Седиментация малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в плоском слое

Бесплатный доступ

На основе диффузионно-кинетического подхода выполнен аналитический анализ осаждения малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в плоском слое покоящейся дисперсионной фазы (вязкая несжимаемая жидкость). При отсутствии перемешивания математическая модель для монодисперсных частиц, обобщенная на полидисперсный случай с использованием принципа суперпозиции концентрационных полей, представлена в виде начально-краевой задачи для дифференциального уравнения первого порядка в частных производных относительно функции плотности распределения частиц по размерам, решение которой записано аналитическим соотношением с помощью обобщенной функции Хэвисайда. Получены расчетные выражения для локальной счетной функции плотности распределения частиц в пространстве размеров, массовой концентрации в объеме и роста осадка, инвариантных физико-химическим свойствам гетерогенной системы. Показано, что найденное обобщенное решение может быть применено для дисперсного анализа взвеси как альтернативная методика седиментометрическому анализу, если известна эмпирическая относительная седиментационная кривая. Если исходная счетная функция плотности распределения частиц по размерам относится к экспоненциальному типу, то из безусловной задачи минимизации легко может быть вычислен среднечисленный размер частиц взвеси. Данный подход может быть обобщен на случай грубодисперсных взвесей, скорость осаждения которых не подчиняется закону Стокса, а также для произвольных исходных счетных функций плотности распределения частиц взвеси по размеру. В этом случае для нахождения функции плотности частиц по размеру применяется целевая функция, записанная в виде функционала, и задача его минимизации приводит с некоторой степенью приближения к искомой экспериментальной счетной функции плотности распределения частиц по размерам.

Еще

Седиментация, полидисперсная взвесь, осадок, плоскийслой, концентрация

Короткий адрес: https://sciup.org/147232788

IDR: 147232788   |   DOI: 10.14529/mmph180308

Текст научной статьи Седиментация малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в плоском слое

Введение. Процесс осаждения малоконцентрированной полидисперсной взвеси находит широкое использование в энергетике, химической и пищевой технологиях [1, 2], а если при этом несущая среда является условно неподвижной, то этот процесс имеет фундаментальное значение в седиментометрическом анализе дисперсной фазы [3]. В частности, если скорость частиц постоянна, что означает уравновешивание силы тяжести силами гидродинамического сопротивления, то такие частицы принято называть стоксовскими [4]. Анализ процесса осаждения с позиций механики гетерогенных сред вызывает ряд трудностей, связанных с идентификацией межфазной границы [5], что, в конечном счете, делает невозможным постановку краевых условий и применение интегро-дифференциального исчисления. Альтернативой этому является применение диффузионно-кинетической модели процесса осаждения [6], что с успехом апробировано при решении ряда задач [7, 8].

Постановка задачи. Рассмотрим плоский слой дисперсионной среды высотой h со свободной поверхностью, которая содержит равномерно распределенную дисперсную фазу малоконцентрированных полидисперсных частиц. Направим ось Ox декартовой координаты с началом на поверхности осаждения перпендикулярно к свободной поверхности, тогда диффузионнокинетическая модель осаждения монодисперсной взвеси имеет вид [9]:

д n ( x , т )      д n ( x , т ) ^d 2 n ( x , т )

—= w— + D --;                   (1)

д т

д x          д x 2

n ( x ,0 ) = n 0 ;                                            (2)

(w - k) n (0,т) + D д n(0,T) = 0;(3)

дx wn(h,т) + D дn(h,т) = 0,(4)

дx где т, x - время и декартова координата; n (x,т) - локальная счетная концентрация частиц размера l; w – стоксовская скорость осаждения частиц размера l; D – коэффициент конвективного перемешивания взвеси; k – кинетический коэффициент встраивания частиц в структуру осадка.

Если перемешивание отсутствует ( D = 0 ) , то из (3) следует, что k ^ w , т. е. частицы, подошедшие к поверхности осаждения, беспрепятственно оказываются в осадке. Поэтому (1)–(4)

трансформируется в систему: дn(x ,т)     дn(x ,т) = w,                                     (5) дт         дx                                         ’ n (x ,т ) = n 0,                                               (6) n (0,т)^ n 0,                                               (7) n (h ,т) = 0.                                            (8) Из (5)–(8) следует, что n (0,т) = [Н(т)-Н(т - h/w)] n 0, где Н(...) - функция Хэвисайда. В силу малоконцентрированности взвеси система (5)-(8) может быть обобщена на полидисперсный случай, используя принцип суперпозиции концентрационных
полей, т. е. дf(x, l,т) = w (l )дf(x, l,т)                                        (9) дт            дx f (x,l,0) = f0(l),                                            (10) f (0, l ,т) = {н(т)-Н [т - h/w(l)]} f0(l),                            (11) где f0 (l), f (x, l,т) - исходная и локальная счетные функции плотности распределения частиц по размерам.

В безразмерном виде система (9)–(11) такова:

дF(X,L,0) _ 2 дF(X,L,0),„ „ д9             дX    ’

F(X,L,0) = Fo(L);(13)

F(0,L,0) = [Н(0)-Н(0-L2)]F0(L),(14)

где 0 = w ( l ) т/ h ;      X = x/h ;      L = l/l ;      F ( X , L , 0 ) = lf ( N ) ( x , l , т ) ;      F0 ( L ) = lf ( N ) ( l ) ;

max j f 0 (l) dl;

l min

lmax

f ( N ) ( l )= f 0 ( l )/ J f 0 ( l ) dl ; T = j f ( N ) ( l ) dl ;

min , max

lmin минимальный и максимальный размеры частиц взвеси.

Применяя одностороннее преобразование Лапласа по 0 , получим решение (12)-(14)

F(X,L,0) = {н(0)-Н[0-(1 -X)L"2]}F0 (L).(15)

С помощью (15) определены: локальная относительная массовая концентрация частиц во взвеси

Ряжских В.И.,                  Седиментация малоконцентрированной полидисперсной взвеси

Ряжских А.В.                                            стоксовских частиц в плоском слое

Lmax

C(X,e) = c+x?’ = J LF(X,L,e)dL   J F0 (L)dL,(16)

Lmin lmax где Lmin = lmin Г , Lmax = lmax^ , c(x,T’ = kVPt J l3f(x,l,T’dl , c0 = kVPt J l3f0 (l’dl , lmin kV - коэффициент формы частиц, pT - плотность частиц; среднеобъемная относительная массо- вая концентрация частиц

C ( e ) = J C ( X, e ) dX ;

l max

3(т ) = -k^T w (l) l3 1 - £ lmin

т

J f (0, l ,£) d^

dl ; S 0 =

kV

1 - £

lmax h J l3 f0 (l) dl lmin

; £ - порозность осадка взвеси.

относительная толщина осадка »(e )=^<1’=Lmax L’ O0 min e [JF<0'L '#)d5\ dLj Lmax / J L3 F0 (L) dL, Lmin (18) где

Пример расчета. В практике наиболее часто встречается экспоненциальный закон распределения взвеси, например, в процессах кристаллизации твердой фазы из растворов, объемной конденсации парообразных сред и т. д. В этом случае F0 (L ) = exp (-L) и приближенно можно считать Lmin = 0, Lmax ^ ~. Заметим, что условие нормировки при этом выполняется автоматически. Тогда из (15) следует

F (X, L ,e) = {H(e)-H[e-(1 - X) L-2 ]}exp(-L).

Рис. 1. Безразмерная функция плотности распределе-   Рис. 2. Относительная массовая концентрация частиц ния частиц по размеру при e = 0,05                  при: 1 — e = 0,001; 2 - e = 0,01; 3 - e = 0,1

Трансформирование F ( X , L, e ) в процессе седиментации показано на рис. 1. Выражение для локальной относительной массовой концентрации частиц во взвеси (16) принимает вид (рис. 2)

C ( X , е ) = [ б - ( L *3 + 3 L *3 + 6 L * + 6 ) exp ( - L *) ] /б,

где L = ^( 1 - X )/ e . Кинетика осветления взвеси в процессе осаждения есть

с (е )=2 [б0е - з-(60e+ve+60/ Ve+27+7/ 7ё) exp (-V Тё)] .

Относительная толщина осадка представлена в квадратурах

_ e

ale ) = J[120 (< '3 + 5^-2 + 20^3/2 + 60< 1 +120^^1 +120)exp(-0,5/^)]d^ .

В частности, если известна экспериментальная относительная седиментационная кривая о э ( т ) , то решив оптимизационную задачу

11 - окат)/оэ (т)| ^ min,

а в которой а = w(l)/h, нетрудно найти

l =

18 pva у g ( р т - p )

где р - плотность; v - кинематическая

вязкость несущей среды; g – ускорение свободного падения.

Заключение. Аналитический анализ позволил получить основные характеристики кинетики осаждения малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в неподвижной несущей среде инвариантно физико-химическим свойствам гетерогенной системы и на его основе предложить способ идентификации среднего размера взвеси по экспериментальной седиментационной кривой.

Список литературы Седиментация малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в плоском слое

  • Берд, Р. Явления переноса / Р. Берд, В. Стьюарт, Е. Лайтфут. - М.: Химия, 1974. - 688 с.
  • Богомолов, А.В. Математическое обеспечение оценивания состояния материальных систем / А.В. Богомолов, И.Б. Ушаков, Ю.А. Кукушкин. - М.: Машиностроение. - Новые технологии, 2004. - 36 с.
  • Коузов, П.А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельченных материалов / П.А. Коузов. - Л.: Химия, 1974. - 279 с.
  • Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М.: Мир, 1976. - 630 с.
  • Morel, C. Mathematical Modeling of Disperse Two-Phase Flows / C. Morel. - N.Y.: Springer International Publishing, 2015. - 350 с.
  • Броунштейн, В.Б. Диффузионная модель классификации частиц в разряженных суспензиях / В.Б. Броунштейн // Журнал прикладной химии. - 1983. - Т. 56, № 8. - С. 1788-1793.
  • Харин, В.М. К теории осаждения / В.М. Харин, В.И. Ряжских // Теоретические основы химической технологии. - 1989. - Т. 23, № 5. - С. 651-658.
  • Харин, В.М. Кинетика осаждения примесей при испарительном охлаждении криогенных жидкостей / В.М. Харин, В.И. Ряжских, Р.М. Завадских // Теоретические основы химической технологии. - 1996. - Т. 30, № 5. - С. 453-457.
  • Веригин, А.Н. Диффузия и седиментация мелкодисперсной однородной взвеси в отстойниках / А.Н. Веригин, С.В. Васильев // Теоретические основы химической технологии. - 1982. - Т. 16, № 3. - С. 374-380.
Еще
Статья научная