Решение задач методом логических выражений

В логике высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логики данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями. Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, и определим формальные правила обращения с высказываниями. Считая, что если А = 0, то высказывание ложно, и наоборот. Однозначность построения формул и определения порядка действий будем достигать использованием скобок () – это технические знаки.

Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквы латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным высказыванием . Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. никакое другое высказывание не входит в него в качестве его части.

Единственное свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, – это его истинностное значение . Никакого другого конкретного содержания элементарное высказывание не имеет.

Для логической операции «отрицание» таблица истинности выглядит следующим образом:

Иллюстрацией отрицания в естественном языке служит частица «не» или слова «неверно, что».

Введем еще одну логическую операцию, определив ее словесно следующим образом. Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Эта логическая операция называется еще логическим умножением, или логическим минимумом. Выпишем таблицу истинности для конъюнкции:

В естественном языке эта операция чаще всего интерпретируется союзом «и».

Еще одной из логических операций является операция дизъюнкции . Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Обозначается эта операция знаком и иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

Следующая логическая операция, которую мы рассмотрим, – это операция импликации . Импликация ложна тогда и только тогда, когда А – истинно, а B – ложно.

Это выражение читается так: если А , то B . В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя сущности.

Еще одной из логических операций является операция эквивалентность. Она истинна только тогда, когда значения А и B совпадают. Эту операцию еще иногда называют логическим равенством:

В математических терминах эта операция интерпретируется в качестве фраз «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Такая форма тоже очень часто используется в формулировке теорем.

Строгое, математически точное построение логических исчислений, решение проблемы дедукции, аксиоматические системы и доказательство теорем в их рамках прививают учащимся навыки работы с математическими объектами, математическую строгость мышления, совершенно необходимую для исследовательской работы в области математики и других точных наук. В то же время быстрое развитие вычислительной техники способствует расширению как круга задач, решаемых с помощью математической логики, так и методов, применяемых для их решения.