Решение уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу дробного порядка

Классическое уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу (ЭПД) имеет вид du + у du = ddxu, u = u(x,t), x e R t> o, y e R.             (1)

Оператор, действующий переменной t в (1), — это оператор Бесселя ( B y ) _t = ^dt 2 + "t"lt (см. [1]).

• ^# Первый автор поддержан Министерством науки и высшего образования РФ, соглашение № 07502-2022-890.

Уравнение (1) рассматривается как модель случайных полетов (см. [2–8]). Первый вклад в этой области был сделан С. Гольдштейном [2] (1951). Он рассмотрел простейшее случайное блуждание по вещественной прямой, при котором частица, помещенная в начало координат в момент времени 0, движется с двумя конечными скоростями ±А, изменяя свою текущую скорость в соответствии с простейшим пуассоновским процессом с постоянным параметром µ. Он обнаружил, что распределение частиц положения x в течение t является решением телеграфного уравнения вида д2 и     ди 2 д2 и дt2 "*" ^ dt       дх2 '

Затем эта модель была подробно исследована М. Кацем в [3] и Э. Орсингером в [4, 5]. Естественные обобщения на случай пуассоновского процесса с функцией интенсивности А = A ( t ) G C ¹ ( R ) и на многомерный случай были исследованы в [6-9]. Модели случайных блужданий с дробными производными рассматривались в [10, 11].

В [12] было показано, что уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу вида д2 + Y^ = A2|xu,    и = и(х, t), a > 0, t > 0, х G R,

определяет вероятностный закон случайного блуждания на R. Явное распределение и(х, t) положения произвольно движущихся частиц получено путем решения исходных задач для уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу (2).

В работе [8] дробное диффузионно-волновое уравнение

(*u + 2^) ^a u = А2 222,    u = u ( x,t ) , X G R, t> 0 , 0 1 ,

A дt²    t дt /          дх ²

было получено как модель случайного блуждания. При a G (0 , 1 / 2) частица движется в среднем медленнее, чем при рассмотрении модели (2), которая соответствует a = 1 . Для a G (1 / 2 , 1) частица в среднем движется быстрее.

В данной статье дробное уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу вида (3) с дополнительными условиями для 0 < a С 1 / 2 решено операционным методом.

2.    Специальные функции

Прежде всего дадим определения некоторых специальных функций, которые будем использовать.

Модифицированные функции Бесселя (или гиперболические функции Бесселя) пер вого и второго рода I_v ( х ) и K _v ( х ) определяются как (см. [13])

Л         1         /х\2m+v

I^v(х) = i W = £ m _!r( m + V +1) (2)    ,             ⁽⁴⁾

m=0     v           7

= n I-v ( х ) — 1а ( х )

2 sin(vn)

где ν — нецелое. Для определения этих функций при целых значениях α используется предельный переход. Очевидно, что K_v ( х ) = K _{- v} ( х ) . При малых значениях аргумента 0 <  | х | ^ V V + 1 имеем асимптотическую формулу

Kv ( х ) ~

I

- in . -

r(v)

2 ^{1 - v}

-ν

ϑ,

v = 0, v > 0,

где

^ = lim (—In n + £ 1) = 7f - 1 +    )

dx

ⁿ ' ^x             k= к 1 x     L x J

— постоянная Эйлера — Маскерони [14].

Асимптотическое поведение функции Бесселя K _v ( z ) на бесконечности можно описать следующей формулой:

При V = 2 получим

^K = e ■ O© )-

| z | → ∞ .

K 2 ⁽x ) = ^— x

Ядром левосторонней дробной производной Бесселя на полуоси является гипергео метрическая функция Гаусса, которая внутри круга | z | < 1 определяется как сумма гипергеометрического ряда (см. [14, с. 373, формула 15.3.1])

р h             h        ^{X ( a )k( b )k} zk

2F1 (a, b; c; z) = F(a, b, c;z) = 2^ —Л—TT, k=0 (c)k   k а при |z| ^ 1 определяется аналитическим продолжением этого ряда. В (9) параметры a, b, c и переменная z могут быть комплексными и c = 0, —1, —2,... Множитель (a)k является символом Похгаммера (z)n = z(z + 1)... (z + n — 1), n = 1, 2,... , (z)o = 1.

Функция Миттаг — Леффлера E _a,e ( z ) является целой функцией порядка 1 /a, определяемой при Re а >  0 следующим рядом:

∞    zn

E a,e ( z ) =           Т^-^, z ^G C, а, в € C, Re а> 0 , Re в> 0 .

n=or(an+в)

Пусть z,р, в € C. Функция ^ ( р, в ; z ) определятся формулой (см. [15, с. 353, формула E.36’] и [16, с. 209, формула (7.1.1)])

, . . А 1      zk

^’^ ²⁾=£ ^Г < Рк + в ) к ! '

Если р >  — 1 , то ряд в (11) сходится абсолютно для всех z € C. При р = — 1 этот ряд сходится абсолютно при | z | <  1 . Если р = — 1 и | z | = 1 , то ряд в (11) сходится абсолютно при Re в >  — 1 . Кроме того, для р >  — 1 , ^ ( р, в ; z ) является целой функцией z. При действительных значениях аргумента z функция (11) рассматривалась в [17].

При р = 1 и в = V + 1 функция ^(а,в; ± z²/ 4) выражается через функции Бесселя J _v ( z ) и I_v ( z ) следующим образом:

ϕ

(^{1V + 1;—} у) = (|) JvИ,

, (1V + _1;<) = (|) "i„ ( z ) .

Для целых чисел m, n, p, q таких, что 0 С m С q, 0 С n С p, ai, bj € C и для ai, вj € R ₊ (i = 1 , 2 ,... ,p; j = 1 , 2 ,..., q), H-функция Hpmqn ( z ) определяется через интеграл типа Меллина — Барнса в виде [18]

m,n        m,n p,q (z) = p,q

z

J ⁽ai, ^ai ) 1,p, 1 ^(bj, ^в j ) i,q

2- IHpm-^ z-s ds,

L

где

Пусть

n r( bj + ejs ) fl r(1 - ai - ais )

mVntsAj_i= p,q (S)        pq

П r(ai + aiS) П Г(1 - bj - ejs) i=n+1

npmq

a* = Eai - £ ai + £ej - E ej, i=1     i=n+1     j=1j=m+1

qp

A = E^ - Eai, j=1i=1

qp д = E bj- E ai+ pE j=1i=1

Тогда H -функция H mqn ( z ) имеет смысл в случае А >  0 , z = 0 , L = L -^ — левая петля, расположенная на горизонтальной полосе, начинающаяся в точке -то + i^ 1 и заканчивающаяся в точке -то + i^2 с -то < ^1 < ^2 <  + то . Другие случаи существования H mqn ( z ) представлены в [18, с. 4, теорема 1.1].

Есть следующая связь между Вр, в ; z ) и H mqn ( z ) [17, с. 60, формула 2]:

ВрВ; ^z) = H O,^{0 -z}

(0 , 1) , (1 - в,р )

В [18, с. 33] приведена следующая формула дифференцирования H -функции:

f d ^ / ~шттт,п Г „г ^{( a} i ,^a i ) 1,p 11 _ ш-кттт,п+1 Г г ^{( ш},^{у )} , ^{( a} i ,^a i ) 1,p 1

V dz) \ p'q c      (b j ,ej ) 1,q В z      p⁺¹’^q+1 c      ( bj J3j ) 1,q, ( k - ^,^ ) J

3.    Интегральные преобразования, оператор Пуассона и дробный интеграл Римана — Лиувилля

В этом разделе приведем интегральные преобразования Лапласа и Мейера и выпишем формулу из связи посредством оператора преобразования Пуассона. Также приведем теорему, в которой вычисляется дробный интеграл Римана — Лиувилля от ^⁽р^,в ; ^-z).

Для преобразования Лапласа функции ^ ( р, в ; kt ^a ) известна следующая формула (см. [19]):

( Ltt^{e - 1}^ ( p,e ; - kt^a ) ) ( т ) = Т ^{- в} e - k" ^- .                       (15)

Чтобы использовать операционный метод для решения дифференциальных уравнений с дробной степенью оператора Бесселя необходимо найти удобное интегральное преобразование. В нашем случае — это интегральное преобразование с модифицированной функцией Бесселя (5) в ядре.

Для функции f : R+ ^ C интегральное преобразование, с функцией Бесселя K _v , v ^ 0 , в ядре есть преобразование Мейера, определяемое формулой (см. [20, с. 93])

∞

K v [ f ]«) =

j VX^-K^ ( x^ ) f ( x ) dx.

Условие v ^ 0 не является ограничивающим, так как K _v = K _{- v} .

Для наших целей удобно использовать следующую модификацию преобразования

Мейера:

∞

Ky [ f 1(0 = /

γ+1

x ^" K y-1 ( x^ ) f ( x ) dx.

Принимая во внимание (8) и тот факт, что K _v = K - _v , при y = 0 и Y = 2 получим

∞

K o[f 1(0 = ^/ e - x f ( x ) dx = 2^ LL [f ( x )](a 0

∞

K2 [f 1(0 = 2^/xe - x f (x) dx = ^ L [xf МШ 0

где L [f ( x )]( £) — преобразование Лапласа.

Пусть f E Ll^oc ( R+ ) и f ( t ) = o (V^е 2) при t ^ +0 , где в > 2 - 2 , если Y >  1 и в >  - 1 , если Y = 1 . Кроме того, пусть f ( t ) = 0( e^at ) при t ^ + w . Тогда преобразование Мейера функции f существует почти всюду для Re £ > a (см. [20, с. 94]). Класс таких функций обозначим K γ .

Если 0 < Y <  2 , F ( £ ) аналитична в полуплоскости H a = { p E C : Re p ^ a } , a ^ 0 и s 2 ^{- 1}F ( £ ) ^ 0 , | £ | ^ + то равномерно по arg s, то для любого числа c такого, что c > a , существует обратное преобразование K _γ ^{- 1} , которое имеет вид (см. [20, с. 94])

c+i∞

K fxV f ( x ) = - I N ) i Y - 1 И)Г d^.            (18)

^γ                      πi              2

c-i∞

Формула обращения (18) не удобна для вычислений и имеет условие 0 < Y <  2 . Здесь представим другую формулу обращения, использующую оператор преобразования Пуассона.

Чтобы упростить процесс восстановления функции по ее преобразованию Мейера, будем использовать оператор Пуассона вида

pxf (x) =  p f (t))(x) =

x

^ xX-r /( ^x2^- t² ) ^{2 - 1 f (t) dt},

C (Y) =

^Г (tt¹)

vn Г (})■

Левый обратный к (19) при Y >  0 для любой функции H ( x ) E C n определяется как

x

( Px ) ^{- 1}H ( x ) =       ²^x ----т(НтУ I H ⁽z ) ⁽x² - z² ) "- ^{2 -1} z ^Y dz-

г X²^) г (n - 2 ⁾ V^2xdxV 0

где n = [2] + 1 .

Оператор преобразования Пуассона является разновидностью оператора дробного интегрирования Эрдейи — Кобера, а его обращение является разновидностью дробной производной Эрдейи — Кобера [21].

Используя представление функции Kν из [13, с. 190, формула (4)] вида

∞

K ^{v( x4 )} =г ( V + 2 ) (2x) /e ^{- €}z⁽z² x

- x² ) ^v 2 dz

и оператор Пуассона (19), можем записать x Y22~ KY-1 (x4) =

^√ π xξ ^{γ -} 2 ¹

^{2 1 - 1} г ( Y )

∞

У e-^z(z2 - x2) 2—1 dz x и получить следующее представление преобразования Мейера:

γ - 1

K [ f 1«)

πξ 2

(L■ '' PY zf (z) ( 4 ) .

2 ' Г ( ^Y+¹ )

Наконец,

γ - 1 2

K [f ]( 4 ) = Y +1 ⁴ / ₊ A Lz^{Y - 1} P zf (z) ( 4 ) , ^2г W

где L — преобразование Лапласа.

Представление (21) — это частный случай более общего представления преобразования Обрешкова с оператором Пуассона — Димовски. Операторы Пуассона — Димовски и Сонина — Димовски обобщают оператор Пуассона в смысле дробного интегродифференцирования по Киряковой (см. [15, часть 3]).

Для 9 >  0 дробный интеграл Римана — Лиувилля определяется следующим образом (см. [21]): ∞

( I- f ) ( x ) = г(1 9 ) / f (^t')(^t - x^-1 dt’ x >  0 "

x

Далее нам понадобится формула дробного интеграла Римана — Лиувилля от z^ш ^(р,в; - z^ ) , которая следует из [18, с. 52, теорема 2.7].

Теорема 1. Пусть 9 >  0 , ш Е R , ст >  0 и р <  1 . Если ш + 9 <  0 , тогда дробный интеграл I — функции z^uф(р, в ; - z^CT ) существует и

(I — р " _Ф(р,^в - p ’ )) ( w ) = (I— p " Н ,2 [p’ | ₍ 0 , 1) , ( -- в, p ) ]) ( w )

= w"⁺⁶ H 1,3 [w’

^{(- ш}’ ^ст)

^(-ш — ⁹’^{ст )} ’ ^(0, 1) ’⁽¹ — ^в’^р)

Пусть а >  0 , y >  0 . Левосторонний дробный интеграл Бесселя на полуоси B y 0+ для f E L [0 , то ) определяется формулой

( в-а ₊ f )( х ) = ( 1ва,о+ f )(х)

• ¹    [ ( y v (x ²- y ² V^a-1    ( । y ^{- 1} о 1 у ² \^\д        ⁽²³⁾

= г(м 1 Ы 2        ²F 2 '^а;2а;1- —ч f ^(у)dy.

Свойства (23) приведены в [24].

Пусть n = [а] +1, f eL[0, то), I BY--f, I BY--f EC2n(0, то). Определим левую дробную производную Бесселя на полуоси равенством

(ва,о+f )(—) = (^о+BYf )(х), где BYn = (d^ + ХдХс^ — интегрированный оператор Бесселя.

В [23] были введены пространства, адаптированные для работы с операторами вида

B '. + ■ a E R:

Fp = / ^ E C “ (0 , то ) : —^k —^ E Lp (0 , то ), к = 0 , 1 , 2 ,... 1 , 1 <  р <  то , dx

F “ = / у E C “ (0 , то ) : xkd-^k ^ 0 , х ^ + , х ^ то , к = 0 , 1 , 2 ,... ^

и

F p,^ = { ^ : - ^( х ) E Fp } , 1 <  р <  то , ц E C .

Приведем теорему, которая является частным случаем теоремы из [23].

Теорема 2. Пусть а E R . Для всех р, ц и y >  0 таких, что ц = 1 - 2m, y= p — ц — 2 m +1 , m = 1 , 2 ,..., оператор B ^ao+ является непрерывным линейным отображением из F p , ц в F _p,_{p - 2 a} . Если, кроме того, 2 а = ц — p + 2 m и y — 2 а = p — ц — 2 m + 1 , m = 1 , 2 ... , то B Y о+ — гомеоморфизм из F p , ц на F _p,_{p -} 2_a с обратным оператором B ^- а+ -

Несмотря на то, что операторы (23)–(24) изучались, не существовало удобного инструмента для решения дифференциальных уравнений с дробными степенями оператора Бесселя. Впервые такой инструмент, представляющий собой преобразование (17), был предложен в статье [25]. Вот некоторые результаты из [25], которые будут использованы в дальнейшем. Далее, применяя преобразование Мейера, предполагаем, что функции, к которым оно применяется, из класса K γ .

Теорема 3. Пусть а >  0 . Преобразование Мейера (17) оператора B Y ^- а+ имеет вид

Ky[ (iBa, о+f) ( ->]« )= ^ - 2^aKY f ( ^ ) .

Теорема 4. Пусть n E N , dd [Bn k f ( — )] ограничено, преобразование Мейера оператора B Y f существует и при y = 1 определяется формулой

γ - 1                 n

Ky [B Y f ]« )= £ ^{2 n} Ky [ f ]«) —

(i) ^{2 r} C²^) ^1 £^{2k - 2}BY ^{- k}f (0+) -

Если dx [B n k f ( — ) ] ~ —^в , в >  0 при — ^ 0+ , то (26) верно и при y = 1 .

Класс Cm = Cm(R) состоит из всех функций из Cm(R) таких, что d—f I   = 0 для dxi    lx=0

всех неотрицательных целых k ^ m— (см. [1, с. 21]).

Для y = 0 , f Е C2n получим

∞

K f МШ = J^f e -x f ( x ) dx = J^ L ^[f ( x )K 5 )

и

L       f ( x)l

[dx2n     J

( e ) = e²ⁿL [ f ]«)

2n—1

y^ e k f (2n—k—1)

(0+)

k=0

= e²ⁿL [ f ]( e ) - f^{(2n - 1)} (o+) - sf ^{(2n - 2)} (o+) - s²f ^{(2n - 3)} (o+)

- s 3 f ^{(2n - 4)} (o+) - s⁴f ^{(2n - 5)} (o+) - s⁵f ^{(2n - 6)} (o+) e^{2n - 2}f ‘ (o+) - e^{2n - 1}f (o+) .

Поскольку f Е C en, получим f ‘ (o+) = f ‘‘‘ (o+) = ••• = f ^{(2n — 5)} (o+) = f ^{(2n - 3)} (o+) = f ^{(2n - 1)} (o+) = o , тогда

2n l      f(x) (e)=e2“L[f](e) - sff2“-2)(o+)

dx

- s³ f ^{(2n - 4)} (o+) - s⁵f ^{(2n - 6)} (o+) e2n ^— 1f (o+)

= e²ⁿL [ f ]( e ) - ^£ s^{2k - 1}f ^{(2n - 2k)} (o+) = { m = n - k } k=1

n-1

= e²ⁿ l [ f ic e )

- ^£ gsC—m-Xf ^(2m) (o+) .

Следовательно,

2n

L dnrf ( x ) dx²ⁿ

n-1

( e ) = e²ⁿ l [ f ]( e ) - ^ s²⁽n ^- m^{) - 1}f ^(2m) (o+) .

С другой стороны,

\[ KKo\ B f ]( e ) = /f ( e²ⁿKo [ f ]( e ) - 2| £ e²<- ^{— m) — 2} B o f (o+)) m=0

= П1 (e ²"Лё l ^[f c x )]c e ) - Vl^ ^£ e ⁸"— ^{m) — 2} B m f -oi,)

m=0

n-1

= e²ⁿ l [ f ( x )]( e ) - ^ e?^^ ^- f ^{(2 m )} (o+).

Это подтверждает, что преобразование Мейера обобщает преобразование Лапласа.

Теорема 5. Пусть n = [ a ] + 1 для дробных а и n = а для а Е N , k Е N , dd [ B^ f ( x )] ограничено. Тогда преобразование Мейера B’ ^o+ f существует при Y = 1 и имеет вид

^{Y — 1}              n—1

к [ в а_{Л +} / ]( e ) = e ² “ k , [ fKe ) - (0   г (2 +_) 55 e^{2(a — m) — 2} B 'm f (o+) .     (27)

Если dx [ B^ f ( x )] ~ x^e , в >  o при x ^ o+ , то (27) справедливо и для y = 1 .

Теперь, когда у нас есть инструмент для решения дифференциальных уравнений с дробным оператором Бесселя, переходим к решению дробного уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу.

• 5.    Дробное уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу

А. Н. Герасимов [26] вывел для задачи вязкоупругости и решил уравнение в частных производных дробного порядка вида

∂2βu∂

„ 9Д = D-—у.     u = u(x,t), x € R, t > 0, 0 < в.(28)

∂t2β∂x

Рассмотрим сначала простейший одномерный случай, когда u = u(x,t) , x € R, t ^ 0 ,

,                      о d2u

( B y,o+ ) t u(x,t) = A² dx2, 0 ^ a 0 ,

с условиями Коши

u(x, 0) = f (x).(30)

Теорема 6. Пусть 0 < a ^ 2 , A >  0 , тогда решение задачи (29) - (30) имеет вид

∞

^{u ( x,t )} = j GY^{( x} - €^,t)f(4) d^4,

-∞ где

G^Y(x              ²    t—^YH2’0 Г ^1x1 t—^Y ,            ( 1 — 2 ’ 2 )              1

G^{Y ( x,t )}   A V n 2 1—Y t H14 At ( 1 - V , “ ) , (0 , 1) , (a - Y, - a) J'

при условии, что интеграл в правой части (31) сходится.

<1 Применяя преобразование Мейера (16) по t и учитывая условия Коши (30), полу- тK)tu(x,t))(T) - т2Y-1-Yf (x) = A2((Ky)tUxx(x,t))(T).

Теперь, применяя преобразование Фурье по x к обеим частям последнего равенства, будем иметь т2y((Ky)tFxu(x,t))(T,e) - т2Y-1-Yf«) = -^2A2((KyVxu(x,t))(T,e)

и

(( K y ) t F x u(x,t))(т,^) =

_т ^{2y - 1 -}Y _^^ т 2Y + A²^^{2 f(}^^)-

По формуле 6.2.13 из [18, с. 363] получим

τ 2α-1-γ т 2Y + A2^2

τ α-γ-1

2 A

(F,e ^- | T ^{I Ta}) ( 4 ) ,

и в соответствии со свойством свертки

2α-1-γ             α-γ-1           _|x|

(( K, ) t F x u O x.t))^ ) = 2YY      f (0 = —— ^Fe - -^T ) ( 4 )f ( 4 )

т + A 4           2A   \          /

=          ( F- ( e-“т ^a - f ( x ) )) ( 4 ) -

Применяя обратное преобразование Фурье, получаем следующее соотношение:

τα-γ-1        _{|x| α}

( ^{( K} Y ) tu ( x,t ) ) ( ^T ) =    _{2 A} e - A ^T * x f ( x)) .

Используя представление (21), получим

_{2 Y Г} 2 П Y++1 ^{) ( L} t ^{Y -1} P^{Y tu ( x},t ⁾ ) ^{( t} ) = ^T-2_A— ( e -^ ^{T a} * x f^(x) )

и

Г2 ( т±1А tY-1PYtu(x,t) = n2\-Y^ ((LT-1Ta-Y-1e-Ta) (t) *x f(x)) .

Применяя обратное преобразование Лапласа и учитывая (15), можно записать r2 №)     /             iii \ tY-1 PYY tu(x, t)

= <  A*?-“ ^ (-a, 1 + Y - a ; -U t     . . f ( x )

и

u ( x, t ) =

Г2    '

An 2 ^{1 -} ?t

Pt )^{- 1}t^{1 -}>

(-a,¹ + Y

- a ; -| X | t^-^) ^ f ( x)) .

Найдем

( P? ^t¹"^

- a, 1 + Y

-

;

-

И ,-«) =

2 ^ nt

^Г ( ?+1 ) ^Г ( n - Y )

d ⁿ

2 tdt) I“'^{Y( x,t ; л),}

где n = [2] + 1 ,

t

I_a,_Y ( x,t ; A ) = I z¹+? ^{- a}^

- a, 1 + Y

-

;

-l A l z ^{- a}) ⁽ t² - z^{2 ) n - 2 - 1} dz.

Для интеграла I_a,? ( x,t ; A ) получим

t

I_a,_Y ( x,t ; A ) = I z^{1+7 - a}y

- a, 1 + Y

| x | _{- α 2}

t-a ;           z

λ

- z² ) ^{n Y} 1 dz

t ²

1 f Y ^-a / =2/y ² 4

- a, 1 + Y

| x | α

a ; - А У-2 ) (t

-

y ) ⁿ

γ

1dy.

Здесь мы произвели замену переменной z² = у . Теперь положим

| x | α 1 λy

= р, тогда

I_a,_Y ( x, t ; А )

γ+2 _-      ∞                                                     2     n- ^γ ₂ -1

=2 (| А |)"     / p“ ^{- 2р} ( ^-a-^{1+ y} - ^a;- p*)( t² - (|т)’ p )      ^dp

/ l x I \ ^a 1

λ t2

t^{2n - Y - 2 (} | x | A ^Y^ ^{- 1} 7     a__n_ ⁽                  a \(    ⁽ | x | A ^a 1 V- ^{2 - 1}

^{p 2      p} (^-a, ^{1+ Y - a; -p 2}) (^^p-( t2)      ^dp.

() ² 12

Обозначая w = ⁽ n ^— 2 ^{) :}

(■) ^a

-p , получаем дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка

I_a,_Y ( x, t ; А )

t2n-γ-2

Y+2 -i ^

(^⁾ “" / p a -1p w

—— a, 1+ y — a; — p²^ (p — w) ^{n 2 1} dp

= ^r ( n^— 2 ) t^-2— (| А |)      ( In ² p ² n ^{1 ф} ( ^{— a}, ¹⁺ y ^—a ; ^—p ² )) ^(w)‘

Используя (22), будем иметь

9 = n — 2 >  0 , a = — >  0 , ш = — — n — 1 , ш + 9 = —^2 — 1 <  o , p = - a <  1

и

(in ^{- Y} p»

n 1

P —-a, ¹ + y

-

a;

— p “)) (w)

=w

α - γ

—2—

1    2,0

^H 1,3

w 2

(n ^{+1 — a} , 12)

( 1 ^{— a}2"^Y, 12 ) ,^(0, ^I ^{( a — Y}, ^—a)

Следовательно,

Ia,Y (x,t; А ) = Г nn — 2^

_t 2n α 2

2,0

^H 1,3

| x_λ | _t

α

(n +1 — 2,12)

( 1 ^{— a}2^Y, 12 ) ,^(0, 1) ,^{(a — Y}, ^—a)

Наконец,

( PY ) - 1t^{1 - a} p

—a, 1 + y

; —И t -^a) =

2 ^ nt

^Г (^) ^Г ( n — Y )

dn

2 tdt) I^a’⁷ ( x’t ; ^A)

πt       d ⁿ 2n-α 2,0   | x |

= _Г ⁽ y+1 ⁾ <2tdty t     H 1’4 At

(n +1 — 2, t)

( 1 ^— ^r¹ ,12 ) ,^(0, 1) ,^{(a — Y},^—a)

Теперь, используя формулу

( d ^{) n} 2n+_+S= ^Г (n ^{+ 1 +}<) в

2tdt) t г ( 1 + 2 ⁾

и интеграл типа Меллина — Барнса (12), вычисляем производную в последнем представ лении (P- )-1 t1-ap ——a, 1 + Y — a; — |x|t-a^ . Получаем

d

2 tdt

n

_t2n-α _H 2,0

| x_λ | _t

-

α

n

n+1

-

α _{2 ,}α ₂

(1 — V, 2) , (0 , 1) , ( a

-

γ,

— a )

=

2 tdt

t2n-α

2- / H:2№ (Й t^-a)

s

ds

L

=t

α

2 ni / Н²^⁰ * ’ )

Г (n + 1

-

a + a ’

L

r(i

-

a + as)

| _λx | _t-α

s

ds.

Поскольку

H (n + 1 - a + a,) =        , , - “ + a s) ^r ( s )

^1,3      Г ( 1 — “ + а s ) Г ( n + 1 — “ + as ) Г(1 — a + y + as )

_x г ( n + 1 — a + as )         Г ( 1 — “^ + “s ) r( s )

Г ( 1 — “ + “s )      Г ( 1 — “ + “s ) Г(1 — a + y + as )

будем иметь

( d Г _f2n-a 2,0 | XL

V Mt) t H 13 xt

(^{n + 1 —} “ ’ 7)

( 1 ^{— a}2^Y’ “ ) ’⁽⁰’ 1) ,^{(a — y}’ ^—a)

= t - “ H 2:0 [iy t - “

-    (1 — a ’ 2)              1 ( 1 — “r2’ “ ) ’(0, 1) ’(a — y’ —a)

и

u^(x,t) = AV»^ ( t “ H ²-⁰ [ Vt

⁽! _a-U 1 ₍₀“,“V,  J*x f ( *)) •▻

, 2 , ⁽ , ) , ^(a        , ^a)

В [27, с. 375, следствие 6.5] решение задачи Коши

дано в виде

где

∂2u

(CD0+u) ( x,t ) = А² dx 2 ,  x € R, t> 0 , A> 0 ,

u ( x, 0) = f ( x ) ,   0 <  ¹

∞

u(x.t) = /

G“ ( x — €,t ) f «) d^,

-∞

G“ ( x,t ) = ^Y t - “ v

t-“

La,         La *

λ

При y = 0 вместо (29)-(30) получим (32)-(33) и решение (31) при y = 0 будет иметь вид

u ( x,t )= у G“ ( x — e,t ) f«) d^,

-∞ где

Q“U + A _ ^Г ( 2 ) ^“_H2,0 l x ( 1 ^— 2 , 2 )

^{0 (,)}    A V n 2 t     1’ ³[ At       ( 1 — “ , “ ) , (0 , 1) , ( a, — a ) J

= ¹ t-“ H ^1,0 [ ^|x| t-“         ^—         1

2A       0,2 A (0,1), (a, —a) J ’ которое совпадает с (34). Здесь мы применили формулу 2.1.2 из [18, с. 31], формулу (13) и соотношение Г(1/2) = ^П.

6.    Заключение

Роль высших трансцендентных функций как в чистой математике, так и в многочисленных приложениях постоянно возрастает. Одним из ярких примеров такого рода является теория интегралов и производных нецелого порядка (дробное исчисление) и ее приложения. В рамках этой теории, и особенно для аналитических решений дробных ОДУ и УЧП, некоторые частные случаи высших трансцендентных функций стали чрезвычайно важными, включая функцию Миттаг-Леффлёра и ее обобщения, функцию Фокса — Райта и H -функцию. В этой статье мы получили представление решения дробных дифференциальных уравнений с дробным оператором Бесселя через H -функцию.