Симметричные системы координатных функций для однородных краевых задач на прямоугольнике с уравнениями в частных производных

Лицензировано по CC BY 4.0. Чтобы посмотреть копию этой лицензии, посетите

В данной работе показано, что симметрии функций (четность и нечетность) играют важную роль даже в краевых задачах с уравнениями в частных производных (УЧП). Аналитические методы решения задач с УЧП приведены в работах [1] (метод параметра), [2] (метод функции Грина). В работе [3, стр.29], [3, стр.77] описаны простейшие уравнения эллиптического типа – Пуассона и гармоническое уравнение и методы их решения. Уравнение Пуассона применяется в гидродинамике [4], а бигармоническое [5] в механике. В работе [6] указано, что важно правильно выбрать системы базисных (координатных) функций, например, для численного решения уравнения Фредгольма, используя сплайны аналитического и неаналитического типа, тогда удается решить интегральные уравнения с разрывом первого рода в интегральных ядрах.

В работе [7], как и в данной краевой задаче на прямоугольнике модельными являются уравнение Пуассона и бигармоническое уравнения, которые автор решает численно методом коллокации и методом наименьших квадратов [8]. В работах [9], [10] в краевых задачах с обыкновенным дифференциальным уравнением замечено удобство применения четных и нечетных координатных функций относительно середины отрезка. В данной работе идея четных и нечетных координатных функций впервые обобщена на двухмерный случай для краевых задач в прямоугольнике.

Постановка задачи

Рассмотрим однородную краевую задачу для однородного уравнения в частных производных эллиптического типа на прямоугольнике. Примерами таких уравнений является уравнение Пуассона [3, стр. 29] (задача (1)) или бигармоническое уравнение [3, стр. 77] (задача (2)). Особенность однородных уравнений эллиптического типа заключается в том, что все слагаемые в уравнении имеют одинаковый порядок частных производных, например, второй или четвертый. Пусть неизвестная функция принадлежит классу функций и(х,у) £ C²[a,b] х [с, d], (и(х,у) £ C 4 [a,b] х [c,d]):

( ^и хх + и_уу = f(x, у), a < х < b, с < у < d ^и\ х=а = ^и\ х=Ь = ^и\ у=с = ^u\ y=d = 0;

^и хххх

+ 2и ххуу + и уууу = f(x,y), aи\ х=а ^и\ х=Ь ^и\ у=с ^и\ у=а ^0.

с < у < d

Задача (1) моделирует распределение электрического потенциала внутри прямоугольного металлического заземленного контура с непрерывным распределением электрического заряда внутри. Задача (1) также описывает стационарное распределение температуры внутри прямоугольной пластины, стороны которой находятся при температуре тающего льда с источниками тепла внутри. Задача (2) применяется в механике сплошной среды для описания напряжений и деформации прямоугольного бруса [3, стр. 80].

Для однородных краевых задач (1), (2) введем следующие системы линейнонезависимых однородных координатных функций:

(X? (х) = (^)  (х2 — x(a + b) + aby, j = 1,2,a < x < b

[ Yi(y) = ОУ  (У2 — y(c + d) + cdy, i = 1,2, . с < у < d

(Xj (x) = (^)     sin (^ (2x — a — b)) (x2 — x(a + b) + ab) 1, j = 1,2,

{ Y" (у) = ОУ ( ) sin (^ (2у — c — d)) (у2 — у(с + d} + cd)l-1, i = 1,2,

Систему координатных функций (3) назовем четной, а систему (4) назовем нечетной координатной системой (верхний индекс в формулах (3), (4)). В силу построения координатные функции систем (3), (4) однородны: X - (a) = X j (b) = 0, Y_t (c) = Y_t (d) = 0, i, j = 1, 2, .

Системы координатных функций (3), (4) имеют 2 важных преимущества:

• 1.    Функции системы (3) не изменяют знака на отрезке [ a , b ] (на отрезке [ c , d ]), а функции системы (4) изменяют знак ровно один раз на отрезке [ a , b ] (на отрезке [ c , d ]), что уменьшает погрешность численного интегрирования в формулах скалярного произведения (13), (14).

• 2.    Максимальное значение равномерной нормы функций типа (3) равно 1 в середине отрезка, а для функций типа (4) меньше единицы, то есть системы функций (3), (4) – ограниченны в равномерной норме.

Рассмотрим некоторые свойства координатных систем (3), (4).

Лемма 1 . Координатные функции системы (3) и их вторые (четвертые) производные четны относительно середины отрезка с = (а + Ь)/2.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Введем переменную х| ^ = t|⁽⁽ —_b^<^ ⁾ _| ^/ —₂ + с, dx = dt. Тогда имеем

%² — х(а + Ь) + аЬ =

( Ь — а\ / Ь — а\ п (Ь — а} (х — а)(х — Ь) = (t +---—) (t---—) = t---—

(  2  \2j                           .    /  2  2^^ / „ (Ь — а)2\2'

^/(х) = (ь—^)  (x2—x(a + Ь) + aЬ)> = (ь-а) Р--—}

V (—t)=ш2 ((—t)2

=  -      (t2 —

- 4'  ) = X (t)

то есть, координатная функция четна. Найдем первую и вторую производные

^(х)^)^2^^22 (t2 —

(^)^ 1 ,-X] (—t) = ——X'] (t) -

4 7    ’dt 2 v 2       dt 2 v 2

первая производная является нечетной функцией.

-1-2 X] (х) = ^Х] (t) = 4t2j(j — 1) I-2-} 2 (t2 dx2 2       dt2 2                   \b — a/ \

—

(Ь — а) 4

г+

+2j .-' (t- — — < ' J >2 —X (—t) = —X] (t)

Вторая производная является четной функцией. Аналогично, производная третьего порядка (j >  3) является нечетной функцией, а производная четвертого порядка (j > 4) четной функцией относительно средней точки с = (а + Ь)/2 отрезка [а,Ь] .

Доказательство четности производных четного порядка (нечетности производных нечетного порядка) для функций Y [ (у) системы (3) относительно середины с = (с + d)/2 отрезка [с, d] аналогично. Лемма 1 доказана.

Лемма 2 . Координатные функции системы (4) и их вторые (четвертые) производные нечетны относительно середины отрезка с = ^—,Н = -^.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если i =1, имеем х = t + ^+— t = х — ^+-

’                               2                     2

X; (х) = sin (—

П

—

— (2х — а — Ь) а

\       / 2nt \        ч         / 2nt х

) = sin(Ь а],Х' (—t) = —sin(Ь—) = —X1 (t)

^(х) = ^—X ^(t) = -^ cos ⁽ — :-^X i ^(—t) = -^X, ^(t)  - четная функция,

d-^; (х) = ^X (t) = — ^sin (^) .^l (—t) = -^ (t) - нечетная функция

В общем случае ( i > 1) имеем

Xf (%) = (-)      sin (-----(2% — a — b)) (%2 — %(a + b) — ab)-1,

^J       bb — a/         yb — a             J

Xf (t) = (^)      sin (“7“) (t2 — W2)'-1, XJH (—t) = —Xf (t) — нечетная функция

JtX“ (t) = Ш20-1’ f27^ (t2 — W2)' ‘ + 2t

-X^f ( —t) = £_%н (t) dt ' ^v ' dt J ^v '

-

четная функция.

Запишем производную второго порядка:

d2          2  2  \2CJ-1) f—47r2sin(F^a)

~XH (t) = Ы |  („Л

(t2 — W2)'-1 +

S^Tt               2nt

+ b aC/ 1)COs (b—a) (t2 — ^

+ sin (j~~) (2(j — 1)(t2 — W2)' 2 +

+4t2(7 — 1)0 — 2)(t2 — W2)'-3)], ; > 3.

Она является нечетной функцией, так как каждое из трех слагаемых последнего выражения нечетно, в итоге имеем ^XJ¹ (—t) = —^Xf (t).

Аналогично, производная третьего порядка и любого нечетного порядка – четная функция. А производная четвертого порядка и любого четного порядка от координатной функции системы (4) – нечетная функция. Лемма 2 доказана.

Замечание 1. В точках x = a, x = b координатные функции Xj (x) системы (4) имеют нули j-го порядка, (у > 1) и являются нечетными на всем отрезке [a, b].

Определение 1. Говорят, что непрерывная функция А (%, у) 6 C₀,₀(D) принадлежит первому классу симметрии (обозначениеС₀,₀) в области D, если она четна по каждой из переменных %, у. То есть, А (—%, у) = А(х,у),/₁(%, —у) = /1(%,у).

Определение 2. Говорят, что непрерывная функция /₂(%, у) 6 С₀,₁(D)принадлежит второму классу симметрии (обозначениеС₀,₁) в области D, если она четна по переменной % и нечетна по переменной у. То есть, /₂ (—%, у) = /₂ (%, у), /₂ (%, —у) = —/2 (%, у).

Определение 3. Говорят, что непрерывная функция /₃(%, у) 6 С_1>0(О) принадлежит третьему классу симметрии (обозначение С1,₀ ) в области D, если она нечетна по переменной % и четна по переменной у . То есть, /₃(—%, у) = —/з ⁽%, у’, /з ⁽%, —у’ = /з (%, у).

Определение 4. Говорят, что непрерывная функция А(%, у) 6 £1,1 (D) принадлежит четвертому классу симметрии (обозначение £1,1 ) в области D, если она нечетна по каждой из переменных %,у . То есть, /4(—x,у) = —/4(%,у),/4(%,—у) = —/4 (%, у).

Лемма 3. Любая непрерывная функция двух переменных /(%, у) 6 C(D) представима суммой четырех непрерывных функций, принадлежащих определенным выше классам симметрии, то есть /(%, у) = /1 (%, у) + /₂ (%, у) + /₃ (%, у) + /4 (%, у)• Где /1⁽x,у⁾ 6 £o,o⁽D⁾,/2⁽%,У⁾ 6 С^,0,1⁽ЖА⁽%,у⁾ 6 £1,o(D⁾,/4(%,У⁾ 6 С1,1⁽о’•

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим вспомогательные функции на базе функции /(%,у), (%,у) 6 D:

/1(x,у) = 7[(/(%,у’ +/(—%, у’) + (/(%,—у) +/(—%,—у’)] 6 C(D)

1rz

-y))] г C(D)

-y))] г C(D)

f2 ⁽x, y) = 7 [(f⁽x, y) + f⁽-x, y)) - (f⁽x, -y) + f⁽-x, 4

f3 ⁽x, y^{) =} i [(f⁽x, y) - f⁽-x, y)) + (f ⁽x, -y} - f⁽-x, 4

Mx,y) = ⁱ[(fO:,y)-f⁽-x,y))-(f⁽x,-y)-f⁽-x,-y⁾)] e C(D). Во-первых:

fi⁽x,y) + f(⁽x,y) + /з(.х,у) + f₄⁽x,y) = f (x,y)

Во-вторых: 1.

fi⁽-x,y'⁾ =-A(f⁽-x,y⁾+f⁽x,yS) + (f⁽-x, -y) + f⁽x,-y))] = fi⁽x,y) 4

1 fi⁽x, -y) = - [(f⁽x, -y) + f⁽-x, -y)) + (f⁽x,y) + f⁽-x,y⁾\ = fi⁽x,y)

То есть, fi(x,y) e C₀₀(D) .

f2⁽-x, y⁾⁼ⁱ [(f⁽-x, y) + f⁽x, y)) - (f⁽-x, -y) + f⁽x, -y))\ = f^{( (}x, y) 1

f( ⁽x, -y) = - [(f⁽x, -y) + f⁽-x, -y)) - (f⁽x, y) + f⁽-x, y))\ = -f( ⁽x, y)

То есть, f((x,y) e C₀,i(D)

/з⁽-x, y) = 4 [(f⁽-x, y) - f(x, y^) + (f⁽-x, -y) - f⁽x, -y))\ = -f3 ⁽x, y) 1

/з (x, -y) =  [(f⁽x, -y) - f(-x, -y)) + (f (x , y) - f⁽-x, y))\ = f3 ⁽x, y)

То есть, f3(x,y) e Ci^D).

fi⁽-x, y) =-: [(f⁽-x, y) - f (x, y)) - (f⁽-x, -y) - f⁽x, -y))\ = -f₄⁽x, y) 4

fi⁽x, -y) = - [(f⁽x, -y) - f⁽-x, -y)) - (f⁽x, y) - f⁽-x, y))\ = -fi⁽x,y) 4

То есть, f₄(x,y) e C_i,_i(D) . Лемма 3 доказана.

Теорема 1 (критерий принадлежности функции определенному классу симметрии). Для того чтобы решение задачи (1) u(x,y) e C²[a, b] x [c, d] (решение задачи (2) (u(x,y) e C⁴[a, b] x [c, d])) принадлежало определенному классу симметрии, необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения (1) или уравнения (2) принадлежала тому же классу симметрии.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Для определенности проведем, например, для класса функций (пример обозначения при сужении класса функций смотрим в работе [11, стр. 73]):

C(₀[a,b] x [c,d] = Confab] x [c,d] A C⁽[a,b] x [c,d].

Необходимость. Пусть решение задачи (1) или решение задачи (2) принадлежит классу u(x,y) e C(₀[a,b] x [c,d](u(x,y) e C4,₀[a,b] x [c,d]). Тогда решение, разложенное по системе координатных функций вида (3) по каждой переменной x, y представимо в виде двойной суммы, в которой каждое слагаемое принадлежит классу С⁽,₀[a, b] x [c,d](C⁴₀[a,b] x [c,d]).Ct'j - коэффициенты разложения:

u⁽x,y) = u⁽t + c,s + c) = £7=122=1 CijX] ⁽t) Уч (s).

Где:

x=t+c=t+

a + b

—^— ;y =,s + c = s +

v ■        -          и = ш2' (s2

c + d

-^'.^1.

На основании Леммы 1 каждое слагаемое решения в левой части уравнения (1) после взятия частной производной четного порядка сохраняет исходную четность. В итоге сумма

ЛЛ   dd2X(t))

d^s) ds2

)•

^uXX + ^Uyy = ^utt + ^uss = ^ ^ ^C',j⁽  ^2  ^Yi ^(s) + ^Xj ^(t)

7=1 '=1     '

e C2o[a,b] x [c,d]

Но в силу уравнения (1) функция из класса u_XX + Uyy = f(x, y) e C20 [a, b] x [c, d], который является подмножеством класса функций C0,0[a, b] x [c, d].

Необходимость доказана.

Достаточность. Теоремы 1 докажем от противного. Пусть правая часть f(x,y) уравнения (1)      f(x,y)e C0,0[a, b] x [c, d], то есть четна по двум переменным x, у, а решение задачи (1) не принадлежит классу C0,0[a, b] x [c, d]. Тогда из Леммы 3 следует, что общее решение задачи (1) представимо (по системам координатных функций (3), (4)) в виде

u(x,y) =^^ C'Xj^-c:) + ^ ^ C^t^Y? (s)+XX C^W^s) +

' j                                  7 J                                    ' j

+ ^YCijXj (t)Y'H (s).                      (8)

' j

Где в формуле (8) только первая сумма является функцией из класса C0,0[a, b] x [c, d]и из класса C2,0[a,b] x [c,d], u(x,y) дважды непрерывно дифференцируемая функция в задаче (1). И хотя бы одно слагаемое во второй или третьей или в четвертой сумме тождественно не равно нулю. На основании результатов Леммы 1, Леммы 2 каждое слагаемое в четырех суммах формулы (8) сохранит принадлежность исходному классу и после действия оператора Лапласа ^— +    = 77-7 + 77-7.

г    г             дх2 dy2    ds2   dt2

Таким образом, функция в левой части уравнения (1) u_XX + Uyy не из класса C2,0[a,b] x [c,d], в то время как правая часть уравненияf(x,y) e C0,0[a,b] x [c,d]. То есть, f(x,y) четна по каждой переменной, а левая часть u_XX + Uyy не является четной хотя бы по одной переменной. Полученное противоречие завершает доказательство достаточности. Теорема 1 доказана.

Замечание 2. Аналогично с использованием Леммы 1 и Леммы 2 доказывается одновременная принадлежность решения задачи (1) (решение задачи (2)) и правой части соответствующего уравнения второму, третьему и четвертому классу симметрии.

Замечание 3. Благодаря доказанным Леммам 1, 2, 3, методом редукции линейной задачи (1) (задачи (2)) для каждого класса симметрии можно решать однородные краевые задачи для однородных уравнений в частных производных не только любого четного порядка, но и для уравнений нечетного порядка, разлагая правую часть уравнения на 4

слагаемых согласно Лемме 3. Однако для однородного уравнения нечетного порядка решение и правую часть уравнения нужно выбирать из сопряженных классов симметрии.

Используя метод редукции линейной задачи, сведем задачу (1) (задачу (2)):

Ги_хх + и_уу = f (x,y), а < х < b, с < у < d

[    ^и1х=а = ^и1х=Ь = ^и|у=с = ^u|y=d = ⁰

к решению четырех однородных краевых задач:

а + b        с + d

(иХх + иУу = fi(x,y\ а<х<Ь, с <у 1(x,y) G C₀,₀[a,b] x [c,d] l и1¹х=а = и1¹х=ь = и1¹у=_с = u^1|y=_d= 0,и¹⁽х,у) G С0,о[а, b] x [c,d]

1rz                        X z fi(x,y) =-[(f(x,y) +f(-x,y)) + (f(x,-y) +f(-x,-y))] 4

n i+j<-+1                   П P u1(x,y) = ^ Y C]jX^ty^(s} = Y^C^^

P=1 i+j=2                    p=i i=i с координатными функциями по формуле (3). Где индекс k одномерного вектора C1 связан c i условием к = -(-2 1) + i,i = 1,p,p = 1,n если -(-2 1 < к < p(P2+1).

Г ихх + и2у = f2⁽x,y), a2⁽x,y) G Co,1[a,b] x [c,d^] l  и^2|х=а = и²¹х=_ь = и^2|у=_с= и²¹у=_а = 0,u²(x,y⁾ G C0,1[a,b^] x [c,d^]

f2 ⁽x, y) = 7 [(f⁽x, y) + f⁽-x, y)) - (f⁽x, -y) + f⁽-x, -y))] 4

П i+j

P=1 i+j=2                    p=1 i=1

с координатными функциями по формулам (3) и (4). Где индекс k одномерного вектора C^ связан c i условием к = —-—) + i,i = 1,p,p = 1,n если P—^) < к < P—^—.

(и3х + и3у = f₃(x,y), a3(x,y) G C1,o[a,b] x [c,d] ’ { и³|х=а = и³1х=ь = и³|у=_с= и³1у=_а = 0,u³(x,y) G C1,o[a, b] x [c,d]

f3⁽x, y) = 7 [(f⁽x, y) - f⁽-x, y)) + (f⁽x, -y) - f⁽-x, -y))] 4

П i+j

с координатными функциями по формулам (3) и (4). Где индекс k одномерного вектора C^ связан c i условием к = —-—) + i,i = 1,p,p = 1,n если ^P—^—) < к < ^P—^—.

(u4x + Uyy = f4(x,y) a < x < b, c

f4(x,y) = 7 [(f(x,y) - f(-x,y)) - (f(x, -y) - f (-x, -y))] 4

n i+j

u4(x,y)=^ У CtjXj (t)Yr (s) =yy №«+!-, WW (s)

P=1 i+j=2                     p=i i=i с координатными функциями по формуле (4). Где индекс k одномерного вектора

£4 связан c i условием к = ^p(p^ 1) + i,i = 1,p,p = 1,n , если ^P(P 1)< к < ^p(p₂^+-).

Общее решение задачи (1) (задачи (2)) запишем в виде

u(x,y) = u1(x,y) + u2(x,y) +u3(x,y) + u4(x,y)

Будем решать задачи (9), (10), (11), (12) для нахождения векторов неизвестных коэффициентов C1, С^С^Ск, к = 1,^Пп+-⁾-методом Бубнова-Галеркина. Например, в задаче (9) левую и правую части уравнения умножим скалярно на координатную функцию XP₁+x-i₁(t)YiP(s),kx = ^P1(P1 1) + I-, I- = 1,p-,p- = 1,n, получим:

uXx+uyy = fi(x,y), n P /2

У У Cx (dt2^1-

P=X i=x    \

d2\

i(tyY?(s}+X-+x_i(t} — Y^ = f-(x,y),

"P   / Л2

^{У У Cx} (^<dt^2XP+X-i

P=xi=x    x

d2\

(t}Y?(s}+XPp+x-i(t} — Y?^^^^=

{fx(t,s),XP,_i+x-i_i(t)Y^) = fx1

Где: к- = ^P1(P1-^x) + i-, i- = 1, p-, p- = 1, n.

Формула (13) равносильна системе линейных алгебраических уравнений:

n(n+i) ZX=rAx„xCX=fxi,(14)

Где: -■■ = ^XP+x-^Y^ + XP^t^Y^XPi+x-^^

fxi = (fx(t.s),XPi+x-ii(ty^^

k = e

к- = PXP--X)+ix,ix = 17PX,P- = 1ТП,если p1(p-xy <к-< p1(p1+xy.

Аналогично записывается алгоритм Бубнова–Галеркина для частных случаев в задачах (10), (11), (12). В этих задачах формально можно получить формулы из формул (13), (14), меняя нижний индекс для правой части функции fi(x,y),i = 2,3,4и меняя одновременно верхний индекс z, z1 = {ч, н} соответственно в задачах (10), (11), (12). для координатных функций Xp+1-i(t), FiZ1(s), Х^-^), У?1^).

Матричные коэффициенты A_ki,_k и правая часть f_k в формуле (14) используют скалярное произведение двух функций. Численное значение скалярного произведения, вычислялось программой по формуле (15) из работы [9], [10]:

= ^ С f1(x,У)f2(x,У)dxdy = ^hi^^o^o^C?1^^          + (15)

+O(h12 + hi2)

xi = a + h1i, у, = c + h2j, h1 =-----, h2 =-----, i = 0, n1, j = 0, n2, ns = 10ps , s = 1,2

J                    П1

Где весовые коэффициенты C^¹, C^² квадратурной формулы имеют вид

-------, если i = 0 или i = n^,

299376,

—————, если i н 0(mod10) и 0 < i < n.

149688,           v       Js

,если i н 1(mod10) илиi e 9(mod10) 74844

-16175           ,      ,

^Ci

99792 ,если i = 2(mod10) илиi н 8(mod10)

,если i н 3(mod10) илиi н 7(mod10) 6237

-4825

———— ,если i н 4(mod10) илиi н 6(mod10) 5544

12474, если i н 5(mod10)

s = 1, 2

Точные и численные решения с помощью алгоритма (3)–(15)

Рассмотрим несколько примеров численного решения однородных краевых задач для уравнения Пуассона на прямоугольнике с известными точными решениями.

Пример 1. Правая часть уравнения Пуассона четна по переменным t, s относительно середины квадрата со стороной т.

। ихх

sin2x siny = sin2 (— + t) sin (— + s) = cos2(t)cos(s)

+ uyy = sin2x sin у = sin у (1 c^s 2х), 0 < x < т, 0 < у < т

м|х=0 = м|х=я = u|y=0 = Mly=u = 0.

Решение примера (16) ищем в виде u(x, у) = f(x)sin у . Подставляя решение в систему уравнений (16), получим

(1 — cos2x

f"(x) — f(x) =---------, 0 < x < т.

f(0) = f(T = 0

Общее решение однородного уравнения f₀₀(x) = Tlch x + Bsh x. Частное решение ищем в виде fj(x) = С₀ + C₁cos 2x,fj"(x) = —4C₁cos 2x. После подстановки получим

—4C1Cos2x—Co — C1cos2x = -—cos2*, Co = -^'C1=^

Общее решение неоднородного уравнения f_0H(%) = ^4ch % + Bsh * -1 +

cos 2%  „

. С 10

учетом краевых условий получим f(0) = 0, Л —

1 + — = 0, Л = 2, f(n) = 0, 2 ch я +

2    10               5,                 5

Bsh я -1 + ^ = 0,B = - (“^c~)- Запишем ответ с учетом найденных коэффициентов A,

B

«(*• У) = (I (ch % + (1-cr) sh *)-2 + лЯ sin у.

Таблица 1. Вычисленное программой численное и™^ти точное значение ufj^act по формуле

(17). Число координатных функций n=7. п1 = п₂ = 60

x	У/	пит иЦ	exact UIJ	I,, exact ,,пит| |иы — иы 1
0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.00000E+000
0.785398163	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.00000E+000
1.57079632	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.00000E+000
2.35619449	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.00000E+000
3.14159265	0.000000000	0.000000000	0.000000000	0.00000E+000
0.000000000	0.785398163	0.000000000	0.000000000	0.00000E+000
0.785398163	0.785398163	-0.2042391699	0.2042391704	4.94569-010
1.57079632	0.785398163	-0.3115408340	-0.3115408348	8.250E-010
2.35619449	0.785398163	-0.2042391699	-0.2042391704	4.94560E-010
3.14159265	0.785398163	0.000000000	0.000000000	0.0000E+000
0.0000000000	1.570796326	0.0000000000	0.0000000000	0.000000E+000
0.785398164	1.570796326	-0.2888378048	-0.2888378033	1.43244E-009
1.570796326	1.570796326	-0.4405852714	-0.4405852738	2.40345E-009
2.356194490	1.570796326	-0.2888378033	-0.2888378048	1.43244E-009
3.141592653	1.570796326	0.0000000000	0.0000000000	0.00000000
0.0000000000	1.570796326	0.0000000000	0.0000000000	0.00000E+000
0.7853981633	1.570796326	-0.2888378033	-0.2888378048	1.43244E-009
1.570796326	1.570796326	-0.4405852714	-0.4405852738	2.40345E-009
2.356194490	1.570796326	-0.2888378033	-0.2888378048	1.43244E-009
3.141592653	1.570796326	0.0000000000	0.0000000000	0.00000E+000
0.000000000	2.356194490	0.0000000000	0.0000000000	0.00000E+000
0.7853981633	2.356194490	-0.2042391699	-0.2042391704	4.94560E-010
1.570796326	2.356194490	-0.31154083401	-0.31154083484	8.25066E-010
2.356194490	2.356194490	-0.2042391699	-0.2042391704	4.94560E-010
3.141592653	2.356194490	0.00000000000	0.0000000000	0.000000E+000

Координатные функции по переменным x, y заданы формулой (3). Решение примера 1 программируем по формуле (9). Программа дает равномерную норму (Чебышева) вычислительной погрешности в примере 1 алгоритмом (3)–(15):

||uexact - Unum^c = max |ufjact - un/m| = 2.403451992982752E - 009, i=o,n2    ,             , j=0n

\\uexact\\c = max luexactl = 0.440585273864645.

i=o,n2    ’ j=on

Пример 2. Правая часть уравнения Пуассона четна по переменной t и переменной s относительно середины квадрата со стороной я.

sin х (y - —) = sin (— + t) s3 = cos(t)s3

нечетна по

I

uxx + uyy = sinx •(y - “) , 0 < x < я, 0 < у < я

u|x=0 = u|x=^ = u|y=0 = u|y=K = 0

Решение примера (18) ищем в виде u(x,y) =/(y)sin х . Подставляя систему уравнений (18), получим:

решение в

ЯХ3                   ,?

I / (y) -/(y) = (y - 2) ’ 0<у<я,х|2ге = у

I               /(0) = /(я) = 0

—

я

—

(_ я      я

/"(z)-/(z)=z3,--

/(-2)=O=0

Общее решение однородного уравнения /₀₀(z) = Д ch z + В sh z. Частное решение ищем в виде/J(z) = C₀z + C1z³, /₄"(z) = 6C1z. После подстановки получим:

6C^z—Coz — G^z3 = z3, Co = 6С1 = —6, Ci = —1.

Общее решение неоднородного уравнения /0H(z) = Дch z + Bsh z - 6z - z3 . С учетом краевых условий получим:

[ /(-2) = 0MO-Bsh(^ + (2)3=0

I О = 0’Дс"(2)+вО-3я-(2)3 = 0

,Д = 0,B

3я + ®3 s"©

Запишем ответ с учетом найденных коэффициентов A, B:

u(x,y) =

sin x =

=((3—)sh (y - >)- 6(y - >) -(y - =)3)sin x.

Таблица 2. Вычисленное программой численное и пит i,j и точное значение и exact i,j по формуле

(19). Число координатных функций n=7. п1 = п₂ = 70

XJ	yt	num UiJ	exact UiJ	L. exact -,uum\ luiJ   - uij |
0.0000000000	0.0000000000	0.0000000000	0.0000000000	0.000000E+000
0.6731984257	0.0000000000	4.1987116E-017	-1.107540E-015	1.1495274E-015
1.346396851	0.0000000000	6.5653555E-017	-1.731819E-015	1.797473E-015
2.019595277	0.0000000000	6.0673040E-017	-1.600442E-015	1.6611152E-015
2.692793703	0.0000000000	2.9218668E-017	-7.707323E-016	7.999510E-016
0.0000000000	0.6731984257	0.0000000000	0.0000000000	0.000000E+000
0.6731984257	0.6731984257	0.1220789217	0.1220789423	-2.063954E-008
1.346396851	0.6731984257	0.1908902876	0.1908903209	-3.333566E-008
2.0195952773	0.67319842576	0.1764091508	0.1764091828	-3.198914E-008
2.692793703	0.6731984257	0.08495417623	0.08.495418499	-8.759563E-009
0.0000000000	1.346396851	0.0000000000	0.0000000000	0.00000E+000
0.6731984257	1.346396851	0.03107955473	0.03107953195	2.2777731E-008
1.346396851	1.346396851	0.04859792331	0.04859791308	1.0225394E-008
2.019595277	1.346396851	0.04491123769	0.04491122490	1.2786412E-008
2.692793703	1.346396851	0.02162813399	0.02162810601	2.7974960E-008
0.0000000000	2.019595277	0.0000000000	0.0000000000	0.00000E+000
0.6731984257	2.019595277	-0.06319668605	-0.06319672189	3.5836E-008
1.346396851	2.019595277	-0.09881834825	-0.09881837353	2.5275804E-008
2.019595277	2.019595277	-0.09132188139	-0.09132190905	2.7659922E-008
2.692793703	2.019595277	-0.04397827572	-0.04.397831354	3.7819510E-008
0.0000000000	2.692793703	0.0000000000	0.0000000000	0.00000E+000
0.6731984257	2.692793703	-0.1315158668	-0.1315158539	-1.286272E-008
1.346396851	2.692793703	-0.2056465031	-0.2056464701	-3.302175E-008
2.019595277	2.692793703	-0.1900459453	-0.1900459152	-3.007367E-008
2.6927937030	2.692793703	-0.09152128907	-0.09152128919	1.1451521E-010

Координатные функции по переменной x задаются формулой (3), а по переменной y задаются формулой (4). Решение примера 2 программируем по формуле (10). Программа дает равномерную норму (Чебышева) вычислительной погрешности в примере 2 алгоритмом (3)–(15):

\uexact - ипит\\с = max ^xact — и^т1 = 4.022184701968357E - 008,

1=0,п2    ’             ’ j=on

\uexact\c = max |uexact| = 0.211525779807633 .

1=0,п2    ’ j=0n

Пример 3. Правая часть уравнения Пуассона четна по переменной t и произвольна по переменной s (то есть не является четной и не является нечетной по переменной s) относительно середины квадрата со стороной т.

sinx • у2 = sin

(И(М

т .   \2

= cos(t) (- + 5)

(ихх + иуу = sin x • у2, 0 < х < т, 0 < у < т

(     м|х=0 = м|х=я = и1у=0 = м|у=и = 0

Решение примера (20) ищем в виде и(х,у) = /(у) sin x . Подставляя решение в систему уравнений (18), получим:

С/"(у)-/(у) = у2, 0<у<т

{       /(0) = /(т) = 0       ■

Общее решение однородного уравнения /₀₀(z) = Ach z + fish z. Частное решение ищем в виде/ч(у) = С₀ + С1у², /"(z) = 2С1. После подстановки получим

2С1-С0 - С1у2 = y2, С0 = 2С1 = -2, С1 = -1 ■

Общее решение неоднородного уравнения /он(у) = Ach у + fish у - 2 - у2 .

С

учетом краевых условий получим

2+u²-2chп sh п

/(0) = 0, A = 2, /(т) = 0, 2ch т + Bsh т - 2 - т2 = 0,5 =

Запишем ответ с учетом найденных коэффициентов A, B:

и(х, у)

= ((2ch у + ("+7^^) sh у) - 2 - у2) sin х .

Координатные функции по переменной x задаются формулой (3), а по переменной y задаются формулами (3) и (4). Решение примера 3 программируем по двум частным задачам, разлагая правую часть на четное и нечетное слагаемое по переменной y (Лемма 3). В первой частной задаче строим численное решение по формуле (9), во второй частной задаче - по формуле (10). Затем складываем численные решения задач:

u~™ = u”™(’> + и”™'10», у = 0,41 , / = 0^.

Программа дает равномерную норму (Чебышева) вычислительной погрешности в примере 3 алгоритмом (3)–(15):

Ниласе - Unum||c = max |иТсе - и”у™| = 4.965370670184655E - 008, i=0,n2    ’             ’

7=ол7

НиехасеНс = max |ufjact| = 2.07084359002153, i=0,n2    ’ j=o”

Цуб’хасС—уПит^

llue*“rt|lc

2.397752632845165E - 008 .

Таблица 3. Вычисленное программой численное и пит i,j и точное значение и exact i,j по формуле

(21). Число координатных функций n=7. п1 = п₂ = 90

x	У/	пит иЦ	exact UiJ	I-. exact   ,,пит| К/  — ии 1
0.0000000000	0.0000000000	2.8847452E-048	0.0000000000	2.8847452E-048
0.6981317007	0.0000000000	8.8121821E-017	0.0000000000	8.8121821E-017
1.396263401	0.0000000000	1.3501033E-016	0.0000000000	1.3501033E-016
2.094395102	0.0000000000	1.18726E-016	0.0000000000	1.1872614E-016
2.792526803	0.0000000000	4.6888667E-017	0.0000000000	4.6888667E-017
0.0000000000	0.698131700	8.9150597E-034	0.0000000000	8.9150597E-034
0.6981317007	0.6981317007	-0.4633010528	-0.4633010412	-1.160963E-008
1.396263401	0.6981317007	-0.7098183953	-0.7098183763	-1.901752E-008
2.094395102	0.6981317007	-0.6242038230	-0.6242038043	-1.873738E-008
2.792526803	0.6981317007	-0.2465173309	-0.2465173350	4.1067097E-009
0.0000000000	1.396263401	1.8284102E-033	0.0000000000	1.8284102E-033
0.6981317007	1.396263401	-0.9768696634	-0.9768696782	1.4812790E-008
1.396263401	1.396263401	-1.496651166	-1.496651177	1.0777631E-008
2.0943951023	1.3962634015	-1.316132947	-1.316132957	9.7307812E-009
2.792526803	1.396263401	-0.5197814741	-0.5197814991	2.4968398E-008
0.0000000000	2.094395102	2.9270042E-033	0.00000000000	2.927004E-033
0.6981317007	2.094395102	-1.324359349	-1.324359357	7.8451543E-009
1.396263401	2.094395102	-2.029036254	-2.029036253	-9.207226E-010
2.094395102	2.094395102	-1.784304535	-1.784304535	-3.805200E-011
2.792526803	2.094395102	-0.7046768753	-0.7046768955	2.0289889E-008
0.0000000000	2.792526803	1.8255772E-033	0.0000000000	1.8255772E-033
0.6981317007	2.792526803	-0.8871460549	-0.8871460301	-2.480204E-008
1.396263401	2.792526803	-1.359186580	-1.359186573	-7.733131E-009
2.094395102	2.792526803	-1.195248629	-1.195248613	-1.694967E-008
2.792526803	2.792526803	-0.4720405607	-0.4720405430	-1.766452E-008

Пример 4. Правая часть уравнения Пуассона произвольна по переменной t и произвольна по переменной s (не является четной и не является нечетной по переменным t ,s) относительно середины квадрата со стороной я.

у2 sin х + х2 sin у = sin (— + t) (— + s) + sin (2 + s) (2 + О

I

uxx + иуу = у2 sin х + х2 sin у , 0 < х < я, 0 < у < я .

u|x=0 = u|x=u = и|у=0 = и|у=и = 0

Решение примера 4 получим из решения примера 3, используя редукцию линейной задачи (22) и симметрию правой части (22):

и(х,у) = (^2ch у + (

2 + я2 - : sh я

2ch я

-----I sh у) — 2 — y2 sin х +

+ ((2ch x + (~~~-2c~^) sh x) — 2 — x2) sin У .

Таблица 4. Вычисленное программой численное и™^т и точное значение ufj^act по формуле (23). Число координатных функций n=7. п₁ = п₂ = 90

xi	У1	num UiJ	exact ui,j	L. exact   n,umm\ \ui,j    - uij   1
0.0000000000	0.0000000000	8.1655973E-048	0.0000000000	8.1655973E-048
0.6981317007	0.0000000000	8.8121821E-017	0.0000000000	8.8121821E-017
1.396263401	0.0000000000	1.3501033E-016	0.0000000000	1.3501033E-016
2.094395102	0.0000000000	1.1872614E-016	0.0000000000	1.1872614E-016
2.792526803	0.0000000000	4.6888667E-017	0.0000000000	4.6888667E-017
0.0000000000	0.6981317007	8.812182E-017	0.0000000000	8.8121821E-017
0.6981317007	0.6981317007	-0.9266021121	-0.9266020825	-2.954416E-008
1.396263401	0.6981317007	-1.686688061	-1.686688054	-7.043760E-009
2.094395102	0.69813170079	-1.948563174	-1.948563162	-1.274737E-008
2.792526803	0.6981317007	-1.133663387	-1.133663365	-2.229445E-008
0.0000000000	1.396263401	1.3501033E-016	0.0000000000	1.3501033E-016
0.6981317007	1.396263401	-1.686688083	-1.686688054	-2.927367E-008
1.396263401	1.396263401	-2.993302360	-2.993302354	-5.895098E-009
2.094395102	1.396263401	-3.345169217	-3.345169210	-7.318042E-009
2.792526803	1.396263401	-1.878968061	-1.878968072	1.0975811E-008
0.0000000000	2.094395102	1.1872614E-016	0.0000000000	1.1872614E-016
0.6981317007	2.094395102	-1.948563188	-1.948563162	-2.658253E-008
1.396263401	2.094395102	-3.345169212	-3.345169210	-1.953105E-009
2.094395102	2.094395102	-3.568609077	-3.568609071	-6.000962E-009
2.792526803	2.094395102	-1.899925509	-1.899925508	-3.849329E-010
0.0000000000	2.792526803	4.6888667E-017	0.0000000000	4.6888667E-017
0.6981317007	2.792526803	-1.133663387	-1.133663365	-2.193001E-008
1.396263401	2.792526803	-1.878968056	-1.878968072	1.6172456E-008
2.094395102	2.792526803	-1.899925507	-1.899925508	1.6218706E-009
2.792526803	2.792526803	-0.9440811219	-0.9440810861	-3.578233E-008

Координатные функции по переменным x и y задаются формулами (3) и (4). Решение примера 4 программируем по четырем частным задачам, разлагая правую часть уравнения на четыре слагаемых согласно Лемме 3. Соответственно, строим численные решения задач по формулам (9), (10), (11), (12). Затем складываем численные решения задач:

..пит _ ..^иит(^)    п^тт(Ы)    nwntll)    пи^т(12)     . _ ут— . _ тт—

^Ui,j   = ^Ui.,j      + ^Ui.,j       + ^Ui,j       + ^Ui,j      •     J = °,П1 ,1 = 0,П2

Программа дает равномерную норму (Чебышева) вычислительной погрешности в примере 4 алгоритмом (3)-(15):

||uexact - unum|c = max |u™ — u™m| = 9.734341377409805E - 008, i=0,n2    ’             ’

J=0,n1

\\uexact\\c = maxluejactl = 3.74139188742999, i=0,n2    ’

^uexact

-

J=0,ni

ипит11с

||uexact||C

= 2.601796783201037E- 008.

Наибольшее время работы программы (для примера 4) составило 4.328125 секунды, что значительно меньше (20 секунд) для решения уравнения Пуассона методом векторной прогонки [8, стр. 548] при одинаковом числе узлов сетки.

Основные полученные в работе результаты

Впервые предложены четные и нечетные системы однородных координатных функций симметричных относительно середины прямоугольника.

Определены 4 класса четности непрерывных функций двух переменных С₀,₀, ^0,1, С1,₀, ^i,i (четно-четные, четно-нечетные, нечетно-четные, нечетно-нечетные). Каждый класс функций инвариантен относительно частных производных четного порядка, например, для действия на функции оператора Лапласа или бигармонического оператора (Лемма 1, Лемма 2).

Доказано, что любую непрерывную функцию двух переменных можно разложить в сумму 4 непрерывных слагаемых, каждое слагаемое принадлежит по четности классам С₀,₀, С₀,₁, С₁,₀, С₁,₁ (Лемма 3).

Доказана Теорема 1, согласно которой решение любой однородной краевой задачи для однородного линейного уравнения в частных производных сводится редукцией к решению 4 простых задач на каждом по четности классе функций.

Предложен численный алгоритм Бубнова-Галеркина (3)-(15) для решения краевой задачи с уравнением Пуассона на прямоугольнике для иллюстрации метода симметричных систем координатных функций.

Численно решены четыре однородных краевых задачи с уравнением Пуассона из различных классов симметрии правой части уравнения (четно-четной, четно-нечетной, четно-произвольной, произвольно-произвольной).

Точность решения краевых задач методом Бубнова–Галеркина с однородными уравнениями в частных производных имеет порядок 10-8 в равномерной метрике.

Для краевой задачи с бигармоническим уравнением (2), решаемой алгоритмом Бубнова-Галеркина (13), (14) для вычисления смешанной производной u_xxyy достаточно использовать формулы второй производной (5), (6), а для производной u_xxxx написать формулу четвертой производной. В левую часть уравнений (13), (14) вместо оператора Лапласа необходимо подставить три слагаемых u_xxxx + 2u_xxyy + u_yyyy для бигармонического оператора. Причем u(x,y) представимо суммой по координатным функциям либо в виде (9), либо (10), либо (11), либо (12).