С. А. Богомолов между формализмом и интуитивизмом

Профессор Степан Александрович Богомолов (1876—1965) последовательно развивал философию математики [1]. В 1900 году он окончил Петербургский университет по математическому отделению физико-математического факультета. В 1901 и 1902 гг. преподавал в гимназии и Реформаторском училище, что определило его позднейший интерес к проблемам методики преподавания математики. В 1902— 1918 гг. он был штатным сотрудником Петербургского политехнического института, в 1918— 1924 гг. работал в Высшем педагогическом институте. В 1921—1938 гг. Богомолов возглавлял кафедру математики Артиллерийской академии, а в 1938—1954 гг. — кафедру математики Военно-транспортной академии.

Сфера научных интересов С. А. Богомолова — геометрия, геометрическая кристаллография и философия математики. Философией математики он заинтересовался ещё в студенческий период, когда участвовал в работе философского и математического обществ, темами заседаний которых была проблема оснований математики и, в частности, геометрии. В 1924 году Богомолов организовал Общество ревнителей математического образования (ОРМО), которое возглавлял до 1930 года. Общество объединяло усилия методистов в период реформирования системы образования, пропагандировало новые математические и методические идеи среди учителей и существенно влияло на ленинградское математическое образование.

В 1907—1928 гг. С. А. Богомолов написал серию статей и книг по философским проблемам математики, прежде всего — геометрии. В 1913 году вышла его книга «Вопросы обоснования геометрии: интуиция, математическая логика, идея порядка в геометрии», где он развил тему интуиции в геометрии на фоне набиравшей силу гильбертовой программы обоснования геометрии как чисто логической системы. Его философские авторитеты, чьи идеи он критически использовал для определения интуиции — Лейбниц, Кант, Шопенгауэр, А. И. Введенский и И. И. Лапшин. Он отмечал, что интуиция — «особый источник достоверного знания в гео- метрии, не сводящийся к простому констатированию свойств эмпирически воспроизводимых фигур и естественно противополагаемый логической дедукции из аксиом» [2]. Он полагал, что интуитивная очевидность проистекает из начальных геометрических сведений, полученных в «глубинах подсознательной деятельности» и неразрывно связанных со свойствами движения твёрдых тел. Интуитивные знания имеют эмпирическое происхождение, но это не умаляет их. Интуиция пространства позволяет выявить основные положения геометрии и даёт повод к формулированию аксиом, причём сам процесс этот имеет логико-рациональный характер и происходит за пределами интуиции. Богомолов заметил, что размышления об источниках геометрического знания изменили представления о самой геометрии. В современном понимании, она — отрасль чистой математики, хотя ранее считалась наукой о реальном пространстве. «После открытия неевклидовых систем и других «патологических» геометрий такое воззрение должно было пасть; всё яснее и яснее выступало убеждение, что дело математики — в том числе и геометрии — установить связь известных результатов с известными предпосылками; что же касается истинности самих предпосылок — в частности сюда входит вопрос об истинных свойствах нашего пространства, — то эти исследования выходят за пределы нашей дисциплины…» [3]. Геометрия в своём развитии стала гипотетико-дедуктивной системой, любая её теорема состоит из утверждения связи двух предложений, в следовании одного из другого. Выбор аксиом осуществляется свободно, но он целесообразен с точки зрения практических приложений. Задача геометрии — доказать её положения на основе принятых аксиом. При доказательстве теорем Богомолов отводит интуиции место, напоминающее её роль при обосновании всей геометрии. При доказывании отдельной теоремы недостаточно последовательных дедуктивных рассуждений. Внутренняя логика, общий план и способ комбинирования имеющихся средств — это область интуиции. Строгость в геометрии достигается тем, что каждое понятие, не вошедшее в число основных, с их помощью определяется, а всякое предложение, не вошедшее в число аксиом, должно быть строго доказано с их помощью. Источник новых положений в геометрии — интуиция. Абстрактная геометрия может иметь разные истолкования, так как основные понятия характеризуются только системой аксиом. Под основные понятия можно подводить любые объекты, если остаются в силе утверждения аксиом. Это допускает перенос выводов из одной системы в другую. Система аксиом должна удовлетворять условиям непротиворечивости, независимости и полноты.

В 1923 году С. А. Богомолов публикует новую книгу [4] о философии математики. В ней продолжен анализ причин интереса математиков к обоснованию геометрии, изучено соотношение логики и интуиции в процессе геометрического познания. Богомолов проясняет понятие аксиомы, излагает суть аксиоматического метода, исследует связь геометрических систем с реальным пространством.

Рост интереса к основаниям математики, по Богомолову, обусловлен логикой развития математического знания — открытием неевклидовой геометрии и развитием проективной геометрии. В математическом познании соединены обеспечивающая поиск интуиция и определяющая полноту доказательства логика. Он полагал, что вопрос об истинности аксиом решается не геометрией, а философией. Системы Евклида, Лобачевского и Римана — истинны, так как логически правильно построены на базе принятых аксиом. Прикладная геометрия изучает свойства реального пространства, подключая результаты опыта и наблюдений. Это создаёт определённые сложности. Ведь результаты измерений связаны с теорией инструментов, не свободной от конкретной геометрии. Здесь видна идея теоретической нагруженности фактов и наблюдений, которая позднее станет известной благодаря К. Попперу. Изучая природу, нельзя ограничиться выбором геометрической системы, также значим выбор астрономической и физической гипотез. Можно брать любую систему геометрии, но « все исследования истинных свойств реального пространства ставят вне всяких сомнений полную практическую пригодность евклидовой геометрии » [5].

В концепции математического знания С. А. Богомолова проявлялось тяготение к интуитивизму. Но теоретическую математику он определял в духе логицизма и формализма: «Чистая математика есть система логических следствий, выводимых с помощью символов из свободно устанавливаемых предпосылок» [6]. Богомолова нельзя отнести к последовательным интерналис-там или экстерналистам — он размышлял вне этих систем. С одной стороны, он заявлял, что математика «сама создаёт предмет своего исследования». Но с другой — при описании истории геометрии указывал, что проективная геометрия развилась из практических потребностей живописи и архитектуры. Зная направления развития философии математики, С. А. Богомолов видел достоинства и слабости всех программ и пытался учесть их. Его позиция сочетала умеренные формы интуитивизма и логицизма.

Богомолов интересовался механизмом развития научной теории. Он анализировал возможности постановки научных проблем и средства для их решения в математическом сообществе. Он обосновал логическую предопределённость последовательности выдвижения и разрешения проблем неевклидовой геометрии. Так, геометрия Римана концептуально и логически следует за геометрией Лобачевского. Геометрия Лобачевского изменила только одну аксиому в евклидовой системе. Геометрия Римана связана с более глубокими изменениями. Геометрии Евклида и Лобачевского исчерпывают две возможности для параллельных линий, а геометрия Римана осуществляет и третью возможность, отрицающую существование параллельных. Например, любая пара прямых линий в геометрии Римана на сфере пересекается, как и в проективной геометрии. Определение Риманом прямой как замкнутой геодезической вызывает изменение ряда аксиом Евклида. Поэтому третья возможность не рассматривалась в перспективе построения цельной геометрии, при том, что сферическая геометрия была хорошо изучена.

Богомолов выделил главные проблемы аксиоматизации геометрии Римана и предложил собственный способ их преодоления. Он определил риманову геометрию в духе Клейна: « Геометрией Римана называется та неевклидова геометрия, в которой нет параллельных прямых, и прямая есть линия замкнутая. Сферической системой мы называем ту форму её, которая характеризуется двумя точками пересечения прямых одной плоскости. Эллиптической системой называется другая форма, которая характеризуется одной точкой пересечения у двух прямых » [7]. Сама геометрия Евклида — параболическая, так как имеет одну бесконечно-удалённую точку, а геометрия Лобачевского — гиперболическая, так как имеет две бесконечно-удалённые точки. Эллиптическая проективная геометрия может быть получена из сферической, если отождествить диаметрально противоположные точки сферы. Богомолов сопоставил системы геометрических аксиом, взяв за основу систему аксиом Гильберта евклидовой геометрии. Для изучения связей систем аксиом эллиптической и сферической геометрий с аксиомами евклидовой геометрии, он определил основные понятия этих систем.

И хотя в работе С. А. Богомолова не было значительных геометрических результатов, яс- ность изложения, полнота описания и тонкий анализ позиций математиков по вышеназванным проблемам, а также философские соображения об отношении этих геометрических систем к свойствам реального пространства сделали его сочинение оригинальным явлением. Но в связи с идеологическими преследованиями по причине, прежде всего, его лидирующего положения в Обществе ревнителей математического образования, С. А. Богомолов с 1930-х гг. фактически ничего не публиковал по теме философии математики, полностью переключившись на проблемы геометрии. После критики его позиции в области философии математики на его работы из осторожности не ссылались, что привело к их фактическому забвению.

Идеологическая кампания в математике 1930—40-х гг. Партийную чистку в советской математике организовал международный авантюрист Кольман 1, занимавший долж- ность помощника заведующего Отделом агитации и пропаганды ЦК ВКП(б). Его поддерживали молодые «левые» математики — А. Р. Кулишер, Л. А. Лейферт, В. В. Люш, В. И. Микулинский, Е. С. Рабинович, А. В. Дыман, Д. К. Кноль, И. Ф. Лохин, Б. И. Сегал, и некоторые другие. Они выступили за «диалектизацию математики» и превращение её в партийную науку. Это требовало решения вполне определённой задачи — дать подходящее определение математики, выяснить её статус и методологическую специфику. «Левые» математики в первую очередь критиковали «старую профессуру» — С. Н. Бернштейна, А. В. Васильева, Н. М. Гюнтера, С. А. Богомолова. И затем — занимавших административные должности «новых» математиков, поднявшихся после революции и активно участвовавших в образовательных реформах и создании научных институтов.

Результатом и символом этой кампании стало печально знаменитое «дело» Лузина [8]. Истинной причиной его была борьба между молодым и старым поколением математиков за социальные привилегии и командные посты в математическом сообществе. За помощью к власти обратились адепты новой науки — «пролетарской» топологии. Руками своего научного эксперта Кольмана партия постаралась освободиться от нелояльных власти старых профессоров, сохранивших научный авторитет, не компенсировавший их мировоззренческую чужеродность. К этому времени подросло новое поколение идеологически преданных, молодых и талантливых математиков.

Открытая политизация дискуссий началась около 1928 года. С почина некоторых преподавателей университета в ленинградском математическом обществе возникла группа «левых» для борьбы с «правыми»2. В Академию наук одновременно были выдвинуты Н. М. Гюнтер и И. М. Виноградов, что ожесточило споры математиков. От Московского математического общества были рекомендованы Н. Н. Лузин и Д. Ф. Егоров. Для снятия напряжения конфликта В. И. Вернадский предлагал провести Лузина по философскому отделению. В итоге в 1929 году Виноградов и члены-корреспонденты Бернштейн, Крылов и Лузин были избраны академиками АН СССР по физико-математическому отделению (математике), а члены-корреспонденты Д. А. Граве и Д. Ф. Егоров были избраны почётными академиками. Член-корреспондент АН с 1924 года Гюнтер академиком избран не был.

27 декабря 1929 года на конференции аграрников-марксистов Сталин произнёс речь, в которой отметил отставание научной теории от практики и призвал к «повороту в политике партии» . Это стало сигналом для «философского фронта» и для математического. Одной из вех «поворота» стало смещение в 1930 году Д. Ф. Егорова с поста директора Института математики и механики Московского университета. Выдающийся учёный и администратор Егоров был воспитан в московской математической школе. Он был учеником Н. В. Бугаева, создавшего оригинальную религиозную и философскую концепцию аритмологии. Егоров не скрывал свои религиозные убеждения и неприязнь к новой власти. Его сменил «красный профессор» О. Ю. Шмидт, призвавший сотрудников Института перестроить работу на марксистской основе.

В июне 1930 года на Первом всесоюзном съезде математиков в Харькове Егоров призвал не отправлять приветствие от имени Съезда математиков в адрес XVI съезда партии, проходившего в то же время. В сентябре 1930 года его арестовали по делу «Истинно-православной церкви» , и через год Егоров скончался в Казани в тюремной больнице. После его ареста Московское математическое общество оказалось под угрозой закрытия. Руководство общества осудило контрреволюционную деятельность Егорова и избрало президентом Кольмана.

Организатором Первого всесоюзного съезда математиков выступил Украинский институт математических наук, возглавляемый выдающимся учёным с дореволюционными научными заслугами Сергеем Натановичем Бернштейном (1880—1968). На съезде состоялась дискуссия о применении метода диалектического и исторического материализма к истории и обоснованию математики, а также о «внедрении этого метода в собственно математическое исследование». Главными оппонентами стали сторонник диалектики М. Х. Орлов и её противник С. Н. Бернштейн, полагавший, что между диалектикой и математикой нет точек соприкосновения. Бернштейна после съезда сняли с должности директора института, и на этот пост поставили Орлова. Но, будучи профессором Харьковского физи- ко-химико-математического института, Бернштейн в институтской многотиражке напечатал статью против распространения в математике диалектического метода, приводящего, по его мнению, к скудоумию. Метод материалистической диалектики можно было бы принять, если бы с его помощью не хуже, чем математическими методами решалась бы какая-нибудь математическая задача, но таковых нет. Математика, в отличие от философии, имеет работающие методы. А постоянные философские дискуссии показывают, что у философии нет единства и ясности, и поэтому внедрение философского диалектико-материалистического метода в математику не принесёт пользы науке. Кроме того, математика внеклассова и внеполитична, поэтому математики разных убеждений могут совместно работать над одними проблемами, дополняя друг друга.

В ответ Орлов разоблачил Бернштейна: «Акад. Бернштейн ведёт активную борьбу против марксизма-ленинизма, прикрываясь лозунгами аполитичности и непартийности. Но, как всегда в таких случаях, эти лозунги припрятывают враждебную нам политическую линию. И действительно, обосновывая аполитичность, непартийность и надклассовость математики, акад. Бернштейн становится на вполне определённые идеологические позиции, характеризуемые как реакционная философия воинствующего эклектицизма. Ещё на Всероссийском математическом съезде 1927 года акад. Бернштейн проявил свои методологические ярко антимарксистские взгляды. Но наиболее чётко он сформулировал их в статье, посланной в начале 1931 года в многотиражку Харьковского физико-химико-математического института» [9]. Орлов декларировал общезначимость диалектики, которая поэтому уместна и в математике. Партийность математики показывают примеры «идеалистической» математики Гильберта и «субъективно-идеалистической» теории Брауэра.

Подчеркнём, что настоящей целью этих прений был передел власти в математическом сообществе. Вытеснить авторитетных учёных на математическом ристалище было невозможно, поэтому полем для атаки на них стали области истории и философии математики, а также методика преподавания в школе и вузе. Именно здесь было легче найти предмет для критики идеологически неверной или «академически» аполитичной позиции. Против математиков-идеалистов, влиявших на научное и педагогическое сообщество методическими, научно-популярными и философскими работами, высту- пили воинствующие материалисты. В ход шли идеологические аргументы, возражать которым в период государственной борьбы с пережитками реакционного и классового вредного мировоззрения было опасно. «Старым профессорам» приписывались «уличающие» характеристики, подрывающие их позиции: «Группа кадетст-вующей профессуры, умело державшая контакт с царским министерством, и с Академией наук, и университетом, и с Математическим обществом с одной стороны и в то же время ведущая работу среди «левых» кругов преподавателей средней школы. Эта группа не чуждалась вопросов методики преподавания, интересовалась историей математики и философии и выступала с позиций воинствующего идеализма по этим вопросам на съездах и совещаниях. К этой группе следует отнести проф. А. В. Васильева, к ней же, пожалуй, следует причислить проф. С А. Богомолова и ряд других профессоров» [10]. Показательны обвинения С. А. Богомолова в специальной резолюции по итогам диспута «О трудах и деятельности проф. С. А. Богомолова», проходившего 20 мая 1931 года: «После победы Октябрьской революции, продолжая занимать кафедру в Ленинградском педагогическом институте, проф. С. А. Богомолов не написал ни одной научной работы в защиту и обоснование школьных и методических реформ в области математики, проводимых советской властью. В изданной Гизом книге «Основания геометрии», написанной на базе 15-летнего опыта чтения лекций по курсу того же названия, автор даёт всё ту же неправильную оценку работам крупнейших геометров, искажая её в интересах той же идеалистической тенденции в науке, с которой автор неоднократно солидаризируется и в этой книге. Кроме того, через частные издательства проф. С. А. Богомолов издаёт две популярные книги: 1) «Актуальная бесконечность» и 2) «Эволюция геометрической мысли» в целях более широкой пропаганды идеалистических учений в анализе геометрии и для распространения идеалистических концепций по вопросам истории математики. Здесь он вновь даёт простор своему стремлению привести через математику, через отрыв теории от практики, читателя прямо в объятия мистицизма» [11]. В ход пошли демагогические лозунги и призывы следующего свойства: «Мы должны прежде всего повернуть математику к практике социалистического строительства... Прежнее деление дисциплин и отчуждённость этих дисциплин должны отпасть. Новые задачи обнаружат несомненно тесную связь даже между наиболее отдалёнными отделами математики... Вся наша работа должна быть пронизана ленинским принципом партийности в науке, единственным методом должен служить метод диалектического материализма. Только при этом условии нам удастся освободить советскую математику от идеологического плена буржуазной науки» [12].

Притворный ревнитель классовой истины Э. Кольман специализировался в огульных нападках на известных учёных. Он регулярно запускал обвинительные статьи в партийные газеты и журналы. Так, в статье с доносным заголовком «Вредительство в науке» он громил старых профессоров, которых обвинял в незнании диалектики и не только. Темой его выступлений была «аполитичность» Шмидта и «вредительство» Егорова. Дадим пример риторики Кольмана. Напомним, что это был 1931 год — шёл первый вал сталинских репрессий и «чисток» государственных учреждений: «Подмена большевистской политики в науке, подмена борьбы за партийность науки либерализмом тем более преступна, что носителями реакционных теорий являются маститые профессора, как махист Френкель в физике, виталист Гуревич и Берг в биологии, что Савич в психологии, Кольцов в евгенике, Вернадский в геологии, Егоров и Богомолов в математике «выводят» каждый из своей науки реакционнейшие социальные теории. Разве нехарактерно — если взять лишь события последнего месяца — что признанного вождя реакционной московской математической школы, ещё в прошлом году директора математического института, состоявшего церковным старостой, но не желавшего быть членом профсоюза, проф. Егорова московское математическое общество упорно не желало исключить из своего состава. Когда же Егоров заявил, что «не что-либо другое, а навязывание стандартного мировоззрения учёным, является подлинным вредительством», докладчик-коммунист не только сам не дал отпора, но в заключительном слове отвёл предложение сделать из выступления Егорова организационные выводы, объяснив всё «недоразумением». Такова политика некоторых коммунистов проводимая ими в реакционнейшей профессорской среде, в среде хранителей традиций Цингера, Бугаева, Некрасова, разрабатывавших теорию вероятностей, науку о числе и анализ для доказательства не- зыблемости «православия, самодержавия, народности», для подкрепления философии Лопатина в среде тех людей, которые вполне последовательно на недавнем съезде отказывались послать приветствие XVI съезду» [13].

Свободные размышления о философских проблемах математики были отчасти пресечены в 1930—40-е гг. под партийным идеологическим давлением. В СССР победила диалектикоматериалистическая концепция математического знания, достаточно искренне и последовательно разделявшаяся математиками до конца 1960-х гг. Большой удачей для советских математиков стало то, что в 30—50-е годы О. Ю. Шмидт, А. Н. Колмогоров и А. Д. Александров решились адаптировать учение диалектического материализма к философии математики и своим научным авторитетом утвердили свою умеренно идеологическую версию. Тем самым была ликвидированы предпосылки для идеологических баталий в математике, имевших печальные последствия для других дисциплинарных сообществ.

• 1.    Беспамятных Н. Д. Степан Александрович Богомолов. Л. : Наука, 1989. 117 с.

• 2.    Богомолов С. А. Вопросы обоснования геометрии. Ч. 1. СПб. : Изд. Т-ва В. В. Думнов — Наследники Братьев Салаевых, 1913. С. 49.

• 3.    Там же. С. 76.

• 4.    Богомолов С. А. Основания геометрии. Пг., 1923. 330 с.

• 5.    Там же. С. 316.

• 6.    Богомолов С. А. Эстетические элементы в математике // Вопр. преподавания математики / под ред. И. А. Сигова, И. С. Симонова. Л. : Изд-во Брокгауз-Ефрон, 1925. С. 7.

• 7.    Богомолов С. А. Основания геометрии. Пг., 1923. С. 271.

• 8.    Дело академика Николая Николаевича Лузина / под ред. С. С. Демидова, Б. В. Левшина. СПб. : РХГИ, 1999. 312 с.

• 9.    Орлов М. Боротьба за марксо-ленiнску мето-дологiю в математицi // Журн. математического циклу ВУАН. К., 1931. № 1. С. 22—24.

• 10.    На Ленинградском математическом фронте / под ред. Л. А. Лейферта, Б. И. Сегала, Л. И. Фёдорова. М. ; Л. : ГСЭИ, 1931. С. 9.

• 11.    Там же. С. 41.

• 12.    Сегал Б. Задачи Ленинградского математического общества // На Ленинградском математическом фронте. М. ; Л. : ГСЭИ, 1931. С. 27—29.

• 13.    Кольман Э. Вредительство в науке // Большевик. 1931. № 2. С. 78—79.