Решение задачи Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре
Бесплатный доступ
Определяется элементарное решение полигармонического уравнения и приводятся его свойства. Это элементарное решение совпадает с известными ранее элементарными решениями бигармонического и тригармонического уравнений. Используя введенное элементарное решение, находится интегральное представление решений неоднородного полигармонического уравнения в ограниченной области с гладкой границей. На основе полученного интегрального представления исследуется разрешимость задачи Рикье-Неймана. Сначала определяется понятие функции Грина задачи Рикье-Неймана, а затем доказывается существование так определенной функции Грина. Затем, используя интегральное представление решений полигармонического уравнения и функцию Грина задачи Рикье-Неймана, находится интегральное представление решения задачи Рикье-Неймана в единичном шаре. Приведен пример решения задачи Неймана для уравнения Пуассона с простейшей правой частью, необходимый в дальнейшем. На основе функции Грина задачи Рикье-Неймана доказана теорема об интегральном представлении решения краевой задачи Рикье-Неймана с граничными данными, интеграл от которых по единичной сфере обращается в нуль. В заключение на основании доказанной теоремы приводится пример вычисления решения задачи Рикье-Неймана с граничными функциями, совпадающими со следами однородных гармонических полиномов на единичной сфере.
Полигармоническое уравнение, задача рикье-неймана, функция грина
Короткий адрес: https://sciup.org/147239473
IDR: 147239473 | DOI: 10.14529/mmph230103
Список литературы Решение задачи Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре
- Begehr, H. Biharmonic Green functions / H. Begehr // Le Matematiche. – 2006. – Vol. 61, no. 2. – P. 395–405.
- Begehr, H. Modified Harmonic Robin Function / H. Begehr, T. Vaitekhovich // Complex Varia-bles and Elliptic Equations. – 2013. – Vol. 58, Iss. 4. – P. 483–496.
- Sadybekov, M.A. On an Explicit Form of the Green Function of the Robin Problem for the La-place Operator in a Circle / M.A. Sadybekov // Advances in Pure and Applied Mathematics. – 2015. – Vol. 6, no. 3. – P. 163–172.
- Wang, Y. Biharmonic Green Function and Biharmonic Neumann Function in a Sector / Y. Wang, L. Ye // Complex Variables Elliptic Equ. – 2013. – Vol. 58, Iss. 1. – P. 7–22.
- Wang, Y. Tri-harmonic Boundary Value Problems in a Sector / Y. Wang // Complex Variables Elliptic Equ. – 2014. – Vol. 59, Iss. 5. – P. 732–749.
- Boggio, T. Sulle funzioni di Green d'ordine m / T. Boggio // Rend. Circ. Matem. Palermo. – 1905. – Vol. 20. – P. 97–135.
- Kalmenov, T.Sh. Green Function Representation for the Dirichlet Problem of the Polyharmonic Equation in a Sphere / T.Sh. Kalmenov, B.D. Koshanov, M.Y. Nemchenko // Complex Var. Elliptic Equ. – 2008. – Vol. 53, Iss. 2. – P. 177–183.
- Karachik, V.V. On Green’s Function of the Robin Problem for the Poisson Equation / V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov // Advances in Pure and Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 10, Iss. 3. – P. 203–214.
- Карачик, В.В. Полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». – 2012. – Т. 5, № 4. – С. 527–546.
- Карачик, В.В. О задаче Дирихле–Рикье для бигармонического уравнения / В.В. Карачик, Б.Т. Торебек // Матем. заметки. – 2017. – T. 102, № 1. – С. 39–51.
- Карачик, В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В.В. Карачик // Математические труды. – 2016. – Т. 19, № 2. – С. 86–108.
- Солдатов, А.П. О фредгольмовости и индексе обобщённой задачи Неймана / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. – 2020. – Т. 56, № 2. – С. 217–225.
- Карачик В.В. Функции Грина задач Навье и Рикье–Неймана для бигармонического уравнения в шаре // Дифференц. уравнения. – 2021. – Т. 57, № 5. – С. 673–686.
- Sweers, G. A Survey on Boundary Conditions for the Biharmonic / G. Sweers // Complex Vari-ables and Elliptic Equations. – 2009. – Vol. 54, Iss. 2. – P. 79–93.
- Karachik, V. Four Boundary Value Problems for a Nonlocal Biharmonic Equation in the Unit Ball / V. Karachik, B. Turmetov, H. Yuan // Mathematics. – 2022. – Vol. 10, Iss. 7. – P. 1–21.
- Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1982. – 336 c.
- Karachik, V.V. Greens Function of Dirichlet Problem for Biharmonic Equation in the Ball / V.V. Karachik // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2019. – Vol. 64, Iss. 9. – P. 1500–1521.
- Карачик, В.В. O функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2019. – Т. 59, № 1. – С. 71–86.
- Карачик, В.В. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона / В.В. Карачик, Б.Х. Турметов // Матем. труды. – 2018. – Т. 21, № 1. – С. 17–34.
- Бицадзе, А.В. О некоторых свойствах полигаpмонических функций / А.В. Бицадзе // Дифференц. ур-ния. – 1988. – Т. 24, № 5. – C. 825–831.
- Бицадзе, А.В. К задаче Неймана для гармонических функций / А.В. Бицадзе // ДАН СССР. – 1990. – Т. 311, № 1. – С. 11–13.
- Карачик, В.В. Об арифметическом треугольнике, возникающем из условий разрешимости задачи Неймана / В.В. Карачик // Математические заметки. – 2014. – Т. 96, № 2. – С. 228–238.
- Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1981. – 512 c.
- Карачик, В.В. Задача Рикье–Неймана для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. – 2018. – Т. 54, № 5. – С. 653–662.
- Karachik, V.V. On One Set of Orthogonal Harmonic Polynomials / V.V. Karachik // Proceed-ings of the American Mathematical Society. – 1998. – Vol. 126, no. 12. – P. 3513–3519.
