Решение задачи диффузии от кольцевого источника с учётом метеорологических условий с помощью сетей Колмогорова–Арнольда

В настоящее время актуальной задачей является моделирование загрязнённости атмосферы при проектировании промышленных объектов, а также при возникновении чрезвычайных ситуаций техногенного и природного характера.

При решении данной задачи используются, как правило, следующие подходы: гауссовы модели факела [1], методы конечных разностей и конечных объёмов, методы Монте-Карло и физические информированные нейронные сети (PINN). Основная идея PINN заключается в том, что в функцию потерь включают физические законы, таким образом можно получать решения дифференциальных уравнений, не используя размеченные данные [2, 3]. Следует отметить, что основным недостатком PINN при решении задач с малыми диффузионными членами является низкая скорость сходимости и малая точность.

Данную проблему позволяет решить внедрение сетей Колмогорова–Арнольда [4] (KAN). Основным отличием KAN от многослойных персептронов (MLP) является то, что MLP размещает функции активации в узлах (нейронах), а KAN размещает функции активации на ребрах (весах). Вследствие этого KAN не имеют линейных весовых матриц, а каждый весовой параметр, параметризованной как сплайн, заменяется обучаемой одномерной функцией. Узлы KAN выступают в роли сумматоров входных сигналов.

В настоящей работе предлагается применить физически информированные KAN (PI-KAN) к задаче стационарной диффузии от кольцевого источника, явно учитывающей метеорологические условия (скорость ветра, анизотропию турбулентной диффузии). Проводится сравнение с MLP-PINN, обсуждаются преимущества и ограничения метода.

Постановка задачи

Рассматривается стационарное распространение пассивной примеси в приземном слое атмосферы. В двумерной постановке (горизонтальная плоскость) процесс описывается уравнением конвекции-диффузии

8 C  д C  8(^8CЛ 8(^8CЛ

+ S ( x , y ) ,

u — + v— =—I D x — 1 + — D y —

8x 8y 8x \   8x ) 8y ^ y 8y )

Никитенко В.А., Попов А.В., Решение задачи диффузии от кольцевого источника Ситников А.И. с учётом метеорологических условий… где C ( x,y ) - концентрация примеси (г/м³); u, v - компоненты вектора скорости ветра (м/с); D_x , D_y – коэффициенты турбулентной диффузии в направлениях x и y (м²/с), зависящие от класса устойчивости атмосферы по Пасквиллу; S ( x , у ) - функция источника.

Источник полагается кольцевым с центром ( x 0 , у 0 ) , радиусом R и радиальной шириной a r :

<

N( x - x 0 ) ⁺( y - y 0 ) - R J

S ( x , У ) =

JL_ e a 2~R ^2na2

где Q - интегральная мощность выброса (г/с). При a r ^ 0 выражение (2) переходит в дельтафункцию, сосредоточенную на окружности радиуса R .

Область расчёта - прямоугольник Q = [ 0, L x ] х|^ 0, L_y ] . Граничные условия:

C ( 0, у ) = 0,                                             (3)

d C dn dU { x=0}

= 0.

Условия (3) и (4) соответствуют неограниченному распространению примеси в правой полуплоскости от левой границы.

Метеорологические параметры определяются следующим образом: u = U cos 0, v = U sin 0 , где U - модуль скорости ветра на высоте источника, 0 - угол направления ветра. Коэффициенты диффузии для заданного класса устойчивости P аппроксимируются эмпирическими зависимостями

D x = a x ( P ) U , D y = a y ( P ) U ,                            (5)

где a _x , a _y - табулированные коэффициенты, возрастающие с усилением турбулентности (неустойчивая стратификация).

Сети Колмогорова–Арнольда

В основе архитектуры KAN лежит теорема Колмогорова–Арнольда.

Теорема 1. [Теорема Колмогорова–Арнольда] Если f – это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения

2 n + 1      / n             ^

f ( x i , x 2 ,..., x n ) = Х^Ф q E ^ q , P ( x P ) , q = i      k p = 1            )

где Ф _q , ф_{1] p} - непрерывные одномерные функции.

Формально KAN с L слоями описывается следующим выражением

KAN(x1,x2,...,xn) = (ф(L) o ф(L-1) о... о ф(1))(x1,x2,...,xn), где Ф(l), l = 1, L - оператор слоя. Каждый слой представляет собой матрицу одномерных функций ф^ : R ^ R, и выход слоя вычисляется nl xj+1l=Xj xj ’).

q = 1

где фф ¹ - B -сплайны с параметризуемыми коэффициентами.

Метод PI-KAN для задачи диффузии

Физически информированная KAN (PI-KAN) используется для аппроксимации решения C ( x , у ; © ) , где © - совокупность параметров сплайнов всех слоёв. Входной вектор сети z = ( x , у ) eQ , выход - одно число C .

Математика

Функция потерь составляется из трёх компонент:

L (©) = Ap Lp + Ab Lb + Ad Ld , где Lp – невязка уравнения (1), Lb – невязка граничных условий (3) и (4), Ld – ошибка на опорных данных (если они доступны), а Ap, Ab, Ad - весовые коэффициенты.

Невязка уравнения вычисляется на множестве коллокационных точек { z ⁽ ii ) } ^p , равномерно t ^p i i = 1

распределённых внутри О :

• ₁    N p

L p _y i [ uC X ) + vC У ) - D x C X ) - D y C УУ - S ⁽ i ) ] ,

N p i = 1

где частные производные C x , C y , C xx , C yy получаются автоматическим дифференцированием сети KAN по входам.

Граничная невязка формируется из двух слагаемых:

_Nb in                               _Nb out                      ₂

L b = ,   i ⁽ C (°- У ) - ^{0) 2} + , Ut i ( ^V C ( X j • y j ) • n j ) •

N b i = 1                     N b j = 1

где n _j – внешняя нормаль к границе.

В настоящей работе эталонные данные L d не использовались ( A d )• чтобы подчеркнуть способность сети обучаться исключительно на физических законах. Для сравнения с аналитическим решением (суперпозиция точечных источников вдоль кольца) ошибка оценивалась на регулярной сетке.

Обучение производится оптимизатором L-BFGS, известным своей эффективностью в PINN-задачах. Архитектура KAN: 2 входных нейрона, две скрытые размерности по 10 нейронов и 1 выходной; степень сплайна k = 3 , количество узлов сетки сплайна. Для сравнения используется MLP с архитектурой 2–50–50–1 и функцией активацией гиперболический тангенс.

Вычислительные эксперименты

Параметры модели приведены в табл. 1. Класс устойчивости D (нейтральная стратификация) выбран в качестве базового; дополнительно исследованы классы A (сильная неустойчивость) и F (устойчивая стратификация) путём масштабирования D_x , D_y согласно (5).

Эталонное решение получено методом численного интегрирования аналитического решения для точечного источника в безграничной плоско-

сти с постоянным ветром: ux

С * ( x • У ) =

Q

г

2 n D X D_y

2D e x K0

ux

\

1      2

x- + y-

Dx Dy x y 7

,

Таблица 1

Параметры задачи

Параметр	Значение
Скорость ветра	5 м/с
Направление ветра	0°( и = 5, v = 0)
Коэффициент диффузии по x	50 м2/с
Коэффициент диффузии по y	20 м2/с
Мощность выброса	100 г/с
Центр кольца	(100 м, 200 м)
Радиус кольца	15 м
Ширина кольца	1,5 м
Размеры области	500 м х 400 м

где K ₀ – модифицированная функция Бесселя второго рода. Для кольцевого источника выражение интегрируется по углу ф е [ 0,2 п ) в окрестности радиуса R с гауссовым весом (2).

Результат вычислительного эксперимента показал, что KAN достигает уровня L ® 10 ^{- 7} за 800 итераций, MLP достигает уровня L ® 10 ^{- 4} за 2000 итераций, таким образом KAN демонстрирует монотонное быстрое убывание функции невязки.

Количественное сравнение точности проведено по относительной L ₂ -ошибке на подобласти [50; 300]×[100; 300], исключающей зоны влияния границ:

£ = 1 \С - С *1 U\\с *1L-

Никитенко В.А., Попов А.В., Ситников А.И.

Решение задачи диффузии от кольцевого источника с учётом метеорологических условий…

a                               б                              в                               г

Рис. 1. Сечение концентрации для класса устойчивости A: а) модель KAN, б) модель MLP, в) эталонное решение, г) разность KAN и MLP

a                               б                              в                               г

Рис. 2. Сечение концентрации для класса устойчивости D: а) модель KAN, б) модель MLP, в) эталонное решение, г) разность KAN и MLP

Рис. 3. Сечение концентрации для класса устойчивости F: а) модель KAN, б) модель MLP, в) эталонное решение, г) разность KAN и MLP

Из рис. 1, в видно интенсивное турбулентное рассеивание примеси, что приводит к формированию расширенного факела после источника. Визуально видно, что KAN лучше описывает направление распространения примеси по сравнению с MLP. Расчетные метрики дают следующие результаты:

• 1)    относительная ошибка составляет: KAN – 0,633, MLP – 0,887;

• 2)    IoU факела: KAN – 0,141, MLP – 0,031.

Из рис. 2, в видно устойчивое вытянутое распределение загрязняющего вещества вдоль направления переноса. Модель KAN практически совпадает с эталонным решение, а MLP показывает, что концентрация вещества сосредоточена около источника. Расчетные метрики дают следующие результаты:

• 1)    относительная ошибка составляет: KAN – 0,113, MLP – 0,821;

• 2)    IoU факела: KAN – 0,769, MLP – 0,769.

Рис. 3, в показывает, что распределение загрязняющего вещества имеет выраженную осевую структуру с высокой концентрацией вблизи источника и постепенным снижением по направлению переноса. Модель KAN близка к эталонному решению, сохраняя основную форму распределения концентрации. MLP, в свою очередь, сглаживает распределение и показывает, что загрязняющее вещество практически не распространяется по линии переноса. Расчетные метрики дают следующие результаты:

• 1)    относительная ошибка составляет: KAN – 0,202, MLP – 0,666;

• 2)    IoU факела: KAN – 0, 822, MLP – 0,154.

Математика

Анализ результатов показывает, что KAN точнее сохраняет физическую структуру концентрационного поля, направление переноса загрязняющего вещества, а также форму факела загрязнения. MLP при большем числе параметров дает сглаженное и локализованное распределение, что, в свою очередь, может негативно сказаться при прогнозировании зоны загрязнения.

В табл. 2 приведены результаты для трёх классов устойчивости. Из табл. 2 видно, что PI-KAN превосходит MLP-PINN для всех трёх классов устойчивости, при этом количество обучаемых параметров PI-KAN в 10 раз меньше.

Таблица 2

Относительная ошибка ε и количество параметров задачи

Класс	ε , PI-KAN	ε , MLP-PINN	Количество параметров KAN / MLP
A	1,2 ⋅ 10–3	8,7 ⋅ 10–3	4320 / 50 101
D	9,5 ⋅ 10–4	6,3 ⋅ 10–3	4320 / 50 101
F	2,1 ⋅ 10–3	1,4 ⋅ 10–2	4320 / 50 101

Заключение

В работе был предложен метод решения задачи атмосферной диффузии от кольцевого источника с учётом метеорологических параметров, основанный на PI-KAN. Наглядно продемонстрировано, что данный подход позволяет обеспечить высокую точность аппроксимации решения (относительная ошибка меньше 10–3) при меньшем числе параметров по сравнению с традиционными PINN на основе MLP. Метод позволяет учитывать различные классы устойчивости атмосферы и параметры ветра, демонстрируя устойчивость и быструю сходимость.

Дальнейшие направления работы включают распространение подхода на трёхмерные задачи, учёт переменных по высоте метеополей и использование KAN для идентификации неизвестных параметров источника по данным наблюдений.