Симметрии пятимерных пространств в форме алгебр Ли проективных движений

Работа, посвящена, имеющей многочисленные геометрические и физические приложения проблеме исследования многомерных псевдоримановх многообразий, допускающих алгебры Ли инфинитезимальных проективных (в частности, аффинных) преобразований, более широкие, чем алгебры Ли инфинитезимальных гомотетий.

Проективное преобразование псевдоримаиова многообразия М^п с проективиой структурой П сохраняет проективную структуру П и переводит геодезические линии снова в геодезические.

Векторное поле X на псевдоримановом многообразии (М, д') с проективной структурой П называется бесконечно малым проективным преобразованием, или проективным движением, если локальная однопараметрическая группа, локальных преобразований, порожденная этим полем в окрестности каждой точки ж С М, состоит из (локальных) проективных преобразований, т. е. автоморфизмов проективной структуры П.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы X = фд, было проективным движением на псевдоримаиовом многообразии (М,д), является равенство

(LX gtj ),к = 2дгз ф,к + дгк ф,з + gjk ф,г ,(1)

где ф - функция от жг, называемая определяющей функцией проективного движения X. [6].

Уравнение (1) можно записать в виде двух соотношений:

Lx дгз = ^г,з + ^з,г = ^гз(2)

(обобщенное уравнение Киллиига) и

Ьгз,к = 2дгз ф,к + дгк ф,з + дЗкф,г(3)

(уравнение Эйзенхарта). Если ф = const, то есть divX = const, то век торное поле X сохраняет аффинную связность и, следовательно, является бесконечно малым аффинным преобразованием, или аффинным движением.

Аффинное движение X является бесконечно малой гомотетией, или гомотетическим движением, если hy = соnst • ду, и бесконечно малой изометрией, или изометрическим движением, если ^гз 0.

Теория групп проективных преобразований псевдоримановых пространств является одним из активно развивающихся разделов дифференциальной геометрии, имеющих приложения в теории дифференциальных уравнений и анализе, а. также в теоретической и математической физике.

Проективные преобразования систематически возникают при исследовании симметрий уравнений математической физики.

В теоретической физике за. последние годы значительно возрос интерес к использованию геометрических свойств многомерных, в частности, 5-мерных пространств.

В 1919 г. Т. Калуцей была, предложена, идея геометризации электромагнитного поля в духе эйнштейновской теории тяготения с помощью увеличения на. единицу числа, пространственных координат; сейчас в литературе 5-мерная теория называется теорией Калуцы-Клейпа. Заслуга. Клейна, состоит в обобщении линеаризованного варианта, теории Калуцы на. общий случай.

В теории Калуцы-Клейпа. мир описывается 5-мерным псевдоримановым пространственновременным многообразием с квадратичной дифференциальной формой di2 = дар dx“dx^     (а, 3 =1,..., 5).                                (4)

Пятнадцать компонент 5-мерного метрического тензора, определяют десять компонент 4-мерного метрического тензора, и четыре компоненты векторного электромагнитного потенциала. Оставшаяся пятнадцатая компонента, метрического тензора, описывает некоторое скалярное поле.

В качестве уравнений поля используются 5-мерные уравнения Эйнштейна

^R a/ ^—

2 9а/^{R + Лд} а/  X^Qa/ ,

где Qa/ есть 5-мерный тензор энергии-импульса внешней материи. Из этих уравнений следуют аналоги 4-мерных уравнений Эйнштейна, с тензором энергии-импульса, электромагнитного поля и уравнения Максвелла. В качестве уравнений движения частиц берутся 5-мерные уравнения геоде зических

d? х^а         dx³ dx^

di2 = — 371Г1/Г где Г^ — 5-мериые символы Кристоффеля. Теории с размерностью пространства больше пяти и с полевыми уравнениями, аналогичными уравнениям Эйнштейна, называются теориями типа. Калуцы-Клейна.

В 1921 году Калуца. и Клейн показали, что при определенных условиях (таких как цилин-дричность: дду /дх⁵ = 0,i,j = 1,...,4) добавление 5-го измерения может объяснить появление электромагнитного поля. Проблема, заключается в том, что хотя сама, модель является геометрической, условия типа, цилипдричпости не являются геометрическими. Эта. проблема, была, частично решена. Эйнштейном и Бергманом, которые в своей статье 1938 года, предположили, что пятое измерение компактифицируется в небольшую окружность S 1, так что в полученном цилиндрическом 5D пространстве-времени R4 х S1 зависим ость от х⁵ макроскопически незаметна.

Дальнейшему развитию идей Калуцы с приложениями в гравитации и космологии посвящена, обзорная часть и библиография расширенного варианта, данного краткого сообщения, представленного в журнал "Пространство, время и фундаментальные взаимодействия".