Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с нерасщепимым максимальным тором
Автор: Джусоева Нонна Анатольевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.17, 2015 года.
Бесплатный доступ
Элементы матриц нерасщепимого максимального тора $T=T(d)$ (связанного с радикальным расширением $k(\sqrt[n]{d})$ степени $n$ основного поля $k$) порождают некоторое подкольцо $R(d)$ поля $k$. Пусть $R$~--- промежуточное подкольцо, $R(d)\subseteq{R}\subseteq{k}$, $d\in{R}$, $ A_1\subseteq\dots\subseteq A_n$~--- цепочка идеалов кольца $R$, причем $d A_n\subseteq A_1.$ Через $\sigma = (\sigma_{ij})$ мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой $\sigma_{ij}= A_{i+1-j}$ при $ j\leq i$ и $\sigma_{ij}=dA_{n+i+1-j}$ при $j\geq i+1$. Через $G(\sigma)$ и $E(\sigma)$ обозначаются соответственно сетевая и элементарная сетевая группы. Доказывается, что $TG(\sigma)$ и $TE(\sigma)$~--- промежуточные подгруппы группы $GL(n, k)$, содержащие тор $T$.
Надгруппа, промежуточная подгруппа, элементарная группа, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция
Короткий адрес: https://sciup.org/14318495
IDR: 14318495
Текст научной статьи Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с нерасщепимым максимальным тором
Сеть и элементарная сетевая группа, которые определяются в настоящей заметке, связаны с изучением подгрупп, содержащих нерасщепимый максимальный тор T, в пол ной линейной группе G = GL ( n,k ) над полом k (см. [3. 4]).
Пусть x n - d- неприводимый многочлен степени n над полем k,d Е k. Тогда e i = 9г -1. 9 = n/d. 1 6 i 6 n, образуют базис радикального расширения степени n поля K = k ( n d ) щщ k. Мы рассматриваем норастцопимый максимальный тор T = T ( d). который является образом мультипликативной группы поля K = k ( n d ) при регулярном вложении в G. В выбранном базисе тор T = T ( d ) определяется как матричная группа
T = T(d) = {c(x) : x = (x1,..., xn) E kn \ 0}, причем элементы матрицы c(x) = (cij) определяются еле дующим образом: cij = xi+1-j при j 6 i н cij = dxn+i+1-j пГ>n j > i + 1. С каждой матрицей c = c(x) = (cij) связана обратная матрица c-1 = c(y) = (cij). y = (y1,... ,yn) E kn, где yi = |CCX)|- npiгюм Сц — алгебраическое дополнение элемента. c1i матГ>ицы c = c(x) Рассматриваем унитальное подкольцо Ro = R(d) по ля k. порожденное элементами xiyj. dxrys:
Ro = R(d) = ring xxyjj, dxrys : i + j 6 n + 1, r + s > n + 1, x E kn \ 0^>.
Пусть R — промежуточное подкольцо. Ro С R С к. Пусть, палее. Ai С • • • С A n — цепочка идеалов кольца R. причем dA n С A 1 . Перез ст = ( CT ij ) мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой
CTij —
Ai +1 -j, dAn + i +1 -j,
j 6 i;
j > i + 1.
Через G(ct) обозначается сетевая группа [1].
Сеть ст мы называем сетью. асстршрованной с тором T. Подгруппу Е(ст) порож денную всеми (общими) трансвекциями из G(ct), мы называем элементарной сетевой группой, ассоидирооаппой с тором T.
Напомним, что (общая) трансвекция - это матрица (5j + ai ej), у которой
-
a i в 1 + ... + а п в п — 0, a i , e j € к,
5 ij — символ Кронекера. Частным случаем (общей) трансвекции является элементарная трансвекция. а именно - это матрица t rs( a ) — e + ae rs. г де r — s. a € к. e - единичная матрица, ers — матрица, у которой на позиции ( r, s) стоит 1, а на остальных местах нули.
Доказательство следующей теоремы основано на. результатах работы [2].
Теорема. 1) Ъ эр T нормализует группы G(ct) ii Е (ct) Следователыю. TG(ct) ii TE(ct) - промежуточные подгруппы группы GL ( n, к), содерж:mine тор T.
-
2) Ес-ли b — (5ij + aiej ) - трапевскцпя из TG(ct). то aiej € CTij.
-
3) Грэ-ппа TE(ct) порождавтся тором T и корневыми подгруппами:
TE(ct) — ( T,ti i (Ai) : 2 6 i 6 n ) .
Более точно, всякая трансвекция из E(ct) имеет вид
c(x)t2i(a2)t3i(a3)... tni(an)c-1 (x)
для некоторых c(x) € T. a i € Ai.
Прежде чем доказывать теорему сформулируем и докажем несколько утверждений.
Лемма 1 [2. теорема 2]. Top T нормализует группы G(ct) ii Е (ct) Сделоватсдвио.
TG(ct) i i TE(ct) - промежуточные подгруппы. содержапще тор T.
Лемма 2. Пусть b — (5ij + aiej ) - трапевскцпя из TG(ct). То гда aiej € CTij.
C Доказательство этого утверждения разобьем на две части:
-
а) Матрица b имеет вид матрицы
Х2 10
b — Х3 01
... .....
Хп 00
По условию b € TG(ct). Покажем, iiапример. что Х2 € ст21 — A2. По условию b — C(x) • a € T • G(ct),
Джусоева Н. А.
где a = ( a ^ ) Е G(a).
с (x) =
/1 + ai a2 a= an
x1 x2
xn
dxn x1
xn-1
da (n1)
1 + a^)
* *
*
(1) a n-1
dx 2 dx 3
,
I I x1
da2n—\ da(n-1)
I I
I
1 + ain—^ j
тле a^k Е Ai. i = 1,... ,n. k = 0,..., n - 1. a (0) = ai. x 1 ,..., xn Е k. Приравнивая первую строку матрицы b к первой строке матрицы c(x) a, мы получим систему из n линейных уравнений относительно xi, dxn, ..., dx2. Из этой системы находим
A11 A21 A31 An1
А , dxn ^^ , dxn—1 ^^ , . . . , dx2 ^^ , где А = det a Е R*. Ац — алгебраические дсшо.тиеиия элементов an мату>ипы a = (aij). Далее,
А2 = Х2(1 + ai) + xia2 + dx n a 3 +-----+ dx 3 a n
An1 A11 A21 A31 An-1,1
= да(1 + ai)+—A a2+—А a3+—А a4 + "' +—А— an.
Нетрудно видеть, что всякий элемент из A ni содержится в dA2, либо в d2 A ^ С d2 A n С µA1 ⊆ dA2
■dA (1+ai) е A2.
Очевидно, далее, что
A11
"A a2 Е
A2.
Далее, нетрудно видеть, что для i = 2,..., n
Ai1 ∈ dAk ⊆ A1 ⊆ A2.
Отсюда А 2 Е А 2.
-
b) b = (d ij + a i e j ) - произвольная трансвекция. Согласно предложению 2.1.1 (3) для некоторой матрицы C Е T матрица C —i bC имеет вид (1). а. потому в силу уже доказанного пункта а) имеем C —i bC Е G ( a). Из леммы 1 тогда мы имеем включение b Е G ( a ) B
Предложение. Группа TE(a) порождавтся тором T и корневыми подгруппами:
TE (a) = h T,t ii( A i ):2 6 i 6 n i .
Более точно, всякая трансвекция из E(a) имеет вид
C (x)t2i(a2 )t3i(a3).. .tni(an)C i(x)
для некоторых C (x) Е T. ai Е Ai.
C Пусть b = ( 5 ij + a j e ij ) — трапсвсктщя из TE ( o). Тогда contюно лемме 2 b Е Е ( ст). Палее, для некоторой матрицы C Е T матрица C -1 bC имеет вид (1). с другой стороны, по лемме 1 C -1 bC Е G ( n ). Слсдоватслыю. матрица C -1 bC Е G ( n ) (а потому п матрица b) принадлежит правой части доказываемого равенства. B
Теперв, очевидно, теорема вытекает из лемм 1 и 2 и предложения.
Список литературы Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с нерасщепимым максимальным тором
- Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц//Зап. науч. семин. ПОМИ РАН.-1976.-Т. 64.-C. 12-29.
- Джусоева Н. А. Сетевые кольца нормализуемые тором//Тр. ИММ УрО РАН.-2013.-Т. 19, № 3.-C. 113-119.
- Койбаев В. А. Подгруппы группы $GL(2,Q)$, содержащие нерасщепимый максимальный тор//Докл. АН СССР.-1990.-Т. 312, № 1.-C. 36-38.
- Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор//Алгебра и анализ.-2009.-Т. 21, № 5.-C. 70-86.