Решение обратных спектральных задач для дискретных полуограниченных операторов, заданных на геометрических графах

Теория обратных спектральных задач посвящена разработке алгоритмов восстановления значений операторов по их известным спектральным характеристикам. Большой интерес к ним постоянно стимулируется необходимостью решения новых задач в различных разделах естествознания и техники. Важное место при их решении занимают проблемы корректности постановки и поиска наиболее эффективных методов решения. В последнее время разработан ряд методов построения вычислительных алгоритмов численного решения обратных спектральных задач [1, 2]. Однако при численных реализациях алгоритмов возникают серьезные вычислительные трудности [2–6]. Поэтому разработка новых методов и алгоритмов решения обратных спектральных задач, заданных на множествах различной геометрической структуры, представляет большой научный интерес. В данной работе разработаны алгоритмы решения обратных спектральных задач для дискретных полуограниченных операторов, заданных на геометрических графах. Они отличаются от известных алгоритмов простотой выполнения и снимают вычислительные трудности, возникающие в других методах. Используя идеи, изложенные в работе В.А. Садовничего, В.В. Дубровского [7] и в статьях [8–12], был разработан численный метод вычисления собственных значений краевой задачи

Lu = ци, Gu | _r = 0,                              (1)

где L – дискретный дифференциальный полуограниченный оператор, заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве H с областью определения D l Е H ; Г -граница области D _L .

Для вычисления собственных значений краевой задачи (1) рассмотрим последовательность {Н _п } ^ =1 конечномерных пространств, которая полна в H . Пусть орто-нормированный базис {xk } П =1 пространств Hn С H удовлетворяет однородным граничным условиям задачи (1). Используя метод Галеркина, приближенное решение краевой задачи (1) ищем в виде

n

Un = ^ak (n)^k •                                (2)

k =1

Постоянные a _k (n) находятся из требования, чтобы выражение, которое получается после подстановки un вместо u в уравнение (1), было ортонормированным к системе функций { ^ k } n =i.

В работе [13] доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Метод Галеркина в применении к задаче нахождения собственных значений спектральной задачи (1) , построенный на системе функций {^k }^1 , сходится.

Теорема 2. Приближенные собственные значения цп спектральной задачи (1) находятся по линейным формулам pn(n) = (L^n, ^n) + 5n, n Е N,                           (3)

• ~    n-1 ~

где 5 _n = 52 Ц (n — 1) — ц _к (n)] , ц _к (n) — n-е приближение по Галеркину к соответ- k =1

ствующим собственным значением µ _k спектральной задачи (1) .

Там же, используя теоремы 1, 2, показано, что lim 5n = 0.                                        (4)

n →∞

Многочисленных вычислительные эксперименты по нахождению собственных значений спектральных задач (1) по формулам (3) и методом Галеркина показали, что они хорошо согласуются. Для проверки формул (3), при больших порядковых номеров собственных значений, были рассмотренны две спектральные задачи

—y ‘‘ (х) + q(x)y (x) = цу (x), ц = А ² или ц = S ² , 0 < x < п,

• У ⁽⁰⁾ = ⁰, У^(п) = ⁰, или

• У⁽⁰⁾ = ⁰, У ‘ ^{(п) —} hy ^(п) = ⁰,

для которых известны асимптотические формулы для собственных значений с тре-π бованием, чтобы потенциал q(x) удовлетворял условию J x|q(x)|dx < то. Вычисление 0

показали совпадение с большой точностью всех найденных собственных значений с порядковыми номерами n >  35.

Чтобы воспользоваться формулами (3) при вычислении собственных значений задачи (1), построим систему координатных функций {ф _к }^1, которая бы удовлетворяла граничным условиям (1). Для этого оператор L представим в виде L = T + P , где T – самосопряженный дифференциальный оператор такого же порядка, что и оператор L с областью определения Dl. Найдя собственные значения { А _п } П =1 и собственные функции { v n } П =1 спектральной задачи

Tv = Av, Gv | г= 0,                              (5)

формулы (3) запишем в виде

Д п (n) = A n + (Pvn, vn) + dn, n E N.                         (6)

В случае если система собственных функций { v n } n =1 задачи (5) не является ортогональной, необходимо функции v _n разложить в ряды Фурье по системе функций {фк } k =1. Это позволит воспользоваться формулами (6). Алгоритмы вычисления собственных значений по формулам (6), в силу корректных и несложных вычислений, простые и вычислительно эффективные.

В статьях [14–17] был разработан численный метод решения обратных спектральных задач, позволяющий по известным собственным значениям { А _п } П =1 и собственным функциям { ф _п } П =1 невозмущенной задачи (5) и известным приближенным значениям Д _п , принадлежащих отрезку [c, d], возмущенной задачи (1), восстанавливать значения неизвестных функций, входящих в оператор L в узлах дискретизации.

Для определенности ограничимся задачами, порожденными дифференциальными операторами, заданными в L 2 [a,b], следующего вида

Lu =—u " + p 1 (s)u' + p₂(s)u, s E [a, b].

Некоторые функции pk (s), k = 1, 2 могут быть не заданы. Их приближенные значения в узлах дискретизации отрезка [a, b] надо найти при решении соответствующей обратной спектральной задачи с использованием конечно-разностной аппроксимации. Отметим, что описанная ниже методика решения обратных спектральных задач применима к решению и задач, порожденных дифференциальными операторами в частных производных.

На основе формул (6) построим интегральное уравнение Фредгольма первого рода в матричной форме

b

AP = / K(x,s)P(s)ds = f (x), x E [c, d].                      (7)

a

Здесь К (x n , s) = ^П(s)^ n (s) ^(s)^ n (s)    y² _n (s)^ — матрица-строка, a P(s) =

/ — 1 \ p1(s)   — матрица-столбец. При этом К(x, s), P(s) и f (x) такие, что

\ P2(s) / zx,                zx,

К(xn,s)P (s) = (L(^ n (s),^ n (s)), a <  s <  b,

•^^-                                                     -^^z

f (Xn ) = Цп

^n   ^n , c <  ^x n <  d-

Zs        ^

Zs

Если для решения P уравнения (7) невязка || AP — f || _L 2 [ _c ,d ] = 0, то оно называется точным. Однако такое решение может не существовать или быть не единственным.

Zs

Поэтому было введено понятие псевдорешения. Решение P уравнения (7) называется Zs псевдорешением, если оно минимизирует невязку ||AP — f ||L2[c,d]. В дальнейшем под решением интегрального уравнения Фредгольма первого рода (7) будем понимать псевдорешение.

Точные значения правой части уравнения (7) неизвестны, но известны приближенные значения f (x), такие, что || f — f || L 2 [ cd ] <  5. Пусть ядро К (x, s) интегрального уравнения (7) непрерывно и замкнуто в П = [c, d] х [a, b] и P(s) G W₂ ² [a, b], f (x) G L2[c, d].

Задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (7) является некорректно поставленной. Ее приближенное решение P _α ищется с помощью метода регуляризации Н.А. Тихонова. Для этого рассмотрим сглаживающий функционал Тихонова

b

Ф a [P, f ] = у APP — /) ds + a^[P ],                     (9)

b где ^[P] = /[PTP + a(P‘)TP‘]ds регуляризацaии. Zs ~

- стабилизирующий функционал, a >  0 - параметр

Элемент Pα ищется из условия, что функционал (9) достигает минимальное зна- чение, т.е.

при граничных условиях

Zs                                                               Zs

Ф а [P a ,f] = Jnf Фa[Pa,f ] jPa G W 22

Zs                            Zs

Pa (a) = Pa (b) = 0.

В работах [18,19] показано, что если A – линейный, вполне непрерывный оператор, действующий из W₂ ² [a, b] в L₂[c, d], то задача (10) имеет единственное решение.

Задачу минимизации функционала (9) можно решать численно, но это сложно реализуется на ЭВМ. Гораздо проще использовать уравнение Тихонова (Эйлера), вытекающее из условия минимума функционала (9).

Если необходимо восстановить значения для одной функции в операторе L в узловых точках дискретизации, используя интегральное уравнение (7), то можно воспользоваться известными классическими алгоритмами. Для случаев нескольких неизвестных функций таких алгоритмов нет.

В данной статье разработаны алгоритмы решения обратных спектральных задач, позволяющие восстанавливать значения неизвестных функций, входящих в дискретный полуограниченный вектор-оператор L , заданный на геометрическом графе. Алгоритмы восстановления функций используют известные собственные значения {А^ П ^ и собственные вектор-функции { ^ n = (v_{1 n} , V ₂ n, ..., V j _o n ) } n =₁ вспомогательной задачи для оператора T

^TjVj = ^AVj, Vj = Vj^(sj), j = ^1,jo,                           ⁽¹²⁾

dVj            dVj+i djE—   , - dj+13---- dsj sj=ij         dsj+1

= 0, S j+1 =0

^   = dj    =0, 1 < 3 < jo ds1 s1 =0    dsj0 sj0 =lj0

Vj^(lj ) = V j +i⁽⁰⁾, ¹ <  3<3 o ,

и известные приближенные собственные значения p,n Е [c, d] спектральной задачи

(T j ' P j ^)u j = A^u j . ^u j = ^u j (s j )■ ³ = ^1,j o ,

duj dj dsj duj+1             du1        duj0 dj+1 ,            = 0, J        =J          = 0, 1 < 3 < jo,    (16) sj =lj          dsj +1 sj +1 =o         ds1 s1 =o    dsj0 sj0 =lj0 Uj(lj)= uj+1(0), 1 < 3<3o,                           (17) которую порождает вектор-оператор L.

1.    Постановка задачи

Рассмотрим конечный связанный ориентированный граф G = G ( V , E ) с последовательно соединенными ребрами [20-23]. Здесь через V = { V i } i =₁ обозначено множество вершин графа G , а через E = {Ej } j =₁ - множество его ребер. Каждое ребро Ej имеет длину lj > 0 и площадь поперечного сечения dj > 0. Зададим на ребрах E графа G вектор-оператор

L = ^L1, L2, ..., Ljo^ , ⁽¹⁸⁾

действующий в гильбертовом пространстве

H = L2(G) = {G = (G1,G2,...,Gj0), Gj Е L2(0, lj), j = 1,jo} со скалярным произведением [23]

l j0 j

(g, h) = 52 dj / gjhjds, g, h Е H.

j =1 _o

Здесь Lj - дискретные полуограниченные операторы, заданные в L₂[0,l j ] (j = 1, j_o).

В дальнейшем будем считать, что вектор-оператор L можно представить в

^U1 _Pu ds2 ,

виде L = T + P , где Tu

(T 1 U 1 ,T 2 U 2 ,...,Tj 0 u jo) , Tj uj

^P1^u1,P2^u2,...,^P j o uj o ), Pj uj = k E Pjk ⁽s j ^)u j ^{2 k )} , sj ^{Е [0, l} j ^], 3 = ^1,jo, ^u = ⁽U 1 ,...,Uj o ),

Uj E W₂ ² [0,l j ] — дважды непрерывно дифференцируемые функции на каждом ребре графа G . При этом некоторые функции pjk(sj ) (j = 1,jo, k = 1, 2) не заданы. Их приближенные значения в соответствующих узлах дискретизации области E надо найти при решении обратной спектральной задачи (15) – (17). Условия (16) означают, что поток через каждую вершину равен нулю, а условие (17), что вектор-функция u = (ui, ...,Uj ₀ ) непрерывная во внутренних вершинах графа G .

Для построения ортонормированной системы { ^ n = (^_{1 n} , ^_{2 n} ,..., ^ j _{o n} ) } n =₁ вектор-функций, которая удовлетворяет граничным условиям (16), (17), возьмем прямую спектральную задачу (12) – (14).

Пусть { A n } П =1 - собственные значения задачи (12) - (14), занумерованные в порядке неубывания их величин, а { ^ n = (^_{1 n} , ^_{2 n} ,..., ^ j ₀ n ) } n =₁ — собственные вектор-функции, соответствующие этим собственным значениям λ _n .

Используя формулы (6) и (19), нетрудно показать, что приближенные собственные значения вектор-оператора L , действующего в сепарабельном гильбертовом пространстве W₂ ² ( G ), находятся по формулам:

^j 0              l ^j           2                            ~

Д п (п) = A n + ^djXj (s) / Vjn(s) ^Pjk(s)yjj²n^k4s)ds + ⁵n, n E N j =1         0          k =1

n - 1

Здесь 5 _n (n) = ^ [- k (n — 1) — - k (n)], —k (п)-п-ые приближения по Галеркину k-ого

k =1

собственного значения,

X j ^(s) = {

1, ^{s E [0,} lj ^], ⁰, ^{s E [o}, lj ]•

Таким образом, по формуле (20)

можно вычислять приближенные собственные значения прямой спектральной задачи

(14) – (16), если заданы все функции p jk .

Пусть известны собственные значения {Ап}П=1 и соответствующие им собственные вектор-функции {^п}П=1 невозмущенной задачи (12) - (14) и необходимое количество приближенных собственных значений Дп возмущенной задачи (15) - (17), принадле жащих отрезку [c, d].

Воспользовавшись линейными формулами (20), запишем интегральное уравнение Фредгольма первого рода lmax         jo 2

J Xj (s)     d j     Kjk (x, s)p jk (s)ds = F(x), x E [c, d],

0         j =1    k =1

где Kjk (x n ,Sj ) = ^(2 ^{k )} (s j )^ jn (s j ), F (x n ) = M n - A n - 5n , lmax = max {lj } . Пред-1 < j < jo^

положим, что Kjk (x,Sj ) непрерывны и замкнуты в П = [c, d] х [0,l₁] х ••• х [0, l j ₀ ], Pjk(sj ) E W₂ ² [0,l j ] и F(x) E L2[c, d].

Запишем интегральное уравнение (21) в матричной форме lmax j0

B(P^j ) = / djKdjKj(x,s)P^Dj(s)ds = F(x), x E [c, d]. 0 j = ¹

Здесь Kj (xn , sj- )

Vjn^(sj ) ^VjnsSj )

Vjn(sj

матрицы-строки, a Pj (s) =

(

X i ^(s)Pj i ^(sj )

X 2 ^(s)Pj 2 ^(sj )

)

матрицы-столбцы.

Для построения приближенных решений P _j ^α интегрального уравнения (22)

мето-

дом регуляризации Тихонова воспользуемся сглаживающим функционалом

l max

Фа[Pj ,F]= / (B(Pj-) - F) ds + аЦР ₃ ],

lmax j0                 T где a > 0 — параметр регуляризации, fi[Pj] = j ^2 Pj Pj + qP‘ j P‘ j]ds — стабилизи-0 j=1

рующий функционал Тихонова, значение q >  0 определяет порядок регуляризации, верхний индекс T означает, что матрица транспонированная. При q = 0 вместо некорректного уравнения первого рода решается уравнение второго рода, а при q = 0 -интегро-дифференциальное уравнение.

Приближенное решение P _j ^α ищется из условия, что функционал (23) достигает минимального значения, т.е.

Ф а [P ^a ,F ]= inf Фa[P ^a ,F ].                          (24)

p?ew2q при однородных граничных условиях

αα

P ‘ j (0) = 0, P ‘ j (l j )=0, j = 1,j0.

Для простоты изложения рассмотрим алгоритмы нахождения значений функций Pjk(sj ) на примере двухреберного графа.

2.    Двухреберный граф

Рассмотрим двухреберный связный ориентированный граф G = G ( V , E ), где V = { V1,V₂,V3 } — множество вершин, E = { E1, E2 } — множество ребер. Каждое ребро имеет длину lj > 0 и толщину dj > 0, j = 1,2. Пусть на графе G задана вектор-функция u = (u1,u₂), каждая компонента которой uj (xj ) отвечает соответствующему ребру Ej .

Двухреберный граф G = G ( V , E )

На ребрах E графа G зададим линейный оператор d2

L = ( ^— У2 ⁺ p12 ^(s1), ds ₁

ds2 + p22(s2)), xj ^ (0, lj), j = 1, 2, действующий в гильбертовом пространстве

H — L2(G) = {g = (g1,g2), gj E L2(0,lj), j = 1, 2} со скалярным произведением

2           ^{l j}

⁽ g , ^{h ) —} ^ dj [ j =1    ₀

gjhjdx, g , h E G .

Для постановки обратной спектральной задачи на двухреберном графе воспользуемся вышеописанной методикой, полагая в (15) - (17) к — 2 и j o — 2. Тогда для восстановления значений функций p₁₂(s1) и p ₂₂ (s ₂ ), заданных на ребрах Ej графа G , рассмотрим следующие краевые задачи

и

d ² uj dsj ²

+ pj 2 ^(sj ^)uj    ^puj, uj    uj ⁽sj ), sj ^{E (0}, lj ), ^j 1, ²,

du ₁ d 1

ds ₁

s 1 = l 1

d ² ϕj ds _j ²

dϕ 1 d 1

ds 1

s 1 = l 1

du 2

d 2

ds ₂ s 2 =0

= 0 ,

du ₁

ds i s i =o

u 1( l 1) = u 2 (0) ,

du ₂ ds 2

— 0, s 2 = l 2

^Avj, Vj Vj^(sj ), sj ^{E (0}, lj ), ^j    1, ²,

dϕ 2 d 2

ds 2

— 0.       1

s 2 =0         ds 1

V 1 ( x 1) = V 2(0) .

s 1 =0

dϕ 2 ds 2

— 0, s 2 = l 2

Допустим, что { A n } n =1 собственные значения прямой задачи (28), (29), занумерованные в порядке неубывания их вещественных частей, а { ^ n — (v 1 n,V 2 n ) } П =1 — соответствующие им ортонормированные собственные вектор-функции, заданные на ребрах Ej графа G . Известно, что система собственных вектор-функций { ^ _n — (V1 n , V2 _n ) } n =1 образует ортонормированный базис в L₂( G ).

Согласно теореме 2 приближенные собственные значения Д _п (п) задачи (26) - (27) находятся по формулам

₂ l max

Д п (п) — A n + ^2     djXj(s)Vjn(s)Pj 2(s)ds + ^ n , n — 1, ^ ,

j =1 ₀

где lmax ^— maxf/i^), Xj (s) ^— | л s ^E r°’/ ^j j’ ^{j = 1}>^{2 .}

0, s ^{E [0}, ^l j ^j,

По аналогии с построением интегрального уравнения (22) на основе (30) составим интегральное уравнение Фредгольма первого рода

B (Pj ) ^

l max ₂

/ ^^ Kj(x,s)Pj(s)ds — -F(x),

₀ j =1

c < x < d.

Здесь Kj(xn, s) — djVjn(s) , Pj (s) — Xj(s^Pj 2(s), F(xn ) — Д п - A n - 8 _n , j — 1, 2.

Допустим, что функции Kj (x,s) непрерывные и замкнутые в П = [c, d] х [0,11] х [0,12], а F (x) Е L2[c,d], p ₃ 2 (s) Е W^j ], j = 1, 2.

В этом случае система уравнений, определяющая экстремали P j^a (s) = p ^a ₂(s) функционала (23), имеет вид

/

^aX1^(i)[Pi2^{(t) -} 9(Р 1 2)"^(t)] + ? a [xi^(s)R11^(s,t)P ^a 2^(s) + 0

+X2 (s)R2i(s,t)P ^a 2(s) ds = F1(t),

^aX2^(t)[P ^a 2^{(t) -} ЧШ" ^(t)] + j a [xi^(s)R12^(s,t)P ^a 2^(s) + 0

+X2(s)R22(s,i)P a 2(s) ds = F2(t), i Е [0,11] U [0,12].

Здесь

l max

l max

d

^ [R mn ^(s,t^)pm 2 ^(s)ds   ^ pm 2 ^(s)ds [ J Km ^(x, s^K^xit^dx^ds,

c

d

^Fm (i) = j^Km[^x,t)F (x)dx, t e M, ^m,n = 1,2.

c

При проведении численных экспериментов решение p ^a ₂ (sj ) системы линейных уравнений (32) в узлах дискретизации Sj i Е [0, lj ] находятся с использованием метода квадратур.

3.    Вычислительный эксперимент

Применим разработанный алгоритм к нахождению численного решения обратной спектральной задачи (26), (27) на двухреберном графе G. Собственные значения {An}n=1 невозмущенной спектральной задачи (28), (29) являются решениями трансцендентного уравнения d1 sin(V\li) cos( VXl2) + d2 sin(V\l2) cos(V"Xl1) = 0, а соответствующие им собственные вектор-функции {^n = (^1n,^2n)}П=1 на ребрах E графа G имеют вид

V 1 n = Cn cos( VX^S i ), 0 <  S1 <  li, n = 1, TO ,

V 2 n = Cn ^COs( ^ A n li) COs( V X n S2) - d 2 sin(VXnl i ) sin( V X n S2 )] , 0 <  S2 <  l 2 .

Множители C _n находятся из условия нормировки вектор-функций системы { ^ _n } П =₁.

Для восстановления приближенных значений функций pj ₂ , j = 1, 2 используется система (32), которая решается численно с использованием конечно-разносных аппроксимаций. Для выбора параметра регуляризации α использовался обобщенный принцип невязки.

В табл. 1, 2 приведены результаты вычислительного эксперимента по восстановлению потенциалов p1(s) = sin(2s + 1), p2(s) = cos(s) + 2s + exp(s) в узловых точках

Таблица 1

Первое ребро
n	s n	P1(S n )	P a (S n )	| P1(s n ) - P a (s n ) |	C n
0	0, 0	0, 84147	0,64134	0, 20014	2, 2 • 10 - 8
1	0,1	0, 93204	0, 87571	0, 05633	1, 8 • 10 - 8
2	0, 2	0,98545	1, 02457	0, 03912	2, 3 • 10 - 8
3	0, 3	0, 99957	1, 09542	0, 09585	8,4 • 10 - 9
4	0,4	0,97385	1, 09204	0,11820	4, 7 • 10 - 9
5	0, 5	0,90930	1, 01590	0,10661	6,4 • 10 - 9
6	0, 6	0,80850	0, 87278	0, 06428	3, 2 • 10 - 9
7	0, 7	0,67546	0,67612	0, 00066	2, 2 • 10 - 9
8	0, 8	0, 51550	0,44588	0, 06962	3,1 • 10 - 9
9	0, 9	0, 33499	0, 20449	0,13050	1, 6 • 10 - 9
10	1, 0	0,14112	- 0, 02752	0,16844	1, 3 • 10 - 9
11	1,1	- 0, 05837	- 0, 23460	0,17623	1,4 • 10 - 9
12	1, 2	- 0, 25554	- 0,40764	0,15210	7, 2 • 10 - 10
13	1, 3	- 0,44252	- 0, 54397	0,10145	3, 5 • 10 - 10
14	1,4	- 0, 61186	- 0, 64638	0, 03453	4, 6 • 10 - 10
15	1, 5	- 0, 75680	- 0, 72127	0, 03554	3, 7 • 10 - 10
16	1, 6	- 0, 87158	- 0, 77623	0, 09535	2, 3 • 10 - 10
17	1, 7	- 0, 95160	- 0, 81798	0,13362	1,1 • 10 - 10
18	1, 8	- 0, 99369	- 0, 85176	0,14193	2, 5 • 10 - 11
19	1, 9	- 0, 99616	- 0, 88211	0,11395	6, 3 • 10 - 11
20	2, 0	- 0, 95892	- 0, 91321	0,04572	3, 3 • 10 - 11

Таблица 2

		Второе		ребро
n	s n	P1(S n )	P a (s n )	| P1(s n ) - P a (	s n ) |          Cn
0	0, 0	2, 00000	2, 04572	0, 04572	2, 0 • 10 - 11
1	0,1	2,30018	2, 34553	0, 04536	8, 7 • 10 - 12
2	0, 2	2,60147	2, 61968	0, 01821	1, 5 • 10 - 11
3	0, 3	2, 90520	2, 88565	0, 01954	1, 6 • 10 - 11
4	0,4	3,21289	3,16003	0, 05286	2, 5 • 10 - 11
5	0, 5	3, 52630	3,45523	0,07107	1, 9 • 10 - 12
6	0, 6	3, 84745	3,77866	0, 06879	4, 5 • 10 - 11
7	0, 7	4,17859	4,13380	0, 04479	3,4 • 10 - 11
8	0, 8	4, 522255	4, 52437	0, 00212	2, 9 • 10 - 11
9	0, 9	4, 88121	4, 96041	0,07919	1, 0 • 10 - 10
10	1,0	5,25858	5,45872	0, 20013	______ 4, 9 • 10 - 11
дискретизации при следующих I 2 = 1, d 1 = 1, d 2 = 2.			значениях	параметров	задачи (15) - (17): 1 1 = 2,

,           lmax 2

В таблицах 1, 2 величины Z n = | F (x n ) -J ]C Kj (xn, s)P j^a (s)ds | определяют пото-0 j =1

чечную абсолютную погрешность приближенного решения P“(s). Невязка полученного решения равна Z = || F(x n ) — B (P _j ^a ) || L ₂ [ c, _d ] = 1, 765 • 10 ^{- 15} . Параметр регуляризации а = 6,11 • 10 ^{- 9} был вычислен методом обобщенной невязки.

Заключение

Проведенные вычислительные эксперименты по восстановлению приближенных значений р ^а ₂ функций pj ₂, j = 1, 2, заданных на двухребеном геометрическом графе в узлах дискретизации по известным собственным значениям { A n } ^^, собственным вектор-функциям { ^ n } П =1 невозмущенной задачи (28), (29) и известным приближенным значениям Д _п G [c, d] спектральной задачи (26), (27), показали высокую вычислительную эффективность разработанной методики решения обратных спектральных задач для возмущенных самосопряженных операторов, заданных на геометрических графах. Надо отметить, что методику восстановления вектор-оператора L можно перенести на случай последовательного графа с любым конечным числом звеньев.