Решение задачи Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре

Введение. Явный вид функций Грина для разных краевых задач представлен во многих работах. Приведем только некоторые из них. Например, в двухмерном случае, в работе [1], на основании известной гармонической функции Грина представлены функции Грина различных би-гармонических задач. Явный вид функции Грина для 3-й краевой задачи был найден в работах [2, 3], а функции Грина в секторе для бигармонического и 3-гармонического уравнений в работах [4, 5]. Исследования задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре можно найти в работах [6, 7]. В них получен явный вид функции Грина. Явное представление функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона получено в статье [8], а в [9] для 3-гармонического уравнения в шаре представлен оператор Грина, действующий на полиномиальные данные.

В связи с бигармоническим уравнением отметим недавние работы [10, 11], посвященные условиям разрешимости некоторых нестандартных задач в шаре для бигармонического уравнения. В качестве наиболее общих результатов по обобщённой задаче Неймана, содержащей степени нормальных производных в граничных условиях, отметим работу [12]. В статье [13] для бигар-монического уравнения в шаре получен явный вид функций Грина задач Навье [14] и Рикье– Неймана. Функция Грина применяется также и для исследования нелокальных уравнений. Например, в работе [15] исследована разрешимость четырех краевых задач для одного нелокального бигармонического уравнения с инволюцией.

Известно [16], что для задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре 5 = { x е Ж " :| x | < 1} при "  >  2 функция Грина имеет вид

G2(x,5) = E(x,5) -E(xj| x |,| x | 5) , где E(x,55 — элементарное решение уравнения Лапласа. Элементарные решения бигармонического и 3-гармонического уравнений - функции E4(x,55 и E6(x,55 — были введены в работах [9, 17, 18]. Кроме того, в этих работах были найдены функции Грина соответствующих задач Ди-

Карачик В.В.                                                Решение задачи Рикье–Неймана для полигармонического уравнения в шаре рихле в S . В дальнейшем изложении нам понадобится функция Грина задачи Неймана для уравнения Пуассона в S. Она была построена в работе [19]

А'г(x,5) = Е2(x,5)—Eo(x,5) ,(1)

где гармоническая по x , 5 g S функция E _o( x, 5 ) имеет вид

Eo(x,5) = £(e2(x/| x |,t| x | 5) +1)d- , 0

n причем E2 (x ,5) = ЛХ E^ (x ,55. Здесь обозначено Л и = Z xtux . Индекс x указывает, что оператор i=1

du_

Л применяется по переменным x . Нетрудно заметить, что Л и = — на d S . Поскольку dv

E2(x,5) = — 1 x |2

то функция

E E₂ (—, 1 1 x | 5 ) =-- ^{1 ( x 5 )} t

^2V| x |   ¹               (1 — 2 t ( x - 5 ) + 1 x |²| 5 1² t ²) ^{n /2}

симметрична и, значит, функция Eo(x,5), а следовательно, и функция JV2(x,55 тоже симмет ричны. Функция (x2(x,5) обладает свойствами [8, теорема 3.1] и [13, теорема 3]

^Л x -^2 ⁽ x , ^{5 )} = ^Л x ^E 2 ⁽ x , ^{5 ) — ( Л} x ^E 2 ⁾⁽ x ^| x ^|,^| x ^{| 5 ) —} ',   x ^{, 5g S} , x * ⁵

^Л x^2^^x , ^{5 ) |} 5 g9 S =

—

dG*x5—i, xgs, dv 5

а поэтому верны равенства

। ал^ ⁵ _$ ( 5 ) d 5 | S =— j f ( , ) d , ,

J S Qv_x                     ^JS

1 г   d N₂(x , 5 )

^ _n ^ ^S    dv _x

V ^{( 5 ) ds} 5 ¹ x g8 S = И x ) ^| d S ^— ~ f_яс ^ ^{( 5 ) ds} 5 • ^ ^{d S}S

В [13, теорема 3] показано, что для следующей задачи Неймана

A u ( x ) = f ( x ), x g S ;   ^^{U (} x ) L ₅= ^ ( x ), x g d S

dv при выполненном условии

L ^(5) ds5 = f f(5) d5 W ОS                W S решение записывается в виде

и ( x ) = Ef л/-₂ ( x , 5 ) ^ ( 5 ) ds 5 — — f M( x , 5 ) f ( 5 ) d 5 + C • ^ _n ^{d SS}                      ^ _n ^JS

Для полигармонического уравнения задача Неймана исследована в работах [20, 21], а в [22] приведено решение этой задачи.

Элементарное решение. Пусть m g N. Тогда множество N\{1} можно разбить на два не- пересекающихся подмножества Nw = {n g N: n > 2m > 1} u (2N +1) NC = {2,4,...,2m} . Поскольку множество N^ - конечное, то Nw NC_T c N^ , а поэтому Nw c Nm_x. Определим элементарное решение ния Amu = 0 в виде и дополнение к нему

- бесконечное. Ясно, что

m -гармонического уравне-

E 2 m ( x , 5 ) ^

( — i) ^m | x — 5 1^{2 m}-— . (2 — n ,2) _nl (2,2) m — 1 '   ( — 1) ^m | x — 5 1^{2 m —} n

^ (2 — n ,2) m (2,2) m — 1

m — n 1 2 i       m — 1

( ln| x — 5 1 — Z — £ k = ' ^{2 k}    k = n /2

n ^{g N} m ,

^£ n g к .

где ( a , b )_k = a ( a + b )...( a + kb — b ) - обобщенный символ Похгаммера с соглашением ( a , b )₀ = 1, а символ ( a , b ) * означает, что если среди сомножителей a ,( a + b ),...,( a + kb — b ) , входящих в ( a , b)_k , есть 0, то его следует заменить на 1, например, ( — 2,2) * = ( — 2)1-2 = — 4. Кроме того, если в суммах, входящих в (2), верхний индекс становится меньше нижнего, то сумма считается равной нулю. Заметим, что (2 — n , 2)_m = (2 — n )(4 — n ).. .(2 m — n ) ^ 0 при n e N_m и, значит, первая часть формулы (2) определена корректно.

Справедливы следующие простые утверждения.

Лемма 1. Функция E_2тХx , 5 ) совпадает с элементарными функциями E ( x , 5 ) , E^ ( x , 5 ) и E₆ ( x, 5 ) при m = 1 , m = 2 и m = 3 соответственно.

Лемма 2. Симметричная функция E_2mXx , 5 ) , определенная при x ^ 5 , удовлетворяет равенствам

^ 5 E 2m ( x , 5 ) = — E ₂₍ m ( x , 5 ),   A 5 E 2 ( x , 5 ) = 0 .

Найдем интегральное представление функций u e C ^{2 m} ( D ) n C ^{2 m — 1} ( D ), где D c > ⁿ - ограниченная область с гладкой границей d D с помощью E_2m ( x , 5 ).

Теорема 1. Для любой функции u e C2m (D) n C2m'(D) справедливо следующее представле ние:

Г X 1 Г Х7/ vMu   /  ^АkU  dE2k+2(x,55 kk        (—1)m Г ,. / m.m u (x) =    l,n^J ( ‘) (E2 k+2(x ,5)—Z          Z      A u) ds5 +         E2 m (x, 5) A u(5) d5,

ω ∂D∂ν     ∂ν            ω D n      k=o                                                                            n где ton =| дS | - площадь единичной сферы в Rn, V - внешняя единичная нормаль к дD.

Доказательства этих утверждений опустим.

Пусть n > 3. В рассуждениях, приводимых ниже, необходима также следующая функция, задаваемая рекуррентно:

^E k ( ^x , ⁵⁵ =-- L ^E 2 k — 2 ^{( x} , У ) ^E 2 ⁽ У , ^{5 )} dy , ^k >  ² ,

ωn где E2 (x, 5) = E2 (x, 5) . Например,

2              1                                            21

E4 (x5 =-- I E2 (x, У)E2 (У, 5) dy, E6 (x, 5) = — L E2 (x, ^) c E2 (П, У)E2 (У, 5) dy dn- ton Ss                                         ton SsSs

Лемма 3. Функция E[_m ( x , 5 ) (m > 1) определена при 5 ,x e S, 5 ^ x и имеет, быть может, особенность при 5 = x такую, что E_2m ( x , 5 ) ^ C | x — 5 1^{3 —} n , где C - некоторая положительная константа. При 5 ^ x справедливо равенство ^ E^ ( x , 5 ) = — E_2m _₂ ( x , 5 ) .

По теореме о стирании особенностей [23] функция h₂(xx , 5 ) = E ₂^( x , 5 ) — E_2k ( x , 5 ) является k -гармонической в S по 5 •

Функция Грина задачи Рикье-Неймана. Задача Рикье-Неймана, сформулированная в [24], состоит в нахождении функции u e C ^{2 m} ( S ) n C ^{2 m —} 1 ( S ), которая является решением следующей граничной задачи для неоднородного полигармонического уравнения

∂ u         ∂Δ u            ∂Δ u

A ^{u ( x} ) = f ^{( x} ),   ^{x e S} , — | 5 S = Ф 0 ⁵ ),— | d S = ^ 1 ^{( 5} )^,--- 7—---| d S = 9 m. — 1 ^{( 5 )},   ^{5 ed S} -     ⁽³⁾

∂ ν        ∂ ν            ∂ ν

Определение. Функцию вида

2m (x,5) = E2m (x,5) + gnm (x,5),  m > 1, где gnm(x,5) - m -гармоническая функция по переменным x,5 e S такая, что дЫ2 m. (x ,5)1   _   _5Am - 2N2 m (x ,5) I _n dA5 "‘Mm (x ,5)

L ed S = ( — 1) m ,

d v₅    ^{5 ed S} "'’•"       dv₅       ^{5ed SS} = ⁰        d v₅

где x e S назовем функцией Грина задачи Рикье-Неймана (3).

Теорема 2. Функция Л/'_2т( x , § ) при § , x е S и m >  1 , определяемая рекуррентно равенством

К2m (x’ §) = — ( f 2m-m-2 (x’ y ^ (y’ §) dy - — J 2m-m-2 (x’ y) dyj 2(y (y’ §) dy ) ωnS                         τnS               S где т =| S |, а Ы^ (x, y) - функция Грина задачи Неймана из (1), является функцией Грина задачи

Рикье-Неймана (3). Функция Л/*_2т( x,§) обладает свойством

Л x М к ( x , § ) |    = 0’ к >  1,   Л x ^2< x , § ) | x ед _S =- 1’   §е S •

Пример 1. Для нахождения решения задачи Рикье–Неймана с многочленами в граничных условиях или в правой части уравнения необходима следующая формула:

— f Ы₂ ( x , § ) | § |^{2 1} d § =^ x j- ¹ ------+------¹------,

^ J s  ^{2V           ъ}    (2 l + 2)(2 l + n )  (2 l + 2)( n - 2)

где l е N₀ . Докажем ее. В работе [19, замечание 2] была получена аналогичная формула

— f    ( x , § ) | § |^{2 l} H_k ( § ) d § = - ^{1 x} |^{2 1} + ^{2 - (2} l ^{+ 2 + к} )/ ^к H_K ( x ),

^ Js 21  ' к             (2l + 2)(2l + 2к + n)    к где Hk (x) - однородный гармонический полином степени к , которая не работает в рассматриваемом случае, так как правая часть в ней не определена при к = 0 .

Рассмотрим полную систему однородных степени к е N₀ ортогональных на d S гармонических полиномов { H ⁽ i ) ( x ): i = 1,..., h_k , к ей₀ } [25] такую, что    ( H ^{( 1} ) ( § ))² ds § = ^ , где h_k - раз-

∂S мерность базиса. В [8, теорема 1] установлено, что имеет место равенство

— Г E2( x ,§)| § |21 Hk (§) d§ = -ωn S где к е й0 и l е N0 . Отсюда получаем

— f E ₂ ( x , § )| § |^{2 l} d § = ^ω n ^S

| x|^{2 1 + 2} H k ( x )    ₊______________________

(2 l + 2)(2 l + 2 к + n )  (2 l + 2)(2 к + n - 2)’

H k ( x )

-

| x |² l ^{+ 2}

+

(2 l + 2)(2 l + n )  (2 l + 2)( n - 2)

•

В [19, теорема 1] доказано, что при x е S и § е S

∞                    h k

E0( x ,§)=-S к. 2к+„ _2) Z Hnx) Hi-Че)’ к=1 к (2 к + n 2) i=1

причем приведенный ряд сходится равномерно по § . Поэтому имеем

∞k f Eo(x,§) | § |21 d§ = -Z7ТТ7-----^ZHki)(x)J Якi)§ | § |21 d§ = 0 ,

JS                 “к(2к + n -2)ру и значит, учитывая (1), получаем доказываемую формулу.

Интегральное представление решения. Верно следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть граничные функции задачи обладают гладкостью ^ е C( d S ) ,

^ е C1+5(dS) и ^(§)ds. = 0 при к = 1,...,m-1, а f = 0. Тогда решение задачи Рикье-k                     ∂S k

Неймана (3) существует и его можно записать в виде m-1

u (x) = Z ик [^к ](x) + C ’ к=0 где обозначено ик [^](x) = (-1)- f Л<20к+2 (x’ §)^(§) ds§ ’ ωn

X_гк + 2 ⁽ x ’ § ) = — J Nx ⁽ x ’ y)Я_2к ⁽ y ’ § ) dy ’ ^к >  0;  Л<2⁽ x ’ § ) = 2^2 ⁽ x ’ § )•

ω _n S

Для ( к + 1) -гармонической функции u_k [ ^ ]( x ) выполнены условия

^A u k M x ) = u k — 1 ^[ ^ ^]( x X ^ ^{[ф] |} d S = ^{0 k G N}; ^A u oM x ) = ^{0 d} u ^o[^ k' = ^ ⁽ x ) ∂ ν ∂ ν

Пример 2. Вычислим функции up [Hk ](x) из формулы (5) при p g No , где Hk (x) - однородный гармонический полином степени k ∈  . В этом случае условия теоремы 3 выполнены, по скольку справедливо равенство Hk (5) ds. = 0 . В работе [19] было установлено, что при x g S ∂S k      ξ и ξ ∈∂S верны равенства

Я ₂( x , 5 ) = E ( x , 5 ) - E o ( x , 5 ) =

к + n — 2

f^ 2 к + n — 2   к (2 к + n — 2)

hk

■ )£ <( X) H«(5) = г =1

+

n — 2

1 n — 2

∞ h k

+ £ 7 £ H^( x ) H ki ( 5 ), к = 1 k i = 1

где система гармонических полиномов {H()(x)}, определенная в примере 1, ортогональна на ∂S . Поэтому в силу равномерной сходимости ряда по ξ ∈∂S имеем u o[ Hk ](x) = -f/2( x ,5) Hk (5) ds5 = , I  Lh* (5) ds + to dSS                     (n — 2)^ dSS

+ £ 1 £ я «( x )±r H O ^ H k ( 5 ) ds = ¹ H k ( x ). m = 1 m^       to n ^{Jd S                   k}

Вычислим u [Hk ](x) . С помощью (4) при l = 0 и предыдущих вычислений найдем u1[Hk](x) = — — L<(x,5)Hk(5)ds§ =— — LM(x,y)—LM(У,5)Hk(5)ds5 dy = ωn ∂S                     ωn S        ωn ∂S

— — L V₂( x , y ) u o [ H k ]( У ) dy = — 1— Г Л<2 ( x , У ) H k ( У ) dy = ^{1 1} x '" ~^{1 — 2}*^k H k ( x ).

to n ^Js                            k to_n^{) s}                       k 2(2 k + n )

Аналогично в общем случае для up [Hk ](x) при p g N имеем up [ Hk ](x) = — L

Отсюда, используя найденную выше функцию ux [Hk ](x) и формулу (4), получим г г г 1 / \  ( l x |4 —1 — 4/к       „      x |2 —1 — 2/к\, , м2 [ Hk ](x) = ((к + 2)            -) Hk ( x).

• ^{2 к}       8** (2 к + n )(2 к + 2 + n )         4 к ²(2 к + n )^{2 7 k}

Нетрудно убедиться, что 3-гармоническая функция u2 [Hk ](x) удовлетворяет условию du 2[ Hk ]

∂ν и поэтому

| = ( (k + 4)|xr — k - 4  — (k + 2)(k + 2)|xl2 — k - 2 ) H (x )|

1 dS   » k (2 k + n )(2 к + 2 + n)            4 к2 (2 к + n )2   71

A u ₂ [ H_k ] = (--- L x J--- ( ^{k + 2)}  ) H ( x ) = u_x [ H_k ],

2L kJ V2к(2к + n)  2к2(2к + nУ dAu 2[ Hk ] |   = (к + 2)| x |2 — к — 2

dv    '9S      2к(2к + n)      k( ^dS.

Кроме того, верны равенства

A ² u 2 [ H k ] = ' H k ( x ) = u o [ H k ],   ^{дЛ 2} u ²[ ^{Hk ]} | d _S = H k ( x ).

k∂

Используя (6) и (4), можно последовательно найти любую функцию u_p [ H_k ]( x ).