Решение системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с пространственной переменной

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.968                                     

Рассматривается использование метода дополнительного аргумента, предлагается следующая система:

?_^_:^1 = a.2(t)x) d UJ(t,x) + c.^x,u.^X) dUj( t,x) + ^  x,^1,

i = 1,2,    (t,x)eQ₂(T) = [0,T]xR.

Функции в (1) a j (t, x) ^ 0,j = 1,2 и заданы начальные условия:

д ^к U j

-di*

= фJk(x),  к = 0,1, j = 1,2, xER.

t=0

Цель состоит в том, чтобы привести задачу Коши для рассматриваемой системы к интегральной системе с последующим доказательством существования и единственности решения интегральной системы. Для достижения этой цели надо ввести несколько обозначений. Будем использовать следующие обозначения:

g[(t,x, w)

aj(t, x)

[cj(t,x,w) + (-1)l(ajt(t,x) + (-1)l+1aj(t,x)ajx(t,x)],

i,j = 1,2,

riJ(t,x,w) = (-1)l+1

dg{ (t, x, w) dw ’

i,j = 1,2.

Определения пространств функций подробно описаны в работах А. Ж. Аширбаевой, Э.

А. Мамазияевой, М. И. Иманалиев, С. Н. Алексеенко [1-2]. Поэтому не будем подробно останавливаться на определения пространствах функций, используемых в работе. Рассмотрим следующие вспомогательные интегральные уравнения:

pj(s,t,x) = x + (-1у-f^  aj(T,pj(T,t,x))dT, i,j = 1,2,0 < s < t

Из теории интегральных уравнений нам известны, что с функцией aj(t,x) Е C⁽²')(G₂(T)), j = 1,2 интегральные уравнения типа (5) имеют единственные решения [3-4]. Для решений этих интегральных уравнений имеют место следующие уравнения:

rt^+^a^^     „ = 1,2.

ot              J          ox

Используем дополнительное обозначение:

f (t,x;W(t,x)) = (-1)l+1D[(-1)l+1aj(t,x)]g/(t,x,W(t,x)),  i,j = 1,2.

ТЕОРЕМА. Пусть

• 1)    ф^J(x) Е C^~k\R), к = 0,1, j = 1,2, aj(t,x) Е C^^T)), j = 1,2

• 2)    cj(t,x,w) Е C^^T) x R) j = 1,2

И эти функции и их частные производные первого порядка удовлетворяют условию Липшица по аргументу W;

• 3)    функции Fj(t,х,111,112) Е C^22(G2(T) x R2), j=1,2 и удовлетворяют условию Липшица: lFj(t,x,u1,u1) - Fj(t,x,u1,u2)l < Li\u1 - u1\g2(Т) + L2W111 - u^W^Т),   Li = const, i = 1,2.

Тогда существует такое неотрицательное число T*, что задача (1)-(2) имеет единственное решение в C(2 (G2 (T). Мы подтверждаем доказательство теоремы доказательством нескольких лемм.

Лемма 1. Решение задачи (1)-(2) удовлетворяет системе интегральных уравнений, состоящей из следующих 6 неизвестных, и имеет место и обратное:

t

Uj (t, x) = ф0 (pi(0, t, x)) + I BJ(s, pJ(s, t, x))ds;

^J(t,x) =^J(pJ(0,t,xy) + (-1)l+1^g{(t,x,uj(t,xf)uj(t,x') +

1 t             .

+(-1)^l~ I g/(s, p^j(s, t, x), uj(s, p^j(s, t, x))^(s, p^j(s, t, x))ds ² 0

-

• -1 f fi(s, pj(s, t, x); ui(s, pj(s, t,x)))uj(s,pj(s, t, x))ds -20

• 1    t                           .

-n I rlj(s,pJi,uj(s,pj (s, t,x)))uj(s,pj(s, t,x))^j_i(s,pj (s, t,x))ds + 20

+ I Fj(s,pJl(s,t,x),ui(s,pJl(s,t,x')'),u2(s,pJi(s,t,x')')')ds, i,j = 1,2, 0

где [2dj(t,x) + (-1)lgj(t,x,u)uj(t,x)]|t = 0 = ^-(x) i,j = 1,2,

^{(t,x) = D[(-1)laj(t,x)]uj, D[w,v] = w^ + v^.                  (9)

Доказательство.     По     построению,    ф^(p^(0, t, x)) + f -d^lj(s, p^j(s, t, x))ds =

Ф0 (pJ2 (0, t, x)) + f^ ^j(s, pj (s, t, x))ds.

Пусть )(t,x), i,j = 1,2 , — удовлетворяют (6), (7). Тогда дифференцируя (6), (7) с учетом обозначения (9) имеем:

D[(-1)^la_y(t,x)]iij = ){(t,x'),

D[(-1)^l+1a_/-(t,x)])(t,x) = (—1)^l+1-gl(t,x,u))3_-l(t,x) + ¹    /                /

+ (-1)^l-g-(t,x,u))_l^J(t,x) + Fj(t, х,U1,U2),   i.j = 1,2.

Следовательно, из (10), (11) получаем уравнению (1).

Нам удалось доказать первую часть леммы, то есть, что система интегральных уравнений удовлетворяет поставленной задаче (1), (2). То есть решение Системы (6), (7) будет решением задачи (1), (2). Мы должны получать (6), (7) из задачи (1), (2), представленной во второй части леммы. Здесь используется метод дополнительного аргумента. Применения данного метода для систем уравнений первого порядка приведены в работах [5, 6]. Для применения указанного метода мы можем записать уравнение (1) в удобной для нас форме:

D[(—1)^l+1aj(t,x](2)_l^j(t,x) + (—1)^lg^j(t,x,u)u) = (—1)^lg^j(t,x,uj)d_l^j(t,x) -         ⁽¹²⁾

—f^j(t, x; Uj)uj — Г(t, x, Uj)uj(t,x))^j__i(t, x) + 2Fj(t, x, u₁, u₂),   i,j = 1,2.

• (12) дает уравнению (1):

2D [(—1)^l+1a.j (t, x)])(t, x) — Г (t, x, Uj))^J(t, x)uj (t, x) — f (t, x; uj)uj (t, x)

+ +(—1)^lg^J(t,x,uj))_l^J(t,x)

= (—1Уg^J/(t,x,u))^J/(t,x^>) — f_l^j(t,x;uj')uj(t,x')--r_i^j(t,x,Uj))^/_-i(t,x)Uj(t,x)

+ Fj (t, x, u₁, u₂),   i,j, к = 1,2.

Отсюда

2D[(—1)^l+1aj(t,x)])j(t,x) (—1)^l+1g^j(t_lx_lUj))^/_-l(t,x)                     ⁽¹³⁾

+ (—1)^lg^j(t,x,u))^/(t,x) + +2Fj(t, х,u₁,u₂),  i,j = 1,2.

[d²U;(t.x)       ₉ .    . d²U;(t,x)             dUi(t,X)

—^—^aj²⁽t,^x)-^-² + ^(—l)^l-^^D[(^—l^)l+1aj⁽t^,x)^]aj⁽t^,x)l =

= ^(—1yg^Jl⁽t^,x,uj)(

duj (t, x) dt

+ (—1)^l+1aj(t,x)—^j( , )) + (—1')^lg{(t,x,uj) x

J           ox                  l        J

x(

duj(t, x) dt

Ou/(t,x')

+ (—1y aj(t,x~)           + 2Fj(t,x,u1,u2~),   i,j = 1,2.

J         ox

d²Uj⁽t.x)       ₂      .d^jtt.x)            dUj⁽t^,x)

D[(—1~)^l+1aj(t, x)]aj(t, x)]

Отсюда     2 I —^--a,2 (t, x) —7-5— + (—1)l -^-- dt2       j           dx2                dx

2(Cj(t,x,u) +(—1)^lD[(—1)^l+1aj(t,x)]aj(t, x) ^^j^^^,  i,j = 1,2.

Таким образом, мы показали, вторую часть леммы 1. Используем обозначение:

Zj(t,x;uj') = 2)^j(t,x) + (—1)^lg^j(t,x,u)u.

Для (12) используем метод дополнительного аргумента. Следовательно, получаем следующее уравнение, т.е. интегро-дифференциальное уравнение:

z j(t, x; Uj) = ф ^j (pi(0, t, x))

tt

+ (-1) I gj(s,Pj,Uj(s,Pj))dj(s,Pj)ds- I fiJ(s,pj;Uj(s,pj))Uj(s,pj)ds 0

tt

-I ^(s.P^Uj^Pl^Uj^.Pl^i-^s.P^       Fj(s,pi;u(s,pj})ds,i,j

= 1,2.

С помощью операции дифференцирования можно получить из (14) уравнение (13). А (14) с учетом (3), (4) дает нам (7). Для (10) применяя метода дополнительного аргумента, получаем (6). Следует отметить, что для рассматриваемых уравнений также имеют место соответствующие начальные условия (2), (8). Лемма доказана.

Лемма 2. Существует такое неотрицательное число T*+, что система интегральных уравнений (6)-(7) имеет единственное решение в области G2(T*).

Доказательство. Запишем систему (6), (7) в виде:

3(t,x) = A(t,x; 3),

где в = (31,32 31, 32,33, 32) — функции переменных (t, x).

Применены обозначения: 3^ = 3j(t,x),  i,j = 1,2, 3^ = Uj(t,x), j = 1,2;

A=(A},A2,A2,A2,AJ,AJ ), где Aj(t,x;3) ^^(Pfa^x)) + (-1)l+11gj(t,x,0j)e^ +

+ (-1)i 1 Jo ^i (s, Pi, 3 (s, Pi))3j (s, Pj)ds - 1 Jo ft (s, Pj; 3J (s, Pj))33 (s, Pj)ds -

-^Cr^Pi^3J(s,Pj))ds, i,j = 1,2

t

AJj (t, x; 3) = Ф0 (p1 (0, t, x)) + I 31 (s, Pj (s, t, x))ds.

Мы должны доказать, что уравнение (15) имеет в области G2(T*) при неотрицательном T* решение и оно единственно. Норму определим следующим образом: ||3||* = max { I3t(t,x)l, i = 1,2,3}.

(t,X)EG2(T^)     i

Из условий теоремы имеем:

• 1.    A(t,x;0) ограничено.

• 2.    IA(3 )-A(3 ')!^

где L* — некоторая константа, определяемая из норм и коэффициентов Липшица заданных функций.

По принципу сжатых отображений можно утверждать, что лемма 2 доказана. Следовательно, Теорема доказана.

Выводы

Привели задачу Коши для рассматриваемой системы к интегральной системе с последующим доказательством существования и единственности решения интегральной системы. Полученные в статье результаты можно распространить на случай, когда уравнения системы содержат частные производные первого порядка по времени.