Решение задач приближении аналитически заданных функций и алгоритмическая реализация экспоненциально-степенные аппроксимации

Математическое и программное обеспечение вычислительных средств всё время остаётся прблемной. С этой точки зрения для измерительных системах требуется специальный алгоритмы. В конечном итоге совмешает с пробемой разработкой       быстродействующий алгоритмом для специализированных цифровых вычислительных машинах. Разработка методов численного решения задач аппроксимации, а также приложениям этих методов при преобразованиях, передаче сигналов и создании устройств новой техники посвящены работы [1-4,6].

Для создания необходимой алгоритмов следует предварительно изучить свойства различных классов нелинейных приближений и построить вычислительные алгоритмы для нахождения параметров таких приближений. Необходимость использования нелинейных приближений и сплайнов возникает в связи с тем, что реальные физические процессы могут описываться почти любыми возможными аналитическими зависимостями, которые мы будем исследовать следующими выражениями и сплайнами [4]. Для приближения экспериментальных данных и специальных функций часто встречаются в измерительных системах используются выражения

Е(х) = АхВеСх,  (1)

Е(х) = AxBeCx+Dx2.(2)

Как видно, соотношения (1)-(2) существенно нелинейные во всех случаях.

При приближении аналитических заданных функций и экспериментальных данных важное место занимают экспоненциально -степенные приближение, которое в общем виде соотношения (1) и (2) представим так

Е_п , _т(.^х) = Ах^^{1 -}^^{1 1} * e ^{S mi biXl} ,     (3)

где т + п = I; п> 0; т> 0 ; 0 < х < ж.

( 0, еслиа 1 > 0;

• А, еслиа 1 = 0; ±ж, еслиа 1 <  0.

Выражение (3) можно легко представить в виде:

ЕптЮ = А • exp{ln Та=1 а х1-1 + Z^i bt х1} , при х ^ ж как оно представить себя , т.е

{ Ае^ь тх ^т,т > п — 1;

Ае(^{Ьт +} ° п 1 ^п х)х ^т ,т = п + 1;      (4)

Аеа^хП~1пх,т<п—1.

Из уравнений (4) видно, что экспоненциально–степенное выражение

• (3)    удобно приближать функции которые при х ^ ж ведут себя как функции

^(х). Для примера применения функции (3) для приближения Г-функции (Г- гамма функция) при хе [ 1,4 ] имеется приближения

Г (х) - Ь 0 х ^а 1^^ е^ъ 1 х

С наименьшей относительной ошибкой 50 = 2,5 • 10-4 , где

Ь₀ = 2, 40176 , а 1 = -0,66040

Ъ1 = -0,87636 ,а2 = 0,96231.

Теперь мы рассмотрим вычисление степенных полиномов и приводим методы перехода от программной реализации к аппаратурной.

Обычно все алгоритмы вычисления функций обладают общей тождественной частью:  они требует приведения при помощи соответствующих формул всего интервала изменения аргумента заданной функций к некоторому стандартному интервалу, где и осуществляется приближение.

Как известно, что, время, затрачиваемое на такое приведение, для всех алгоритмов одинаково. Может оказаться что один алгоритм имеет высокое быстродействие и занимает большой объём памяти, а другой – низкое быстродействие при малой занимая объём памяти. Возникает вопрос, какой из них более эффективен для аппаратурной реализации. На выбор конкретного алгоритма будут влиять те цели, которых мы стремимся достичь при аппаратурной реализации, и те технические средства, которыми мы будем при этом располагать.

Эффективность, обычно измеряется либо количеством затрат, необходимых для получения определённых затратах, интегральная характеристика, критерием эффективности системы.

С этой точки зрения предлагается быстродействующий алгоритм и устройство для обеспечения специализированных цифровых вычислительных машин.

Исходя из выше приведенные будем вычислит exp(x) функций по формуле:

ex=2[z] (eu)2 , где z=x/ln2; [z]-ближайшие к z целое число;

U={z}ln2/2, {z}= z-[z] дробная часть.

Для вычисления ex пользуемся разложением в ряд Тейлора на интервал

[ -1,1]. Причем достаточно взять 14 членов ряда, чтобы абсолютная погрешность не превышала 10-11, т.е. |R14| < 10-11.

Под действием метода нахождения многочлена наилучшего равномерного приближения понизим степень ряда[5]. Причем погрешность после этого не превосходит 10-10. Видно, что в место 14 члена остаётся 4.

Для |и| < 0.5 е^и вычисляется по следующей формуле:

еи = а0 + а1и + а2и2 + а3и3 + а4и4,

где a 0 ,a 1, a 2, a 3, a 4 коэффициенты полученное по методу обобщенного алгоритма вычисления функций[5]:

а0 = 1,000	000	000	00;
а 1 = 0,693	147	180	54;
а2 = 0,240	226	506	93;
а3 = 0,055	504	111	42;
а4 = 0,009	617	883	86.

Если мы применим схема Горнера, тогда eu = a0 + и (a1 + u(a2 + u(a3 + a4u))), алгоритм состоит из следующих:

b₄ = a₄;   b₃ = a₃ + ub₄;  b₂ = a₂+ ub₃; b 1 = a 1 + ub₂;

e^u=a₀ + ub 1 .

Программно-ориентированный алгоритм:

• 1.    C 1 =1.44269504089;

• 2.    C 2 =0.34657354028;

• 3.    C 3 =C 1 *x;

• 4.    Ноль при [C 3 ]<-128;

• 5.    Переполнение при [C 3 ]>128;

• 6.    C 4 =[C 3 ];

• 7.    C 5 =C 3 -C 4 ;

• 8.    C 6 =C 5 *C 2 ;

• 9.    C 7 =a 4 ;

• 10.    C 8 =a 3 +C 6 *C 7 ;

• 11.    C 9 =a 2 +C 6 *C 8 ;

• 12.    C 10 =a 1 +C 6 *C 9 ;

• 13.    C 11 =a 0 +C 6 *C 10 ;

• 14.    C 12 =C 11 ² ;

• 15.    C 13 =2^C 4 ;

• 16.    C 14 =C 13 *C 12 ;

• 17.    e^x=c 14 .

Можно отметить, что этот алгоритм легко применяется для получения произвольной точности. Для стандартных как типа экспонента функций разработан устройство для вычисления в работе [6].

А также предлагаем для повышения быстродействие устройств метод параллельного вычисления и распараллеливания устройства, основанного на двух арифметических операциях-умножения и сложения [7].