^ D0 такие, что
- (Va,u,v Е T) вa(t(a,u,v)) = t(аo(a), Y(u),вo(v)'),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) а = t 0 (b, m, n) О а 0 (a) = t 0 (в a (b), 6(m), а m (n));
-
5) существуют биекции а ь , в и , Y : T ^ T ', для любых b,u из T и биекция 6 : D ^ D0 такие, что
- (Va, u, v Е T) b = t(a, u, v) О вo(b) = t(аb(a), y(u),вu(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) а ь (^(^ m, n)) = t o (в o (b), 6(m), а o (n));
-
6) существуют биекции а т , в и , Y : T ^ T 0 для любого u из T и любого m из D и биекция 6 : D ^ D' такие, что
- (Va,u,v Е T) во(t(a, u, v)) = t(аo(a), y(u), вu(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) а o (t o (b, m, n)) = t o (в o (b), 6(m), а m (n));
-
7) существуют биекции а т , в и , T a , Y : T ^ T 0, для любых a, u из T и любого m из D и биекция 6 : D ^ D0 такие, что
- (Va, u, v Е T) Ta(t(a, u, v)) = t(аo(a),Y(u), вu(v)),
( V b,n Е T ) ( V m Е D) a = t o (b, m, n) О а o (a) = t o (T a (b), 6(m), а m (n));
-
8) существуют биекции а т , в и , Y : T ^ T 0 для любого u из T и любого m из D, биекция 6 : D ^ D' и биекция g : T x T ^ T 0 x T 0 такие, что
- (V a,u,v Е T) b = t(a, u, v) О b0 = t(a0, y(u), вu(v)),
(Vb,n Е T) (Vm Е D) a = to(b, m, n) О a0 = to(b0, 6(m), аm(n)), где g(a, b) = (a0,b0) О (a0, b0) — решение системы уравнений
-
У = t(x,Y 0 ,в о (Ь)), x = t o (y,§(O),a o (a)).
Предложение 3. Пусть L = [u i ,v i ] и M = [u 2 ,v 2 ] — прямые первого рода относительно некоторого репера R(p o , p i , p 2 ) АН-плоскости H. Тогда
П ^ ~ П м О U i ~ U 2 . (6)
C Согласно TH1 [10] условие u i ~ U 2 равносильно тому, что L П M = 0 или прямые L и M имеют более одной общей точки. Если L П M = 0, то П ^ ~ П м , а если найдется пара точек, каждая из которых инцидентна одновременно прямым L и M , то L ∼ M , откуда П ^ ~ П м согласно определению смежных направлений. Если П ^ ~ П м , то найдутся прямые L / £ П и M / £ П м , такие, что L0 ~ M 0. Отсюда имеем L / = [u i ,v / ] и M / = [u 2 ,v / ], следовательно, u i ~ и 2 .
Пусть S £ T/ - ,S = D и S / £ T / / - ,S / = D / .
Определение 3. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~i назовем ш д изотопным АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0,1, ~) , если существуют биекции а ь , в и , T m : T ^ T / для любого b из T , любого и из T \ S , любого m из S U D и биекции y : T \ S ^ T / \ S / и 5 : S ^ Df ,D ^ S /
, ( V и £ T \ S ) b = t(a,u,v) О в о (Ь)= t(a b (a),Y(u)JMv)),
( V и £ S) b = t(a, u, v) О а ь (а) = t o (e o (b), 5(u), T u (v)),
( V m £ D) a = t o (b, m, n) О e o (b) = t(a b (a), 5(m), T m (n)).
Теорема 1. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~i ^ i изотопен (i = 0,1, 2,..., 9) АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0, 1, ~i , тогда и только тогда, когда существует изоморфизм f : H ^ H / , такой, что соответственно:
-
0) f (p o ) = p o , f (P i ) = P 0i , f (P 2 ) = p 2 ,
-
1) f (P o ) = P o , f (P i ) = P 0i , f (Y) = Y / ,
-
2) f (p o ) = p o , f (P 2 ) = P 0 2 , f (X) = X / ,
-
3) f (X)= X / , f (Y)= Y / ,
-
4) f (Y) = Y / ,
-
5) f (X)= X / и П f (y ) - П у / ,
-
6) f (X) k X / и f (Y) k Y / ,
-
7) f (Y ) k Y / ,
-
8) П / ( Y ) - П Y / ,
-
9) f (X)= X / и П f (y ) / П Y / .
C Справедливость каждого утверждения теоремы устанавливается по схожей схеме. Докажем, например, утверждение 5). Пусть изоморфизм f : H ^ H / удовлетворяет условию 5 теоремы 1. Тогда учитывая, что отношение смежности для направлений АН-плоскости является отношением эквивалентности, а, также применяя следствие 1, заключаем, что при данном изоморфизме f образами прямых первого рода (второго рода) [10] относительно репера R являются прямые первого рода (второго рода) относительно репера R 0 .
Поэтому определим биекции γ и δ соответственно условиями
Y(u) = и / О F(П [ и<у ] ) = П [ и / ,у / ] , (7)
5(m) = m / О F(Пh m,n i) = Пh m / ,n / i• (8)
Далее, для фиксированных элементов b,u Е T определим биекции в и ,а ь : T ^ T / следующим образом:
e u (v) = v / ° f([u,v]) = [Y(u),v /L (9) а ь (а) = a / о f ((a, b)) = (a / , e o (b)). (10)
Тогда из (9) и (10) следует, что f ([u,v]) = [y(u), в и (")], f ((a, b)) = (a b (a), в о (Ь)), f ( h m, n i ) = h ^(m), a o (n) i . Так как отображение f сохраняет инцидентность точек и прямых имеем, что для любых a, u, v из T b = t(a, u, v) о в о (Ь) = t(a b (a),7 (u),e u (v)). Для любых b, n из T и любого m из D a b (t o (b, m, n)) = t o (e o (b), 6(m), a o (n)). Таким образом H ω 5 H / .
Пусть теперь H Ш 5 H / . Тогда если отображение f определить условиями f ((a, b)) = (a b (a), e o (b)), f ([u,v]) = [7(и),виМ], f ( h m,n i ) = h ^(m), a o (n) i , то понятно, что f будет изоморфизмом H ^ H / . Далее, учитывая условие теоремы, имеем, что из t o (0, m, n) = n следует a o (n) = # о (в о (О), d(m), a o (n)), а значит, 0 = t o (e o (0), 5(m), 0). Отсюда в о (О) = 0. Теперь из того, что в о (") = t(a v (a), 7(0),в о (")) получаем 0 = t(a v (a), 7(0), 0), откуда 7(0) = 0. Поэтому f ([0, 0]) = [7(0), в о (0)] = [0, 0], а так как прямые второго рода определяют смежные направления, то H f ( y ) ~ n Y / .
Использование ω 0 - ω 5 и ω 9 изотопий позволяет решить задачу поставленную в данной статье.
Определение 4. АН-тернар H назовем связанным с АН-тернаром H / цепочкой ω i , ω j , . . . , ω l , ω k изотопий, если существуют АН-тернары H i , H j , . . . H l такие, что H ω i H, H i ω j H j , . . . , H l ω k H / .
Очевидно, что любые АН-тернары, связанные цепочкой ω изотопий координатизиру-ют изоморфные АН-плоскости.
Теорема 2. Для того чтобы АН-тернары H и H / координатизировали изоморфные АН-плоскости, необходимо и достаточно, чтобы их можно было связать цепочкой не более чем из четырех ω изотопий вида ω 0 - ω 5 , ω 9 .
C Достаточность очевидна. Пусть АН-плоскость H = h P, L; I, k , ~) изоморфна АН-плоскости H 0 = h P / ,L / ; I, k , ~) и АН-тернары H и H / построены, соответственно, над реперами R(p o , p i , Р 2 ) и R0(p 0 , p i , p 2 ) этих плоскостей. Тогда если изоморфизм f : H ^ H' удовлетворяет условию теоремы 1, то АН-тернары H и H 0 связаны цепочкой из одной ω изотопии. Предположим, что f не удовлетворяет условию теоремы 1.
Пусть f (p o ) = q o , f (p i ) = q i , f (P 2 ) = q 2 , а q o q i = X i и q o q 2 = Y i . Рассмотрим случай когда H y , / П х / . Тогда Y i П X / = r o . Выберем точки r i IX / , Г 2 I Y i такие, что r o ^ r i и r o ^ r 2 . Тогда очевидно, что тройка точек (r o ,r i ,r 2 ) образует некоторый репер АН-плоскости H / . Над невырожденными тройками точек (q o , q i ,q 2 ) и (r o ,r i ,r 2 ) построим АН-тернары H 1 и H 2 , соответственно. Тогда имеем H ω 0 H 1 , H 1 ω 4 H 2 , H 2 ω 5 H / или H 2 ω 9 H / . Таким образом, АН-тернары H и H / оказываются связанными либо цепочкой ω 0 , ω 4 , ω 5 , либо цепочкой ω 0 , ω 4 , ω 9 изотопий.
Пусть теперь П у 1 ~ П х / . Рассмотрим прямую X 2 = p o e / . Тогда имеем, что X 2 ^ X / и X 2 / Y / , и поэтому П у 1 / П х 2. Пусть Y i П X 2 = r o , r i I X 2 , r 2 I Y i такие, что r o / r i и r 0 ∼ r 2 . Предположим, что s 1 I X 2 и s 1 ∼ p 0 0 . Рассмотрим АН-тернары H 1 , H 2 и H 3 , построенные над невырожденными тройками точек (q o , q i , q 2 ) и (r o , r i , r 2 ), (p o , s i ,p 2 ) соответственно. Тогда имеем H ω 0 H 1 , H 1 ω 4 H 2 , H 2 ω 9 H 3 , H 3 ω 4 H / .
Отсюда получаем, что в рассматриваемом случае АН-тернары H и H можно связать цепочкой ω 0 , ω 4 , ω 9 , ω 4 изотопий. B
Следствие 2. Любые два АН-тернара АН-плоскости H можно связать цепочкой, состоящей не более чем из трех ω 4 , ω 5 , ω 9 изотопий.
В связи с теоремой 2 естественно возникает вопрос о возможности решения задачи, поставленной в начале статьи без применения понятия цепочки изотопий. Оказывается, что после некоторого расширения списка указанных выше ω изотопий эта задача может быть решена и в такой постановке.
Определение 5. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~i назовем шю изотопным АН-тернару H / = h T / ; t, t o , 0,1, ~i , если существуют биекции а ь , в и , т т : T ^ T / для любого b из T \ D и любых u, m из D, а также биекции y : T \ D ^ T / \ D / и 5 1 ,5 2 : D ^ D / такие, что
( V u Е T \ D) b = t(a,u,v) О T o (a) = t(e o (b),Y(u),a ti (v)),
( V u Е D) b = t(a,u,v) О в о (Ь) = t o (т о (а), 5 i (u), e M (v)), ( V m Е D) a = t o (b, m, n) О T o (a) = <(в а (Ь), 5 2 (m),T m (n)).
Теорема 3. АН-тернар H = h T ; t,t o , 0,1, ~i ш 1 o изотопен АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0,1, ~i тогда и только тогда когда существует изоморфизм f : H ^ H / такой, что f (X) = Y / и f (Y) = X / .
C Пусть изоморфизм f : H ^ H / удовлетворяет условию теоремы 3. Определим биекцию y : T \ D ^ T / \ D / условием
Y(u) = u О F(пм) = ntu/,v/], и биекции 51,52 : D ^ D/ таким образом, что
51(m) = m/ О F (n[m,n]) = nhm/ ,n/,
52(m) = m/ О F(nhm,ni) = П[т/,п/]•
Далее для любого b из T \ D и любых u,m из D определим биекции а ь , e u ,T m : T ~^ T 0 условиями:
аь(а) = а/ О f ([b,a]) = [Y(b),a/],(14)
виМ = n/ О f ([u,n]) = h5i(u),n/i,(15)
Tm(n) = n/ О f (hm, ni) = [52(m), n/].(16)
Рассмотрим произвольную точку (a, b) Е H. Тогда f ((a, b)) = f ([0,b]) П f (h0,ai) = h0,eo(b)i П [0,To(a)] = (во(b),To(a)). Таким образом f ((a,b)) = (eo(b),To(a)).(17)
Тогда из (14)-(16) имеем, что для любого u из T \ D : f ([u, v]) = [y(u), a u (v)], для любого u из D : f ([u,v]) = h 5 1 (u),e u (v) i , и для любого m из D : f( h m,n i ) = [5 2 (m),T m (n)]. Отсюда учитывая (17) и сохранение инцидентности, получаем, что H шщ H / .
Предположим теперь, что H шю H / . Пусть на множестве точек плоскости H биекция f : H ^ H 0 определена условием (17), а на множестве прямых условиями:
(Vu Е T\D) f ([u,v]) = [y(u),au(v)],(18)
(Vu Е D) f ([u,v]) = h5i(u),eM(v)i,(19)
(Vm Е D) f(hm,ni) = [52(m),Tm(n)].(20)
Тогда используя (17)-(20) можно проверить, что f будет изоморфизмом H на H / . Далее из определения 5 следует, что 5 1 (u) = 5 2 (m) = 0, а также e o (b) = T o (a) = 0. Поэтому f (X) = f ([0, 0]) = h 5 i (0),e o (0) i = h 0, 0 i = Y и f (Y) = f ( h 0, 0» = [5 2 <0),t o (0)] = [0, 0] = X / .
Пусть S Е T/ - ,S = D и S / E T / - ,S / = D / .
Определение 6. АН-тернар H = h T ; t,t o , 0,1, ~i назовем шц изотопным АН-тернару H / = hT / ; t, t o , 0,1, ~) , если существуют биекции а ь , вт т т : T — T / для любого b из T \ S, любого и из S и любого m из D и биекции y : T \ S — T Z \ S 1 , 5 1 : S — D / , 5 2 : D → S / и g : T x T → T / x T / такие, что
(Vи E T\S) b = t(a, u, v) о b/ = t(a/, y(u), au(v)), (Vи E S) b = t(a, u, v) о a/ = to(b/, 51(u), eu(v)), (Vm E D) a = to(b, m, n) о b/ = t(a/, 52(m),rm(n)'), где g(a, b) = (a/,b/) о (a/,b/) — решение системы уравнений y = t(x, 52(0), To(a)), x = to (y,5i(O),eo(b)).
Теорема 4. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~) шц изотопен АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0,1, ~i , тогда и только тогда, когда существует изоморфизм f : H — H 0 такой, что П у ( Y ) ^ П у / .
C Доказательство этой теоремы можно провести аналогично доказательству предыдущей, если в (17) положить f ((a, b)) = g(a, b) = (a / ,Ь / ). При этом, учитывая, что в данном случае f ((a, b)) = f ([0,b]) П f ( h 0,a i ) = h 5 i (0), e o (b) i П [5 2 (0), T o (a)], то биекция g задается условием: g(a, b) = (a / , b / ) о (a / ,b / ) — решение системы уравнений y = t(x,5 2 (0),T o (a)), x = t o (y,5 i (0),e o (b)). B
Из теорем 1 и 4 вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 5. АН-тернары H и H / в том и только том случае координатизируют изоморфные АН-плоскости (одну АН-плоскость), если H Ш 8 H / или H W 11 H / .
Список литературы Реперные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и $\ Omega $ изотопии Антернаров
- Luneburg H. Affine Hjelmslev-Ebenen mit transitiver Translationsgruppe//Math. Z.-1962.-V.79.-P. 260-288.
- Скорняков Л. А. Проективные плоскости//Успехи мат. наук.-1951.-Т.6, № 6.-С. 112-154.
- Скорняков Л. А. Натуральные тела Веблен-Веддербарновой плоскости//Изв. АН СССР. Сер.13. Математика.-1949.-С. 447-472.
- Stevenson F. W. Weakly isotopic planar ternary rings//Canad. J. Math.-1975.-V. 27.-P. 32-36.
- Martin G. E. Projective planes and isotopic ternary rings//Amer. Math. Monthly.-1967.-V.74.-P.1185-1195.
- Martin G. E. Parastrophic planar ternary rings//J. of Algebra.-1968.-V.10.-P.37-46.
- Martin G. E. Projective planes and isogeic ternary rings//Mathematiche.-1968.-V. 23, № 1.-P. 185-196.
- Аргунов Б. И. Инцидентностные структуры и тернарные алгебры//Успехи мат. наук.-1982.-Т.37, вып. 2.-С. 3-37.
- Зотов А. К. $H$-изотопии тернарных колец и изоморфизмы проективных плоскостей: Дис.... канд. физ.-мат. наук.-М., 1983..
- Шатохин Н. Л. О координатизации аффинных ельмслевовых плоскостей//Тр. семинара по инцидентностным структурам.-1985.-11 с. Деп. в ВИНИТИ, № 5402.
- Шатохин Н. Л. Невырожденные гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей.-Смоленск, 1978.-Деп. в ВИНИТИ, № 2189.