Роль составления математических задач в обучении школьников поиску их решения

Обучая школьников решению задач, важно учесть, что значительную помощь в обучении поиску их решений может оказать составление различных математических задач. Имеется в виду предельно общая ситуация: если в процессе обучения математике школьники систематически составляют задачи, то они на более высоком уровне умеют выполнять поиск решения любых задач, а не только аналогичных тем, которые они составили. В данной статье выявим причины, по которым составление задач учащимися способствует более успешному решению любых других задач.

Выделим диаметрально противоположные ситуации, имеющие место в составлении математических задач школьниками. Во-первых, можно формально составлять задачи, аналогичные уже решенным. Здесь имеется в виду аналогия только с внешним строением задачи, которая в общем случае может привести к тому, что, начиная с некоторого этапа в решении задач, наблюдается существенная разница, которая приводит к принципиально разным ответам. Часто это имеет место в составлении уравнений, но и здесь может получиться полная аналогия. Особенно ярко это выражено в сюжетных задачах, которые решаются в несколько действий (при этом не нужно производить вычитание и деление). Разумеется, дидактическая ценность составления таких задач невелика. Этот прием можно применять в начальных и младших клас- сах, например, одну задачу составить о продаже в магазине товара за несколько дней, а вторую задачу, полностью аналогичную первой в плане логики решения, можно составить о вспахивании полей и т.п. Здесь школьники учатся отвлечению от физической природы рассматриваемых ситуаций. Можно этот прием применять и далее, например, в изучении функций. То есть формальное составление аналогичных задач в школе целесообразно лишь тогда, когда учащиеся устанавливают логику взаимосвязи компонентов задачи, отвлекаясь от их природы.

Во-вторых, задачи можно составлять не по внешнему сходству, а иначе, в зависимости от еще каких-либо дополнительных требований, в том числе и тех, которые диктует процесс их решения. Различных ситуаций здесь может быть немало, но все они сводятся к одному: необходимо знать все аспекты процесса решения, все промежуточные результаты и их смысл. Тогда можно будет составлять задачу, которая содержит в формулировке или в самом решении некую особенность. Например, уравнение может иметь посторонние корни. Если в процессе решения уравнения, по отношению к которому составляется аналогичное, обнаружены посторонние корни, необходимо узнать причину их появления и использовать ее в составлении требуемого уравнения.

Иными словами, составляя задачу, в чем-либо аналогичную данной (уже решенной), нужно обнаружить в последней некоторые особенности, благодаря которым в решении этой задачи имеет место тот или иной факт или получается результат именно такого типа. Такие особенности назовем качественными отличиями задачи . Приведем пример их использования для составления задач.

Пример 1. Рассмотрим уравнение x 518

• 3    ^—_ч = ²_q ' В ходе его реше- x 3 x + 3 x 9

ния нужно выполнить последовательность x2 + 3 x — 5 x + 1518

действий: -----------------= x2 — 9        x2 — 9

x ² — 2 x + 15     18 x ² — 2 x — 3

--------------=-------,

x2 — 9 x2 — 9     x2 — 9

Находим корни уравнения x ² - 2 о - 3 = 0 . Это числа 3 и - 1, причем 3 - посторонний корень. Пусть учащимся дано задание: составить аналогичное дробно-рациональное уравнение, в ходе решения которого обнаруживается посторонний корень. Тогда им нужно установить причину его появления. В решенном уравнении причина состоит в том, что дробь в последнем дробно-рациональном уравнении сократима.

Представив эту дробь в виде

( x + 1)( x — 3)

( x + 3)( x — 3)

можно сократить ее на x - 3 . Это и является качественным отличием задачи. Значит, для составления требуемого уравнения учащимся необходимо использовать, например, свойство сократимости дроби: начать составление уравнения с построения дроби, аналогичной приведенной выше, и дальнейшее конструирование задачи выполнять в порядке, обратном тому, который имел место в решении исходного уравнения. Итак, во втором случае для составления задач необходимо знать все качественные отличия исходной задачи и пользоваться аналитико-синтетическим методом.

Для значительной части школьных математических задач можно составить не только аналогичную (или частично аналогичную) задачу. В ряде случаев для них можно составить и такую задачу, для которой исходная является базисной. Аналогичную задачу можно сформулировать практически для любой задачи, кроме большинства задач на доказательство, поскольку в их требовании обычно содержится некий уникальный факт.

Использовать решенную задачу в качестве базисной можно всегда, если ее результатом является некоторый факт (но это возможно практически только в задачах на доказательство), а также и тогда, когда далее есть возможность применить идею решения, реализованную в исходной задаче. Но, разумеется, целесообразно, чтобы базисная задача была тривиальной.

Пример 2. Рассмотрим задачу: доказать, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой c и катетами а и b, вычисляется по формуле r = (а + b - c)/2. Ее решение является достаточно простым, поэтому оно не приведено. Она может быть использована в качестве базисной в процессе решения следующих задач: 1) найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если в нем сумма длин катетов на 4 м больше длины гипотенузы; 2) доказать, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике длина катета равна сумме длин радиусов описанной и вписанной окружностей; 3) стороны прямоугольного треугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии -найти его стороны, если радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см; 4) найти объем цилиндра, вписанного в прямую призму, если ее основанием является прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 м и 12 м, а высота призмы равна двум диаметрам основания цилиндра; 5) конус вписан в пирамиду, основанием которой является прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 м -найти площадь боковой поверхности конуса, если высота пирамиды равна 9 м.

Заметим, что первые три задачи могут быть предложены школьникам сразу после решения ими базисной задачи с целью более качественного усвоения содержащегося в ней факта. Две последние задачи те же самые учащиеся могут решать лишь через несколько лет, в курсе стереометрии, что доказывает долгосрочность использования многих базисных задач в обучении математике. Кроме того, данные (или им подобные) задачи могут быть не только даны учащимся в «готовом виде», но и самостоятельно составлены ими.

Проанализируем причины, по которым составление задач школьниками способствует повышению уровня их умения выполнять поиск решения задачи. Поскольку математика абстрагирована от природы изучаемых ею объектов, формальное составление аналогичных задач в отвлечении от физической, химической, экономической и прочей сущности их компонентов способствует развитию умения выполнять математическое моделирование. Кроме того, если у учащихся получилась задача, обладающая данными качествами, они при этом устанавливают связи между ее компонентами. Причем если они составляют задачу, полностью аналогичную данной, то им эти связи придется устанавливать дважды. Сначала им нужно выявить качественные отличия в исходной задаче, а затем в полной мере применить их в составляемой.

Сущность качественных отличий такова. Учащиеся находят логические взаи мосвязи компонентов задачи, затем привносят их в составляемую задачу. Это непосредственное использование внутрипред-метных связей в составлении задач. В работе [1: 106 - 161] показано, что внутри-предметные связи способствуют формированию умения вести поиск решения задачи. Если в процессе решения исходной задачи не имеет места привлечение средств дополнительных теорий, то, составляя аналогичную задачу, учащиеся будут учиться более полному использованию аппарата тех теорий, на основе которых сформулирована исходная задача. Если для ее решения используется арсенал дополнительных теорий, то в его ходе, возможно, будет иметь место сопоставление свойств различных теоретических фактов, т.е. учащиеся на конкретном материале убеждаются в том, что для некоторых типов задач невозможно найти решение, если не учесть сразу нескольких свойств одного или многих понятий.

Пример 3. Рассмотрим задачу: найти все значения параметра a , при которых уравнение 4^х - 2 a -2 + a ² - 1 = 0 а) имеет два корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней.

В ее решении нужно сопоставлять свойства показательной и квадратичной функций. Учащимся можно предложить составить аналогичную задачу, в которой вместо функции у = 2 ^х использована функция у = x ². Здесь им придется рассмотреть большее разнообразие ситуаций, связанных с количеством корней и условий, при которых это количество имеет место.

Также заметим, что если в процессе решения задачи использовался прием ее равносильной переформулировки средствами других теорий, школьники учатся математической интерпретации самых различных фактов.

Пример 4. Принадлежность точек A, B и C одной прямой можно истолковать так: точки А, В, С не могут быть вершинами треугольника; угол между прямыми AB и BC равен нулю; векторы с началом в точке A и концами в точках B и C коллинеарны и т. д.

Для полноценного составления математических задач школьники должны все это усвоить в полной мере, что не всегда имеет место в процессе решения задач, предложенных учителем или самостоятельно найденных в книге. Иначе они не смогут составить требуемую задачу. Дело в том, что в ходе решения задач некоторые его аспекты в ряде случаев остаются не понятыми учащимися.

Пример 5. Именно эту ситуацию демонстрирует следующее уравнение: 2^{x2+ 3x} -- 3^{- 3x -} 8 + log 5 ( x ² + 3 x +2) = 2 ^{- 3x -} 8 - 3^x 2 ^{+ 3x} + + log (( - 3 x - 8 ) + 2). Введем вспомогательную функцию f ( t ) = 2 t + 3 ^t + log ( t +2) и перепишем уравнение в виде f ( x ² + 3 x ) = f ( - 3 x - 8). Так как эта функция строго возрастает, делаем вывод, что из равенства f ( x ² + 3 x ) = f ( - 3 x - 8) следует равенство x ² + 3 x = - 3 x - 8, откуда легко найти корни исходного уравнения. Корнями будут числа - 2 и - 4. Однако если формально выполнять решение исходного уравнения, можно не заметить, что - 2 - посторонний корень. То есть речь идет о том, что не учтена область определения логарифмической функции. Чтобы составлять аналогичные уравнения, следует учесть это обстоятельство, тем более что задача составления уравнения может содержать и некоторые другие требования, например, наличие определенного количества (или посторонних) корней.

В современной теории и методике обучения математике информационная структура задачи в замкнутой системе «человек - задача» представлена совокупностью четырех компонентов: А - условие (условия) задачи, т.е. данные и отношения между ними; В - требование задачи, т.е. искомое (искомые) и отношения между ними; С - базис решения задачи - вся совокупность теоретических сведений, необходимых для обоснования ее решения; D - способ, определяющий процесс решения задачи, т.е. способ преобразования условия задачи для выполнения ее требования [2: 38]. Фактически компоненты А и В образуют формулировку задачи, поэтому можно утверждать, что они известны субъекту, решающему ее. Следовательно, умение вести поиск решения задачи - это, прежде всего, умение определять предметное содержание компонентов С и D ее информационной структуры. Действительно, субъект предполагает, что с помощью этих теоретических средств можно сделать очередной шаг в решении задачи, затем выдвигает идею о том, как именно их использовать, какой метод решения задач здесь применить, и т.п., т.е. в процессе поиска надо найти такой способ логической связи нескольких теоретических фактов, который позволяет от условия задачи прийти к выполнению ее требования. Но все то же самое делает школьник, составляя математическую задачу: выполняет действия, образующие базис поиска решения задачи. Причем, составляя задачу, он должен соотносить промежуточные результаты с предполагаемым предметным содержанием компонентов A и B, т.е. в полной мере задействовать все четыре компонента информационной структуры задачи.

Заметим, что составляемая задача может быть несколько (а порой значительно) легче задач, предлагаемых учителем. Однако в процессе составления и поиска решения задачи учащиеся выполняют одну и ту же (по своей сути) работу. При правильной организации обучения эта работа посильна и интересна для школьников. По этой причине в ходе составления задач учащиеся практически в полной мере осваивают ту деятельность, которую они выполняют в процессе решения предложенных им задач.

Есть еще один немаловажный фактор, имеющий место в процессе составления задач школьниками. Дело в том, что, составляя задачи, они довольно часто выполняют эту работу не индивидуально, а в парах или группах. Это позволяет реализовать взаимообучение на уроках математики. В педагогике и педагогической психологии стало уже классическим положение о том, что этот вид обучения является одним из самых эффективных. Поэтому в совокупности с тем, что, составив задачу, школьники осмысливают ее в полной мере (условие, требование, способ решения и его теоретический базис), данный вид обучения ощутимо повышает их умение вести поиск решения задачи.

Теперь изложим некоторые факторы, указывающие на то, когда в обучении целесообразно уделять внимание составлению задач учащимися. Во-первых, формальное составление аналогичной задачи учащимся нужно выполнять всегда, когда появляется возможность отвлечься от конкретной природы компонентов, фигурирующих в задаче. Во-вторых, составление математических задач может и должно применяться в ходе изучения нового метода (или нового приема) решения задач. В-третьих, составлять задачи следует тогда, когда в ранее решенной задаче доказывается некий факт, по отношению к которому может быть сформулировано обратное или противоположное утверждение и на его осно- ве составлена задача. Так, в некоторых задачах на доказательство можно поменять местами условие и требование. Если обратная (или «противоположная») задача, сформулированная учащимися, нелогична, под решением поставленной перед школьниками проблемы следует понимать сам тот факт, что они могут это доказать.

В-четвертых, составление задач учащимися целесообразно тогда, когда одна из задач является базисной для каких-либо других задач. Базисная задача может выступать в двух качествах: демонстрировать идею (метод) решения целого класса задач или представлять собой некоторый факт, используемый в решении последующих задач. При этом следует сформулировать еще и саму базисную задачу. В-пятых, составление задач может иметь место при использовании в обучении какого-либо нового способа реализации внутрипредметных связей. В таких случаях целесообразно пользоваться системами задач, специально составленных для освоения этого нового способа.

Обобщая все сделанные ранее выводы, заключаем: процедура составления задач и процесс поиска их решений опираются на одни и те же ресурсы (внутрипредметные связи, методы решения, приемы преобразований, компоненты информационной структуры задачи и т. д.); составление задач и поиск их решений идентичны по сути деятельности, выполняемой при этом школьниками; составление задач требует того, чтобы все задействованные при этом компоненты и связи между ними были осмыслены в полной мере; составление задач позволяет регулярнее применять в обучении метод использования базисных задач; при правильной организации работа по составлению задач посильна и интересна для школьников и часто выполняется в русле педагогики взаимообучения. Таким образом, если в процессе обучения математике учащиеся регулярно составляют задачи, все вышеизложенное в совокупности способствует повышению их умения вести поиск решений задач.