Решение математической модели процесса сушки плодов черной смородины в вакуум-аппарате с СВЧ-энергоподводом

Журавлeʙ A.B., Виничeʜко С.А, 2014

Разработанная модель с высокой детализацией описывает процесс сушки плодов черной смородины, поэтому имеет большое число параметров, доступных к изменению. Среди них выбраны три наиболее важных технологических параметра, влияющих на производительность и качество сушки:

• -    мощность СВЧ-излучения P ;

• -    толщина слоя плодов h ;

• -    давление окружающей среды p.

Из выходных показателей модели наиболее важными являются три функции от времени:

• -    зависимость средней влажности слоя от времени W ср ( t );

• -    зависимость скорости изменения средней влажности от времени dW ср ( t )/dt;

• -    зависимость средней температуры слоя от времени Т ср ( t ).

Расчет перечисленных функций производится по формулам:

W cp ( - ) =

N Э

£ w* / ^A *

i = 1

N Э

,

dW_cp ( t )

NЭ

£ W- / ^A *

i = 1

N Э

- £ w * / ^A * ^{- 1}

= 1

dt

^ Э A t

,

T cp ( t ) =

N Э

£ T / ^A * i = 1

N Э

Выбранные функции дают исчерпывающую информацию о кинетике процесса сушки. Также, из данных функций можно получить три числовые оценки, характеризующие кинетику процесса и позволяющие количественно сравнивать между собой различные варианты сушки:

• -    длительность сушки t ю% - интервал времени, в течение которого средняя влажность слоя уменьшается до приемлемой величины 10 %, t io% = t ( W ср = 10 %;

• -    максимальная скорость сушки ( dW ср / dt )_max;

• -    максимальная температура слоя Т _с p ._max.

Взаимосвязь между входными параметрами модели и ее выходными характеристиками схематично показана на рисунке 1.

Технологические параметры модели

P h ^p

Показатели эффективности процесса сушки

Wср(*) ------*" - 10% dWт(t)/dt -»(dWср/dt) Tср(t) -------- Tср.тах max

Модель процесса СВЧ-сушки плодов черной смородины

Рисунок 1. Постановка задачи натеоретическое исследование

Исходя из предложенной схемы (рисунок 1), в процессе теоретического исследования необходимо добиться решения следующей оптимизационной задачи [1-3]:

• * 10% ( P , h , p ) ^ ^min;

На первом этапе решения данной задачи оптимизации целесообразно поочередно изменять входные параметры P , h , p при фиксированных значениях остальных входных параметров (так называемая "звездообразная схема теоретического исследования"). При этом в качестве центральной точки "звезды" можно принять значения параметров P , h , p , при которых априори ожидается высокая эффективность процесса сушки: P = 750 Вт; h = 0,005 м; p = 50 кПа.

По общепринятой классификации моделей предлагаемая модель является алгоритмической, но не аналитической. Это означает, что выходные характеристики модели рассчитываются по входным не путем аналитических преобразований (это в принципе не возможно для моделируемого процесса), а с помощью пространственной и временной дискретизации и соответствующего алгоритма расчета.

Расчет по приведенным выше формулам является довольно громоздким и включает в себя три цикла, вложенных один в другой: по номеру компьютерного эксперимента, по номеру временного шага и по номеру элемента. Упрощенно алгоритм расчета можно представить следующей схемой (рисунок 2).

Начальные условия:

Начальная температура всех элементов плодов одинакова и равна комнатной температуре:

Т ⁰ = Т„ = 20 О С .

К

Начальная влажность всех элементов плодов одинакова и равна:

W ⁰ = W ₀ = 80%.

Начальные координаты элементов плодов определяются алгоритмом начального размещения (см. выше). Начальные скорости механического движения элементов равны нулю:

v 0t= 0 , v “ = 0 .

Граничные условия:

Механическое движение элементов ограничено границами модельного пространства. Те элементы, которые выходят за границы модельного пространства, возвращаются в него. Так, например, если координата х i элемента превысит длину модельного пространства L _х, производится коррекция координаты и скорости элемента:

если x i >  L _х, то x i = L _x; v _xi = - v _xi.

Граничные условия для задач тепло- и влагопереноса задаются уравнениями (5, 6) [4].

W = w' - k I w' - w; ^Рат м . I A t , (5) i            i в i окр

I p )

ТГ' = T-x т (T- Т)a t. (6)

В модели приняты следующие допущения:

• -    в пределах одного элемента вещество считается сплошной средой;

• -    элементы движутся по законам классической динамики, механически взаимодействуя между собой и с поверхностями контейнера;

• -    элемент является однородным: объемная плотность, влажность, температура одинаковы в пределах всего элемента;

• -    механическое взаимодействие между элементами носитлинейный вязкоупругий характер;

• -    механические свойства материала зависят только от пяти параметров элементов (диаметр, масса, коэффициенты жесткости, вязкости, ограничения взаимодействия);

• -    распространение тепла описывается уравнением теплопроводности в общепринятой форме;

• -    температура и влажность окружающей среды вблизи слоя плодов является постоянной в процессе моделирования.

Компьютерный эксперимент заключается в СВЧ-сушке слоя плодов заданной толщины h на протяжении заданного времени t _КЭ.

Модель с высокой адекватностью отражает изменение формы и структуры отдельного плода в процессе СВЧ-сушки (рисунок 3). На начальном этапе сушки плод постепенно обмякает и уменьшается в размерах (рисунок 3, t = 5, 10 мин.). На втором этапе сушки объем мякоти уменьшается настолько, что кожура, не имеющая возможность уменьшить свою площадь поверхности, собирается в складки (рисунок 3, t = 20, 30 мин.). При этом внутри плода образуются пустоты. На заключительном этапе сушки влага выходит с очень малой скоростью и форма плода практически не изменяется с течением времени (рисунок 3, t = 20 мин.).

Переход к следующему моменту времени

Расчет выходных характеристик

Условие окончания интегрирования

Расчет тепло- и влагообмена между элементами

Схематичное изображение слоя плодов, карты распределения влажности и температуры, текущие значения параметры

Рисунок 2. Схема алгоритма моделирования процесса сушки плодов черной смородины

На рисунке 4 показана последовательность состояний слоя плодов в течение компьютерного эксперимента. В начале компьютерного эксперимента заданное количество плодов размещается случайным равномерным образом в модельном пространстве. Затем начинается интегрирование уравнений механического движения элементов, в результате чего плоды оседают под действием силы тяжести в нижнюю часть модельного пространства и формируют случайную плотную упаковку (рисунок 4, t = 0 мин.). После предварительной подготовки в модели начинается процесс сушки: в элементах начинает выделяться теплота под действием СВЧ-излучения, а с поверхности плодов начинает отводиться тепло и влага. На начальном этапе сушки из-за обмякания плодов толщина слоя постепенно уменьшается (рисунок 4, t = 10 мин.). По мере дальнейшей сушки кожура плодов собирается в складки, причем между контактирующими плодами формируются согласованные складки, благодаря чему увеличивается поверхность контакта между плодами (рисунок 4, t = 25 мин.). К моменту окончания СВЧ-сушки толщина слоя плодов оказывается значительно меньше начальной толщины, существенно уменьшается пористость слоя, возрастает связность слоя (рисунок 4, t = 40 мин.).

t = 10 мин.

t = 20 мин.

t = 0 мин.                         t = 5 мин.

t = 30 мин.                        t = 40 мин.

Рисунок 3. Изменение формы отдельного плода в процессе сушки

Разработанная модель позволяет детально изучить разнообразные аспекты процесса СВЧ-сушки плодов черной смородины и на основе этого определить оптимальные технологические параметры процесса.

Рассмотрим процессы тепло- и влаго-переноса в слое плодов черной смородины. Для анализа кинетики СВЧ-сушки был проведен компьютерный эксперимент с малым количеством плодов (шесть плодов), чтобы можно было крупно изобразить карты распределения тепла и влажности (рисунок 5). Процесс СВЧ-сушки можно разделить на семь стадий.

Стадия I . Начальное состояние плодов. Начальная температура плодов равна температуре окружающей среды (20 ^оС), начальная влажность плодов максимальна и одинакова (80 %). На рисунке 5 температура и влажность изображаются степенью затемнения соответственно карт распределения температуры и влажности. В начальный момент времени карта распределения темп ературы не затемнена (минимально возможная температура), а карта распределения влажности максимально затемнена (максимально возможная влажность) (рисунок 5, I ).

Стадия II . Быстрый нагрев плодов. За первые 3-7 минут слой плодов нагревается СВЧ-излучением до температуры 50-70 ^оС (рисунок 6, в ). При этом влажность плодов еще практически не успевает измениться и, соответственно, еще не изменяется форма плодов и структура слоя плодов. На карте распределения температуры появляется затемнение элементов, карта распределения влажности остается практически неизменной (рисунок 5, II ).

Стадия III . Быстрое обезвоживание плодов. За короткий промежуток времени (с 7 по 15 минут от начала процесса сушки) происходит быстрое снижение влажности плодов ориентировочно с 70-80 до 20-30 % (рисунок 6, а ). В момент времени t = 10 мин. скорость обезвоживания dW ср / dt наибольшая и достигает примерно 7 % в минуту (рисунок 6, б) . При этом плоды обмякают, уменьшаясь в объеме. Как видно из карт распределения температуры и влажности, температура внутри плода тем выше, чем ближе к центру плода (рисунок 5, III ). При этом влажность, наоборот, тем ниже, чем ближе к периферии плода, так как отвод влаги производится от элементов кожуры, которые в модели считаются контактирующими с окружающей средой.

Начальное положение плодов t = 0 мин.

t = 10 мин.

t = 25 мин.

t = 40 мин.

Рисунок 4. Изменение структуры слоя плодов

в процессе сушки

Стадия IV . Замедление обезвоживания. По мере обезвоживания плода уменьшается градиент концентрации жидкости между плодом и окружающей средой, вследствие чего скорость обезвоживания снижается (рисунок 6, а , б ).

Стадия V. Движение плодов и уплотнение слоя продукта. На определенном этапе процесса сушки внутри плода формируется существенный градиент влажности, в результате чего в модели диаметры элементов, расположенных ближе к центру, оказываются значительно больше диаметров элементов, расположенных по периферии плода (рисунок 5V). Это приводит к такому механическому искажению плода, при котором ц ентраль-ная часть плода, является довольно прочной и упругой, а области мякоти вблизи кожуры становятся податливыми. Из-за такого механического состояния плодов приблизительно с 15 по 20 минуты процесса сушки начинается движение плодов и доуплотнение слоя : плоды теряют округлую форму, на их форму влияет расположение соседей, если под плодом находился свободный участок пространства, плод под действием силы тяжести оседает и заполняет этот участок.

t = 0 мин.             T = 20,0 ^ОC             W = 80,0 %

II

III

t = 10 мин.

W = 49,3 %

T = 77,0 ^ОC

t = 12 мин.             T = 79,3 ^ОC             W = 38,5 %

V

VI

W = 20,3 %

T = 93,7 ОC t = 60 мин.

W = 6,0 %

VII

^^у^ «SSs^w^SSS»

t = 120 мин.

T = 98,1 ^ОC

W = 3,9 %

Рисунок 5. Стадии сушки плодов черной смородины

Стадия VI . Окончательное высушивание. В промежуток времени с 20 по 60 минуты процесса происходит окончательное обезвоживание плода: влажность уменьшается, по убывающей экспоненте, при близительн о до 3–5 % и дальше практически не изменяется (рисунок 6, а ). Приемлемый уровень влажности 10 % достигается приблизительно на 35 минуте процесса ( t 10% = 35 мин.). Это является оптимальным временем остановки процесса СВЧ-сушки.

Рисунок 6. Изменение в процессе сушки плодов смородины: а – влажности; б – скорости сушки; в – температуры

Стадия VII . Разогрев после обезвоживания. Начиная с 60 минуты, влажность плодов находится на низком уровне и практически не уменьшается, однако СВЧ-излучение приводит к медленному разогреву слоя обезвоженных плодов (рисунок 6, в ). Если в сушильной камере плохой уровень конвективного, контактного и радиационного теплоотвода, при высокой удельной мощности подводимого СВЧ-излучения, плоды могут