Реперные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и $\ Omega $ изотопии Антернаров

В статье описываются алгебраические условия, связывающие АН-тернары, коорди-натизирующие изоморфные аффинные ельмслевовы плоскости. В целях единообразия терминологии эти связи названы ω изотопиями.

Выяснению таких условий в случае однозначных аффинных и проективных плоскостей были посвящены статьи [2, 3], а также ряд статей [4–6, 7]. Среди работ недавнего времени посвященных данной проблеме следует также отметить [9].

Подобная проблема, как было отмечено в обзоре [8], становится актуальной для класса АН-плоскостей [1] в связи с их координатизацией тернарными кольцами [10].

Из определения АН-плоскости [1] вытекает, что в любой АН-плоскости H найдется тройка точек p o , p 1 , p ₂ такая, что p i p j ^ p i p k для i = j = k = i; i , j , k E { 0,1, 2 } . Такая тройка точек называется невырожденной. Если p 0 , p 1 , p 2 — невырожденная тройка точек, то упорядоченная тройка (p o ,p 1 ,p ₂ ) называется аффинным репером плоскости H и обозначается R(p o ,P i ,P 2 ).

Рассмотрим произвольный аффинный репер R(p o ,P i ,P 2 ) АН-плоскости H = h P,L; I, ||, ~) . Обозначим p o p i = X, p o p 2 = Y . Тогда L(p i ,Y ) / Y , L(p 2 ,X ) / X и L(p i , Y) П L(p 2 ,X ) = e. Совокупность состоящая из точки p o и пары прямых X и Y называется аффинной системой координат АН-плоскости H соответствующей реперу R(p o , p i , p 2 ) • Точка p o называется началом, а прямые X и Y — осями этой системы.

Пусть R(p o ,p 1 ,p 2 ) — репер АН-плоскости H ; R ⁰ (p O ,p ⁰ 1 ,p ⁰ ₂ ) — репер АН-плоскости H ⁰ , а f (R) = (f (p o ), f (p i ), f (p 2 )) — образ репера при изоморфизме f : H ^ H ⁰ АН-плоскости H на АН-плоскость H ⁰ .

В данной статье решение указанной выше задачи привязано к различным возможным случаям расположения репера f (R) и репера R ⁰ (p o ,p ⁰ 1 ,p ⁰ 2 ). Поэтому рассматриваемые в работе изоморфизмы АН-плоскостей будем называть реперными изоморфизмами , соответствующими данному взаимному расположению реперов f (R) и R ⁰ .

Понятно, что при решении этой задачи для произвольных АН-плоскостей, параллельно решается аналогичная задача, описывающая алгебраические связи, возникающие между различными АН-тернарами одной АН-плоскости.

(с) 2007 Шатохин Н. Л.

Определение 1. АН-плоскость H = h P,L; I, ||, ~i называется изоморфной АН-плос-кости H 0 = h P 0, L0; I, k , ~) , если существуют биекции f i : P ^ P 0 и f i : L ^ L0 такие, что выполняются условия:

( V p,L) PIL О f i (p)If 2 (L),                          (1)

( V L,M ) L || M О f 2 (L) || f 2 (M).                          (2)

В дальнейшем будем считать, что f i = / 2 = f .

Используя результаты статьи [11], нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Предложение 1. Изоморфизм АН-плоскости H на АН-плоскость H ⁰ сохраняет отношение смежности на множестве точек и прямых, а несмежные точки и несмежные прямые плоскости H переводит, соответственно, в несмежные точки и несмежные прямые плоскости H ⁰ .

Направление АН-плоскости H , которое определяет прямая M этой плоскости обозначаем П м .

Следствие 1. Всякий изоморфизм f АН-плоскости H на АН-плоскость H ⁰ удовлетворяет условию

П м ~ n L О H f ( м ) ~ H f (l) .                          (3)

Замечание 1. Из определения 1 вытекает, что отношение изоморфизма АН-плоскостей является отношением эквивалентности, а из условия (2) следует, что всякий изоморфизм f : H ^ H 0 индуцирует биекцию F множества направлений АН-плоскости H на множество направлений АН-плоскости H ⁰ , определенную условием

F (П м ) = П м о О f (M) = M 0 .                        (4)

Используя аксиомы тернарного кольца [10], можно установить справедливость утверждения.

Предложение 2. Если для TR T = h T ; t, 0,1, ~) и TR T 0 = h T 0 ; t, 0,1, ~) существуют биекции а, в, Y, 5 ^: T ^ T 0 такие, что

( V a, b, c Е T ) 5(t(a, b, c)) = t(a(a), в(b), Y(c)),                         (5)

то справедливы следующие свойства:

• 1)    y = 5 О а(0) = 0 О в(0) = 0 ;

• 2)    y(0) = 0 = 5(0) ^ а(0) = 0 , в(0) = 0 , y = 5 (а Е D О а(а) Е D 0) (b Е D О в(b) Е D0) ;

• 3)    Y(0) = 0 , в (1) = 1 О а = в; Y(0) = 0 , а(1) = 1 О в = 5.

В дальнейшем считаем АН-тернары H = h T ; t,t o , 0,1, ~) и H ⁰ = h T 0; t,t o , 0,1, ~) построенными, соответственно, над реперами R ( p 0 , p i , p 2 ) и R ⁰ ( p ⁰ ₀ , p ⁰ _i , p ⁰ ₂ ) АН-плоскостей H и H ⁰ (H = H r ,H ⁰ = H R о ). Через (p o ; X,Y ) и (p 0 ; X ⁰ ,Y 0) обозначаем аффинные системы координат АН-плоскостей H и H ⁰ соответствующие реперам R и R ⁰ ; точки p 0 , p 1 , p 2 (а также точки p ⁰ ₀ , p ⁰ ₁ , p ⁰ ₂ ) отождествляем с точками (0, 0), (1, 0), (0, 1), а прямые X и Y ( X ⁰ и Y 0 ) — с прямыми [0, 0] и h 0,0 i . Через D и D' обозначаем множества делителей нуля вместе с нулями АН-тернаров H и H ⁰ соответственно.

Определение 2. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~) называется ш о , w i , W 2 , ..., W 8 изотопным АН-тернару H ⁰ = h T 0; t, t o , 0,1, ~) , если соответственно:

• 0) существует биекция а : T ^ T ⁰ такая, что

• (V a, u, v Е T) а(t(a, u, v)) = t(a(a), a(u), a(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) а(t o (b, m, n)) = t o (a(b), a(m), a(n));

• 1)    существуют биекции а, в : T ^ T ' и 6 : D ^ D' такие, что

• (Va, u, v Е T) e(t(a, u, v)) = t(a(a), в(u), в(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) a(t o (b, m, n)) = t o (в(b), 6(m), a(n));

• 2)    существуют биекции а, в, Y ^: T ^ T ' и при этом а : D ^ D' такие, что

• (Va,u,v Е T) e(t(a, u, v)) = t(a(a), y(u), в(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) а(^(^ m, n)) = ^(в(b), а(m), а(n));

• 3)    существуют биекции а, в, Y ^: T ^ T ' и биекция 6 : D ^ D ⁰ такие, что

• (Va,u,v Е T) в(t(a, u, v)) = t(а(a), y(u), в(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) а(t o (b, m, n)) = t o (в(b), 6(m), а(п));

• 4)    существуют биекции а _т , в _а , Y : T ^ T ', для любого а из T и для любого m из D и биекция 6 : D ^ D0 такие, что

• (Va,u,v Е T) вa(t(a,u,v)) = t(аo(a), Y(u),вo(v)'),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) а = t ₀ (b, m, n) О а ₀ (a) = t ₀ (в _a (b), 6(m), а _m (n));

• 5)    существуют биекции а ь , в _и , Y ^: T ^ T ', для любых b,u из T и биекция 6 : D ^ D0 такие, что

• (Va, u, v Е T) b = t(a, u, v) О вo(b) = t(аb(a), y(u),вu(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) а ь (^(^ m, n)) = t o (в o (b), 6(m), а o (n));

• 6)    существуют биекции а _т , в _и , Y : T ^ T ⁰ для любого u из T и любого m из D и биекция 6 : D ^ D' такие, что

• (Va,u,v Е T) во(t(a, u, v)) = t(аo(a), y(u), вu(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) а o (t o (b, m, n)) = t o (в o (b), 6(m), а m (n));

• 7)    существуют биекции а _т , в _и , T a , Y ^: T ^ T 0, для любых a, u из T и любого m из D и биекция 6 : D ^ D0 такие, что

• (Va, u, v Е T) Ta(t(a, u, v)) = t(аo(a),Y(u), вu(v)),

( V b,n Е T ) ( V m Е D) a = t o (b, m, n) О а o (a) = t o (T _a (b), 6(m), а _m (n));

• 8)    существуют биекции а _т , в _и , Y : T ^ T ⁰ для любого u из T и любого m из D, биекция 6 : D ^ D' и биекция g : T x T ^ T ⁰ x T ⁰ такие, что

• (V a,u,v Е T) b = t(a, u, v) О b0 = t(a0, y(u), вu(v)),

(Vb,n Е T) (Vm Е D) a = to(b, m, n) О a0 = to(b0, 6(m), аm(n)), где g(a, b) = (a0,b0) О (a0, b0) — решение системы уравнений

• У = t(x,Y 0 ,в о (Ь)), x = t o (y,§(O),a _o (a)).

Предложение 3. Пусть L = [u i ,v i ] и M = [u ₂ ,v ₂ ] — прямые первого рода относительно некоторого репера R(p o , p i , p 2 ) АН-плоскости H. Тогда

П ^ ~ П м О U i ~ U ₂ .                          (6)

C Согласно TH1 [10] условие u i ~ U 2 равносильно тому, что L П M = 0 или прямые L и M имеют более одной общей точки. Если L П M = 0, то П ^ ~ П м , а если найдется пара точек, каждая из которых инцидентна одновременно прямым L и M , то L ∼ M , откуда П ^ ~ П м согласно определению смежных направлений. Если П ^ ~ П м , то найдутся прямые L / £ П и M / £ П м , такие, что L0 ~ M 0. Отсюда имеем L / = [u i ,v / ] и M / = [u 2 ,v / ], следовательно, u i ~ и ₂ .

Пусть S £ T/ - ,S = D и S / £ T / / - ,S / = D / .

Определение 3. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~i назовем ш д изотопным АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0,1, ~) , если существуют биекции а ь , в и , T _m : T ^ T / для любого b из T , любого и из T \ S , любого m из S U D и биекции y : T \ S ^ T / \ S / и 5 : S ^ D^f ,D ^ S /

,           ( V и £ T \ S ) b = t(a,u,v) О в о (Ь)= t(a b (a),Y(u)JMv)),

( V и £ S) b = t(a, u, v) О а ь (а) = t o (e o (b), 5(u), T u (v)),

( V m £ D) a = t o (b, m, n) О e o (b) = t(a b (a), 5(m), T _m (n)).

Теорема 1. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~i ^ i изотопен (i = 0,1, 2,..., 9) АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0, 1, ~i , тогда и только тогда, когда существует изоморфизм f : H ^ H / , такой, что соответственно:

• 0) f (p o ) = p o , f (P i ) = P 0i , f (P 2 ) = p 2 ,

• 1)    f (P o ) = P o , f (P i ) = P 0i , f (Y) = Y / ,

• 2)    f (p o ) = p o , f (P 2 ) = P ⁰ 2 , f (X) = X / ,

• 3)    f (X)= X / , f (Y)= Y / ,

• 4)    f (Y) = Y / ,

• 5)    f (X)= X / и П f (y ) - П _у / ,

• 6)    f (X) k X / и f (Y) k Y / ,

• 7)    f (Y ) k Y / ,

• ^{8)    П} / ( Y ) ^{- П} Y / ,

• 9)    f (X)= X / и П f (y ) / П Y / .

C Справедливость каждого утверждения теоремы устанавливается по схожей схеме. Докажем, например, утверждение 5). Пусть изоморфизм f : H ^ H / удовлетворяет условию 5 теоремы 1. Тогда учитывая, что отношение смежности для направлений АН-плоскости является отношением эквивалентности, а, также применяя следствие 1, заключаем, что при данном изоморфизме f образами прямых первого рода (второго рода) [10] относительно репера R являются прямые первого рода (второго рода) относительно репера R ⁰ .

Поэтому определим биекции γ и δ соответственно условиями

Y^(u) = ^и / ^О F^(П [ и_<у ] ⁾ = ^П [ и / ,_у / ] ,                               ⁽⁷⁾

^5(m) = m / ^О F^(Пh m,_n i⁾ = ^Пh m / ,n / i•                          ⁽⁸⁾

Далее, для фиксированных элементов b,u Е T определим биекции в _и ,а ь : T ^ T / следующим образом:

^e u (v) = v / ° ^f([u,v]) = [Y^(u),v /L (9) а ь (а) = a / о f ((a, b)) = (a / , e o (b)). (10)

Тогда из (9) и (10) следует, что f ([u,v]) = [y(u), в и (")], f ((a, b)) = (a b (a), в о (Ь)), f ( h m, n i ) = h ^(m), a o (n) i . Так как отображение f сохраняет инцидентность точек и прямых имеем, что для любых a, u, v из T b = t(a, u, v) о в о (Ь) = t(a b (a),7 (u),e u (v)). Для любых b, n из T и любого m из D a b (t o (b, m, n)) = t o (e o (b), 6(m), a o (n)). Таким образом H ω 5 H ^/ .

Пусть теперь H Ш 5 H / . Тогда если отображение f определить условиями f ((a, b)) = (a b (a), e o (b)), f ([u,v]) = [7(и),виМ], f ( h m,n i ) = h ^(m), a o (n) i , то понятно, что f будет изоморфизмом H ^ H / . Далее, учитывая условие теоремы, имеем, что из t o (0, m, n) = n следует a o (n) = # о (в о (О), d(m), a o (n)), а значит, 0 = t o (e o (0), 5(m), 0). Отсюда в о (О) = 0. Теперь из того, что в о (") = t(a v (a), 7(0),в о (")) получаем 0 = t(a v (a), 7(0), 0), откуда 7(0) = 0. Поэтому f ([0, 0]) = [7(0), в о (0)] = [0, 0], а так как прямые второго рода определяют смежные направления, то H f ( y ) ~ n Y / .

Использование ω 0 - ω 5 и ω 9 изотопий позволяет решить задачу поставленную в данной статье.

Определение 4. АН-тернар H назовем связанным с АН-тернаром H ^/ цепочкой ω i , ω j , . . . , ω _l , ω _k изотопий, если существуют АН-тернары H i , H j , . . . H _l такие, что H ω i H, H i ω j H j , . . . , H l ω k H ^/ .

Очевидно, что любые АН-тернары, связанные цепочкой ω изотопий координатизиру-ют изоморфные АН-плоскости.

Теорема 2. Для того чтобы АН-тернары H и H ^/ координатизировали изоморфные АН-плоскости, необходимо и достаточно, чтобы их можно было связать цепочкой не более чем из четырех ω изотопий вида ω 0 - ω 5 , ω 9 .

C Достаточность очевидна. Пусть АН-плоскость H = h P, L; I, k , ~) изоморфна АН-плоскости H ⁰ = h P / ,L / ; I, k , ~) и АН-тернары H и H / построены, соответственно, над реперами R(p o , p i , Р 2 ) и R0(p 0 , p i , p ₂ ) этих плоскостей. Тогда если изоморфизм f : H ^ H' удовлетворяет условию теоремы 1, то АН-тернары H и H ⁰ связаны цепочкой из одной ω изотопии. Предположим, что f не удовлетворяет условию теоремы 1.

Пусть f (p o ) = q o , f (p i ) = q i , f (P 2 ) = q 2 , а q o q i = X i и q o q 2 = Y i . Рассмотрим случай когда H y , / П _х / . Тогда Y i П X / = r o . Выберем точки r i IX / , Г 2 I Y i такие, что r o ^ r i и r o ^ r 2 . Тогда очевидно, что тройка точек (r o ,r i ,r 2 ) образует некоторый репер АН-плоскости H / . Над невырожденными тройками точек (q o , q i ,q 2 ) и (r o ,r i ,r 2 ) построим АН-тернары H 1 и H 2 , соответственно. Тогда имеем H ω 0 H 1 , H 1 ω 4 H 2 , H 2 ω 5 H ^/ или H 2 ω 9 H ^/ . Таким образом, АН-тернары H и H ^/ оказываются связанными либо цепочкой ω 0 , ω 4 , ω 5 , либо цепочкой ω 0 , ω 4 , ω 9 изотопий.

Пусть теперь П у 1 ~ П х / . Рассмотрим прямую X 2 = p o e / . Тогда имеем, что X 2 ^ X / и X ₂ / Y / , и поэтому П у 1 / П х ₂. Пусть Y _i П X ₂ = r o , r _i I X ₂ , r ₂ I Y _i такие, что r o / r _i и r 0 ∼ r 2 . Предположим, что s 1 I X 2 и s 1 ∼ p ⁰ ₀ . Рассмотрим АН-тернары H 1 , H 2 и H 3 , построенные над невырожденными тройками точек (q o , q i , q 2 ) и (r o , r i , r 2 ), (p o , s i ,p ₂ ) соответственно. Тогда имеем H ω 0 H 1 , H 1 ω 4 H 2 , H 2 ω 9 H 3 , H 3 ω 4 H ^/ .

Отсюда получаем, что в рассматриваемом случае АН-тернары H и H можно связать цепочкой ω 0 , ω 4 , ω 9 , ω 4 изотопий. B

Следствие 2. Любые два АН-тернара АН-плоскости H можно связать цепочкой, состоящей не более чем из трех ω 4 , ω 5 , ω 9 изотопий.

В связи с теоремой 2 естественно возникает вопрос о возможности решения задачи, поставленной в начале статьи без применения понятия цепочки изотопий. Оказывается, что после некоторого расширения списка указанных выше ω изотопий эта задача может быть решена и в такой постановке.

Определение 5. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~i назовем шю изотопным АН-тернару H / = h T / ; t, t o , 0,1, ~i , если существуют биекции а ь , в и , т _т : T ^ T / для любого b из T \ D и любых u, m из D, а также биекции y : T \ D ^ T / \ D / и 5 1 ,5 2 : D ^ D / такие, что

( V u Е T \ D) b = t(a,u,v) О T o (a) = t(e o (b),Y(u),a _ti (v)),

( V u Е D) b = t(a,u,v) О в о (Ь) = t o (т о (а), 5 i (u), e _M (v)), ( V m Е D) a = t o (b, m, n) О T o (a) = <(в а (Ь), 5 2 (m),T m (n)).

Теорема 3. АН-тернар H = h T ; t,t o , 0,1, ~i ш ₁ o изотопен АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0,1, ~i тогда и только тогда когда существует изоморфизм f : H ^ H / такой, что f (X) = Y / и f (Y) = X / .

C Пусть изоморфизм f : H ^ H / удовлетворяет условию теоремы 3. Определим биекцию y : T \ D ^ T / \ D / условием

Y(u) = u О F(пм) = ntu/,v/], и биекции 51,52 : D ^ D/ таким образом, что

51(m) = m/ О F (n[m,n]) = nhm/ ,n/,

52(m) = m/ О F(nhm,ni) = П[т/,п/]•

Далее для любого b из T \ D и любых u,m из D определим биекции а ь , e u ,T m : T ~^ T 0 условиями:

аь(а) = а/ О f ([b,a]) = [Y(b),a/],(14)

виМ = n/ О f ([u,n]) = h5i(u),n/i,(15)

Tm(n) = n/ О f (hm, ni) = [52(m), n/].(16)

Рассмотрим произвольную точку (a, b) Е H. Тогда f ((a, b)) = f ([0,b]) П f (h0,ai) = h0,eo(b)i П [0,To(a)] = (во(b),To(a)). Таким образом f ((a,b)) = (eo(b),To(a)).(17)

Тогда из (14)-(16) имеем, что для любого u из T \ D : f ([u, v]) = [y(u), a _u (v)], для любого u из D : f ([u,v]) = h 5 1 (u),e u (v) i , и для любого m из D : f( h m,n i ) = [5 ₂ (m),T _m (n)]. Отсюда учитывая (17) и сохранение инцидентности, получаем, что H шщ H / .

Предположим теперь, что H шю H / . Пусть на множестве точек плоскости H биекция f : H ^ H ⁰ определена условием (17), а на множестве прямых условиями:

(Vu Е T\D) f ([u,v]) = [y(u),au(v)],(18)

(Vu Е D) f ([u,v]) = h5i(u),eM(v)i,(19)

(Vm Е D) f(hm,ni) = [52(m),Tm(n)].(20)

Тогда используя (17)-(20) можно проверить, что f будет изоморфизмом H на H / . Далее из определения 5 следует, что 5 1 (u) = 5 ₂ (m) = 0, а также e o (b) = T o (a) = 0. Поэтому f (X) = f ([0, 0]) = h 5 i (0),e o (0) i = h 0, 0 i = Y и f (Y) = f ( h 0, 0» = [5 2 <0),t o (0)] = [0, 0] = X ^/ .

Пусть S Е T/ - ,S = D и S / E T / - ,S / = D / .

Определение 6. АН-тернар H = h T ; t,t o , 0,1, ~i назовем шц изотопным АН-тернару H / = hT / ; t, t o , 0,1, ~) , если существуют биекции а ь , вт т _т : T — T / для любого b из T \ S, любого и из S и любого m из D и биекции y : T \ S — T Z \ S 1 , 5 1 : S — D / , 5 2 : D → S / и g : T x T → T / x T / такие, что

(Vи E T\S) b = t(a, u, v) о b/ = t(a/, y(u), au(v)), (Vи E S) b = t(a, u, v) о a/ = to(b/, 51(u), eu(v)), (Vm E D) a = to(b, m, n) о b/ = t(a/, 52(m),rm(n)'), где g(a, b) = (a/,b/) о (a/,b/) — решение системы уравнений y = t(x, 52(0), To(a)), x = to (y,5i(O),eo(b)).

Теорема 4. АН-тернар H = h T ; t, t o , 0,1, ~) шц изотопен АН-тернару H / = h T / ; t,t o , 0,1, ~i , тогда и только тогда, когда существует изоморфизм f : H — H ⁰ такой, что П у ( Y ) ^ П у / .

C Доказательство этой теоремы можно провести аналогично доказательству предыдущей, если в (17) положить f ((a, b)) = g(a, b) = (a / ,Ь / ). При этом, учитывая, что в данном случае f ((a, b)) = f ([0,b]) П f ( h 0,a i ) = h 5 i (0), e o (b) i П [5 2 (0), T o (a)], то биекция g задается условием: g(a, b) = (a / , b / ) о (a / ,b / ) — решение системы уравнений y = t(x,5 2 (0),T o (a)), x = t o (y,5 i (0),e o (b)). B

Из теорем 1 и 4 вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 5. АН-тернары H и H / в том и только том случае координатизируют изоморфные АН-плоскости (одну АН-плоскость), если H Ш 8 H / или H W 11 H / .