Решение нестационарной краевой задачи внутренних магнитогидродинамических волн на поверхности раздела слоев проводящей жидкости
Автор: Созанов В.Г., Музаев И.Д., Шумаков Н.С.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.3, 2001 года.
Бесплатный доступ
В статье поставлена и решена нестационарная краевая задача о внутренних магнитогидродинамических волнах на поверхности раздела слоев проводящей жидкости в скрещенных электрическом и магнитном полях. Задача поставлена в безиндукционном и линейном приближении для идеальной несжимаемой жидкости. Поставленная начально-краевая задача решена аналитически путем применения методов операционного исчисления и интегральных преобразований Фурье. В явном виде получено уравнение волновой поверхности раздела слоев, позволяющее определить критическое положение, при котором не происходит захвата стратифицированной жидкости из другого слоя.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318034
IDR: 14318034
Текст научной статьи Решение нестационарной краевой задачи внутренних магнитогидродинамических волн на поверхности раздела слоев проводящей жидкости
В статье поставлена и решена нестационарная краевая задача, о внутренних магнитогидродинамических волнах на. поверхности раздела слоев проводящей жидкости в скрещенных электрическом и магнитном полях. Задача, поставлена в безиндукцион-ном и линейном приближении для идеальной несжимаемой жидкости. Поставленная начально-краевая задача, решена, аналитически путем применения методов операционного исчисления и интегральных преобразований Фурье. В явном виде получено уравнение волновой поверхности раздела, слоев, позволяющее определить критическое положение, при котором не происходит захвата стратифицированной жидкости из другого слоя.
Электромагнитные способы обогащений тесно связаны с магнитогидродинамическими задачами о слоистом течении проводящей жидкости в скрещенных электрическом и магнитном полях. При этом необходимо прежде всего определить критическое положение поверхности раздела, т. е. такое положение, при котором не происходит захвата жидкости из других слоев [1-3].
В случае, когда жидкость забирается из нижнего слоя, критическое положение поверхности раздела называется верхним положением (рис. 1), а при заборе из верхнего слоя — нижним положением (рис. 2).
В прямоугольной системе координат xOz часть пространства, ограниченная условиями 0 ^ ж ^ Z, 0 ^ г ^ Hi, представляет верхний слой несжимаемой проводящей жидкости, другая часть пространства — 0 ^ х ^ I, —Н^ ^ z ^ О — нижний слой (Z — длина ванны, Hi и Н^ — глубины слоев, ось z — направлена вверх, плоскость z = 0 совмещена с поверхностью раздела слоев). Оба слоя жидкости помещены в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях. Созданная электромагнитным полем пондеромоторная сила направлена вертикально сверху вниз и создает возможность гравитационного всплывания частиц примеси из нижнего слоя в верхний. Очищенный от примеси нижний слой жидкости через заборное окно вытекает из ванны. Заборное окно ограничено условиями х = 0, — Н^ ^ z ^ — Н^ + h, где /г — высота окна. Для сохранения постоянных уровней слоев полагается, что в нижнем слое при х = I по всей глубине размещены источники с суммарной мощностью равной расходу
жидкости через заборное окно. Жидкость считается идеальной, движение — безвихревым (потенциальным).
z
ρ 1 , σ 1
l
-;
x
14::
ρ 2 , σ 2
h
Рис. 1.
В безиндукционном и линейном приближении сформулированная контактная задача магнитной гидродинамики сводится к решению дифференциальных уравнений Лапласа
z
ρ 1 , σ 1
x
14::
ρ 2 , 2
l
Рис. 2.
£^i + d2ii Эх2 dz2
^£1 + ^^Р2
Эх2 dz2
О при 0 ^ z ^ Д1,
О при — Н2 ^ z ^ О
при следующих начальных и граничных условиях:
^ilt=o- 9t |
= 0, t=0 |
1 8<р2 |
= 0 t=o |
5^1 Эх
= 0, ж=0
5^1 Эх
= 0, ж=/
5^2 Эх
ж=0
-ГИ = {
— Уо о
при — Н2 ^ z ^ — Н2 + /г, при — Н2 + h < z ^ 0,
5^2 Эх
Х=1
4U
Н2 ’
Pi^- +
d^i dz
^- при z = 0.
OZ
ц
d\i ЭЕ
+ 784^+81^7)-д
ЁуД ЭЕ
) при г = °’ (8)
Эф2 dz
= 0,
z = -H2
где приняты следующие обозначения: фуД,г,1) и (рДх^Д^ — потенциалы скоростей в верхнем и нижнем слоях соответственно, р^ и р^ — плотности, tri и ст2 — электропроводности в верхнем и нижнем слоях жидкости,
(Ю)
91 — 9 4-- -EqB0, g* _ g -\-- -EqBq, pl P2
Eq = Еу — напряженность электрического поля, Bq = Вх — индукция магнитного поля.
Относительно граничного условия (6) отметим, что волнообразование на свободной поверхности верхнего слоя не учитывается.
Волновая поверхность раздела слоев при z = 0
или
ЧИЛ =
+
ЭрД, В) dt
91 5^1
Р292 — Р191 91
<71^
92^2
^^^^^^^^.
pig*i
^1
ДрДхДтД dz
^^^^^^^^™
z=0
^^^^^^^^.
Р2 дф2
Р292 — Р191 9t
ct^Bq
92^2
^^^^^^^^.
Р191
^2
(ДДдШД dz
z=0
I
Для непроводящей жидкости эта задача поставлена и решена в [4].
Приступая к решению поставленной начально-краевой задачи (1)—(9), применим интегральное преобразование Лапласа относительно времени t.
+ <х>
<91,2(ж, z,p) = j ipli2(x,z,t)e"pt dt. о
В результате преобразования (13) выражения (1)-(9) в изображениях запишутся следующим образом
/ХфгД^) = 0,
А№(ж, z) = О,
dpi Эх |
ж = |
= 0, =0 |
dpi dx |
X- |
= 0, =z |
|
Эр2 |
VH |
dip2 |
||||
Эх |
= x=0 |
p : |
dx |
X- |
||
Pippi + criBypi |
+ ^ = 0 p |
при z = Hi |
||||
dpi dz |
_ dp2 dz |
при z = 0, |
Применим конечное косинус-преобразование Фурье относительно ной х:
<11,2^7) = j pi^x, z)cos^-x dx, о
(РрЦп dz2
^^^^^^^^.
anPl,n — 0
при
О ^ z ^ Hi,
d^P^n dz2
^^^^^^^^.
^2 ~
® 71^2,71
МоМ
^^^^^^^^.
Z = H1
= KMM
p
HiL
^^^^^^^^.
км
р
при — H^ ^ z ^ 0,
?(p+ ^M)
/*w
Р1,П
z=Hx
= 0 (п= 1,2,3...),
Ni,n dP2,n
——— = ——— при Z dz dz
= 0,
/ 2 । ^l r>2 A - । * dpi n pi [p + —BopWi^+gi—,— \ pi / dz
=Р2
/ 2 | ^2 п2 \ -
Р + — Вор ]р2,п
V р-2 '
, * ^2,п
+ 92—1— dz
при z = О,
dp-цп
dz
= О.
z = -H2
Решения дифференциальных уравнений (23) и (24) с граничными условиями (25) и (28) имеют следующий вид:
71,п(Д = СцггбЬ^Д - ЯД),
72,ДД = с2 n ch ДДг + ЯД) + — а1г

Нг
ИНГ
р
^^^^^^^^.
^^ sh ДпД
Р /
Постоянные щ и с2 определяются из граничных условий (26) и (27).
Для С1)П и С2,п получаются следующие выражения:
А^
С1,п
рМр + ^У J (шли
-я2 \
-™) ch (аДЯ. + ДИ
Ф ch (a„Hi) сЬ(а„Я2) + /), sh (е„Н2) sh (а„Я,)) (р2 + sp + g)
A^
C2,n
_ а^Вр ch (апЯД ch (апЯД + a^B^ sh (апЯД sh ДпНД
' p2 ch (аиЯД ch (аиЯД + pT sh (аиЯД sh (аиЯД '
= (m2 - P\g*^an 8Ь(апЯ2)сЬ(апЯД p2 ch (апЯД ch (anH2) + pY sh (апЯД sh (апЯД ’
(сЬ(апЯД
о
-p^p^I- И^-^ЫЫ
V p2 ' an J \ p p )
-H2
+ p2g2 (--- ) ch (а,Д) d^
-H2
+ Pi
p(p + —вЛ v Pi '
sh ДпНх)
- g{an ch (an НД
о
^/(3 y.......M)
H2
x 7---------------------------------------------\------------
|^p2 ch ДпНх) ch <апН^ + px sh ДпНх) sh (anH2^ (p2 + sp + g)
I
В результате применимых интегральных преобразований (13) и (22) выражение (12) принимает вид
Дф\,п
РРп = —;— dz
I
2=0
Подставив выражения (29) и (31) в (34), получим
^*
Лп =
ch(anHi)p2(p+ ^В^ап
( Р2 ch ДпНх) ch (anH2) + p-v sh (аиНД sh (апН2) ]р(р2 + sp + у)
где
( 1|"Г/ о?о = 0, аи = --------sh(anH2)--sh (anh) (n = 1, 2, 3 ...). (36)
Для f]n обратное косинус интегральное преобразование Фурье имеет сле дующий вид
ОО
Т^Р) = V У^7/и(р)сО8йиЖ.
71=1
Для нахождения оригинала функции ?/(жД) достаточно использовать таблицы операционного исчисления.
Уравнение волновой поверхности раздела слоев получается в следующем виде о ОО
/ 2 П7Г
№ И = ?/n(t)cos—ж, (38)
71=1
где
Рп^ =
сЪ^а^Ну
dn^q
^^^^^^^^.
s2
Р2«п
Г е 2 sin a q
^^^^^^^^.
4 '
sjq- ^cos ^q- ^t q
+
dn = p-2 ch (anHi) ch nH^ + pi sh (anHi) sh (anH2). (40)
С точки зрения реализации на ЭВМ целесообразно выражению (39) придать следующую форму:
( л 2У° V"
71=1
(-l)™^ th (ап^) -
sh (an/i) дГДДТП
—e
t
^sin^/^
dn\[b%
^^^^^^^^.
S2
-fan
Ie 2 smygn
^^^^^^^^™
s2
f^
^^^^^^^^™
^ +
= COS
^^^^^^^^.
s2
4 1
Qn
+
V^n-^
9?l
где dn = 1 + — th (апН^ th (anH2), P2
f 1 - ^4th(anH2))
_ * \ P2 g2* v j
-92Qn1 + ^th(anHi)th(anH2y g2B02 l + ^th(an^)th(a^2)
Sn Р2 1 + th (а„Ях) th (а„Я2)’
X _ -2апНг х _ -2апН2
th ДпН^ = —--- 7—777, th (апЯ2) = —---77777.
sh (anh) ch (апЯ2)
^an (H2 — h) g — an (H2+h)
h < я2.
X | g — 2anH2
Список литературы Решение нестационарной краевой задачи внутренних магнитогидродинамических волн на поверхности раздела слоев проводящей жидкости
- Повх И. Л. Техническая гидромеханика.-Л.: Машиностроение, 1976.-501 с.
- Повх И. Л, Капуста А. Б, Чекин Б. В. Магнитная гидродинамика в металлургии.-М.: Металлургия, 1974.-240 с.
- Справочник по гидравлике под редакцией В. А. Большакова.-Киев: Вища школа, 1977.-278 с.
- Созанов В. Г, Музаев И. Д, Туаева Ж. Д., Музаева Т. В. Постановка и решение начально-краевой задачи внутренних волн при селективном водозаборе из стратифицированного водоема//Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2001.-№ 1.-С. 104-106.