Сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с нерасщепимым максимальным тором

Сеть и элементарная сетевая группа, которые определяются в настоящей заметке, связаны с изучением подгрупп, содержащих нерасщепимый максимальный тор T, в пол ной линейной группе G = GL ( n,k ) над полом k (см. [3. 4]).

Пусть x n - d- неприводимый многочлен степени n над полем k,d Е k. Тогда e i = 9^{г -1}. 9 = n/d. 1 6 i 6 n, образуют базис радикального расширения степени n поля K = k ( n d ) щщ k. Мы рассматриваем норастцопимый максимальный тор T = T ( d). который является образом мультипликативной группы поля K = k ( n d ) при регулярном вложении в G. В выбранном базисе тор T = T ( d ) определяется как матричная группа

T = T(d) = {c(x) : x = (x1,..., xn) E kn \ 0}, причем элементы матрицы c(x) = (cij) определяются еле дующим образом: cij = xi+1-j при j 6 i н cij = dxn+i+1-j пГ>n j > i + 1. С каждой матрицей c = c(x) = (cij) связана обратная матрица c-1 = c(y) = (cij). y = (y1,... ,yn) E kn, где yi = |CCX)|- npiгюм Сц — алгебраическое дополнение элемента. c1i матГ>ицы c = c(x) Рассматриваем унитальное подкольцо Ro = R(d) по ля k. порожденное элементами xiyj. dxrys:

Ro = R(d) = ring xxyjj, dxrys : i + j 6 n + 1, r + s > n + 1, x E kn \ 0^>.

Пусть R — промежуточное подкольцо. Ro С R С к. Пусть, палее. Ai С • • • С A n — цепочка идеалов кольца R. причем dA n С A 1 . Перез ст = ( CT ij ) мы обозначаем сеть идеалов, определенную формулой

^CTij ^—

Ai +1 -j^, dAn + i +1 -j^,

j 6 i;

j >  i + 1.

Через G(ct) обозначается сетевая группа [1].

Сеть ст мы называем сетью. асстршрованной с тором T. Подгруппу Е(ст) порож денную всеми (общими) трансвекциями из G(ct), мы называем элементарной сетевой группой, ассоидирооаппой с тором T.

Напомним, что (общая) трансвекция - это матрица (5j + ai ej), у которой

• a i в 1 + ... + а п в п — 0, a i , e j € к,

5 ij — символ Кронекера. Частным случаем (общей) трансвекции является элементарная трансвекция. а именно - это матрица t rs( a ) — e + ae rs. г де r — s. a € к. e - единичная матрица, ers — матрица, у которой на позиции ( r, s) стоит 1, а на остальных местах нули.

Доказательство следующей теоремы основано на. результатах работы [2].

Теорема. 1) Ъ эр T нормализует группы G(ct) ii Е (ct) Следователыю. TG(ct) ii TE(ct) - промежуточные подгруппы группы GL ( n, к), содерж:mine тор T.

• 2)    Ес-ли b — (5ij + aiej ) - трапевскцпя из TG(ct). то aiej € CTij.

• 3)    Грэ-ппа TE(ct) порождавтся тором T и корневыми подгруппами:

TE(ct) — ( T,ti i (Ai) : 2 6 i 6 n ) .

Более точно, всякая трансвекция из E(ct) имеет вид

c(x)t2i(a2)t3i(a3)... tni(an)c-1 (x)

для некоторых c(x) € T. a i € Ai.

Прежде чем доказывать теорему сформулируем и докажем несколько утверждений.

Лемма 1 [2. теорема 2]. Top T нормализует группы G(ct) ii Е (ct) Сделоватсдвио.

TG(ct) i i TE(ct) - промежуточные подгруппы. содержапще тор T.

Лемма 2. Пусть b — (5ij + aiej ) - трапевскцпя из TG(ct). То гда aiej € CTij.

C Доказательство этого утверждения разобьем на две части:

• а)    Матрица b имеет вид матрицы

Х2   10

b — Х3   01

...   .....

Хп   00

По условию b € TG(ct). Покажем, iiапример. что Х2 € ст21 — A2. По условию b — C(x) • a € T • G(ct),

Джусоева Н. А.

где a = ( a ^ ) Е G(a).

с (x) =

/1 + ai a2 a= an

x1 x2

xn

dxn x1

xn-1

_da (_n1)

1 + a^)

* *

*

(1) a n-1

dx 2 dx 3

,

I I x1

da2n—\ da(n-1)

I I

I

1 + ain^—^ j

тле a^k Е Ai. i = 1,... ,n. k = 0,..., n - 1. a (⁰⁾ = ai. x 1 ,..., x_n Е k. Приравнивая первую строку матрицы b к первой строке матрицы c(x) a, мы получим систему из n линейных уравнений относительно x_i, dxn, ..., dx₂. Из этой системы находим

A11        A21          A31             An1

А , dxn ^^ , dxn—1     ^^ , . . . , dx2     ^^ , где А = det a Е R*. Ац — алгебраические дсшо.тиеиия элементов an мату>ипы a = (aij). Далее,

А2 = Х2(1 + ai) + xia2 + dx n a 3 +-----+ dx 3 a n

An1            A11 A21 A31            An-1,1

= да^{(1 +} ai)⁺—A ^a2⁺—А ^a3⁺—А ^a4 ⁺ "' ⁺—А— an.

Нетрудно видеть, что всякий элемент из A ni содержится в dA2, либо в d² A ^ С d² A n С µA1 ⊆ dA2

■dA ⁽¹⁺ai) ^е A2.

Очевидно, далее, что

A11

"A a2 Е

A2.

Далее, нетрудно видеть, что для i = 2,..., n

Ai1 ∈ dA_k ⊆ A1 ⊆ A2.

Отсюда А 2 Е А 2.

• b)    b = (d ij + a i e j ) - произвольная трансвекция. Согласно предложению 2.1.1 (3) для некоторой матрицы C Е T матрица C ^—i bC имеет вид (1). а. потому в силу уже доказанного пункта а) имеем C ^—i bC Е G ( a). Из леммы 1 тогда мы имеем включение b Е G ( a ) B

Предложение. Группа TE(a) порождавтся тором T и корневыми подгруппами:

TE (a) = h T,t ii( A i ):2 6 i 6 n i .

Более точно, всякая трансвекция из E(a) имеет вид

C (x)t2i(a2 )t3i(a3).. .tni(an)C ⁱ(x)

для некоторых C (x) Е T. ai Е Ai.

C Пусть b = ( 5 ij + a j e ij ) — трапсвсктщя из TE ( o). Тогда contюно лемме 2 b Е Е ( ст). Палее, для некоторой матрицы C Е T матрица C -1 bC имеет вид (1). с другой стороны, по лемме 1 C -1 bC Е G ( n ). Слсдоватслыю. матрица C -1 bC Е G ( n ) (а потому п матрица b) принадлежит правой части доказываемого равенства. B

Теперв, очевидно, теорема вытекает из лемм 1 и 2 и предложения.