Решение интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью математического пакета Maple

В работе [2] рассматривается начальная задача для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа

y ( n )

l n - 1                                        x,

( x ) + S S f j ( x ) У (¹) ( U j ( x )) + ^ J K ( x , n ) y ⁽ i ) ( Uj ( n )) d n

+

j = 0 i = 0

x

+ ^ j K n o ( x , n ) У ⁽ n ) ( n ) d n = f ( x )

a с начальными условиями

y(1)(Uj(x)) = 9i(Uj(x)),i = 0,n-1,xe Ex0 , где u0(x) = x, Uj (x) < x Vj = 1,l , функции fj (x) и Uj (x) непрерывны, ядра Kj (x, n) регулярны в l квадрате a < x, n < b , Exo = U Ej, Exo- множество точек, для которых соответствующие uj (x) < x0 при x ^ x 0 Vj = 1,l , Ex0 =[ a,x0 ].

В этой работе, опираясь на одну модификацию функции гибкой структуры

y(i)(Uj (x)) = D-1

n

S y ^{( s - 1)( x} o ) s = 1

di A $ (Uj (x) - xo)

dxi

+

^Uj f x ) d i A„ ( U ( x ) - 1 ) ⁺ j —^ x—^:

' ⁿ

' ⁿ

-^ ( t ) dt + Y i U j ( x) ^ (U j ( x )) ,

x ₀

(где i = 0, n, Yn = 1, Yi= 0 Vi = 0, n -1, D=D(r1, r2,....., rn) - определитель

Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r ₁, r ₂, , r_n , параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель A _s ( x - 1 ), s = 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой exp r 1 ( x - 1 ),exp r ₂( x - 1 ), ^ , exp r_n ( x - 1 ) и ^ ( x ) - новая неизвестная функция), доказано, что задача (1)-(2) для уравнений запаздывающего типа всегда сводится к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом

^ ( x ) + ]T j" Q j ( x , t ) ^ ( t ) dt = F ( x ).                       (3)

^j = ⁰ x 0

В уравнении (3) получены формулы

n

Qj (x, t) = D-1 £ i=0

d i A ( u .( x ) - 1 )

f - ⁽ x )     d x —+.

x

+ Я J K - ( x , n )

t

d i A n ( u - ( n ) - t )

-------dn dn‘

+ A K n o ( x, t ),

и функция F(x) находится по формуле

l n              n

F ( x ) = f ( x ) -           -1 Z У ^{( 1 - 1)}( x o )

- = 0 i = 0          j = 1

d A _s ( u ( x ) - x o ) f ( x )

ij               dx i

+

x

+ A J K - ( x, n )

c j

d i A ^ ( u - ( n ) - x o ) d n

d n

c-

+ Я J K - (x , n ))4 > (uu - ( n )) d n\ ,

с учетом равенства нулю коэффициентов при старших производных у(n) (u- (x)) функции у(uj (x)) и ядер Kn- (x,n),^j=1,l.

Постановка задачи и её решение

При использовании интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в приложениях, где запаздывающий тип уравнений является наиболее часто встречающимся, преобразование начальной задачи (1)-(2) к модели этой задачи (3) – процесс довольно трудоемкий, особенно для уравнений порядка выше первого и при нескольких отклонениях аргумента. Поэтому, естественно, ставится вопрос получения разрешающего уравнения – модели поставленной задачи с помощью ЭВМ, опираясь на известные математические пакеты, и затем получение её точного или приближённого окончательного решения, оптимизируя выбор параметров r ₁, r ₂, , r_n .

Уравнение (1) с начальными условиями (2) для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуем к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом (3), используя символьный (аналитический) математический пакет Maple, который позволяет создавать пользовательские программы с помощью встроенного языка программирования. Преимущества данного пакета при решении поставленной задачи заключаются в том, что в нем реализованы многие алгоритмы, например diff(F,x) дифференцирует функцию F по переменной x.

Для решения поставленной задачи создадим сначала несколько вспомогательных процедур: LimitDV, obrfunction, RechYr, а затем основную RIEquat, которые высчитывают соответственно предел отношения определителя Вандермонда D=D(r 1 , r₂, .^,r n ) и определителей A s (x-t), J = 1, n , обратные функции, решение уравнений u _- ( x ) = x₀ и известные функции в разрешающем уравнении (3).

Процедуры, используемые в модуле:

LimitDV:=proc(s,n):

Obrfunction:=proc(u,x):

RechYr:=proc(u,x,x0 ,b):

RIEquat := proc (n, l, a, b, x0, f, f0, u, K, phi) local dl, i, j, s, Phi, u1, u2, H, P, N, R, v, c, ieq, ub, RIE, PR, PR1; u1 := eval(u, x = z); u2 := eval(u, x = t1); ub := eval(u, x = a); for j to l+1 do v[j] := eval(obrfunction(u[j], x), x = t) end do; for j to l+1 do c[j] := RechYr(u[j], x, x0, b) end do; for i to n do dl[i] := LimitDV(i, n) end do; for j to l+1 do Phi[j] := f[1, j]*(eval(dl[n], x = u2[j])) end do; for j to l+1 do for i from 2 to n+1 do Phi[j] := Phi[j]+f[i, j]*(eval(diff(dl[n], `$`(x, i-1)), x = u2[j])) end do end do; for j to l+1 do H[j] := int((eval(K[1, j], t = t1))*(eval(dl[n], x = u2[j])), t1 = v[j] .. x) end do; for j to l+1 do for i from 2 to n+1 do H[j] := H[j]+int((eval(K[i, j], t = t1))*(eval(diff(dl[n], `$`(x, i-1)), x = u2[j])), t1 = v[j] .. x) end do end do; for j to l+1 do P[j] := int((eval(K[n+1, j], t = t1))*(eval(diff(dl[n], `$`(x, 2)), x = u2[j])), t1 = v[j] .. c[j]) end do; for j to l+1 do N[j] := eval(K[n+1, j], t = v[j])+piecewise(c[j] <= t1, Phi[j]+H[j], t1 < c[j], 0) end do; R := f0; for j to l+1 do for i to n+1 do R := R-(int((eval(K[i, j], t = t1))*phi[i], t1 = a .. c[j])) end do end do; for j to l+1 do for i to n+1 do for s to n do if i = 1 then R := R-f[i, j]*phi[s]*(eval(eval(dl[s], [x = u1[j], t = x0]), z = x))-(int((eval(K[i, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*phi[s]*(eval(dl[s], [x = u2[j], t = x0])), t1 = c[j] .. x)) else R := R-f[i, j]*phi[s]*(eval(eval(diff(dl[s], '$'(x, i-1)), [x = u1[j], t = x0]), z = x))-(int((eval(K[i, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*phi[s]*(eval(diff(dl[s], '$'(x, i-1)), [x = u2[j], t = x0])), t1 = c[j] .. x)) end if end do end do; R := R-(int((eval(K[n+1, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*(sum(phi[s1]*(eval(diff(dl[s1], '$'(x, n)), [x = u2[j], t = x0])), 's1' = 1 .. n)), t1 = a .. c[j])) end do; PR1 := sum('int(P[j1]*(eval(mu(z), z = t)), t = ub[j1] .. x0)', j1' = 1 .. l+1); RIE := sum('f[n+1, j1]*(eval(mu(z), z = u[j1]))', 'j1' = 1 .. l+1)+PR1; PR := sum('int(N[j1]*(eval(mu(z), z = t)), t = ub[j1] .. u[j1])', j1' = 1 .. l+1); RIE := RIE+PR; [RIE] end proc.

Программа позволяет получить для начальной задачи (1)-(2) разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом (3).

Пример. Рассмотрим задачу Коши для уравнения запаздывающего типа

y\t) - 2 у'(2) + j у(П)dn = ex -1,

у (x) = x, у'(x) = 1, у(x) = x, у'(x) = 1 ,                                                                           Z-

Зададим исходные данные:

u : =

x x ,2

: x 0: = 0:

b : = 1: a : = 0:

f : = Matrix (3,2): f [2,2] : = - 2: f [3,1]: = 1:

f 0: = exp( x ) - 1:

ф : = [ x ,1,0]: f :

K : = Matrix (3,2): K [2,2]: = 1:

eval ( simplify ( RIEquat (2,1, a , b , x 0, f , f 0, u , K , ф )), r = 0);

Начальное значение x0 =0. D - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров rj, j = 1, n, которые определяются в ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения, в данном примере параметры взяты равными r = r1 = r2 .

Процедура RIEquation выводит следующий результат на рабочий лист:

tl

О

ц(х) + int\ ц(/) (-2 + у — 2 /), t = О

х, opts

0< tl

Таким образом, мы имеем разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (3).

Заключение

В статье показана возможность применения математического пакета Maple к получению модели для первоначально поставленной задачи (1)-(2).

Работа в этом направлении будет продолжена по определению оптимальных значений параметров r i , i = 1, n с целью получения точного решения, а если это не удается или затруднительно, то приближенного решения с заданной точностью.