Симметрические многочлены и законы сохранения

Матрицей Якоби в R n мы называем невырожденную n х n матрицу A(x), x G R n , с элементами a ij , удовлетворяющими условиям

Й=W < ^v i, j k).                     (11)

Нам понадобится следующий упрощенный вариант теоремы Лиувилля, связывающей в теории динамических систем первые интегралы с инфинитезимальными симметриями.

Теорема 1. Пусть B = (A ¹ ) ^{- 1} , где A = A(x) , x G R n , — матрица Якоби в R n . Тогда формула D = B V , где V = (d i ,..., d n ) | — вектор-столбец, составленный из дифференцирований dj = //dxj, определяет n коммутирующих векторных полей в R n :

Di = biidi + ... + bindn, [Di, Dj] = 0.

• C Условия (1.1) обеспечивают замкнутость дифференциальных форм    _j a ij dx j и

• существование локальной системы координат x = ^(x):

X i = ^ 1 (x i , . . . ,X n ),

...(1.3)

xn — Vn (x1, • • • , xn ), в которой dx = A(x) dx и nn d       dx j              d я =           =   > aji a * ^ V = A D.(

∂xi       ∂xi ∂xj∂x

3=1         j    j=1

• (c) 2012 Шабат А. Б.

Другими словами, dx = A(x) dx О D = B(x) • V и дифференциальные операторы (1.2) совпадают с дифференцированиями dj = 8/9xj в новой системе координат (1.3). B

Замечание 1. Координатные функции ^ j , j = 1,...,n, из формулы (1.3) задают максимальный набор из n первых интегралов любой из динамических систем, связанных с векторными полями (1.2), т. е.

nn

D i (V j ) = ^bik Э к (^ j ) = "^b ik a kj = 5 j =

I

i = j, i = j.

(1.5)

Из приведенного выше доказательства теоремы 1 видно, что условия (1.1) являются не только достаточными, но и необходимыми для коммутирования дифференциальных операторов (1.2), построенных по невырожденной матрице B(x). Так как

B = (A | ) ^{- 1} О A = (B | ) ^{- 1} ,

(1.6)

то матрица первых интегралов A восстанавливается по матрице коммутирующих векторных полей B по одной и той же формуле .

2.    Конечномерная формулировка модели

Выбрав в формуле (1.3) в качестве функций ^ j , j = 1,...,n, подходящие симметрические многочлены, и вычислив матрицу Якоби A, мы рассмотрим здесь свойства динамических систем, соответствующих векторным полям (1.5).

Рассмотрим сначала один из примеров такого векторного поля, соответствующий выбору в качестве первых интегралов элементарных симметрических многочленов.

Пример 1. Пусть

1 д

^{D o} = X 1 P 0 (x j ) dx j ’                             ^(2Л)

где р (А) = Y (a — xk) = An+gi An-1 + •••+gn                  (2.2)

k =1

• — многочлен степени n с единичным старшим коэффициентом. Тогда

DoP(A) = Do Y (A - xk) = - X Do(xj) Y(A - Xk) k=1               j=1        k6=j и, следовательно,

DoP(A) |A=xj = -Do(xj)P0(xj) = -1, j = 1,...,n, О Do(P) = -1, так как степень многочлена Do (P) равна n - 1. Другими словами,

Do (gi) = • • • = Do (gn-i) = 0, Do (gn) = -1, и, сравнив с (1.2), мы убеждаемся, что векторное поле D0 соответствует выбору в качестве ϕj , элементарных симметрических многочленов gi =

-^2 X i " g 2 = Z^X i X j " i

g ₃ = -

x i x j x k , . . . i

(2.3)

В частности, при n = 3, соответствующая векторному имеет вид

полю

D 0 динамическая система,

^Х 1                            ,   ^Х 2

(x 2 - x i )(x 3 - x i )           (x i

-

X 2 )(X 3 - X 2 ) ^,

Х 3 =

(x i

-

X 3 )(X 2 — Х з )‘

(2.4)

Именно так эволюционируют корни многочлена третьей степени при P (x) = — 1.

3.    Уравнения для корней

Векторные поля, коммутирующие с векторным полем (2.1), зависят, очевидно, от выбранного семейства симметрических многочленов. Оказывается удобным, для построения этого коммутирующего семейства, заменить элементарные симметрические многочлены (2.3) на суммы степеней, играющих роль координатных функций в формуле (1.3). Очевидно, что при

X m = — 'X x m , m = 1,..., n, m ^j

матрица Якоби A совпадает с матрицей Вандермонда и

• 1    X 1 . . . х П ¹

• 1    x 2 . . . x ₂

...

n - 1

x _n . . .   x _n

Можно проверить, что в этом случае матрица B = (A | ) ¹ имеет следующий вид:

где

gn-1 2 gn-1 . . n . gn-1 ■ P 0(xi) 0        . .         0 -1 B= gn1 -2 2 gn-2 . . n . gn-2 0 P 0(x2 ) • .0 1 .. 1.           . . .1 0 .. 0        . . P0 (xn) . gji d= gi(xi, • • -"Xn)\xj =0

(3.1)

(3.2)

Следовательно, последняя строка обратной матрицы B дает по-прежнему векторное поле (2.1), а следующим строкам соответствуют

n

D. = X j=1

_g j _∂

, i = 1, 2,...,n — 1.

P 0 (x j ) dx j

(3.3)

Например, предпоследней строке матрицы (3.1) соответствует векторное поле

n

Di = X j=1

^g 1 ^{j     ∂}

P 0 ( x j ) dx j'

g i = — ^2xk • k 6 = j

Для построения зависящих от произвольных функций r j = r j (x j ) решений, рассматриваемых ниже уравнений (см. пример 2), мы будем использовать следующую модификацию матрицы Вандермонда

	1	1        .	.1		r i (x i )	0       .	.0
A=	x 1	x 2       . . ..	.    x n .		0	r 2 (x 2 ) . . ..	.0 .	.          (3.4)
	x 1 n - 1	n - 1 x 2         . .	n - 1 .   x n		0	0       .	.   r n (x n )

Нетрудно проверить, что справедливо утверждение:

Лемма 2. При произвольном выборе функций r j (x j ) , j = 1,..., n :

• (i)    Матрица A из формулы (3.4) удовлетворяет условиям (1.1) ;

• (ii)    Для векторных полей D o и D i , построенным по строкам матрицы B = (A | ) ^{- 1} справедливы соотношения ( ср. (3.2)):

D 0 ^{( P} )|      =  D o ^{( x} j ^{) P 0( x j} ) = r - x¹ ) ;

n

P = P (А) = П(^Л — x j ).

j =1

(3.5)

λ = x j                            ^{j j}

- ^j

D i ^{( P} ),     = ^— D ^{i (x j )P,(x} j ) = r ( x i ) ,

λ = x j                            ^{j j}

Так как степень многочленов D o (P ) и D i (P ) равна n — 1, то значения в n точках x j полностью их определяют. Сравнив значения указанных многочленов в этих точках, мы получаем

Теорема 2. В условиях леммы 1 выполняются соотношения

Dm (P ) = hPm ,P i = Pm Do (P) - PDo (Pm ), m = 1,...,n — 1.(3.6)

P                Pm (A) d=f Am + gi Am-1 + ... + gm ^ Pm (xj )= gm,(3.7)

Dn(Pm) — Dm (Pn) = hPn, Pm i (V n, m).(3.8)

В качестве примера перепишем уравнения (3.6) при m = 1 в терминах коэффициентов g j многочлена (2.2) произвольной степени n >  1. Так как m = 1 и P 1 = x + g _i , то степень многочлена h P 1 , P i равна n — 1 и, приравняв его коэффициенты коэффициентам многочлена D _i (P ) той же степени, мы получаем

D i (g i ) = D o (g 2 ), D i (g 2 ) = D o (д з ) + hg i ,g 2 ) ,•••, D i (g n ) = hg i ,g n i, (3.9)

где, как и в теореме, h a, b i = aD o (b) — bD o (a) обозначает «вронскиан» функций a, b. С другой стороны, полагая x = x j в тех же уравнениях (3.6), мы получаем при m = 1

D 1 +

x k k 6 = j

D 0

(x j ) = 0, j = 1,.

n.

(3.10)

Замена динамических переменных xj, j = 1,... ,n, О gj, j = 1,... ,n,

(3.11)

связывает эти две формы уравнений (3.6).

Рассматривая приложения приведенных выше уравнений, мы заменяем коммутиру- ющие векторные поля Do и D,, j = 1, 2, 3,... , дифференцированиями по независимым переменным x и tj

def ∂ def ∂

^{D o} = dx- D j = d j '

ha, bi = ab x — ba x .

(3.12)

Аналогичные (3.10) уравнения для корней x j переходят при этом в системы гиперболических уравнений, записанные в инвариантах Римана, а аналогичные (3.9) уравнения для симметрических многочленов g j дают, как будет показано ниже, законы сохранения этих гиперболических систем.

Замечание 2. Так как при произвольных функциях f , g, зависящих от некоторого набора независимых переменных t = (t o , t i , t 2 ,...), t o = x, мы имеем

[fD o ,gD o ] = fD o О gD o — gD o о fD ₀ = ( f^D o , f,g> = fD o (g) — gD o (f ), то уравнения (3.8) из теоремы 3 можно записывать в виде коммутационных соотношений

[D m - P m (X, t )D o , D n — P n (X, t )D o ] = 0, n,m >  1.

(3.13)

Пример 2. Возвращаясь к уравнениям (3.10), рассмотрим гиперболическую систему уравнений

U t + (v + w)u x = 0,   V t + (w + u)v x = 0,   W t + (u + v)w x = 0,        (3.14)

которая совпадает с (3.10) при n = 3 с точностью до обозначений. В зависимости от выбора вспомогательных функций r j в формуле (3.4) мы получаем для отыскания трех искомых функций u(x,t), v(x,t), w(x,t) следующие функциональные соотношения:

u + v + w = е = const;             f (u) + g(v) + h(w) = e = const;

< u ² + v ² + w ² = 2t;         или     uf 0 (u) du + vg ⁰ (v) dv + wh ⁰ (w) dw = dt;

_u ³ + v ³ + w ³ = 3x,                 (u ² f 0 (u) du + v ² g' (v) dv + w ² h ⁰ (w) dw = dx.

Первый случай является вырожденным, так как соответствует тривиальному выбору r , = 1, и приводит лишь к частным решениям с алгебраическими особенностями типа ветвления. С другой стороны, выбирая во второй формуле подходящим образом вспомогательные функции f , g , h , можно исследовать широкий класс точных решений рассматриваемой системы уравнений (3.14). Законы сохранения этой гиперболической системы записываются в терминах симметрических многочленов от динамических переменных следующим образом:

g 2 = uv + uw + vw,

(3.15)

\ D t (g i ) = D x (g 2 ), g i = —u — v — w, (D t (g ² — g 2 ) = 3 D x (g 1 + u ³ + v ³ + w ³ ).

Общая конструкция этих законов сохранения указана ниже в теореме 4.

4.    Солитонные уравнения

Переход (3.11) от корней xj к элементарным симметрическим многочленам приводит, как указано в теореме 2, к уравнениям (3.6), (3.8), которые фактически не зависят от степени n исходного многочлена (3.5). Тем не менее предельный переход n → ∞ приводит к замене многочлена P(А) формальным рядом

∞

^G(A) = ^{lim А} n ^{P (А)} = ^{1 +} х^{- +} • • • +    + • • • = ^X g k ^А k , g o = 1,      ⁽⁴-1)

n→∞             λ       λn и существенно расширяет область приложений излагаемой теории. Интересно отметить, что классические формулы Ньютона, связывающие степенные суммы корней с элементарными симметрическими многочленами также не меняются при увеличении степени n многочлена P(А). Например, при любом n > 4 мы имеем f P xj = gi - 2g2,    P x3 = -gi- 3ga -3g. g2,

(4.2)

I gi = - P xj,        P x4 = g4 - 4g4 ■ 2g2 + 4gi ga — 4g1 g2, и предельный переход n → ∞ здесь возможен, если соответствующие ряды сходятся.

Очевидно, что на коммутационные соотношения (3.13) и уравнения (3.8) предельный переход n → ∞ не влияет. Нетрудно проверить далее (см., например, [8]), что производящей функцией становится теперь формальный ряд (4.1), удовлетворяющий (ср. (3.6)), уравнению

D m (G) = h G m , G i ,   G m (А) = A m + g i A m ^{- 1} + ... + g m , m = 0,1,2,...,       (4.3)

эквивалентному коммутационным соотношениям (3.13), записанным в виде (см. замечание к теореме 3):

D n (G m ) - D m (G n ) = hG n ,G m ) ( V n,m)                  (4.4)

Первое достижение, от замены последовательности многочленов (3.5) степени n → ∞ формальным рядом (4.1), заключается в адекватной реализации и уточнении нашего изначального утверждения (теорема 1) о взаимосвязи коммутирующих векторных полей и законов сохранения для интегрируемых динамических систем:

Теорема 3. Производящей функцией для законов сохранения уравнений (4.4) явля ется формальный ряд H (A) = 1/G(A) :

h (a) = i + hA^ + h j + •••,

h i = -g i ,   h 2 = ^{g j — g} 2 ,   h a = ^{— g} a ^{+ 2g} i ^g 2 ^— g ^{3 ,} • • • (4.5)

<1 Дифференцируя H (A) = 1/G(A), получаем в силу уравнения (4.3), что при любом m >  0

D m (H ) = —H ² G m DD o -1 — 4DoGm) = Do(Gm • H )• HH

(4.6)

Таким образом, мы доказали, что коэффициенты h j формального ряда (4.5) являются плотностями законов сохранения рассматриваемых уравнений:

(4.7)

D m (p) = D o (^)- ▻

В полиномиальном случае, т. е. при конечном n, теорема 4 дает набор законов сохранения (4.7) гиперболических систем из предыдущего параграфа (см. (3.15)). Для того чтобы записать плотности hi(xi, • • • ,xn) найденных законов сохранения в инвариантах Римана достаточно воспользоваться формулами Ньютона (4.2). Например, hi = xi+ • • •+ xn, h2 = 2 ^^ xk+ 2 hi, • • •

Отметим, что, пользуясь формулами (4.2), мы всегда можем выразить коэффициенты ряда (4.5), по крайней мере формально, через степенные суммы корневых переменных x k .

С теоретической точки зрения теорема 4, гарантирующая наличие «богатого» набора законов сохранения у рассматриваемых эволюционных уравнений, исчерпывает вопрос об интегрируемости бесконечномерной динамической системы (4.3). Однако, при построении частных решений при помощи, изложенной в предыдущем разделе схемы, встает вопрос о подходящем выборе дополнительной диагональной матрицы в формуле (3.4), гарантирующем не только локальную, но и глобальную разрешимость уравнений типа (3.14) (ср. [2]). В такой общей формулировке задача о глобальной разрешимости мало изучена и относится скорее к теории гиперболических уравнений. Мы изложим здесь вкратце результаты относящиеся к случаю, когда диагональная матрица в формуле (3.4) удовлетворяет условиям rj(xj) = r(xj) (vj = i,...,n),

(4.8)

обеспечивающим инвариантность динамической системы, отвечающей векторному полю D 0 (ср. (2.4)), относительно перестановок корней.

Лемма 2. Вспомогательной линейной задачей для динамической системы, отвечающей векторному полю D 0 , при выполнении условий (4.8) , является дифференциальное уравнение третьего порядка

G xxx = 4UG x + 2U x G                          (4.9)

c произвольным потенциалом U = U (x, А) вида

U (x,A) = A m + u 1 (x)A ^{k 1} + ... + u m (x).

(4.10)

C В полиномиальном случае, обозначив P = P(x, A) = AnG(x,A), в результате умножения уравнения (4.9) на 2P и последующего интегрирования по независимой переменной x мы получаем, связав константу интегрирования с заданной функцией г(А) из формулы (4.8), что n

4U(x)P ² + P x - 2PP xx = r ² (A), P = ^(A - x j (x)).            (4.11)

j =1

Полагая в полученном уравнении второго порядка А = x j , находим, что

Px\x=Xj = -Do(xj )P 0 (xj) = ±r(xj) (v j), где Px и P0 обозначают производные от многочлена P = P(x, А) по x и А соответственно. Сравнение этой формулы с (3.5) завершает доказательство. B

Замечание 3. В дополнение к лемме 2, отметим, что вспомогательная линейная задача позволяет выразить коэффициенты gi формального ряда (4.1) в виде дифференциальных многочленов от коэффициентов uj потенциала (4.10) уравнения (4.9). Например, в случае спектральной задачи Шредингера с потенциалом U(x, А) = u(x) — А подстановка в уравнение (4.9) формального ряда (4.1) приводит к рекуррентной формуле gn+1 = 4 ( —Do + 4u — 2D0 1 ux) gn, U = u — А, которая при 4UG2 + GX — 2GGx = —4A (ср. (4.11)), дает gi = - u, g2 = -(3u2 — uxx), дз =-(uxxxx — 10uUxx — 5uX + 10u3),... 2          8                     32

(4.12)

В случае квадратичного по λ потенциала (4.10), соответствующего спектральной задаче Захарова — Шабата, аналогичные формулы для первых трех g i имеют следующий вид:

13   1

g i = — 2u i ,  g 2 = |u 2 — U 2 ,  д з = — ^ (u i ,xx + -0u 3 — I2u i U2).

(4.13)

(4.14)

Связь спектральной задачи с потенциалом U = U (x,A):

0xx = и (x, A)0, с уравнением (4.9) и производной Шварца устанавливается следующим образом:

Лемма 3. Пусть ψ 1 , ψ 2 — линейно независимые решения линейного дифференциального уравнения второго порядка (4.14) . Тогда

(i) функция ^ = 0 1 /0 2 удовлетворяет уравнению с производной Шварца:

	3^ xx — ^ xxx _ 4^ x     2^ x	и (x);	(4.15)
(ii) функции	ф 1 = 0 1 2 ,   ф 2 = 0 2 2 ,	ф 3 = 0 1 0 2	(4.16)
образуют фундаментальную систему решений линейного уравнения ка (4.9) ; (iii) функция Ф = ф 3 = 0 1 0 2 удовлетворяет уравнению			третьего поряд-

4U (х)Ф ² + Ф Х — 2ФФ хх = w ² , w = < 0 1 ,0 2 0

(4.17)

C Обозначим fj = 0jx/0j. Тогда h02,01 i = w ^xx = —2 02x

ψ ₂ ² ψ ₂ ^{2 ,} ϕ x ψ 2

и, таким образом, уравнение (4.15) является следствием уравнения Риккати f ₂,_x +f 2 = U , которому удовлетворяют логарифмические производные ψ _x /ψ решений уравнения (4.14).

Прямое вычисление вронскиана трех функций φ ₁ , φ ₂ , φ ₃ дает

W = det h ф i , Ф 2 , Ф з i = (0 1 0 2 ,x — 0 2 0 i ,x ) = w .

Следовательно, W = const = 0 и функции фi линейно независимы. Далее, нетрудно проверить, что w = f2 — fi, Ф|^ = f2 + fi,                       (4.18)

φφ 3

и, следовательно,

, _ Фз ,x — w , _ Фз ,x + w f ¹ =   2ф з , f ² =   2ф з .

Подставив найденные выражения для f j через ф з = Ф в уравнение Риккати, мы приходим к уравнению (4.17). Легко видеть, что линейное уравнение (4.9) получается из (4.11) дифференцированием по x. Аналогично проверяется, что функции φ 1 , φ 2 удовлетворяют уравнению (4.17) с w = 0. B

Лемма 2 остается в силе и для потенциалов более общего вида

U (x, Д) = ^ m + U 1 (x)A m ' + . . . + U m (x) + V 1 (x) д + V 2 (x) Д 2 + • • •       (4.19)

Предположение о полиномиальности по Д потенциала U (x, Д) приводит автоматически, в силу соотношения (4.11), к полиномиальности функции r ² (Д), стоящей в правой части уравнения (4.11) ² . Вопрос о регулярности решений динамической системы, отвечающей векторному полю D 0 , сводится при этом к формулировке подходящих алгебраических требований на многочлен г ² (Д). В соответствии с леммой 3 (ср. уравнения (4.17) и (4.11)) эти требования допускают также формулировку в терминах структуры спектра соответствующей спектральной задачи. В случае U (x, Д) = u(x) — Д эта интересная задача хорошо изучена (см., например, [1, 4]).

В заключение этого раздела мы остановимся кратко на взаимосвязи бесконечномерной динамической системы (4.3) с основными иерархиями солитонных уравнений. Как уже отмечалось, подстановка производящей функции G(Д) в виде бесконечного формального ряда (4.1) в дифференциальные уравнения (4.9) и (4.11) леммы 2 позволяет выразить коэффициенты g i формального ряда (4.1) в виде дифференциальных многочленов от коэффициентов u j потенциала (4.10) уравнения (4.9). Остается, грубо говоря, подставить найденные выражения для g i (см. замечание 1) в исходные уравнения (4.3) или эквивалентные им

j

D m ^{( g} j ) = У ' hg j - k , ^g m+k i.                              (4.2⁰)

k =1

Затем можно переписать полученные уравнения в терминах uj . Цепочка формул uj 7→ gj 7→ xj                                  (4.21)

позволяет также, по крайней мере в принципе, получить корневые представления для коэффициентов u j потенциала, используя классические формулы Ньютона (4.2).

Пример 3. В случае спектральной задачи Шредингера формулы (4.12) дают уравнение КдФ:

D i g i = D o g 2 О u t = (u_D — 3u ² ) x = U xxx — 6uu x ,   D t = — 4D 1 .       (4.22)

Формулы (4.21), связывающие потенциал u = u(t, x) с корнями x j , приводят нас к полезной формуле

u(t, x) = 2g 1 (t, x) = — 2 У^ x j (t, x).

Интересно, что известные осцилляционные теоремы для линейного уравнения Шредингера, позволяют доказать [3], что для уравнения (4.22) в процессе столкновения уединенных волн амплитуда не превосходит максимальной из амплитуд сталкивающихся солитонов.

Дополнительные уравнения D n (g i ) = D o (g n +i ), n = 2, 3,..., из системы (4.20) дают здесь, вместе с уравнением (4.22), КдФ-иерархию совместных друг с другом эволюционных уравнений. Первое из этих дополнительных уравнений записывается в силу формулы (4.12) следующим образом:

D 2 (g i ) = D o (g 3 ) О 16D 2 (u) = D o (u xxxx — 10uU xx — 5u X + 10u ³ ).

Замечание 4. Нетрудно показать (ср. замечание 3), что при заданном потенциале U (x, А) вида (4.19), решение линейного уравнения третьего порядка (4.9) в виде формального степенного ряда единственно, с точностью до умножения на формальный ряд по обратным степеням λ с постоянными коэффициентами. Эта неоднозначность учитывается при переходе от уравнения (4.9) к билинейному уравнению (4.11) (ср. (4.17)) появлением в правой части этого уравнения нормировочного множителя r ² (А). Решение билинейного уравнения (4.11) в виде формального степенного ряда (4.1), таким образом, единственно, но зависит от выбора правой части r ² (А). В формулах типа (4.12) мы всюду, чтобы устранить указанный произвол, выбираем в качестве основной формы билинейного уравнения следующую:

4UG ² + G X - 2GG xx = 4A m , G = 1 + V j ,             (4.23)