Решение нелинейной многоскоростной сингулярно-возмущенной обратной задачи переноса в неограниченной области

Автор: Омуров Т.Д., Саркелова Ж.Ж.

Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki

Статья в выпуске: 2 т.12, 2026 года.

Бесплатный доступ

В теории задач математической физики, связанных с сингулярно возмущенными уравнениями, накоплены значительные фундаментальные результаты, посвящённые прежде всего прямым задачам и их аналитическому исследованию. Однако указанное в полной мере не относится к сингулярно-возмущённым обратным задачам переноса в неограниченной области, что и определяет актуальность исследования данной работы. Дополнительные трудности возникают при исследовании многоскоростных обратных задач переноса, поскольку реализация большинства известных методов их решения связана с необходимостью построения специальных координатных систем, зависящих от особенностей конкретных задач. Эти системы могут быть как прямоугольными декартовыми, в которых исходно формулируется задача, так и криволинейными, в которые осуществляется соответствующее преобразование. При этом требуются дополнительные условия на новые функции, при которых новые переменные связаны между собой определенными соотношениями, в зависимости от заданных областей. В данной статье исследуется n-скоростная сингулярно-возмущённая обратная задача переноса типа Каца в неограниченной области. Предлагаемый метод решения позволяет оставаться в декартовой системе координат независимо от числа переменных фазового пространства и тем самым существенно упрощает аналитическое исследование и расширяет возможности практического применения полученных результатов. Для сингулярно-возмущённой обратной задачи переноса типа Каца в неограниченной области результаты получены в весовом пространстве. Построение решения основано на модифицированном методе асимптотического характера. В рамках данного подхода доказаны оценки близости решений сингулярно-возмущённой обратной задачи и вырожденной обратной задачи в выбранном весовом пространстве.

Еще

Уравнение переноса, многоскоростная обратная задача, единственность решения

Короткий адрес: https://sciup.org/14134414

IDR: 14134414 | УДК: 517.9 | DOI: 10.33619/2414-2948/123/02

Текст научной статьи Решение нелинейной многоскоростной сингулярно-возмущенной обратной задачи переноса в неограниченной области

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.9

В теории переноса в области переменных частиц многоскоростные задачи переноса характеризуются зависимостью от числа простых координат без учёта временной переменной и др. [1, 4].

Такие задачи возникают при моделировании сложных физических процессов, в которых движение частиц осуществляется с несколькими характерными скоростями, что существенно усложняет математическое описание и анализ соответствующих моделей. Особенно заметно это проявляется при рассмотрении задач в неограниченных областях, где стандартные методы исследования оказываются недостаточно эффективными.

В настоящей работе рассматривается n-скоростная сингулярно-возмущенная обратная задача переноса в неограниченной области. При этом близость решений сингулярновозмущенной обратной задачи (СВОЗ) и вырожденных обратных задач (ВОЗ) оценивается в весовом пространстве типа Гильберта W _/ 2 (/2₀ = (0, Т о ) ^х ^^п), когда априорная информация задается изЬ ² (^ ^п ).

Следует отметить, что, несмотря на наличие значительного числа фундаментальных работ по теории прямых задач математической физики, связанных с сингулярновозмущёнными уравнениями (СВУ) и разработанные в них методы не могут быть непосредственно применены к исследованию указанных классов СВОЗ [2, 3, 5].

Поэтому в данной работе для решения n -скоростной СВОЗ переноса типа Каца [6] в неограниченной области предлагается алгоритм, позволяющий оставаться в декартовой системе координат независимо от числа координат. При этом предложенный подход является модификацией разработанного алгоритма асимптотического характера (АХ) [7].

Рассмотрим п -скоростную ОЗ переноса вида:

I ...,,...,

1an) U) + Ui (t,Xi,...,Xn)]+ AE' = Z£(X1,...,Xn)f(t),

1,1,..,1

(a i ,.

■, ^a n ⁾

...,

U£ + h 0(x1,...,xn)U £

n П

(u£l^(t,Xi,...,Xn)\t=0 = Vt(l)(0,Xi,...,Xn) + (/ 2ajXj£-1)1 exp^-^/xj2),

У(1\$,хг,...,хп) = фl(x1,...,Xn),(i = 0,1), V(Xi,...,Xn) e Rn,

L„i.ii

(U(ai,...,an))\t=T — (U£t + ^/ ajU£Xj^\t=T ^0(x1, . . . , Xn) + 0£(x1, . . . , Xn), j = 1

(Vt + / ajVXj)t=T = до(х1,...,Хп), v(X1,...,Xn) e Rn, j=1

при этом вводится информация относительно исходных данных в виде:

\\g£\\b2(Rn) = (^ Jg£(X1,...,Xn)\2dQ) < Ai(E),(dQ = dXi...dXn),

\\g £ ^(x i ^-a i ^(t-s)^,...^,x n ^-a n ^(t- ^s) )\\ l²(0,t) =

)

an(t - s))\2ds) < Д2(г) (Л1,Д2 < ^(c);

\\U£(0,Xi,...,Xn)-V(0,Xi,...,Xn)\\L2(Rn) < (2 1n)2£2 = Yo£2,

F 1,1i =1.V °

(ai,...,an') °t 2—i j dxj ’ j=i j где (U£, Z£) - неизвестные функции. В указанных условиях требуется показать близости решений СВОЗ и ВОЗ в W2(^0), здесь: 0 < h0(x), f(t), фl(x),g0(x),g£(x), 0 < aj, A = const, (j = 1, n), (x1,..., xn) = x e Rn, 0 < ft < 2-1- являются известными, причем

h0 — / hj(Xj) + h(x); 0 < h < h = const, 0 < h0 < h0 = const, Vx e Rn,

j=1

( I h (X1,.

.,xn)dQ )

f(^) = 0, f(T)*0; M0(T,A,E^)=f(T)-I exp^-^T - s)) f' (s)ds * 0, Vt£ e (0,1), (c = 0); 0 < A-1 = const << 1.

Материал и методы исследования

Интегрализация Вырожденный ОЗ

Известно, что при s = 0 из СВОЗ (1) - (3) следует ВОЗ:

^E(a₁,...,_an)^V(t, ^x1,..., ^xn) ⁺^h 0^(x1,..., ^Xn^)V = ^ ^Z(x1,..., ^xn^)f(t),

V_t⁽i)(0,X1,...,Xn) = ^(x₁₅...,Xn), (i = 0,1), V(X1,...,Xn) eRⁿ, (7)

⁽^'(a_lr..,a_n)^}^|t=7’ ^go^(xi,^..., ^xn), ^(^xi,..., ^xn) ^ER ,

где вектор функция Ф = (у ,Z) является неизвестным. Здесь V(t,x),(x E Rⁿ) представляет собой n-скоростную функцию распределения, а известная неотрицательная функция h₀(x),x E Rⁿ является частотой столкновений частиц с окружающей средой, причем электростатическое ускорение предполагается постоянным 0 < a E Rⁿ. При этом функция Z(x)f(t) = F(t,x'),(x E R^) описывает внутренние источники, где содержится коэффициентная неизвестная функция Z(x~),(x E Rⁿ) . Поэтому исходная задача (1)-(3) является СВ моделью задачи (6)-(8). Аналагично обсуждая, в условиях (5), (7), (8) из уравнения (6) следует система:

{

1,..., ILJ ^X

Z(xi,...,xn) = (fCnrHZgoCxi,...,xn) + h oV(t,xi,.

..,x_n)+¹ h ov]eBoV,

. ,^xn^)].

Следовательно, на основе

V = Q(t,xi,...,xn) exp

с условием

1 ^xi

Qh=o = Фo(X1,...,Xn')exp[) ^hj hj(Tj)^dTj]

= ^₀(x_i,...,x_n), ^(x_i,...,x_n) E Rⁿ, из (6) имеем уравнение вида:

i,i, '(ai

,...,

1)^Q = (^-1^h (^xi,...^,xn)^V + (5o^y)^(t,xi^,...^,xn)j^exP⁽^ 1^1

^hj⁽T^j^dTj ,

где (11), (12) - задача Коши относительно функции Q(t, x), ∀x ∈Rⁿ . Тогда из (2) следует:

Q = to^i -x {—A~ⁱh(x_i

ait,...,xn

ant) +

(Ady - ' h„ \exP\A ^L^ '

^hj(^Tj^)dTj-))

— a_i(t — s),...,x_n — a_n(t — s))V(s,x_i— a_i(t — s),...,x_n — a_n(t

- s)) +

+ (BoV)(s,xi — ai(t — s),...,xn

— an(t — s))}ds.

Поэтому, подставляя (13) в (10), имеем

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 12. №2 2026

V = (0(x1 —a1t,...,xn —ant)exp\ — \ ^ -—I hj(Tj)dTj I + j=1 j JXj-a.jt

+ 1 exPl — ( У ^ f hj^dTj 11 {

— X¹h (x1 — a1(t — s),...,x_n

0 ^i ^Xaj xj-aj(ts)

- ^an^(t - ^s))V(s,x1 -

—a1(t — s),...,xn — an(t — s)) + (B0V)(s,x1 — a1(t — s),... ,xn — an(t — s))]ds

= BV, где (14) является нагруженным ИУ-2 относительно функции V(t,x),x G Rn .Так как 0 < X-1 = const << 1, то оператор B допускает условия принципа Банаха [7], т.е. ИУ (14) однозначно разрешимо в С(Й0) . А это означает, что функция V G С1,1’~,1(Й0') является известной. Тогда, с учетом (9), и функция Z(x),x G Rn считается известной. При этом предположим, что функции: (Vt)t, (VXj)t G L2(0, T), (j = 1, n) для всех фиксированных x G Rn,

|| V_t2||L2 = J| V2(t,x)|²dt

< C00, Vx e Rn,

V 0

A 2

II Vx, IIl=

V 0

Vx (t, x )|²dt< C.0,, Vx e R",(C0 = max( C„, C0,), j = 1, n).

Лемма 1. При условиях (5), (7), (8) вырожденное УП (6), с учетом (9) однозначно разрешимо в С^1,^’-^,1(Й₀), причем допускается условие (15) для функций V_t2, V_tx., (j = 1,n).

Результаты и обсуждение

Однозначная разрешимость СВОЗ и близость решений СВОЗ и ВОЗ

Сперва, чтобы выяснить однозначной разрешимости изучаемой СВОЗ переноса, применим представление АХ, т.е.:

[ « (x, - at)

U_e⁽t^,^x₁^,...^,^x_n) = V + £ + exp -£ ^---—

V ,=i ^£

Z⁽^x1^,.•.^,xn) = Z + П⁽^x1^,...^,^xn).

Тогда из (1), с учетом (6), (16) вытекает:

£в <

— (e^1,1,-,‘ _ydt⁽⁽a¹an)

■ ■)+ V+■+exp -E

(Xj-Ojt)^ ^Л£

■ -^E 2,aЛ +

+h0( x, y, z )

■+exp -E

(xj-ajtf X

= n_e⁽^xi

.,xn)f(t)-£■ V +E a,Vtx,

где (V, Z) - решение ВОЗ (6) - (8), (■ ,n) — остаточные функции, которые содержатся в уравнении (17) с условиями:

^t')(t,x1,...,xn)\t=o = 0, (i = 0,1),

(«

•,,,,,

......

.,a_n)^£)^lt=T 9£^(xi,..., ^xn),

vfa,...,xn) e Rn.

Фактически остаточные функции (^_£,p_£) является дополнительной информацией для

определяются из ОЗ (17) - (19), где (19)

этой задачи. Поэтому, чтобы

выяснить

однозначной разрешимости этой задачи, сначала, (17) преобразуем к виду:

• 1,1

,...,

'( ^a1,..., an

1 (A

)^£ = вJ^expI--в⁽t^—^s) |{^—h0⁽^x)^£⁽^s,^x) ⁺n(^x)f⁽^s) ^—^в[^[2^£_£(^s,^x)^Xв о v в¹ J

V (s, x) + exp —^

+ £ (s, x)]}ds + Y(t, x, ^) - (H0^) (t, x) +

⁺Ze J^expI ^—^b 0 ^v

(s)ds x n (x) + Y(t, x, £),[(t, x) e Q_o, x e Rn ],

где функция Y_i(t, x_i,..., x_n, s) определяется по формуле:

< л

Y=J^expI—в⁽t^—^s)|{^—( Vs2⁽^s,^x1

0 v в J

,...,

n xn ) + E ajVsxJ (s, x1

j=1

,...

, x_n )) —

—

V (s, xi

,".,

n xn)+exp —E

2W 1

>ds,

в< | Yl< £²

C0 + C0<E aj)

2A J

I -e^f = S1(e) ^ 0,(sup V< T„). л * '°- g.

Из уравнения (20), на основе (19) следует уравнение:

П⁽^x1,..., ^xn) = ^M—^{1 (}^T,^л,^в)) { g_£⁽^x1,

...,

x„) — Y1(T, xi

,...

. xn, в)+(H£)(T, *1,

...,

Следовательно, подставляя (22) в (20) получим:

i,i,...,i ^(a1,...^,an

)Y = Y2(t,Xi,...,Xn,8) — (Ho(£)(t,Xi,...,Xn)

где

1 +S?

J exp(—-^(t — s))f(s)ds X Mo1(Ho^£)(T,Xi,...,Xn),

^Y2 ^{= Y}¹⁺ S^

\ e^xP^(—^^^{(t —} s⁾⁾f⁽s⁾ds

X Mo1{g£(xi,...,xn) — Yi(T,Xi,...,xn,£)}.

Поэтому, с учетом (18) из (23) имеем:

+ Тр

j exp(—-^(s — s)f(s)ds' xMo i(Ho^£)(T,Xi — ai(t —s},...,Xn

^—^an^(t

—

s))}ds +

+Y(t, Xi,..., Xn, S) = (P^) (t, Xi,..., Xn),

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 12. №2 2026 здесь

Y = j{Y( s, Xi - ai( t - s),..., xn - an (t - s), s) + — j exp I —_e (s - s') I f (s') ds 'x

0 s 0 V s J

^x^Mo^-¹ [gs⁽^X1 ^-ai⁽t^-s),...,xn^-

I Y ^ ^(И + Y j | g_e |²ds

■ an (t - s)) - Y (T, Xi - ai( t - s),..., Xn - an (t - s), s)] }ds, 1

^ /2^1 (s) + YA o(s) = ^(s),

Я = T +1Mo^-¹1 //Ц Y3 =| Mо^-¹1 f^—1 VT.

Лемма 2. В условиях леммы 1 и системы

(LP < 1,

IP: Sr0 ^ Sr0, (Sr0 {^e: ^el — £0 COTlSt, V(t, X1, ..., Xn) G ^о))> уравнение (25) однозначно разрешимо вС(Л0), причем

IKellc — (1-^)-1<ВД.

Следовательно, на основе (22) имеет место:

1ЫХ1.....Xn)||L2(R„) — |Мо-1|( h)2Ao(c) + |Мо-1|5о(£)у1 +У1|Мо-1|у4(1 - Ар)-1 х

х ^(£) = ^(£), [-(ho + 2(То + 1) + (1 - Ар)-152(£)) — У4], ||Ze —ЙЦ (^ = 11^ (Rn).

В самом деле, результаты леммы 2 очевидны, так как при выполнении (27) для оператора P реализуются условия Банаха, а это означает, что уравнение (25) однозначно разрешимо в С(Л₀). Тогда, с учетом (22) имеем оценку вида (29). ЧиТД.

Далее, когда для исследования исходной многоскоростной СВОЗ применяется представления АХ (16), то относительно всех слагаемых функций (16) выполняются выводы лемм 1;2. Тогда, на основе (16) следует оценка вида:

l^e

И — IKellc + exp

(xj — ajt)2 £

)

Поэтому, учитывая условия лемм 1;2 и оценивая (30) в смысле нормы Lp (Q_o), получим:

||У£ — ИЦ — (1 — Ьр)-1д2(£)У1^Т + УоТ£йТ = ^(£) ^ 0.

2^0

В итоге, рассматривая совокупности результатов (29) и (31), и вместе с тем учитывая

^ = (U_e - V; Z_£ - Z), имеем оценку:

уЖА2Ш = {(t,X1.....Xn) G ^o:^i(t, Xi.....Xn) G L2h(^o), ^(X1.....Xn) G L2h(pn)}, (32)

(H^H^²(П₀) = ^||y£ ^{— И|}Ц (По) ^{+ ||Z —} ЙЦ (Rⁿ) ^{— 5}£(^£) ^{+ 5}4(^£) = ^(^£) ^ 0-

Теорема 1. В условиях лемм 1, 2 и (32) СВОЗ (1) - (4) имеет единственное решение по правилу (16), причем допустимая погрешность между решениями СВОЗ и ВОЗ в№2 (Л₀) будет порядка 4(e).

Заключение

В изученной СВОЗ типа Каца в неограниченной области результаты получены в весовом пространстве W²(Ω ), когда априорные информации о входных данных задаются в L²(Rⁿ). При этом решение построено на основе модификации разработанного метода АХ [7], где оценка близости решений СВОЗ и ВОЗ доказываются в W²(Ω ). Полученные выводы, могут в будущем позволить решать многоскоростные СВОЗ переноса, когда электростатические ускорения являются неотрицательными функциями.