Решение одной краевой задачи для нелинейного уравнения типа Трикоми

Рассмотрена краевая задача с конормальной производной для нелинейного уравнения типа Трикоми

(т - любое положительное)

в эллиптической области, содержащей линию параболического вырождения.

Рассмотрим уравнение у^т   +z 抄二 /(х, 乂 z)                                 (1)

(m - любое положительное) в области D, ограниченной отрезком АВ оси Ох и гладкой кривой Г, которая лежит в полуплоскости у > 0 и имеет концевые точки

А(0,0)иВ(1,0).

Пусть s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В; - длина кривой Г;

• -параметрические уравнения Г.

Будем предполагать, что 1) функции x(s) и >- ( 5 ) имеют непрерывные на сегменте ( 0,4 производные, не обращающиеся в нуль одновременно; 2) в окрестностях точек А и В на кривой Г выполняется условие

⑵ где С - положительная константа. В каждой точке кривой Г определим вектор 九 с направляющими косинусами:

(3) іде п - единичный вектор внешней по отношению к D нормали к кривой Г в точке (х,у).

Определение 1. Регулярным решением уравнения (1) в области D будем называть функцию z(x,y), дважды непрерывно дифференцируемую внутри D и удовлетворяющую уравнению (1) в каждой внутренней точке D.

Определение 2. Решением класса R_E назовем регулярное решение уравнения (1), если оно непрерывно в замкнутой области D, а его частные производные по х, у непрерывны всюду в D , кроме, может быть, точек Аи В, где они могут обращаться в L                                     2

бесконечность порядка ниже, чем----. м + 2

Для уравнения (1) в области D мы рассмотрим следующую краевую задачу.

Задача КТ. В области D найти решение класса уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

--На ( 5 ) 7   =0 ( s), 0 < 5 < ^, -               」 г

⑸

zL=T ( x), о < X < 1,

МАТЕМАТИКА где и а(5)- заданные непрерывные функции длины дуги т(х) непрерывна всюду на сегменте [0,1].

Задача КТ была впервые поставлена Л.С. Чубенко [2] для линейного уравнения типа Трикоми. Мы рассмотрим эту задачу для нелинейного уравнения (1).

На функцию       наложим следующие условия:

• 1)    / ( X, у, z) имеет неотрицательную производную по z, равномерно ограниченную для всех (х,у)е D ⁺ n |z| <+оо :

0M「(x/，z)MQ(А)

• 2)        непрерывна в D, тогда_

Т/Г                               |/(x,y,0)

Из условии (А) и (В) следует, 'что "

■(С)

丄 Единственное решение задачи КТ _

Теорема 1. Если       , 工'(冗乂z)2 0 в D, кривая Г обладает непрерывной кривизной и удовлетворяет 2-му условию, то задача КТ для уравнения (1) не может иметь более одного решения класса RE.

Доказательство. Предположим, что существует два решения z^.y) и z₂(x, у) класса R_e уравнения (1) с краевыми условиями (5).

Тогда их разность z₀(х, у) = z_T(х, у) -z₂(х, у) будет решением класса ^задачи КТ с нулевыми граничными усда^ия^^б) для однородного уравнения

• У          - MG J ， zJ- f\x,y.zj\ = О

• 2.    Построение функции Грина задачи КТ

или

(F)

где                (z между z^ z^ .

В силу доказанной Чубенко [2] единственности решения задачи КТ для уравнения (F),           , т.е. Zi 三 z?. Теорема доказана.

Определение. Функцией Грина задачи КТ назовем функцию G ( x, y',x_Q,y_Q), обладающую следующими свойствами:

• 1)    всюду внутри области D, кроме точки , она является регулярным решением уравнения            "込 +生二。                   尸、

• 2)    в точке имеет логарифмическую особенность;

• 3)    удовлетворяет нулевым граничным условиям:

■^ + ot(s ) G =0, 0⑹

G 『 0, 0<х<1,

Функцию          будем искать в виде суммы

⑺ где          - регулярное всюду в D решение уравнения (Е), а q(x ,了; %, " )=/(不厂(1 - ь)t ь(1-乩1-乩2-2 伙 1-b)-фундаментальное решение этого уравнения, имеющее логарифмическую особенность в точке ^                                      •

---------------------------ИЗВЕСТИЯ ВГПУ---------------------------

Известно [1], что

⑻

Таким образом, построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части v(x,y;x₀,y₀).

Граничные условия (6) можно переписать в виде

[/」€?] + a (s)N ( s)GL =0, 0 < 5 < ^,

Gl =0, 0 V X V1,                                       ⑼

іде                                              - так называемая конормальная производная функции 〃(х,у).

Тогда в силу (7) - (9) для функции v получаем граничные условия:

[4M + 0£ ( s ) N ( s»L =[-4M-0£ ( s ) N ( s)qL =g(s;x°j 。)， =0.                                                                 ( 1° )

Функцию 心 j; 儿,乂) будем искать в виде потенциала простого слоя:

(И)

с неизвестной плотностью 〃 (s; 儿,乂).

Тогда второе из условий (10) выполнено. Удовлетворяя первому из условий (10), получим для определения интегральное уравнение

^x^yJ+l^^x^y^K^s^dt = 2g(s;x₀,y₀)_i                  (12)

о где ядро                                   имеет слабую особенность порядка

Таким образом, уравнение (И) является уравнением Фредгольма 2-го рода, поэтому для доказательства его разрешимости достаточно установить, что число -2 не является характеристическим числом ядра K ( £,s). Это доказывается аналогично тому, как это сделано в § 5 гл. II книги [1].

Итак, к уравнению (И) применима теория Фредгольма, следовательно, его решение в классе непрерывных функций существует и записывается в виде

〃 (s ； x°J°) = 2g(s;x°,y°)-4jg("x°j°)N/,s;-2 ) 4,                (13)

о где 7?(£,s;-2)- резольвента ядра K(£,s).

Подставляя (13) в (11), находим функцию          :

v(x X 。 ,у 。) = 2 J g(" X 。,居 ｝g (/), 〃 (/); x,y)dt- о

Функция Грина задачи КТ построена.

• 3.    Решение задачи КТ для уравнения <1)

В статье [2] доказано, что решение задачи КТ доя линейного уравнения (Е) существует, единственно и выражается формулой

X%Jo)= ， (x) °G& ； "J°L x + jp(s ) N ( s ) G«),77 ( s);%jo ) Qs.        (15)

--------------------------МАТЕМАТИКА -------------------------

Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Если функции и %(х,у) непрерывны в D , удовлетворяют одним и тем же краевым условиям (5) и               в D, то % <и₂ (% 2%) всюду в D .

Доказательство. Пусть для определенности 尸(％ -w₂)>0.

Рассмотрим функцию и^(х,у) = и_х{х,у)-и₂(х,у). В силу условий леммы функция %(х,у) непрерывна в D , удовлетворяет нулевым краевым условиям (5) и F ( w₀)> 0 в D. Покажем, что u^(x,y) всюду в D.

Предположим, что в некоторой точке (xj) области D u^{x,y)>Q. В силу непрерывности и^(х,у) в D существует точка М₀(х₀,>-₀) ее положительного максимума. Так как на сегменте [од] %(х,у) 三 0, то М_о е 7?оГ . Но в силу принципа граничного экстремума для уравнений эллиптического типа г/₀(х, у) не может достигать положительного максимума внутри D, следовательно, М_о е Г.

Пусть х₀ = х(§о) ， 乂 =歹(§ 0 )・ Тоща в силу видоизмененного принципа Заремба-Жиро

—w[x(s_o),y(s_o)]>O откуда ^"[x&Iy&U + af&MHGKs 。)] >  0, что противоречит нулевому граничному условию (5) для %(х,у). Следовательно, в 7? не может быть такой точки, в которой u_Q(x,y)>0^ т.е. u^(x,y) всюду в D . Лемма доказана.

Теперь для решения задачи КТ для уравнения (1) построим последовательность функций {z 〃 (xj)} следующим образом.

Пусть z(x,y) - решение задачи КТ для уравнения (Е). Так как 三(工，歹)一 Функция класса R_E , то она ограничена в 方. Пусть М₁ = max|z(x, у). Положим, М = max ( B, кМ ) и определим функцию z° (х, у) как решение задачи КТ для линейного уравнения

+    = / ( */" ) +2^ + 行.                    (16)

дх оу

Все последующие функции определим рекуррентными формулами:

'"* + *-包 =/&У*“т)- 包…           (17)

и подчиним их краевым условиям (5).

Точно так же, как в статье [3], доказывается, что последовательность {z_n{x,y^ равномерно сходится в 7?, а ее предел является искомым решением класса задачи КТ для уравнения (1). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2 Если выполняются условия теоремы 1 и условия (А) и (В) для функции / ( X, у, z), то задача КТ для уравнения (1) имеет единственное решение в классе R_E.