Решение нелинейной многоскоростной сингулярно-возмущенной обратной задачи переноса в неограниченной области

Омуров Т.Д.; Саркелова Ж.Ж.; Omurov T.; Sarkelova Zh.

doi:10.33619/2414-2948/123/02

Решение нелинейной многоскоростной сингулярно-возмущенной обратной задачи переноса в неограниченной области

Автор: Омуров Т.Д., Саркелова Ж.Ж.

Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki

Рубрика: Естественные науки

Статья в выпуске: 2 т.12, 2026 года.

Бесплатный доступ

В теории задач математической физики, связанных с сингулярно возмущенными уравнениями, накоплены значительные фундаментальные результаты, посвящённые прежде всего прямым задачам и их аналитическому исследованию. Однако указанное в полной мере не относится к сингулярно-возмущённым обратным задачам переноса в неограниченной области, что и определяет актуальность исследования данной работы. Дополнительные трудности возникают при исследовании многоскоростных обратных задач переноса, поскольку реализация большинства известных методов их решения связана с необходимостью построения специальных координатных систем, зависящих от особенностей конкретных задач. Эти системы могут быть как прямоугольными декартовыми, в которых исходно формулируется задача, так и криволинейными, в которые осуществляется соответствующее преобразование. При этом требуются дополнительные условия на новые функции, при которых новые переменные связаны между собой определенными соотношениями, в зависимости от заданных областей. В данной статье исследуется n-скоростная сингулярно-возмущённая обратная задача переноса типа Каца в неограниченной области. Предлагаемый метод решения позволяет оставаться в декартовой системе координат независимо от числа переменных фазового пространства и тем самым существенно упрощает аналитическое исследование и расширяет возможности практического применения полученных результатов. Для сингулярно-возмущённой обратной задачи переноса типа Каца в неограниченной области результаты получены в весовом пространстве. Построение решения основано на модифицированном методе асимптотического характера. В рамках данного подхода доказаны оценки близости решений сингулярно-возмущённой обратной задачи и вырожденной обратной задачи в выбранном весовом пространстве.

Еще

Уравнение переноса, многоскоростная обратная задача, единственность решения

Короткий адрес: https://sciup.org/14134414

IDR: 14134414 | УДК: 517.9 | DOI: 10.33619/2414-2948/123/02

Solution of a Nonlinear Multi-Velocity Singularly Perturbed Inverse Transport Problem in an Unbounded Domain

In the theory of problems of mathematical physics associated with singularly perturbed equations, a substantial body of fundamental results has been accumulated, primarily devoted to direct problems and their analytical investigation. However, this cannot be fully attributed to singularly perturbed inverse transport problems in an unbounded domain, which determines the relevance of the research presented in this work. Additional difficulties arise in the study of multi-velocity inverse transport problems, since the implementation of most known solution methods is associated with the need to construct special coordinate systems that depend on the specific features of the problem under consideration. These systems may be either rectangular Cartesian coordinates, in which the problem is originally formulated, or curvilinear coordinates to which an appropriate transformation is performed. In this case, additional conditions are required for new functions, in which new variables are related to each other by certain relationships, depending on the given areas. In this paper, an n-velocity singularly perturbed inverse Kac-type transport problem in an unbounded domain is investigated. The proposed solution method makes it possible to remain within the Cartesian coordinate system regardless of the number of phase space variables, thereby significantly simplifying the analytical study and expanding the possibilities for practical application of the obtained results. For a singularly perturbed inverse transport problem of the Katz type in an unbounded domain, results are obtained in weighted space. The solution is constructed using a modified asymptotic method. Within the framework of this approach, estimates of the proximity of solutions of a singularly perturbed inverse problem and a degenerate inverse problem in a selected weight space are proven.

Еще

Текст научной статьи Решение нелинейной многоскоростной сингулярно-возмущенной обратной задачи переноса в неограниченной области

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.9

В теории переноса в области переменных частиц многоскоростные задачи переноса характеризуются зависимостью от числа простых координат без учёта временной переменной и др. [1, 4].

Такие задачи возникают при моделировании сложных физических процессов, в которых движение частиц осуществляется с несколькими характерными скоростями, что существенно усложняет математическое описание и анализ соответствующих моделей. Особенно заметно это проявляется при рассмотрении задач в неограниченных областях, где стандартные методы исследования оказываются недостаточно эффективными.

В настоящей работе рассматривается n-скоростная сингулярно-возмущенная обратная задача переноса в неограниченной области. При этом близость решений сингулярновозмущенной обратной задачи (СВОЗ) и вырожденных обратных задач (ВОЗ) оценивается в весовом пространстве типа Гильберта W _/ 2 (/2₀ = (0, Т о ) ^х ^^п), когда априорная информация задается изЬ ² (^ ^п ).

Следует отметить, что, несмотря на наличие значительного числа фундаментальных работ по теории прямых задач математической физики, связанных с сингулярновозмущёнными уравнениями (СВУ) и разработанные в них методы не могут быть непосредственно применены к исследованию указанных классов СВОЗ [2, 3, 5].

Поэтому в данной работе для решения n -скоростной СВОЗ переноса типа Каца [6] в неограниченной области предлагается алгоритм, позволяющий оставаться в декартовой системе координат независимо от числа координат. При этом предложенный подход является модификацией разработанного алгоритма асимптотического характера (АХ) [7].

Рассмотрим п -скоростную ОЗ переноса вида:

I ...,,...,

1an) U) + Ui (t,Xi,...,Xn)]+ AE' = Z£(X1,...,Xn)f(t),

1,1,..,1

(a i ,.

■, ^a n ⁾

...,

U£ + h 0(x1,...,xn)U £

n П

(u£l^(t,Xi,...,Xn)\t=0 = Vt(l)(0,Xi,...,Xn) + (/ 2ajXj£-1)1 exp^-^/xj2),

У(1\$,хг,...,хп) = фl(x1,...,Xn),(i = 0,1), V(Xi,...,Xn) e Rn,

L„i.ii

(U(ai,...,an))\t=T — (U£t + ^/ ajU£Xj^\t=T ^0(x1, . . . , Xn) + 0£(x1, . . . , Xn), j = 1

(Vt + / ajVXj)t=T = до(х1,...,Хп), v(X1,...,Xn) e Rn, j=1

при этом вводится информация относительно исходных данных в виде:

\\g£\\b2(Rn) = (^ Jg£(X1,...,Xn)\2dQ) < Ai(E),(dQ = dXi...dXn),

\\g £ ^(x i ^-a i ^(t-s)^,...^,x n ^-a n ^(t- ^s) )\\ l²(0,t) =

)

an(t - s))\2ds) < Д2(г) (Л1,Д2 < ^(c);

\\U£(0,Xi,...,Xn)-V(0,Xi,...,Xn)\\L2(Rn) < (2 1n)2£2 = Yo£2,

F 1,1i =1.V °

(ai,...,an') °t 2—i j dxj ’ j=i j где (U£, Z£) - неизвестные функции. В указанных условиях требуется показать близости решений СВОЗ и ВОЗ в W2(^0), здесь: 0 < h0(x), f(t), фl(x),g0(x),g£(x), 0 < aj, A = const, (j = 1, n), (x1,..., xn) = x e Rn, 0 < ft < 2-1- являются известными, причем

h0 — / hj(Xj) + h(x); 0 < h < h = const, 0 < h0 < h0 = const, Vx e Rn,

j=1

( I h (X1,.

.,xn)dQ )

f(^) = 0, f(T)*0; M0(T,A,E^)=f(T)-I exp^-^T - s)) f' (s)ds * 0, Vt£ e (0,1), (c = 0); 0 < A-1 = const << 1.

Материал и методы исследования

Интегрализация Вырожденный ОЗ

Известно, что при s = 0 из СВОЗ (1) - (3) следует ВОЗ:

^E(a₁,...,_an)^V(t, ^x1,..., ^xn) ⁺^h 0^(x1,..., ^Xn^)V = ^ ^Z(x1,..., ^xn^)f(t),

V_t⁽i)(0,X1,...,Xn) = ^(x₁₅...,Xn), (i = 0,1), V(X1,...,Xn) eRⁿ, (7)

⁽^'(a_lr..,a_n)^}^|t=7’ ^go^(xi,^..., ^xn), ^(^xi,..., ^xn) ^ER ,

где вектор функция Ф = (у ,Z) является неизвестным. Здесь V(t,x),(x E Rⁿ) представляет собой n-скоростную функцию распределения, а известная неотрицательная функция h₀(x),x E Rⁿ является частотой столкновений частиц с окружающей средой, причем электростатическое ускорение предполагается постоянным 0 < a E Rⁿ. При этом функция Z(x)f(t) = F(t,x'),(x E R^) описывает внутренние источники, где содержится коэффициентная неизвестная функция Z(x~),(x E Rⁿ) . Поэтому исходная задача (1)-(3) является СВ моделью задачи (6)-(8). Аналагично обсуждая, в условиях (5), (7), (8) из уравнения (6) следует система:

{

1,..., ILJ ^X

Z(xi,...,xn) = (fCnrHZgoCxi,...,xn) + h oV(t,xi,.

..,x_n)+¹ h ov]eBoV,

. ,^xn^)].

Следовательно, на основе

V = Q(t,xi,...,xn) exp

с условием

1 ^xi

Qh=o = Фo(X1,...,Xn')exp[) ^hj hj(Tj)^dTj]

= ^₀(x_i,...,x_n), ^(x_i,...,x_n) E Rⁿ, из (6) имеем уравнение вида:

i,i, '(ai

,...,

1)^Q = (^-1^h (^xi,...^,xn)^V + (5o^y)^(t,xi^,...^,xn)j^exP⁽^ 1^1

^hj⁽T^j^dTj ,

где (11), (12) - задача Коши относительно функции Q(t, x), ∀x ∈Rⁿ . Тогда из (2) следует:

Q = to^i -x {—A~ⁱh(x_i

ait,...,xn

ant) +

(Ady - ' h„ \exP\A ^L^ '

^hj(^Tj^)dTj-))

— a_i(t — s),...,x_n — a_n(t — s))V(s,x_i— a_i(t — s),...,x_n — a_n(t

- s)) +

+ (BoV)(s,xi — ai(t — s),...,xn

— an(t — s))}ds.

Поэтому, подставляя (13) в (10), имеем

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 12. №2 2026

V = (0(x1 —a1t,...,xn —ant)exp\ — \ ^ -—I hj(Tj)dTj I + j=1 j JXj-a.jt

+ 1 exPl — ( У ^ f hj^dTj 11 {

— X¹h (x1 — a1(t — s),...,x_n

0 ^i ^Xaj xj-aj(ts)

- ^an^(t - ^s))V(s,x1 -

—a1(t — s),...,xn — an(t — s)) + (B0V)(s,x1 — a1(t — s),... ,xn — an(t — s))]ds

= BV, где (14) является нагруженным ИУ-2 относительно функции V(t,x),x G Rn .Так как 0 < X-1 = const << 1, то оператор B допускает условия принципа Банаха [7], т.е. ИУ (14) однозначно разрешимо в С(Й0) . А это означает, что функция V G С1,1’~,1(Й0') является известной. Тогда, с учетом (9), и функция Z(x),x G Rn считается известной. При этом предположим, что функции: (Vt)t, (VXj)t G L2(0, T), (j = 1, n) для всех фиксированных x G Rn,

|| V_t2||L2 = J| V2(t,x)|²dt

< C00, Vx e Rn,

V 0

A 2

II Vx, IIl=

V 0

Vx (t, x )|²dt< C.0,, Vx e R",(C0 = max( C„, C0,), j = 1, n).

Лемма 1. При условиях (5), (7), (8) вырожденное УП (6), с учетом (9) однозначно разрешимо в С^1,^’-^,1(Й₀), причем допускается условие (15) для функций V_t2, V_tx., (j = 1,n).

Результаты и обсуждение

Однозначная разрешимость СВОЗ и близость решений СВОЗ и ВОЗ

Сперва, чтобы выяснить однозначной разрешимости изучаемой СВОЗ переноса, применим представление АХ, т.е.:

[ « (x, - at)

U_e⁽t^,^x₁^,...^,^x_n) = V + £ + exp -£ ^---—

V ,=i ^£

Z⁽^x1^,.•.^,xn) = Z + П⁽^x1^,...^,^xn).

Тогда из (1), с учетом (6), (16) вытекает:

£в <

— (e^1,1,-,‘ _ydt⁽⁽a¹an)

■ ■)+ V+■+exp -E

(Xj-Ojt)^ ^Л£

■ -^E 2,aЛ +

+h0( x, y, z )

■+exp -E

(xj-ajtf X

= n_e⁽^xi

.,xn)f(t)-£■ V +E a,Vtx,

где (V, Z) - решение ВОЗ (6) - (8), (■ ,n) — остаточные функции, которые содержатся в уравнении (17) с условиями:

^t')(t,x1,...,xn)\t=o = 0, (i = 0,1),

(«

•,,,,,

......

.,a_n)^£)^lt=T 9£^(xi,..., ^xn),

vfa,...,xn) e Rn.

Фактически остаточные функции (^_£,p_£) является дополнительной информацией для

определяются из ОЗ (17) - (19), где (19)

этой задачи. Поэтому, чтобы

выяснить

однозначной разрешимости этой задачи, сначала, (17) преобразуем к виду:

• 1,1

,...,

'( ^a1,..., an

1 (A

)^£ = вJ^expI--в⁽t^—^s) |{^—h0⁽^x)^£⁽^s,^x) ⁺n(^x)f⁽^s) ^—^в[^[2^£_£(^s,^x)^Xв о v в¹ J

V (s, x) + exp —^

+ £ (s, x)]}ds + Y(t, x, ^) - (H0^) (t, x) +

⁺Ze J^expI ^—^b 0 ^v

(s)ds x n (x) + Y(t, x, £),[(t, x) e Q_o, x e Rn ],

где функция Y_i(t, x_i,..., x_n, s) определяется по формуле:

< л

Y=J^expI—в⁽t^—^s)|{^—( Vs2⁽^s,^x1

0 v в J

,...,

n xn ) + E ajVsxJ (s, x1

j=1

,...

, x_n )) —

—

V (s, xi

,".,

n xn)+exp —E

2W 1

>ds,

в< | Yl< £²

C0 + C0<E aj)

2A J

I -e^f = S1(e) ^ 0,(sup V< T„). л * '°- g.

Из уравнения (20), на основе (19) следует уравнение:

П⁽^x1,..., ^xn) = ^M—^{1 (}^T,^л,^в)) { g_£⁽^x1,

...,

x„) — Y1(T, xi

,...

. xn, в)+(H£)(T, *1,

...,

Следовательно, подставляя (22) в (20) получим:

i,i,...,i ^(a1,...^,an

)Y = Y2(t,Xi,...,Xn,8) — (Ho(£)(t,Xi,...,Xn)

где

1 +S?

J exp(—-^(t — s))f(s)ds X Mo1(Ho^£)(T,Xi,...,Xn),

^Y2 ^{= Y}¹⁺ S^

\ e^xP^(—^^^{(t —} s⁾⁾f⁽s⁾ds

X Mo1{g£(xi,...,xn) — Yi(T,Xi,...,xn,£)}.

Поэтому, с учетом (18) из (23) имеем:

+ Тр

j exp(—-^(s — s)f(s)ds' xMo i(Ho^£)(T,Xi — ai(t —s},...,Xn

^—^an^(t

—

s))}ds +

+Y(t, Xi,..., Xn, S) = (P^) (t, Xi,..., Xn),

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 12. №2 2026 здесь

Y = j{Y( s, Xi - ai( t - s),..., xn - an (t - s), s) + — j exp I —_e (s - s') I f (s') ds 'x

0 s 0 V s J

^x^Mo^-¹ [gs⁽^X1 ^-ai⁽t^-s),...,xn^-

I Y ^ ^(И + Y j | g_e |²ds

■ an (t - s)) - Y (T, Xi - ai( t - s),..., Xn - an (t - s), s)] }ds, 1

^ /2^1 (s) + YA o(s) = ^(s),

Я = T +1Mo^-¹1 //Ц Y3 =| Mо^-¹1 f^—1 VT.

Лемма 2. В условиях леммы 1 и системы

(LP < 1,

IP: Sr0 ^ Sr0, (Sr0 {^e: ^el — £0 COTlSt, V(t, X1, ..., Xn) G ^о))> уравнение (25) однозначно разрешимо вС(Л0), причем

IKellc — (1-^)-1<ВД.

Следовательно, на основе (22) имеет место:

1ЫХ1.....Xn)||L2(R„) — |Мо-1|( h)2Ao(c) + |Мо-1|5о(£)у1 +У1|Мо-1|у4(1 - Ар)-1 х

х ^(£) = ^(£), [-(ho + 2(То + 1) + (1 - Ар)-152(£)) — У4], ||Ze —ЙЦ (^ = 11^ (Rn).

В самом деле, результаты леммы 2 очевидны, так как при выполнении (27) для оператора P реализуются условия Банаха, а это означает, что уравнение (25) однозначно разрешимо в С(Л₀). Тогда, с учетом (22) имеем оценку вида (29). ЧиТД.

Далее, когда для исследования исходной многоскоростной СВОЗ применяется представления АХ (16), то относительно всех слагаемых функций (16) выполняются выводы лемм 1;2. Тогда, на основе (16) следует оценка вида:

l^e

И — IKellc + exp

(xj — ajt)2 £

)

Поэтому, учитывая условия лемм 1;2 и оценивая (30) в смысле нормы Lp (Q_o), получим:

||У£ — ИЦ — (1 — Ьр)-1д2(£)У1^Т + УоТ£йТ = ^(£) ^ 0.

2^0

В итоге, рассматривая совокупности результатов (29) и (31), и вместе с тем учитывая

^ = (U_e - V; Z_£ - Z), имеем оценку:

уЖА2Ш = {(t,X1.....Xn) G ^o:^i(t, Xi.....Xn) G L2h(^o), ^(X1.....Xn) G L2h(pn)}, (32)

(H^H^²(П₀) = ^||y£ ^{— И|}Ц (По) ^{+ ||Z —} ЙЦ (Rⁿ) ^{— 5}£(^£) ^{+ 5}4(^£) = ^(^£) ^ 0-

Теорема 1. В условиях лемм 1, 2 и (32) СВОЗ (1) - (4) имеет единственное решение по правилу (16), причем допустимая погрешность между решениями СВОЗ и ВОЗ в№2 (Л₀) будет порядка 4(e).

Заключение

В изученной СВОЗ типа Каца в неограниченной области результаты получены в весовом пространстве W²(Ω ), когда априорные информации о входных данных задаются в L²(Rⁿ). При этом решение построено на основе модификации разработанного метода АХ [7], где оценка близости решений СВОЗ и ВОЗ доказываются в W²(Ω ). Полученные выводы, могут в будущем позволить решать многоскоростные СВОЗ переноса, когда электростатические ускорения являются неотрицательными функциями.