Решеточные гомоморфизмы в решетках Банаха - Канторовича

Дается описание линейных ограниченных операторов в решетках Банаха — Канторовича, являющихся решеточными гомоморфизмами или изоморфизмами, в виде измеримого расслоения решеточных гомоморфизмов банаховых решеток.

Решеточные гомоморфизмы и операторы, сохраняющие дизъюнктность, действующие в векторных и банаховых решетках, давно привлекают внимание исследователей (см. монографии К. Алипрантиса, О. Бёркиншо [1] и А. Г. Кусраева [2]). При этом одним из центральных вопросов является возможность аналитического описания операторов из указанного класса, (см., например, работы Ю. А. Абрамовича, А. И. Векслера, А. В. Колдунова. [3], Ю. А. Абрамовича. [4], а. также литературу, указанную в [1, 2]). Результаты об операторах, сохраняющих дизъюнктность, полученные Ю. А. Абрамовичем в [4], получили дальнейшее развитие в различных направлениях (см., например, работы П. Макполлина и А. Викстеда [5], А. Г. Кусраева. [6], А. Е. Гутмана. [7] и др.)

В настоящей работе дается описание линейных ограниченных операторов в решетках Банаха. — Канторовича, являющихся решеточными гомоморфизмами или изоморфизмами, в виде измеримого расслоения решеточных гомоморфизмов банаховых решеток. Решетки Банаха. — Канторовича, были введены в [8], а представление посредством измеримого расслоения банаховых решеток получено в [9, 10], см. также [11].

Пусть (Q,E,A) — пространство с конечной мерой, Eq = Lq(^) алгебра, классов измеримых функции на. (Q,E,A). Рассмотрим векторное пространство Е над полем R действительных чисел.

Отображение || • || : Е —> £q(Q) называется Ьо^П^-значной нормой на Е, если для любых ж, у Е Е, А Е R имеют место соотношения:

• 1)    ||ж||>0;||ж||=0^ж = 0:

• 2)    ||Аж|| = |А|||ж||;

• 3)    ||ж + у|| < ||ж|| + ||у||.

Пара (5,|| • ||) называется решеточно нормированным пространством (РНП) над Lq(Q). Говорят, что РНП Е d-разложимо, если для любого ж Е Е и для любого разложения ||ж|| = f + д в сумму дизъюнтных элементов найдутся такие у, z Е Е, что ж = у + z и ||у|| = /, IMI = д.

Сеть {ж_а} элементов из Е называется Ьо-сходягцейся к х Е Е, если сеть {||ж_а — ж||} о-сходится к нулю в £q(Q).

Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над £q(Q) называется бо-полное d-разложимое РНП над Lq(Q).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 ([8; стр. 153]). Решеткой Банаха — Канторовича (РБК) называется такое ПБК (И, || • ||), что U — векторная решетка, а норма || • || монотонна, т. е. из Ui < U2 следует ||ui|| < ||u₂||.

Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш Е Q некоторую, банахову решетку (Х(ш),|| • ||х(_ш)). Сечением X называется функция и, определенная почти всюду в Q и принимающая значение и(ш) Е Х^ш) для всех ш Е dom(u), где dom(u) есть область определения и.

Пусть L — некоторое множество сечений. Следуя [11], пару (Л, L) назовем измеримым расслоением банаховых решеток (ИРБР) над Q, если выполнены условия:

• a)    Aici + А2С2 Е Б для всех Ai,A2 Е R и ci,C2 Е L, где Ацл + А2С2 : ш Е dom(ci) Л dom(c₂) Н А1С1(ш) + А₂с₂(ш);

• б)    ci V С2 Е L для любых щ, С2 Е L, где с^ V С2 : ш Е dom(ci) Л dom(c2) Н- ci(w) V С2(ш);

• в)    функция ||с|| : ш Е dom(c) —> ||с(ш)||х(_ш) измерима при всех с Е Б;

• г)    для каждой точки ш Е Q множество {с(ш) ; с Е L,w Е dom(c)} плотно в Х(ш).

Вместо (X, L) будем писать просто X.

п

Сечение s называется ступенчатым, если s(w) = ^2 Х.Л (са)сДсф, где с^ Е L, Ai Е Б, г=1

г = 1,... ,п. Сечение и называется измеримым, если найдется такая последовательность (s_n) ступенчатых сечений, что ||s_n(w) — и(ш)||х(_ш) —» 0 и. в.

Пусть 1W(Q, X) — множество всех измеримых сечений. Символом Lq(^, X) обозначим факторизацию 1H(Q,X) по отношению равенства почти всюду. Через и обозначим класс из Lq(Q,X), содержащий сечение и. Отметим, что функция ш Н ||и(ш)||х(_ш) измерима для любого и Е М(^П,ХУ Класс эквивалентности, содержащий функцию ||и(ш)||х(_ш) обозначим через ||й||.

В [11; стр. 144] установлено, что (Lq(Q,X),|| • ||) является ПБК над Lq(Q), а в [9] доказано, что (Lq(Q,X), || • ||) — есть РБК.

Пусть ^^(Q) алгебра ограниченных измеримых функций на (Q, Б, A), L°°(Q) — факторизация ^^(Q) по отношению равенства п. в. Обозначим

£°°(П,Х) = {« 6 М^,Х) : ||tzH||_xM Е £°°(Q)}.

Элементы из С⁰⁰^^) называются ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом Б°°^П,ХУ Пусть р : L°°(Q) —> £^OO(Q) лифтинг [7].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Отображение I : L°°(Q,X) —> £°°(П,Х) называется векторнозначным лифтингом, ассоциированным с лифтингом р, если оно удовлетворяет условиям:

• а)    для всех u Е Б^^Х) выполнено Цй) Е й, dom(Z(u)) = Q;

• б)    11Ц^)11х(ш) = р(1|м||)(ш) для всех й Е Б^^П^У,

• в)    если й, v Е Е°°^О,,ХУ то Цй + и) = Z(u) + Z(v);

• г)    если й Е Б^^П, X) и е Е Б°°^ПУ то Z(eu) = p(e)Z(u);

• д)    если й, v Е Е^^П, Хф то I (й V v) = Z(й) V Z(v);

• е)    множество {Z(u)(w) : й Е Б” (Q, X)} плотно в Х(ш) для всех w Е П.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решетки Банаха — Канторовича U и W называются порядково изометрически изоморфными, если существует изометрический модульный изоморфизм Ф : U —> W, для которого Ф(и) > 0 тогда и только тогда, когда и ^ 0.

Напомним (см. [И]), что изоморфизмом ИРБР X и Y над Q называется отображение h, ставящее в соответствие каждой точке ш £ Q линейную изометрию /i(w) : А(ш) —> У(ш) так, что ЦДДД Е М(П,У) при u Е M(Q,X) и, наоборот, если и Е М(П,У), то и(-) = ЦДДД и. в. для некоторого и Е Af(Q,A).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. ИРБР X и У назовем порядково изоморфными, если X и У изоморфны и ЦшфифД > 0 и. в. тогда и толвко тогда, когда м(ш) > 0 для п. в. ш Е Q.

В работах [9, 10] получена следующая теорема, являющаяся решеточным аналогом теоремы А. Е. Гутмана (см. [И; стр. 153]).

Теорема 1. Для любой РБК U над То(^) существует единственное с точностью до порядкового изоморфизма ИРБР (A, L) с векторнозначным лифтингом такое, что U порядково изоморфно БДДХф

Пуств U = То(П,А),У = То(П,У) — РБК нормированные над Lq(^), Т : U —> V — Бо(И)-ограниченное линейное отображение (т. е. существует такое k Е БДЕ^, что ||Тм|| < &1Ы1 при всех u Е Щ. Если ||Тм|| = ||м||, то отображение Т называют изометрией. Линейное отображение Т : U —> V называется решеточным гомоморфизмом, если Т сохраняет решеточные операции. Если, при этом Т — биекция, то Т называется решеточным изоморфизмом U на V.

Предложение 2. Пусть дано семейство линейных ограниченных операторов ТД) : ХД) -д У(ш), причем ТД) — решеточный гомоморфизм для любого ш Е Q и ТДфиДД Е ЛГ(П,У) для любого u Е МД1, А) и ||Т(-)|| Е Бо^). Тогда линейный оператор Т : Уо(^,У) —>■ БДДХ), определенный равенством Тй = ТДфДшД является L о(Q)- ограниченным решеточным гомоморфизмом. Если гомоморфизмы ТД) — инъективны для почти всех w Е fl, то Т также инъективный гомоморфизм. Если ТД) — решеточный изоморфизм X (ш) на У (ш) для почти всех ш Е fl, и Т^-1^ (v(w)) Е М (Q, А) для всех г Е M(fl,Y), то Т является решеточным изоморфизмом.

• < Линейность оператора Т очевидна. Из соотношения

\\Тй\\ = №ЙК < №№Ж^ = №№ = №ЖИ следует, что оператор Т — То(П)-ограничен.

Поскольку ТД) решеточный гомоморфизм, то имеем, что

ТД V и) = Т(шф(и V и)(ш)) = ТДфиД^ V «(ш))

= Т(ш)м(ш) V T(w)v(w) = Т(ш)м(ш) V T(w)v(w) = Т(м) V Т^Д,

• т.    е. Т является решеточным гомоморфизмом.

Пусть теперь ТД) инъективны для почти всех w Е fl. Тогда если mi(w),M2(w) Е M(fl,X) И ТДД = ТДД, ТО Т(ш)(М1(ш)) = ТДфи2Д^ и. В. И поэтому Ul(w) = М2(ш) п. в., т. е. мГ = щГ

Пусть ТД) — решеточный изоморфизм. По условию предложения, и^Д = Т^-1(«(ш)) Е M(fl,X) для любого и Е M(fl,Y). Очевидно, что ТД) = и. Поэтому Т — сюръективно, т. е. Т — решеточный изоморфизм. >

Теорема 3. Если Lq (Q) -ограниченный линейный оператор Т ■. U ^ V является решеточным гомоморфизмом, то существует семейство линейных ограниченных операторов ТД) : А(ш) —> У(ш), w Е fl, являющихся решеточными гомоморфизмами, такое, что ТД)Д) = Т(ш)(м(ш)) и. в.

• < Пусть ||Тм|| < ^||й|| для всех il Е U и некоторого k Е Lo^fiy Определим линейный оператор То : То(^,У) —> БфДХ') равенством Туй = (1 + кД^Тй. Тогда То подпространство L°°(Q,A) отображает в Т°°(П,У) и является решеточным гоморфизмом из

Т°°(П,Х) в £°°(Q, У). Пусть I и V векторнозначные лифтинги на Т°°(П,Х) и Ц^ффУ^ соответственно, ассоциированные с лифтингом р : Т°°(П) —> /УДИ).

Для каждого ш Е Q определим линейный оператор <р(ш) из {/(м)(ш) : м Е L” (Q,X)} в {Z'(v)(w) : м Е Т°°(П,У)} равенством рффЦйфш^ = Г^То^^шУ Из соотношения

||

yH = ||/ (Т_о(м))(ш)||_ун = р(||Т_ом||)(ш) < 

р( —--\Н ) (ш)

= р

к к \       .

\T"^)^pW^

к к \

следует, что <р(ш) определено корректно и ограничено. Покажем, что <р(ш) решеточный гомоморфизм:

<Дш)(/(м1)(ш) V Z(u₂)(w)) = <р(ш)(/(ы1 V и₂)(ш)) = 1\Т_оф1 V u₂))(w)

= z'(t₀(ht) vt₀(^))M = 1\т₀^н V i№M = <Дш)(/(мГ)(ш)) V <Дш)(/(мД(ш)).

Так как {/(м)(ш) : м Е Т°°(П,Х)} плотно в Х^ и {Z'(v)(w) : и Е Т°°(П,У)} плотно в У(ш), то <р(ш) однозначно продолжается до отображения <р(ш) на Хф). Поскольку операция V непрерывна, то продолжение <р(ш) будет решеточным гомоморфизмом решеток Х(ш) и У(ш).

Положим Т(ш) = (1 + &)(ш)<Дш). Тогда Т(ш) — решеточный гомоморфизм из Х(ш) в У(ш) для и. в. ш Е Q. При этом, если последовательность ЦгГффсф Е {Z(n)(w) : м Е L” (Q, X)} такова, что Цвф)(ш) —Э м(ш), то

Т(ш)м(ш) = (1 + кфш^рф^иф^ = (1 + k^w) lira рффЦгГ^фш^ 77^-00

= (1 + к^И lim ф№Ф)М = (1 + кфсф lim (Т_ой^)(ш) 71^00                            77^00

= (1 + ЧМ(г„й)М = (1 + 41 ^1+“^) = ИМ

• п.    в. для любого И Е Ьо^П,ХУ >

Следствие 4. Если То(^) -ограниченный линейный оператор Т : U —> U является изометрическим решеточным изоморфизмом, то операторы Т^ш) : Х(ш) —> Х(ш), построенные по Т согласно теореме 3, также являются изометрическими решеточными изоморфизмами.

• < Согласно теореме 3 оператор Т(ш) является решеточным гомоморфизмом. Покажем, что Т^ — изометрия. Поскольку Т — изометрия, то k = 1 и То = ^Т, поэтому Ilv-Mrowjllxw = IIICToMHIIxm =р(||Т„«||)М = |р(Н)М = lllim^HIxM.

Из этих равенств имеем, что если последовательность/(мТ)(^ш) G {К^И^) -йЕ L” (Q, X)} такова, что Цй^)(ш) —Э м(ш), то

\\ТНпН\\х(ф = 2 lim ||^MG(^)M)||_XH = 2 • | lim \\1^И\\х_Н = ЬМИхф):

^{V 7}       77^-00                             ^{V 7}           2 77—ЮО                   ^{V 7                  V 7}

• т.    e. Т(ш) — изометрия.

Теперь покажем, что Т(ш) — изоморфизм. Так как Т(ш) — изометрия, то Т(ш) инъективно. Пусть н(ш) Е Х(ш), а последовательность ЦгЕффсф Е {/(й)(ш) : й Е L”(Q,X)} такова, что ЦнХфсф —> н(ш). Тогда из сюръективности Т получим, что существует дп Е L°°(Q, У), для которой 7щ = Т^д^ и и(ш) = lim ЦгГ^фш) = lim ЦТод^фш) = lim ^шШ1ыКшУ)-

71—Юо             п^оо               тг—>оо

Из равенств

MW-il3™M = Ы^ти -^И№т)И)\\ = ||/ЫМ -гтаИ1хМ

следует, что последовательность {К9пКш^ фундаментальна. Так как Х^ш) — полно, то Цдффсф —> д(ш) для некоторого д(ш) Е Х^ш). Поэтому u^ = lim (р^шфЦд^фш^ = Трф^дф^

тг^-оо

• т. е. оператор ^(ш) а, следовательно, и оператор Т(ш) сюръективны. >

Автор благодарен профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.