Решение задачи Коши для четырехмерного гиперболического уравнения с оператором Бесселя
Автор: Каримов Шахобиддин Туйчибоевич, Уринов Ахмаджон Кушакович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
Исследована видоизмененная задача Коши для четырехмерного уравнения второго порядка гиперболического типа со спектральным параметром и с оператором Бесселя. В уравнении по всем переменным участвует сингулярный дифференциальный оператор Бесселя. Для решения сформулированной задачи, применен обобщенный оператор Эрдейи - Кобера дробного порядка. Доказана формула вычисления производных высокого порядка от обобщенного оператора Эрдейи - Кобера, которая применяется при исследовании сформулированной задачи. Рассматривается также конфлюэнтная гипергеометрическая функция четырех переменных обобщающая функцию Гумберта и доказывается некоторые ее свойства. Принимая во внимание доказанные свойства оператора Эрдейи - Кобера и конфлюэнтной гипергеометрической функции, решение видоизмененной задачи Коши представлено в компактной интегральной форме, которая обобщает формулу Кирхгофа. Полученная формула позволяет непосредственно усмотреть характер зависимости решения от начальных функций и в частности, установить условия гладкости классического решения. В работе также содержится краткое историческое вступление в дифференциальные уравнения с операторами Бесселя.
Задача коши, дифференциальный оператор бесселя, обобщенный оператор эрдейи - кобера дробного порядка
Короткий адрес: https://sciup.org/143168773
IDR: 143168773 | УДК: 517.955 | DOI: 10.23671/VNC.2018.3.17991
Solution of the Cauchy problem for the four-dimensional hyperbolic equation with Bessel operator
The modified Cauchy problem is investigated for a four-dimensional second order equation of hyperbolic type with spectral parameter and with the Bessel operator. The equation contains a singular differential Bessel operator on all variables. To solve the formulated problem, a generalized Erdelyi-Kober fractional order operator is applied. To solve the problem, a generalized Erdelyi-Kober fractional order operator is applied. A formula is obtained for calculating the high order derivatives of the generalized operator Erdelyi-Kober, that is then used in the study of the problem. We also consider the confluent hypergeometric function of four variables, which generalizes the Humbert function; some properties of this function are proved. Taking into account the proven properties of the Erdelyi-Kober operator and the confluent hypergeometric function, the solution of the modified Cauchy problem is presented in a compact integral form that generalizes the Kirchhoff formula. The obtained formula allows us to see directly the nature of the dependence of the solution on the initial functions and, in particular, to establish the smoothness conditions for the classical solution. The paper also contains a brief historical introduction to differential equations with Bessel operators.
Список литературы Решение задачи Коши для четырехмерного гиперболического уравнения с оператором Бесселя
- Эйлер Л. Интегральное исчисление. M.: ГИФМЛ, 1958. Т. 3. 447 с.
- Reimann B. Vercuch einer allgemeinen auffassung der integration und differentiation//Ges. Math. Werke. Leipzing: Teubner, 1876. P. 331-334.
- Poisson S. D. Memoire sur L'integration des equations lineaires aux differences partielles//J. l'Ecole Rog. Politechn. 1823. № 12. P. 215-248.
- Darboux G. Lecons sur la Theorie Generale des Surfaces et les Applications Geometriques du Calcul Infinitesimal. Vol. 2. Paris: Gauthier-Villars, 1915.
- Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.-Л.: Гостезиздат, 1947. 192 с.
- Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
- Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
- Нахушев А. М. Задачи со смещеним для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2007. 287 с.
- Carroll R. W., Showalter R. E. Singular and Degenerate Cauchy Problems. N.Y.: Academic Press, 1976. 333 p.
- Салохитдинов М. С., Мирсабурова М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Университет, 2005. 224 с.
- Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson//Wave Motion and Vibration Theory. Proc. Sympos. Appl. Math. N.Y.: McGraw-Hill, 1954. Vol. 5. P. 137-147.
- Young E. C. On a generalized Euler-Poisson-Darboux equation//J. Math. Mech. 1969. Vol. 18, № 12. P. 1167-1175.
- Киприянов И. А., Иванов. Л. А. Задача Коши для уравнения Эйлера Пуассона Дарбу в симметрическом пространстве // Мат. сб. 1984. Т. 124(166), № 1(5). С. 45-55.
- Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск, 1973. 144 с.
- Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Изд-во "Гылым", 1994. 168 с.
- Ибрагимов Н. Х., Оганесян А. О. Иерархия гюйгенсовых уравнений в пространствах с нетривиальной конформной группой//Успехи мат. наук. 1991. Т. 36, вып. 3(279). С. 111-146.
- Fox D. W. The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem//J. Math. Mech. 1959. Vol. 8. P. 197-220.
- Ляхов Л. Н., Половинкин И. П., Шишкина Э. Л. Формулы решения задачи Коши для сингулярного волнового уравнения с оператором Бесселя по времени//Д окл. РАН. 2014. Т. 459, № 5. C. 533-538.
- Lowndes J. S. A generalization of the Erdelyi-Kober operators//Proc. Edinb. Math. Soc. 1970. Vol. 17, № 2. P. 139-148.
- Urinov A. K., Karimov S. T. Solution of the cauchy problem for generalized Euler-Poisson-Darboux equation by the method of fractional integrals//Progress in Partial Differential Equations. Springer Intern. Publ., 2013. P. 321-337 DOI: 10.1007/978-3-319-00125-8_15
- Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона Дарбу//Узб. мат. журн. 2013. № 3. С. 57-69.
