Решение гранично-контактной задачи динамики сильновязких несжимаемых неоднородных сред для неограниченной области и его приложение к моделированию геодинамического состояния тектоносферы Земли
Автор: Пятаков Юрий Владиславович, Косыгин Владимир Юрьевич
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 1 т.9, 2016 года.
Бесплатный доступ
Выполнена математическая постановка гранично-контактной задачи динамики для неограниченной неоднородной области. Моделируемая сильновязкая несжимаемая неоднородная среда представляет собой совокупность разнородных непересекающихся подобластей, каждая из которых имеет свое постоянное значение вязкости. На контактах смежных подобластей значения компонент векторов мгновенной скорости смещения среды и напряжений положены непрерывными. Так как рассматривается неограниченная среда, то граница моделируемой области отсутствует. При этом предполагается, что вектор мгновенной скорости смещения среды и давление удовлетворяют условиям убывания на бесконечности. Показано, что записи вектора скорости и давления в виде сумм интегральных выражений для гидродинамических потенциалов (объёмного, простого и двойного слоёв) позволяют свести решение гранично-контактной задачи для неограниченной области к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В силу того, что стоящие в системе перед несобственными интегралами множители по модулю меньше единицы, для численного решения этой системы уравнений применяется обычный метод последовательных приближений. Полученное решение гранично-контактной задачи апробируется на модельном примере, имитирующем ситуацию, при которой в литосфере Земли начинает формироваться конвергентный разлом. Приводятся результаты вычислений.
Гранично-контактная задача, интегральное уравнение, слабая особенность, система уравнений динамики, потенциал двойного слоя, сильновязкая среда, тектоносфера, поверхности контактов
Короткий адрес: https://sciup.org/14320796
IDR: 14320796 | УДК: 539.374 | DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.1.7
Solution of the boundary-contact dynamic problem for strongly viscous incompressible inhomogeneous media in the unbounded region and its application to modeling the geodynamic conditions of the Earth’s tectonosphere
A mathematical formulation of the boundary-contact dynamic problem for the unbounded inhomogeneous region is presented. A highly viscous incompressible inhomogeneous medium is modeled as a set of disparate disjoint subregions, each having constant viscosity. The values of instantaneous velocity vector components and stresses are set to be continuous at the contact areas between the adjacent interconnecting subdomains. Since the boundary of the modeled region representing the unbounded medium is absent, it is assumed that the instantaneous velocity vector and pressure satisfy the diminishing condition at infinity. It is shown that a representation of the velocity component and pressure in the form of a sum of integral expressions for hydrodynamic potentials (volume, simple and double layers) allows one to reduce the solution of the contact problem in the unbounded region to the solution of the system of Fredholm integral equations of the second kind. Because the factors that stand in the system in front of the improper integrals are, in the absolute value, less than unity, then to find the numerical solution of the equations, we can apply a standard method of successive approximations. The solution of the boundary-contact problem is tested on a model example of a situation at which a convergent break begins to form in the Earth’s lithosphere.
Список литературы Решение гранично-контактной задачи динамики сильновязких несжимаемых неоднородных сред для неограниченной области и его приложение к моделированию геодинамического состояния тектоносферы Земли
- Cathles L.M. The viscosity of the Earth’s mantle. -Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1975. -386 p.
- Артюшков Е.В. Геодинамика. -М.: Наука, 1979. -328 с.
- Oxburgh E.R., Turcotte D.L. Mechanisms of continental drift//Rep. Prog. Phys. -1978. -Vol. 41, no. 8. -P. 1249-1312.
- Schubert G. Subsolidus convection in the mantles of terrestrial planets//Ann. Rev. Earth Planet. Sci. -1979. -Vol. 7. -P. 289-342.
- Сорохтин О.Г. Глобальная эволюция Земли. -М.: Наука, 1974. -184 с.
- Vanpe J.M. Thermo-mechanical convection in a seduction zone and initiation of back-arcspreading//Ann. Geophys. -1984. -Vol. 2, no. 3. -P. 343-352.
- Cserepes L., Yuen D.A., Schroeder B.A. Effect of the mid-mantle viscosity and phase-transition structure on 3D mantle convection//Phys. Earth Planet. In. -2000. -Vol. 118. no. 1-2. -P. 135-148.
- Nishimura K.A. A numerical study of mantle tectonic flow as relevant to the Cenozoic structural development of the East Asiatic transition zone//Bulletin of the Disaster Prevention Research Institute. -1986. -Vol. 36, no. 3-4. -P. 113-135.
- Косыгин В.Ю., Красный М.Л., Маслов Л.А. Напряжения в литосфере Курило-Камчатской переходной зоны//Тихоокеанская геология. -1986. -T. 5, № 1. -С. 3-6.
- Косыгин В.Ю. Гравитационное поле и плотностные модели тектоносферы северо-запада Тихого океана. -Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. -201 с.
- Косыгин В.Ю., Комова О.С., Маслов Л.А. Геомеханическое состояние тектоносферы северо-запада Тихого океана по ее плотностным моделям//Тихоокеанская геология. -1991. -T. 10, № 3. -C. 3-10.
- Каракин А.В. Аналитическое решение некоторых плоских задач конвекции в мантии//Физика Земли. -1985. -№ 2. -C. 16-25.
- Каракин А.В., Лобковский Л.И. Механика раздвижения океанской литосферы. -М.: ВИНИТИ, 1984. -С. 63-151.
- Маслов Л.А., Комова О.С. Численное моделирование глубинных геодинамических процессов в активных окраинах//Физика Земли. -1990. -№ 3. -C. 53-60.
- Маслов Л.А. Геодинамика литосферы Тихоокеанского подвижного пояса. -Владивосток: Дальнаука, 1995. -200 c.
- Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970. -288 с.
- Гюнтер Н.М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. -М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1953. -416 с.
- Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости/Под ред. В.Д. Купрадзе. -М.: Наука, 1976. -664 с.
- Косыгин В.Ю., Пятаков Ю.В. Решение задачи динамики сильно вязких несжимаемых сред и его приложение к моделированию напряженно-деформированного состояния тектоносферы Земли//Вычисл. мех. сплош. сред. -2011. -Т. 4, № 4. -С. 42-51.
- Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во ИЛ, 1954. -310 с.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. -636 с.
- Пятаков Ю.В., Исаев В.И., Косыгин В.Ю. Методы теории потенциала при решении прямых задач гравиметрии и геодинамики трехмерных неоднородных сред//Известия ТПУ. -2012. -Т. 321, № 1. -С. 76-83.
