Решение задачи инвестирования инновационных проектов с помощью метода обратной прогонки

Автор: Кривошапова Г.А., Яркина А.А., Иценко М.Ю.

Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j

Рубрика: Математика, информатика и инженерия

Статья в выпуске: 1 (55), 2020 года.

Бесплатный доступ

В статье рассматриваются решение задачи инвестирования инновационных проектов. Для решения выбран метод обратной прогонки. Поиск решения был проведен с помощью онлайн-калькулятора.

Оптимальное распределение, метод обратной прогонки, стратегия

Короткий адрес: https://sciup.org/140275025

IDR: 140275025

Текст научной статьи Решение задачи инвестирования инновационных проектов с помощью метода обратной прогонки

Пусть имеются пять инвестиционных проектов, между которыми распределяется 300 тыс. ден. ед. Денежные средства распределяются суммами кратными 50 тыс. ден. ед. Значения gi(x)(i = 1,5) ожидаемой прибыли от реализации каждого из инвестиционных проектов в зависимости от выделенной суммы х приведены в таблице 1. Составить план распределения средств, максимизирующий общий прирост прибыли.

Для решения задачи был выбран табличный процессор MS Excel. Задача решалась методом обратной прогонки.

На р исунке 1 представлены исходные данные.

Задача оптимального распределения инвестиций

fl f₂ fs f4 fs Xi
18	22	25	20	16	50
43	51	50	44	30	100
57	60	61	64	55	150
78	79	78	82	76	200
97	100	98	110	92	250
115	120	109	110	90	300

Рисунок 1 – Начальная страница с исходными данными для расчета

Представим поэтапное решение задачи распределения инвестиций методом обратной прогонки

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 5.

Предположим, что все средства в количестве x5 = 300 отданы 5-у проекту. В этом случае максимальный доход, как это видно из таблицы 1*, составит 99, следовательно:

F5(c5) = g5(x5)
Таблица 1.
x1 0 50 100 150 200 250 300
x5 f0(x0) / F5(x5)
0 0 0
50 16 16
100 39 39
150 55 55
200 76 76
250 92 92
300 99 99*

Таблица 1*.

c1	50	100	150	200	250	300
F0(c1)	16	39	55	76	92	99
x1	50	100	150	200	250	300

2-й шаг: k = 4.

Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между остальными проектами. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F4(c4) = max [ g4(x4) + F5(c4 - x4)]

Таблица 2.

x2	0			50	100	150	200	250	300
x4	f3(x3) / F4(x4)		0	16	39	55	76	92	99
0	0	0	16	39	55	76	92	99
50	20	20*	36	59	75	96	112
100	44	44*	60	83*	99	120
150	64	64*	80	103	119
200	82	82	98	121
250	110	110*	126*
300	119	119

Заполняем таблицу 2*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x2.

Таблица 2*.

c2	50	100	150	200	250	300
F3(c2)	20	44	64	83	110	126
x2	50	100	150	100	250	250

3-й шаг: k = 3.

F3(c3) = max [ g3(x3) + F4(c3 - x3)] Таблица 3.
x3			0	50	100	150	200	250	300
x3 f4(x4) / F3(x3)			0	20	44	64	83	110	126
0	0	0	20	44	64	83	110	126
50	25	25*	45	69	89	108	135*
100	50	50*	70*	94*	114*	133
150	61	61	81	105	125
200	78	78	98	122
250	98	98	118

109 109

Заполняем таблицу 3*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x3.

Таблица 3*.

c3	50	100	150	200	250	300
F4(c3)	25	50	70	94	114	135
x3	50	100	100	100	100	50

4-й шаг: k = 2.

F2(c2) = max [ g2(x2) + F3(c2 - x2)]

Таблица 4.

x4	0			50	100	150	200	250	300
x2	f5(x5) / F2(x2)		0	25	50	70	94	114	135
0	0	0	25*	50	70	94	114	135
50	22	22	47	72	92	116	136
100	51	51*	76*	101*	121*	145*
150	60	60	85	110	130
200	79	79	104	129
250	100	100	125
300	120	120

Заполняем таблицу 4*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x4.

Таблица 4*.

c4	50	100	150	200	250	300
F5(c4)	25	51	76	101	121	145
x4	0	100	100	100	100	100

5-й шаг: k = 1.

F1(c1) = max [ g1(x1) + F2(c1 - x1)]

Таблица 5.

x5	0	50	100	150	200	250	300
x1	f6(x6) / F1(x1) 0	25	51	76	101	121	145
0	0 0 25*	51*	76*	101*	121*	145*
50	18 18 43	69	94	119	139

100	43	43	68	94	119	144
150	57	57	82	108	133
200	78	78	103	129
250	97	97	122
300	115	115

Заполняем таблицу 5*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x5.

Таблица 5*.

c5	50	100	150	200	250	300
F6(c5)	25	51	76	101	121	145
x5	0	0	0	0	0	0

II этап. Безусловная оптимизация.

1-й шаг: k = 1.

По данным таблицы 5* максимальный доход при распределении 300 между проектами составляет c1 = 300, F1(300) = 145. При этом 1-му проекту нужно выделить x1 = 0.

2-й шаг: k = 2.

Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных проектов.

c2 = c1 - x1 = 300 - 0 = 300.

По данным таблицы 4* максимальный доход при распределении 300 между проектами составляет c2 = 300, F2(300) = 145. При этом 2-му проекту нужно выделить x2 = 100.

3-й шаг: k = 3.

Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных проектов.

c3 = c2 - x2 = 300 - 100 = 200.

По данным таблицы 3* максимальный доход при распределении 200 между проектами составляет c3 = 200, F3(200) = 94. При этом 3-му проекту нужно выделить x3 = 100.

4-й шаг: k = 4.

Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных проектов.

c4 = c3 - x3 = 200 - 100 = 100.

По данным таблицы 2* максимальный доход при распределении 100 между проектами составляет c4 = 100, F4(100) = 44. При этом 4-му проекту нужно выделить x4 = 100.

5-й шаг: k = 5.

Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных проектов.

c5 = c4 - x4 = 100 - 100 = 0.

По данным таблицы 1* максимальный доход при распределении 0 между проектами составляет c5 = 0, F5(0) = 0. При этом 5-му проекту нужно выделить x5 = 0.

Таким образом, оптимальный план финансирования инвестиционных проектов:

x1 = 0

x2 = 100

x3 = 100

x4 = 100

x5 = 0

который обеспечит максимальный доход, равный:

F (300) = g1(0) + g2(100) + g3(100) + g4(100) + g5(0) =

= 0 + 51 + 50 + 44 + 0 = 145.

Список литературы Решение задачи инвестирования инновационных проектов с помощью метода обратной прогонки

Онлайн-калькулятор / Уровень доступа https://math.semestr.ru/dinam/dinam.php

Статья научная

100	43	43	68	94	119	144
150	57	57	82	108	133
200	78	78	103	129
250	97	97	122
300	115	115

100	43	43	68	94	119	144
150	57	57	82	108	133
200	78	78	103	129
250	97	97	122
300	115	115

100	43	43	68	94	119	144
150	57	57	82	108	133
200	78	78	103	129
250	97	97	122
300	115	115