Сильная трансверсальная эквивалентность полных трансверсально аффинных слоений

Исследуются гладкие слоения (M, F ) произвольной коразмерности q на п-мерном многообразии M, 1 <  q < п, допускающие в качестве трансверсальной структуры аффинную геометрию A^q, г де A^q — q-мерное аффинное пространство. Такие слоения называются трансверсально аффинными, или, для краткости, аффинными слоениями (строгое определение дано в разделе 2).

Подчеркнем, что (M,F ) — аффинное слоение тогда и только тогда, когда оно является слоением с трансверсальной линейной связностью [1] нулевой кривизны и без кручения.

Мы напоминаем понятие сильной трансверсальной эквивалентности слоений, которое введено нами в [2] без использования термина, сильная трансверсальная эквивалентность.

Это понятие является более тонким, чем понятие трансверсальной эквивалентности слоений, принадлежащее Молино [3].

Целью данной работы является классификация полных аффинных слоений относительно сильной трансверсальной эквивалентности.

Основным результатом является теорема о биективности множества классов сильной трансверсальной эквивалентности полных аффинных слоений коразмерности д, где q > 1, с множеством классов сопряженных счетных подгрупп аффинной группы Aff (A^q ) (теорема 4).

Данная статья использует методы исследования (X, Сфслоений в смысле [4], а также методы и результаты предыдущей работы автора [2].

Обозначения. Следуя [5], через Р(N,H ) мы обозначаем главное Н-расслоение с проекцией Р ^ N. Модуль векторных полей на.л алгеброй гладких функции F(M ) на многообразии M обозиачасмся через X (M ). Для распрелелепия M на. M не]эез X m ( M ) обозначается множество всех векторных полей X на М таких, что X_x Е М _х для всех точек ж € М. Если M — распределение, касательное к слоению (M,F ), то Хм(М) обозначается также через: X p (M ). Ес -.ти р : M ^ N субмерсия и M — распределение на N. то N := p* M — индуцированное распределение на M такое, что N = {X Е X (M ) | p*_zX Е М_р(_г)}, где г Е M.

Символ = обозначает изоморфизм объектов в соответствующей категории.

Счетной группой мы называем счетную или конечную группу.

2.    Полные аффинные слоения2.1.    Определение аффинных слоений

Аффинная группа. Будем обозначать через A^q q-мерное аффинное пространство, а через Aff(A^q ) группу Ли всех его аффинных преобразований.

Будем рассматривать точки ж из A^q и R^q как q-мерные векторы. Элемент группы Aff (A^q ) обозиачіім парой <  A, a >. где A Е GL(q, R). a — то^т іка из R^q 1i < A, a > ж = Aж+a Уж Е A^q. Групповая операция в Aff (A^q) определена следующим образом:

• ,< В,Ь>Е Aff (A^q).

Таким образом, группа Aff (A^q) является полупрямым произведением общей линейной группы Н = GL(q, R) и абелевой группы R^q , то есть Aff (A^q) = Н n R^q.

Аффинное слоение. (Aff (A^q ),A^q ^-коциклом называется семейство {Up ft, {ytj }}t,jeJ такое, что

• 1)    {Ut | i Е J} — открытое покрытие п-мерного многообразия M. 0 < q < п:

• 2)    ft : Ui ^ A¹   субмсрсіш со связными слоями в аффинное пространство A^q:

• 3)    если Ut П Uj = 0, где і,у Е J, то существует аффинное преобразование f Е Aff (A^q), сужение которого ytj := f lj.(ипи.) удовлетворяет равенству ft = ytj о fj на пересечении Ut П Uj.

2.2.    Полнота аффинных слоений

Заметим, что из условия 3) вытекает, что если Ut П Uj nU^ = 0, где i,j,k Е J, то на пересечении Ut П Uj П Uk выполняется равенство ytk = ytj о yj^.

Максимальный по включению (Aff (A^q), A^q)-коцикл {Ut, ft, {ytj}}t,jeJ , обладающий указанными выше свойствами, определяет новую топологию Q на M, базой которой является множество слоев всех субмерсий ft. Компоненты линейной связности топологического пространства (M, Q) образуют разбиение многообразия M, которое обозначается через F = {L_a|a Е A} и называется трансверсально аффинным слоением, которое для краткости называется аффинным слоением, заданным (Aff (A^q),A^q)-коциклом {U_t,f_t, {y_tj}}_t,jej, a L_a, а Е A, называются слоями этого слоения.

Любой (Aff (A^q),A^q )-коцикл содержится в единственном максимальном (Af f (A^q ), A^q )-коцикле, поэтому для задания слоения (М, F ) достаточно задать какой-либо (Aff (A^q), A^q)-коцикл, обладающий свойствами 1) - 3).

Как и выше, пусть Н = GL(q, R). Обозначим Aff (A^q) через G. Пусть g и h — алгебры Ли групп G л Н соответствешю. Поскольку G = Н nR^q. нормально!i подгруппе R^q соответствует идеал n в алгебре Ли д. Распределение Q на G такое, что Q _д = l_g*(n). г,те l_g - левый сдвиг на д Е G. интегрируемо и Н-пивариаптио. Оно является связностью в Н-расслоепии G(A^q , Н ) II соответствует плоской линейной связности аффинного пространства A^q.

Пусть д = h + n — Н-моду.тыюе разнойтеине алгебры Ли д. Так как G/Н — редуктивное однородное пространство, то ^ = (G(A^q, Н ),шс), где шс — форма Маурера-Картана на группе Ли G, представляет собой редуктивную картанову геометрию нулевой картановой кривизны. Следовательно, любое аффинное слоение является картановым слоением типа (G,Н ) в смысле [6] н [7]. моделируетіым на картановой геометрии £ = (G(A^q, Н ),шс).

Как известно, для картанова слоения существует слоеное расслоение. Для аффинного слоения (M,F ) сносное расслоение состоит из следующих объектов: Н-расс.тоеппя с проекцией л : X ^ М, елоения (X, Т ) и g-значной 1-формы ш на X, удовлетворяющих следующим условиям:

• 1)    ш(A*) = A дня A Е h, где A* — фундаментально*? векторное поле на. X. соответствующее A;

• 2)    1-форма ш Н-эквиваршштпа. т.е. (К_а)*ш = AdG(а^-1')ш Уа Е Н. где Ade — присоединенное представление группы G в ее алгебре Ли д;

• 3)    отображение ш_п : T_UX ^ д сюръективно дня любого и ЕХ. причем кегш = ТТ, где ТТ — распределение. касатеныюе к слоению (X, Т). a Q := {Q_u | Q_u = ш-1(п), и Е X} — интегрируемая Н-связноств в Н-рассноешш Х(М,Н):

• 4)    производная Ли Lxш равна нулю для каждого векторного поля X Е Ху(X).

3.    Глобальные группы голономии полных аффинных слоений3.1.    Структура полных аффинных слоений

Слоение (X, Т ) называется поднятым слоенном для (M,F ).

Напомним, что q-мерное трансверсальное распределение на М называется трансверсальным к (-400111110 (M,F ) коразм<щностн q. если Т_хМ = T_XF ф М_х для любой тонки х Е М.

Определение 1. Пусть (М, F ) — аффинное слоение коразмерности q и Q — Н-связность в слоеном расслоении Х(М, Н ) с проекцией л : X ^ М. Слоение (М, F ) называется полным, если существует q-мерное трансверсальное ему распределение M на М такое, что для распределения N := л*М П Q любое векторное поле X Е Xn(X), для которого ш(Х) = const Е д, является полным.

Нетрудно показать, что опредедение 1 полноты аффинного слоения (М, F ) эквивалентно полноте этого слоения, рассматриваемого как картаново слоение [7].

Далее через r(L, ж) обозначается ростковая группа гомономии слоя L Эх слоения, общепринятая в теории слоений [8].

Теорема 1. Пусть (M,F ) — полное трансверсально аффинное слоение произвольной коразмерности q на п-мерном многообразии М. Тогда

• (1)    суичествует регулярное, накрыбаюиіэх. отобразісснлт к : М ^ М такое, что индуцированное слоение (M,F), где "F = k*F, образовано слоями тривиального расслоения с прос/киуиези. г : М = L0 х A^q ^ A^q на q-мернос афуфиннос. пространство A^q. причем L0 — многообразие, диффеоморфное любому слою с тривиальной группой голономии слоения (M,F ).■

• (2)    определены подгруппа Ф аффинной группи Aff (R^q) и эпиморфизм

X : ^1(М, х) ^ Ф фундаментальной группи к1(М,х) многообразия М на Ф, причем группа накрывающих преобразований накрытия k : М ^ М изоморфна Ф;

• (3)    группа голономии T(L, х) произвольного слоя L = L(x) слоеная (М, Ғ) изоморфна стационарной подгруппе Ф^ групни Ф в точке b Е г(к-1(х)) Е A^q.

3.2.    Реализуемость счетной подгруппы группы Афf (А) в качестве глобальной группы голономии полного аффинного слоения

Доказательство. Говорят, что группа диффеоморфизмов Ф многообразия N действует квазианалитически, если из существования р Е Фи непустого открытого множества U в N таких, что р\и = idy- следует р = idN- Заметим, что аффинная группа. Aff (A^q ) действует квазианалитически на A^q, поэтому аффинное слоение является (G, X )-слоением в смысле Эпштейна [4]. где G = Aff (A^q) 11 X = A^q.

Как извесно [7, предложение 3], из полноты картанова слоения (М,Ғ ) относительно распределения M вытекает, что M — связность Эресмана для этого слоения в смысле Блюменталя и Хебды [9]. Поэтому применима, теорема. 2 из [10], согласно которой существует регулярное накрывающее отображение к : М ж М с индуцированным слоением Ғ = к*Ғ, образованным слоями локально тривиального расслоения г : М ^ В. где В — щмсрнос одпосвязпое гладкое миогоое разно. Поскольку поднятое слоение (М, Ғ) также является (Aff(A^q),A^q )-слоением, В локально изоморфно A^q, то есть В — аффинное многообразие. Полнота слоения (М,Ғ ) влечет полноту аффинного слоения (М,Ғ) которая влечет геодезическую полноту аффинного многообразия В. Так как A^q - единственное односвязное, полное аффинное многообразие размерности q, то необходимо, чтобы В = A^q. В силу стягиваемости A^q, расслоение г : М ^ A^q тривиально. Это доказывает утверждение (1) теоремы 1.

Утверждения (2) и (3) теоремы 1 вытекают из утверждений (2) и (3) теоремы 2 из [10]. □

Определение 2. Группа Ф, удовлетворяющая теореме 1, называется глобальной группой голономии слоения (М, Ғ ) и обозначается Ф = а(М,Ғ ).

Замечание 1. Группа, накрывающих преобразований регулярного накрытия к : М ^ М определена однозначно при фиксированной тонко у Е М. При переходе к другой точке у’ Е М, к(у) = к(у’), группа накрывающих преобразований отображается на себя внутренним автоморфизмом. Отсюда вытекает, что глобальная группа голономии Ф слоения (М,Ғ ), являющаяся подгруппой аффинной группы Aff (A^q), определена с точностью до сопряжений преобразованиями из Aff (A^q).

Далее, когда мы говорим о глобальной группе голономии слоения (М, Ғ ), будем подразумевать, что фиксирована некоторая точка у Е М и проекция г : М ^ A^q.

Надстроечные слоения. Конструкция надстроечного слоения принадлежит Хефлигеру и состоит в следующем [7]. Пусть В и N — гладкие связные многообразия. р : ^1(В,Ь) ^ Diff(N ) — гомоморфизм групп. Пусть G : = ^і(В,Ь) и Ф := p(G\ Рассмотрим универсальное накрывающее отображение р : В ^ В. Зададим правое действие группы G па. произведении многообразий В х N следующим образом:

ө : В х N xG -В х N : (x,t,g) ^ (g 1(х), p(g 1)(t)), где В ж В : х ^ g 1(х) — накрывающее преобразование, индуцированное элементом

g ¹

̂︀

̂︀

Е G. Отображение р : М := (В х N ) /G ^ В = В/G определяет локально тривиаль

ное расслоение над В со стандартным слоем N, ассоциированное с главным расслоением р : В ^ В со структурной группой G.

Пусть Ө_д := ӨІ-gx^}^}. Так как Ө_д(В х {t}) = В х р(д 1)(t) Vt Е N, то действие дискретной группы G сохраняет тривиальное слоение F := {В х {t} | t Е N } произведения В х N . Следовательно, фактор-отображение /0 : В х N ^ (В х N ) /G = М индуцирует на М гладкое слоение F, слои которого трансверсальны слоям локально тривиального расслоения р : М ^ В. Будем называть р : М ^ В ассоциированным расслоением. Заметим, что распределение M, касательное к слоям субмерсии р : М ^ В, является связностью Эресмана для слоения (М,F ).

Пара (М,F ) называется надстроечным слоением и обозначается через Sus(N, В, р) Группа диффеоморфизмов Ф := p(G') многообразия N называется структурной группой надстроечного слоения (М, F ). В случае односвязности многообразия N структурная группа. Ф является глобальной группой гомономии надстроечного слоения (М,F ).

Следующая теорема, о реализации доказывается нами конструктивным путем.

Теорема 2. Любая счетная подгруппа Ф аффинной группи A//(A^q ), г де q > 1, реализуется в качестве глобальной группи голономии некоторого двумерного полного аффинного надстроечного слоения (М, F ) коразмерности q на многообразии М, являющемся пространством Эленберга-Маклейна типа К (к, 1).

Доказательство. Через N обозначим множество натуральных чисел, а через No — его счетное подмножество, которое может быть и конечным.

Пусть Ф — пропзволыпгя. счетная подгруппа аффинной группы A//(A^q ) со счетным семейством образующих {ф_г | г Е No С N}. Обозначим через В = R² \{а_г = (г, 0) Е R² | г Е No} двумерную плоскость, в которой выколото счетное множество изолированных точек {аг | г Е No}. Фундаментальная группа, двумерного гладкого многообразия В есть свободная группа. G =< дг | г Е No >  со счетным семейством образующих дг.

Определим гомоморфизм групп р : к1(В,Ь) = G ^ A//(A^q ), задав его на образующих: р(дг") := фг,г Е No- Тогда определено иадстроенпое слоение (М,F ) := Sus(A^q ,В,р). которое является двумерным аффинным слоением коразмерности q. Слоение (М, F ) накрыто тривиальным расслоением R² х A⁴ ^ A^q.

Рассмотрим ассоциированное локально тривиальное расслоение р : М ^ В. Как отмечалось выше, распределение M, образованное касательными пространствами к слоям этого расслоения, является связностью Эресмана для (М,F ). Обозначим через k : R² х A^q ^ М = (R² х A⁴ )/G универсальное накрывающее отображение. Из определения надстроечного слоения (М, F ) вытекает, что подиятое распределение M = k* M образовано касательными пространствами к тривиальному слоению F = {{г} х A^q | г Е R²}. Полнота аффинного пространства A^q влечет полноту аффинного слоения (R² х A^q ,F ). Отсюда, учитывая, что F = k*F — индуцированное слоение на универсальном накрывающем пространстве для М. мві получаем полнот у аффинного слоения (М,F ).

Благодаря односвязности аффинного пространства A^q, структурная группа p(G) надстроечного слоения (М, F ) совпадает с его глобальной группой голономии Ф = а(М, F ), то есть Ф = p(G).

Заметим, что ассоциированное трансверсальное расслоение р : М ^ В имеет стягиваемый стандартный слой Aq. Поэтому из точной гомотопической последовательности этого расслоения вытекает изоморфность фундаментальных групп кі(М) и кі(В). Кроме того, универсальное накрывающее пространство для М также стягиваемое. Поэтому кп(М) = 0 для любого натурального числа п > 2. Таким образом, единственная нетривиальная гомотопическая группа слоеного многообразия М есть кі(М) = кі(В). Следовательно, М — пространство Эленберга-Маклейна типа К (к, 1), где к = кі(В). □ р о Go = Но, существует продолжение Go до гомотопии Gt : К ^ X, удовлетворяющей равенству р о G t = Ht.

Напомним, что расслоением Серра называется непрерывное сюръективное отображение, обладающее свойством накрывающей гомотопии относительно любого конечного полиэдра (см., например, [11]). Как известно, для расслоений Серра можно построить точную гомотопическую последовательность расслоения.

Понятие трансверсальной эквивалентности гладких слоений введено Молино [3]. Мы следующим образом усилили это понятие [2, Определение 1.1].

Определение 3. Два слоения (М,Ғ ) и (Мі,Ғі) мы называем сильно трансверсально эквивалентными, если существуют слоение (M, F) и субмерсии со связными слоями р : M ^ М и р1 : M ^ М1, образующие расслоения Серра, такие, что

F = {.[.[. е Ғ } = {р-Чь'Ж' е Ғ1}

Замечание 2. Определение 3 сильной трансверсальной эквивалентности слоений отличается от определения трансверсальной эквивалентности слоений в смысле Молино [3] дополнительным требованием, чтобы субмерсии со связными слоями р : M ^ Ми рі : M ^ М1 образовывали расслоения Серра.

Доказано [2, предложение 1.1], что отношение сильной трансверсальной эквивалентности слоений действительно является отношением эквивалентности.

Напомним, что слоение называется простым, если оно образовано слоями некоторой субмерсии. Причина, по которой мы рассматриваем более сильное отношение эквивалентности слоений, чем трансверсальная эквивалентность в смысле Молино, заключается в том, что, как показывают примеры [2, пример 7.1], существуют простые слоения, для которых слоения, поднятые на универсальные накрывающие многообразия, не являются простыми. Нами доказано, что поднятие на накрывающее пространство простого слоения, образованного слоями расслоения Серра, является простым слоением. Этот факт существенно используется при доказательстве теоремы 1.2 в [2], которую мы применяем далее.

• 5.    Основная теорема

  5.1.    Сильная трансверсальная эквивалентность слоений, накрытых расслоениями

Определение 4. Пусть к : М ^ М — универсальное накрывающее отображение. Слоение (М,Ғ ) называется слоением, накрытым расслоением, если индуцированное слоение Ғ = к*Ғ на М образовано слоями некоторого гладкого расслоения в смысле Серра р :М ^N. _

Из точной гомотопической последовательности расслоения Серра р : М ^ N, в силу односвязности М II связности слоев слоения Ғ вытекает односвязность базы N. Дак как группа накрывающих преобразований G = ^1(М ) универсального накрытия к : М ^ М сохраняет слоение (М,Ғ ). то она индуцирует группу диффеоморфизмов Ф С Diff(N ) и эпиморфизм групп р : ^1(М ) ^ Ф. При этом группа Ф называется глобальной группой голономии слоения (М,Ғ ), накрытого расслоением р : М ^ N, и обозначается через Ф = а(М,Ғ ).

Пусть F — множество всех слоений, накрытых расслоениями. Для любого слоения (М,Ғ ) е F обозначим через [(М, Ғ )] класс сильной трансверсальной эквивалентности, содержащий (М,Ғ ). Множество классов сильно трансверсально эквивалентных слоений из F обозначим через F. Таким (образом. F = {[(М, Ғ)] | (М,Ғ ) е F}.

Для слоения (М,Ғ ). накрытого расслоением р : М ^ N. где М и N — одиосвя'зпыс многообразия, определена пара (N, Ф), где Ф — глобальная группа голономии слоения (М,Ғ ). которая обозначается через (N, Ф) := 3(М,Ғ ).

Рассмотрим категорию P пар (N , Ф), г де N — любое односвязное многообразие, а Ф — счетная группа диффеоморфизмов многообразия N. Морфизмами двух объектов (N, Ф) и (N‘, Ф‘) из P являются парьі отображений (d, Ө), где d : N ^ N ‘ — гладкое отображение, а Ө : Ф ^ Ф' — гомоморфизм групп, удовлетворяющих равенству d о ф = Ө(ф) о d Vф Е Ф. Обозначим через [(N, Ф)] класс изоморфных объектов категории P, содержащий (N, Ф). Пусть P = {[(N, Ф)] | (N, Ф) Е P}.

Следующая теорема доказана нами в [2, теорема 1.2].

Теорема 3. Отобраэюение

В : F ^ P : [(М, F)] ^ [(N, Ф) := ф(М, F)] V(M, F) Е F является биекцией.

5.2.    Сильная трансверсальная эквивалентность аффинных слоений

Как известно, любое локально тривиальное расслоение является расслоением в смысле Серра, поэтому из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Любое полное аффинное слоение накрыто расслоением.

Обозначим через F ajj множество всех полных аффинных слоений. Согласно следствию 1 выполняется включение F ajj С F.

Через P ajj обозначим подкатегорию категории P, объектами которой являются пары (А⁹, Ф). где Ф — счетная подгруппа, группы Афф (А⁹). морфизмами (А⁹, Ф) н- (А⁹, Ф) в P ajj являются такие пары отображений (d, Ө), г де d — линейное отображение аффинного пространства А⁹ в себя, а Ө : Ф ^ ^ф — гомоморфизм групп, удовлетворяющий равенству d оф = Ө(ф) о d для любого ф Е Ф.

Положим Fajj := {[(M,F)] | (М, F) Е Fajj } 11 P ajj := {[(А⁹, Ф)] | (А⁹, Ф) Е P ajj }. где [(М, F)] — класс сильной трансверсальной эквивалентности, содержащий (М, F) Е F ajj- а [(А⁹, Ф)] — класс объектов. изоморфных (А⁹, Ф) в кате горни P ajj-

С. ледующая теорема, является основным результатом данной работы.

Теорема 4. Равенство ф (M,F ) := (А⁹, Ф), где Ф = а(М, F ), определяет отобраэюение

Bajj : Fajj ^ Pajj : [(М, F)] ^ [ф(М, F)] V(M, F) Е Fajj, являющееся биекцией.

Доказательство Рассмотрим произвольное полное аффинное слоение (М, F ) коразмерности q. Тогда, согласно теореме 1. опрело.тепа глобальная группа гомономии Ф = a(M,F ). являющаяся счетной подгруппой аффинной группы Афф (А⁹). Следовательно, равенство ф(М, F) := (А⁹, Ф). где Ф = а(М, F ). определяет отображение ф : Fajj ^ P ajj : (M,F) ^ ф(М, F ).

Предположим, что слоения (Мг, Fi), г = 1, 2, сильно трансверсально эквивалентны и имеют коразмерность q. Пусть слоение (M, F) и субмерсии со связными слоями рг : M ^ Мг, являющиеся расслоениями Серра, реализуют эту эквивалентность. Рассмотрим универсальные накрывающие отображения кг : Мг и к : M ^ M. Из теоремы 1 вытекает, что индуцированные слоения Fi = k*F образованы слоями тривиальных расслоений тг : Мг = L0 х А9 ^ А9, где L0 — многообразие, диффеоморфное любому слою с тривиальной группой голономии слоения (Mi,FiY Аналогично тому, как в доказательстве теоремы 1.2 из [2], мы показываем, что слоение (M,F), где F = к*F, с проекциями фг : M - Мг реализуют сильную трансверсальную эквивалентность слоений (М1, F1) и (М2, F2). Отсюда вытекает, что все три слоения (M, F) и (M1,F1) и (М2,В2) образованы слоями расслоений Серра, с базой А9. Пусть Фг := a(Mi,Fi). г = 1, 2, 11 Ф = a(M, F). Так же. как в доказательстве теоремы 1.2 из [2], мы доказываем существование аффинных преобразований di : А9 ^ А9 и изоморфизмов глобальных групп голономии Өі : Ф ^ Фг, удовлетворяющих равенствам di оф = Өг(ф) о di V— Е Ф. При этом изолюр<])ігзм групп Ө := Ө2 о Ө-1 ii ac])(])iiiinoe преобразование d : = d2 о d-1 реализуют изо морфизм пар (И9, Фі) и (И9, Ф2) в категории Pajj, то есть [(И9, Фі)] = [(И9, Ф2)]. Следовательно, определено отображение

B ajj : Fajj ^ P aj j : [(М, F )] ^ [(И⁹ , Ф) = р(М, F )] V(М, F ) е F ajj .

Инъективность отображения B ajj доказывается тем же методом, что и инъективность отображения В в [2. теорема 1.2].

По теореме 1 для любой пары (И⁹, Ф), где Ф — счетная подгруппа аффинной группы Aff (И⁹). существует полное аффинное слоение (М, F) такое, что а(М, F ) = Ф. Следовательно, для любого элемента [(И⁹, Ф)] е P ajj найдется класс сильно трансверсально эквивалентных полных аффинных слоений [(М, F)] такой, что B ajj [(М, F)] = [(И⁹, Ф)]. Поэтому отображение B ajj сюръективно.

Таким образом, мы имеем биекцию B ajj : F ajj ^ P ajj- □

Следующее утверждение, ввиду важности сформулированное в виде теоремы, вытекет из теоремы 4.

Теорема 5. Два полных трансверсально аффинных слоения (М₁,F₁) и (М₂,F₂) коразмерности q сильно трансверсально эквивалентны тогда и только тогда, когда их глобальные группы голономий Ф1 и Ф₂, являются сопряэюеными подгруппами аффинной группы Иff (И⁹).

Замечание 3. Согласно теореме 5 глобальная группа голономии Ф полного аффинного слоения (М,F ). опрелелейная е точностью до сопряженности в группе Aff (И⁹). является полным инвариантом этого слоения относительно сильной трансверсальной эквивалентности.

Из теоремы 5 вытекает, что все объекты и понятия, определяемые глобальной группой голономии Ф полного аффинного слоения (М,F ), являются инвариантами класса сильно трансверсально эквивалентных аффинных слоений. В частности, мы получаем следующее следствие.

Следствие 2. Пусть Ф — глобальная группа голономии полного аффинного слоения (М,F ). Если сушуствует замкнутая орбита группы Ф. то вес слоения (М‘,F ‘). сильно трансверсально эквивалентные (М,F ), имеют замкнутый слой.

5.3.    Структурная алгебра Ли полного аффинного слоения

Рассмотрим произвольное полное аффинное слоение (М,F ). Пусть (R, F ) — его поднятое слоение на пространство слоеного расслоения R. Как известно [3], слоение (R, У ) является полным е-слоением. Согласно [3], индуцированное слоение на замыкании L любого слоя L слоения (R, У ) представляет собой слоение Ли с всюду плотными слоями. Следующее определение является частным случаем понятия структурной алгебры Ли для полного картанова слоения, введенного нами в [7].

Определение 5. Структурная алгебра go слоения Ли с всюду плотными слоями (L, ^|^) называется структурной алгебры Ли слоения (М, F ) и обозначается через g o(м,ғ).

Обозначим через Aff_Fo категорию аффинных слоений, в которой изоморфизмы сохраняют не только слоение, но и его трансверсальную структуру. Для полных аффинных слоений (М,F ) структурная алгебра Ли go = go(М,F ) является алгебраическим инвариантом в категории Aff_Fol.

Поскольку аффинная геометрия является эффективной жесткой геометрией [12], то, применяя теоремы 1 и 4, а также результаты автора [12, теорема 7], мы получаем новую интерпретацию структурной алгебры Ли полного аффинного слоения, указанную в следующем утверждении.

Теорема 6. Структурная алгебра Ли go = go(М,F ) полного аффинного слоения (М,F ) коразмерности q изоморфна алгебре Ли группы Ли Ф, равной замыканию его глобальной группы голономии Ф в аффинной группе Ли Иff (И⁹), при чем go является инвариантом этого слоения относительно сильной трансверсальной эквивалентности.

5.4.    Пример

Пусть (М , F) — произвольное полное аффинное слоение, ж — произвольная точка из М , у — любая точка слоя L = L(ж) слоения (М,F). Два пути Һ и к, соединяющие ж с у, называются эквивалентными, если петля Һ • к-1 определяет тривиальный элемент ростковой группы голономии Г(L,ж) в точке ж. Обозначим через < Һ > класс эквивалентных путей, содержащий Һ. Множество G(F) упорядоченных троек (ж, < Һ >,у), полученных указанным выше способом, называется графиком или группоидом голономии слоения (М,F) [13]. Отображения pi : G(F) ^ М ^ (ж, < Һ >, у) н- ж, р2 : G(F) ^ М ^ (ж, < Һ >, у) н- у называются каноническими проекциями. Как известно [13], G(F) естественным образом наделяется структурой гладкого, вообще говоря, нехаусдорфова многообразия, относительно которой канонические проекции являются субмерсиями.

Согласно [14, теоремы 1 и 2], график G(F ) аффинного слоения (М, F ) является хаусдорфовым многообразием, а в силу полноты (М,F ) канонические проекции pi : G(F ) ^ М и р₂ : G(F ) ^ М образуют локально тривиальные расслоения. Кроме того, на графике G(F ) индуцируется слоение F := {p-¹(L_a ) | L_a Е F } = {р—¹ (L^) | L_a Е F }.

Поскольку любое локально тривиальное расслоение является расслоением Серра, слоение (G(F ), F) и пара субмерсий р1 : G(F ) ^ М и id_G(p ) реализуют сильную трансверсальную эквивалентность слоений (М,F ) и (G(F ),F). Следовательно, не нарушая общности, можно считать, что слоения (М,F ) и (G(F ),F) имеют одну и ту же глобальную группу гомономии Ф.

6.    Заключение

Благодаря теореме 4 классификация аффинных слоений коразмерности q, q > 1, относительно сильной трансверсальной эквивалентности сведена нами к классификации с точностью до сопряженности счетных подгрупп аффинной группы Aff (A^q ).

Работа выполнена при поддержке РНФ, Грант № 17-11-01041.