Решение системы функциональных уравнений, связанной с аффинной группой

Двуметрическая феноменологически симметричная геометрия двух множеств (ДФС ГДМ) ранга (n+1,2), где n G N, задается на двумерном и 2n-мерном дифференцируемых многообразиях M и N дифференцируемой функцией (двухкомпонентной функцией) f : M х N ^ R2 с открытой и плотной областью определения в M х N, сопоставляющей паре точек два действительных числа [1, 2]. В координатной записи для этой функции f = (f \f2) имеем f = f (x,y,C1,C2,---,C2n) , где (x ,y) и (£1, ^2 , ...,^2n) — локальные координаты в многообразиях M и N соответ ственно.

Дополнительно выполняются две аксиомы:

Аксиома 1. Координатное представление функции f невырождено относительно двух координат x, y и 2 n координат ξ ¹ , ξ ² , . . . , ξ ²ⁿ .

Невырожденность функции f в ее координатном представлении выражается необра-щением в нуль якобианов:

d (f1(i,a),f 2(i,a)) , d (Xi ,y^       = , d (f 1(i1,a),f2(i1,a), ..., f 1(in, a),f 2(in, a)) , „ d «a ,£a ,-^an)             = , где (x), y)) — координаты точки i G M, а (£a, ^,..., £an) — координаты точки a G N.

Аксиома 2. Для плотного и открытого множества точек (i i ,i 2 , ...,i n +1 ,a i , a 2 ) G M ⁿ⁺¹ x N ² все 4( n +1) значений функции f связаны уравнением

Ф (f 1(ii,ai), f 2(ii,ai),..., f 1(in+1, a2),f 2(in+1,a2)) = 0, где Ф = (Ф1, Ф2) — двухкомпонентная регулярная функция 4(n +1) переменных.

Двуметрические феноменологически симметричные геометрии двух множеств появились в работах Ю. И. Кулакова и Г. Г. Михайличенко [3, 4]. Г. Г. Михайличенко получена классификация этих геометрий, которую можно найти в работах [1, 2, 5–7]. Эта классификация содержит две геометрии, которые с точностью до замены координат в многообразиях и преобразования x(f ) ^ f задаются функциями:

для n = 2:

f ¹ = x£ ¹ + y£ ² , f ² = xn ¹ + yn ² ;

для n = 3:

f ¹ = x£ ¹ + y£ ² + £ ³ , f ² = xn ¹ + УП 2 + П ³ .

Заметим, что вторая система функций задает аффинную группу преобразований, а первая — ее подгруппу.

Пусть функция g = (g ¹ ,g²) = g(x,y; £ ¹ ,...,£ ²ⁿ ) задает ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2), а функция f = (f ¹ ,f ² ) = f (x ' ,y ' ; n ¹ ,---,'n ^{2 n} , n ²ⁿ⁺¹ ,n ^{2 n +2} ) задает ДФС ГДМ ранга (n + 2 , 2), где n = 1 , 2 , 3.

Определение [5]. Будем говорить, что ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2) вложена в ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2), если выполняется функциональное соотношение f (x,y';n1,...,n2n,n2n+1,n2n+2) = x (g (x,y;£1,...,£2n),£2n+1,£2n+2), где x = x (g1,g2,£2n+1 ,£2n+2), x' т1 (£1 ,...,£2n,£2n+1,£2n+2) ,..., n2n = т2n+1 (£1     £2n £2n+1 £2n+2\   ^n+Z =

= A ^{1 (}x,y), y ' = A ^{2 (}x,y), n ¹ = T ^{2 n} (£ ¹ ,..., £ ²ⁿ , £ ²ⁿ⁺¹ ,£ ²ⁿ⁺² ), n ²ⁿ⁺¹ = T ²ⁿ⁺² (£ ¹ ,...,£ ²ⁿ ,£ ²ⁿ⁺¹ , £ ²ⁿ⁺² ) — диффе-

ренцируемые функции, причем выполняются неравенства:

_д = d(x ' ,y ' ) ^d(x,y)

= 0,

∂ η ¹ , . . . , η ²ⁿ⁺²

= d (£ ¹ ,...,£ ²ⁿ⁺² ) =^0.

В работе [5] доказано, что в каждую ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2) вложена по крайней мере одна из ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2) , где n = 1, 2, 3 .

В данной статье ставится задача о нахождении всех возможных вложений ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией в ДФС ГДМ ранга (4, 2) с двухкомпонентной функцией f 1 = x^ + yg + р, f2 = xn + yv + т.

Решение этой задачи сводится к решению системы функциональных уравнений.

В работе [8] была решена подобная задача о вложении аддитивной ДФС ГДМ ранга (2, 2) с двухкомпонентной функцией g1 = x + £, g2 = y + n в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией f1 = x^ + yg, f2 = xn + yv;

в работе [7] решена задача вложения мультипликативной ДФС ГДМ ранга (2,2)

g1 = (x + £)y, g2 = (x + £)n в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2)

f1 = x^ + yg, f2 = xn + yv, а в работе [9] решена задача вложения ДФС ГДМ ранга (3,2), связанных с комплексными, двойными и дуальными числами g1 = x^ + eyn + g, 92 = xn + y^ + v, e = -1,1,0

в аффинную ДФС ГДМ ранга (4 , 2)

f ¹ = x^ + yg + p, f ² = xn + yv + т.

В последующем изложении используются более удобные обозначения для координат и функций.

2.    Постановка задачи

Введем матричные обозначения, которые будут использоваться ниже:

^s= ( v g ) , -( n g ) ■ R=(0 ■ ^л= ( ae ) ■  A 1 = ( a 2 ) ,

Bi=. X=:.. X=(x)- x=@), n=(a21 22), причем aij = aij(р,т), bi = bi(p,T) — дифференцируемые функции, i,j = 1, 2. С учетом этих обозначений, исходная система функциональных уравнений принимает следующий вид:

sX + R = x.                              (1)

Вложение оказывается возможным, если система (1) имеет хотя бы одно невырожденное решение, удовлетворяющее следующим двум условиям:

_д=д^=_0! □ = d ; f-ⁿ-^p-^v-^p-^T ; =0.                  (2)

^d(x,y⁾               d ^{( f},n,X^,v,P^,T )

Далее находим невырожденные решения системы (1). Отметим, что матрица s невы рождена, поскольку иначе fv — ПХ = 0, что противоречит неравенству □ = 0 в (2).

Дифференцируем уравнения в системе (1) по переменным x, y, ξ, η, µ, ν:

sXx = fXu + nxv ’ sXy = PXu + vXv ’ s^X + Ri — xxu-  sn X + Rn — xxv-  syX + R^ — yxu-  sv X + Rv — yxv •

Далее, исключая в полученных соотношениях производные χ _u , χ _v , имеем:

sxXx = (f=€ + nSn) X + fRi + nRn, SyXx = (f=M + nsv) X + f Ry + nRv,(6)

sxXy = (ptsi + vsn) -X + XR+ + vRy, syXy = (xsу + vsv) X + RRy + vRv,(7)

Основной результат этой статьи сформулируем в виде теоремы:

Теорема. Общее невырожденное решение системы (1) функциональных уравнений может быть представлено в следующем виде:

X = ЛX + Al, s QHA ■. R = B1 — ПНЛ-1А1, x = Q=X + B1,(8)

причем Л = const , A i = const .

• <1 Рассмотрим сначала случай X _x = const.

Лемма. X x = const тогда и только тогда, когда X y = const .

• < Действительно, если X x = const, то дифференцируя по x первое уравнение в (7), а затем фиксируя переменные f, n, Д, v, р, т, получаем X y = const. Аналогично доказываем и в обратную сторону. Лемма доказана. >

Итак, согласно лемме Xx = const и Xy = const, следовательно X = ЛX + Ai, Л = const, Ai = const, причем по первому неравенству из (2) матрица Л невырождена. Из равенств (3) и (4) тогда вытекает следовательно

x u =

(:Э (

^а 11 (р^,т)

^а 21 ⁽Р^,т )

)

и

X v =

a_a 1₂2₂ =

^а 12 ⁽Р^,т )

^а 22 ⁽ Р^,т )

,

' " С)

+ B 1 = Q=X + B 1 ,

причем, как несложно установить, матрица Q невырождена. С найденным возвращаясь в (3) и (4), получаем S = QSЛ ^-1 . Из (1) тогда получим R = B i — Q^Л ^-1 A 1 . Таким образом, получено решение (8) исходной системы функциональных уравнений.

Далее доказываем теорему, когда X x = const.

Первое равенство в (6) можно разрешить относительно xX _x . Фиксируя затем переменные ξ, η, µ, ν, ρ, τ , получаем систему дифференциальных уравнений для функций x = x(x,y), У = y(x,y):

■X = (a d)X+(a)=AX+(a)-                   (9)

Заметим, что A = S ^-1 (^S ^ + n^n) -

Произведем допустимое структурой функциональных уравнений системы (1) преобразование

X ’ = UX ^ X = U ^-1 X ‘ ,

X X = UX x = UAX + U

αγ

= UAU ^-1 X ‘ + U

αγ

AX (YY)

с невырожденной матрицей U второго порядка.

Система дифференциальных уравнений (9) в прежних обозначениях принимает сле- дующий вид:

xX x = UAU ^-1 X +

αγ .

Хорошо известно (см. [10, с. 485],), что матрица A второго порядка с вещественными элементами преобразованием A ^ UAU ^-1 может быть приведена к одной из пяти вещественных форм:

400), 2>ca), 4a a), ^d),«(:a),    ^»> где в том же порядке: 2) a = 0, 3) a — любое, 4) a = d, 5) b = 0. Решения системы уравнений (9), связанные с формулами (10), будут следующими:

1) x = a In x + x(y), y = - in x + y(y), a 2 + - 2 = 0;	(11)
2) x = x(y)x a — ', y = y(y)x a — -; aa	(12)
3-1) x = x;(y)x a — ', y = (x(y)lnx + y(y))x a — - + ' ; a                              a   a 2	(13)
3-2) x = x(y) + a In x, y = '(l^ + - in x + £ (y)in x + y(y);	(14)
4.1) x = x(y)x a — ', у = y(y)x d — -; ad	(15)
4.2) x = x(y)x a — ', y = - in x + y(y); a	(16)
4.3) x = a in x + x(y), y = y(y)x d — -; d	(17)
5) ( x = (x(y)sin(binx) + y(y)cos(b in x))x a aO-^ , I y = (x(y)cos(b in x)    y(y)sin(b in x))x a    a^ .	(18)

Далее функции (11)–(18) подставляем в уравнения из (6) и (7).

Случай 1). В матричном виде систему (11) записываем так:

■ x(a)+(#

Тогда второе уравнение из (6) принимает следующий вид:

x (a)=s-1 («s,+п^v) (in x (a)+(?))+s «R + nR), следовательно a = y = 0, что недопустимо, т. е. случай 1) не дает невырожденное решение исходной системы функциональных уравнений.

Случай 2). Рассуждаем как и выше. В матричном виде система (12) записывается так:

X = xa    - 1 В кyW а

Значит второе уравнение из (6) принимает следующий вид:

a^yx ^{a 1} (xW=^{s 1} («^{s - + n s v} ) (x ^a (IS) — ¹ (^a))^{+s 1 (e}R ^{M + n}R ) •

При a = 1 получаем x(y) = y(y) = 0, что недопустимо ввиду первого неравенства из (2). При a = 1 имеем s—1 («s -+ns v) ш=», следовательно последняя система принимает вид:

y (й)) = — ^{s -1} ( «^s - + n ^s v) (a) +^s—^R " +nR- )•

Фиксируя далее переменные «, n, У , v , p, т, получаем x(y) = y , y(y) = y , следовательно для (12) имеем x = в x — a, У = & x — Y- В таком случае легко заметить, что первое неравество в (2) не выполняется. Противоречие.

Аналогичными рассуждениями получаем противоречия в случаях 3.1), 3.2), 4.1), 4.2), 4.3).

Осталось проверить случай 5). (18) записываем в матричном виде

X = x^a('

V

sin b in x cos b in x cos b in x — sin b in x

} (x^ _

)

a²+ b²

/а —b\ /a\ ba γ^.

Значит второе уравнение из (6) принимает следующий вид:

ayx

a-1

sin b in x cos b in x

cos b in x — sin b in x

\ (x(y)\ J {y(y)J

+ byx^a-1

cos b in x — sin b in x

—

—

sin b in x cosbinx

} (s(y)A

J \y(y)J

sin b in x

¹«s- + n=v) x^a

' ^-         \   \cos b in x

cos b in x — sin b in x

\ (£(уЛ _

J \y(y)J

a²+ b²

a_b —_ab   a_y

+ S^-1(«R- + nR-).

Легко заметить, что x(y) = y(y) = 0, что недопустимо ввиду первого неравенства из (2).

Противоречие.

Теорема доказана полностью. ⊲

3.    Заключение

Сформулированная выше задача вложения полностью решена. Можно также сформулировать и решить задачу вложения и для других вариантов геометрий двух множеств, например, для ДФС ГДМ ранга (3,2) с двухкомпонентной функцией f1 = x£1 + £2, f2 = xn1 + y(€1)c + n2, c = 0

в ДФС ГДМ ранга (4,2) с двухкомпонентной функцией f1 = x£1 + y£2 + £3, f2 = xn1 + yn2 + n3-