Сингулярная задача с краевыми условиями

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

Если в задаче рассматривается задача Коши, то они хорошо изучены в [1, 2]. Пусть a (t ) = a ( t ) + i 0 (t ). тогда определяются устойчивые и неустойчивые интервалы относительно действительной области [5]. Получены соответствующие оценки [1, 2]. Действительная часть а ( t ) = 0 рассмотрено в работах [3, 4, 6]. Это относится к критическому случаю. Потому что определить устойчивый интервал в действительной области невозможно.

В предлагаемой работе рассматривается a(t ) = -а (t ) + в (t) , затем определяются устойчивые и неустойчивые интервалы [5]. Но рассматривать задачу Коши не целесообразно. Поэтому рассмотрим краевую задачу. Докажем лемму и теорему.

Задача нелинейная, исследование ведется в действительной области. Для простоты при доказательстве теоремы мы ограничиваем нелинейности второго порядка. Доказательство нелинейности более высокого порядка будет аналогичным.

В работе рассматриваются краевые задачи в устойчивой области. Цель исследования — доказать асимптотические близость решений возмущенной и невозмущенной задач.

Материалы и методы исследования

Объектом исследования является сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения

S y ' ( t , 8 ) = a ( t ) y ( t, 8 ) + f ( t, y (t, 8 )) + 8 g ( t , y ( t , 8 ))

с краевым условием y (T, 8) = y0,                                                    (2)

где | y ⁰| = O( 8 ), 0 <  8 <  8₀ — малый параметр, y ( t , 8 ) - искомая функция, t eQ , [ t ₀, T ] — отрезок действительной оси, t ₀<  T .

Определим область

Q ² = { ( t , y ) I e[t o , T :Ц y\ <  4

где 0 <  5 - некоторая постоянная, не зависящая от 8 .

Задача. Доказать существование, ограниченность и единственность решения y ( t , 8 ) на промежутке [ t ₀, T ] .

Для решения поставленной задачи от правых частей (1) потребуем выполнения следующих условий:

^ : Re a ( t ) >  0 при t ₀<  t <  T _o, Re a ( t ) <  0 при T _o<  t <  T , Re a (T_o ) = 0.

^ : F ( t ) = Re j a ( s ) ds , V t e [ t ₀, T ] , F ( t ) <  0, F ( t₀ ) = F(T ) = 0.

t 0

5з: g(t, y (t,8)) = 0, V(t, y )eQ 2, f(t, y(t,8)) = 0; f(t,y)- f(t ,y )| < M 0^ - y\x x max {y|,|y|}, где 0 < Mo - некоторая постоянная, не зависящая от 8 .

Учитывая условие ^ , функцию g ( t , y ) разложим в окрестности точки y = 0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

g ( t , y ) = g ( t ,0) + ^g^y + ... + ^— gtry-y n ^{+ 1}, где 0 <  0 <  1. d y                д y n ^{+ 1}

Тогда получим

£ y ^,( t , £ ) = a ⁽ t ) y ⁽ t , £ ) + f ⁽ t , y ⁽ t , ^{£ )}) + £ g ⁽ t ^,0) + ^ g ^ t ,⁰) + ... + ^—( t r y ) y n ^{+ 1} _          d y           d y n

.

По условию <93 имеем g(t,0) = 0 . Введя следующие обозначения мда =  )  УУ^Ш=„ (/ v)

~         g 0⁽ t ) , "•’        о и+1           g n +1 ⁽ t , y ) .

d y                      д y n ^{+ 1}

Имеем,

£ y '⁽ t , ^{£ )} = ⁽ a ⁽ t ) + £ 0 ⁽ t )) y ⁽ t , ^{£ )} + f ⁽ t , y^(t , ^£ )) + ... + £_{n + 1} ⁽ t , y ⁽ t , ^£ ))                          ⁽³⁾

y^{(T - £} ) = y °^- | y ⁰| = C 0 ^£ .                                                ⁽⁴⁾

Докажем следующую лемму:

Лемма. Пусть выполняется <9 ₃. Тогда

v((t,У)л (t,У)е Q2): gn+1(t-~) -gn+1(t-У)| < MУ -ymax{~ty}, где 0 < M - некоторая постоянная.

Доказательство. Возьмем разность  gn+1( t ,у )yn+1 - gn+1( t ,у )yn+1 . Этот разность преобразуем следующим образом:

g n + 1 ( t ,у )y^{n + 1} - g n + 1 ( t ,У )y^{n + 1} + g n + 1 ( t ,y)y^{n + 1} - g n + 1 ( t,y)y^{n + 1} = g n + 1 ( t ,y )k ^{+ 1} - y^{n + 1} ) +

+ y n ^{+ 1} ( g n + 1 ( t ,y ) - g n + 1 ( t ,y ) ) .

y.

К разности gn+1( t ,y) - gn+1( t ,y) можно применить теорему о конечных приращениях по переменной y .

y    (y у)

Функции gn+1(t, y) , ——  -----1------ непрерывны в области Q2, следовательно, дy они ограничены.

Учитывая, все сказанное имеем:

|g n + 1 ( ‘,У )Г * ' - g n + ( tУ)y -I <  My - y max j y| -ly } .

Лемма доказано.

При £ = 0 согласно 5₃ невозмущенное уравнение a ( t ) y ( t ) + f ( t , y ( t )) = 0 имеет решение y ( t ) = 0, которое для присоединенного уравнения будет точки покоя. Точка покоя неустойчива при t е [ t ₀, T _o) и устойчива при t е ( T _o, T ] .

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия ^ - 5 ₃ . Тогда V t е [ t ₀, T ] решение задачи (3)-(4)

существует, единственно и для нее справедлива оценка

I y ⁽ t , ^£ ) < | y 1 ⁽ t , ^£ ) q 0                                                           ⁽⁵⁾

где 1 <  q₀ - некоторая постоянная, зависящая от £ .

Доказательство. Задачи (3)-(4) заменим следующим эквивалентным интегральным уравнением:

y ( t , s ) = y ⁰exp

(

-

V

1 1-          ^    t r                                 (    i ;         ^

- j F(s)ds — j[f(T, y) + £gn+1(T, y)]exp--j F(s)ds s t        J  t                             V  s t         >

d r

где F (s ) = a ( s ) + s g ₀ ( s ).

Для доказательства существования решения уравнения (6) применим метод последовательных приближений.

Последовательные приближения определим следующим образом:

yo(t,s) ~ 0, t                                    (  1 T        ^

ym (t , S) = y 1( t, S ) -j[f (T ym-1) + Zgn+1(T ym-1)]exP--j F(s ) dsd

T                                    V  s tJ

Проведем оценку последовательных приближений (7).

y 0 ⁽ t , ^s ) - ⁰, t

| y 1 ⁽ t , ^s )| = C 0 ^{s ex}P

t

| ym (t , s )| < |y 1( t , s )| - “j exP где F (s ) = a (s ) + sg 0 (s).

При m = 2, n = 1 имеем

(    1               ^

- J Re j F (s > ds V s T       J t Ar

t

y 2 ⁽ t , ^s ) <  y 1 ( t , ^s ) +- f^exP -^Re

s*     s

t

' 0

V

t

\

—

n + 1

+ s i

T .

t            A

T

x exp — Rej F ( s ) ds d r = y ( t , s )| +

V s r       J

t

V ^s           J

₊ M (1 + s ) j-

x

= y ( t , s )| + MC₀ ² (1 + s ) s exp

V

J

M (1 + s )

s

t

\

t

s

t

i t.                   ^! r                         1

^exp - ^Re j ^{F (} s ) ds j C 0 ^{s exp} -

V л

t

' 0

T

J

t

V

t 0

t

t ₀             J

1 Г             Г        1 ^T

— Re j F ( s ) ds j exp —Re j F ( s ) ds d r = y j( t , s )|x ( 1 + CM

x

t 0                J t

t

x ( 1 + s )

t

! 0       V

t

t

T

' 0             J

A

t 0

V        t 0           J

Тогда получим

I y 2 ( t , s )| < | y 1 ( t , s )| ( 1 + C 0 M (1 + s ) M 0 s ) .

Верно оценка

I y 2 ⁽ t , ^s ) <  y 1 ( t , ^s ) q 0 .

При m = 3 , n = 1 справедлива следующая оценка

t

1 'г1

yз(t,s) < У 1(t,s) +- [exp - s:s

1 оV

t

T

t

\

x exp — Rej F(s ) ds d r = y j ( t, s )| +

I s T       7

M (1 + s )

s

t

\

t

^exp j^Re j ^{F (} s ) ^ds j ^y J² q °^exp

M (1 + s ) s

7 .

' j|У0(r,s)|0 x f 0

r

V        ^f 0           7

V

^f 0

\

\

= | у [ ( t , s )| + MC₀ 2 (1 + s ) s q ₀ ² exp —Re j F ( s ) ds J exp —Re J F ( s ) ds d r = | y j ( t , s )| x ( 1 + C₀M

V

x

t

t

r

x

t ₀

t

t ₀

V

( A      r

t ₀

^f о

V        ^f 0           7

К последнему интегралу применяя лемму, получим

|У 3 ^{( f} , ^s )| < | У 1 ^{( f} , ^s ) ^{( 1 +} C 0 ^{M (1 + s )} q 0^{0 M} 0 ^s ).

Для y ₃ ( t , s ) получается оценка

I y з ^{( f} , ^{s )}| < | У 1 ^{( f} , ^s )| q 0 .

Пусть имеет место оценка

||Ут (f, s')|| <1 |У1(f, s)||q0

Учитывая (8), докажем справедливость оценки для ( т + 1 ) .

t

y m + 1 (A ^s ) <  у 1 ^{( f} , ^s ) +- [exp “Re £*     s

t

' 0

V

j F ⁽ s ) ^ds M [ y _m | ² + ^s y m | ² ] d ^T = | y 1 ⁽ t , ^s )|

M (1 + s )

t

x exp -Rej F ( s ) ds d r = | y j ( t , s )| +

V s r       7

r          7

M (1 + s ) —   ■

s

t

t

^exp J :^Re j ^{F ( s} ) ^ds j ^y J² q 2^exp

s

( 1 r

t

j|Ут (r, s)|

x

/

V        ^f 0           7

V

t ₀

t ₀

\

= у ( t , s )| + MC^ 2(1 + s ) s q ₀² exp —Re j F ( s ) ds j exp —Re j F ( s ) ds d r = | y j( t , s )| x ( 1 + C₀M

V

t

t

T

x

t

t ₀

t ₀

V

t ₀

x

^f 0

V

— Re j F ( s ) ds d r = | y j ( t , s ) ( 1 + C₀M (1 + s₀ ) q ₀ 2 M_o s ) .

r

Так как  1 + C0M(1 + s0)Moq2 < q0 , следовательно  \ym+1(t, s)| < У (t, s)|q0 . Таким образом, оценка (8) верна Vт g N. Из (8) вытекает, что {ym (t, s)} ограничена.

Теперь докажем сходимости последовательных приближений { y_m ( t , s ) } , применяя метод мажорант. Для этого последовательность { y_m ( t , s ) } представим следующем виде:

У т ^{( f} , ^s ) = У 1 ⁽ t , ^s ) ^{+ (} У 0 ^{( f} , ^s ) ^— У 1 ⁽ t , ^s ) ) ^{+ (} У 3⁽⁽ , ^s ) ^— У 0 ⁽* , ^s ) ) ⁺ ••• ^{+ (} У т ⁽ t , ^s ) ^— У т — 1 ^{( f} , ^s Й '

Оценим У ( t , s ) — У т — 1 ( t , s )||. Имеем

t

t

r         7

|У т ⁽*, ^{s )} - У т — 1 ⁽*, ^{s )}| <

-

V        ^f 0           7

V         ^f 0

—

У т — 0 ^{( r} , ^s )| max ^{ У т — 1 ^{( r} , ^s )| J У т — 0 ^{( r} , ^£ )| ^{} d}

r.

Учитывая (8), имеем max

Тогда получим

^{ У т - 1 < t , ^£^ |У т - 2 < t , ^£ )| ^} = | У 1 < t , ^£ )| q₍

0 .

|У т ⁽t , £ ) - У т - 1 < t , ^ )| <

MM (1 + ^£ H Г 1Re f F <  s ) ds I f exp [ 1Re f F ( s ) ds ^j у

к

t 0

t 0

к

т - 1 -

У т -2 || У 1 q 0 ^{d T} -

При m = 2,

| У 2 < t , ^£ ) ^- У 1 < t , ^£ )| <

MM (1 + ^{£ )e}xp 1^Re f F < s ) ds f exp ¹ J F < s ) ds |y 1| x| у 1 q 0 ^{d T} =

t

\

t

T

к

t

к

7 .

к

T

= ^M <1 ^{+ £} ) C °^{£2 q} 0 ² < f ^exp 1 f F < ^s ) ^{ds d T} < ' у 1 < t , ^£ ) ^MM 0 C 0 ^£ q ⁽²<^{1 + £} 0 ) ■

t 0

к

t 0

Пусть

I у 2 <  t , ^£ ) ^- У 1 <  t , ^£ ) < | у 1 <  t , ^{£ )}| q 1 , где q t = ^MM 0 C 0 ^£ q 0 ²<1 + ^£ 0 ) •

Пусть

|Ут < t , ^£ ) - У т - 1 < t , ^£ )| < | У 1 < t , ^£ )| q ? ^{- 1}

Докажем, справедливость оценки (9) для ( т + 1 ) .

I У т + 1 < t , ^£ ) — У т < t , ^£ )| <

M <

£

t

t

X

к

M M (1 + ^{£ )exp} 1^Re f F < s ) ^ds f ^exp 1^Re j F < s ) ^ds \y

t

t

t

т -

У т - 1| ^X | У 1 q 0 ^{d T} <

t

к

t 0

t 0

к

t 0

T

t

<1 + ^{£ )ex}p ¹J F ( s ) ^ds J exp ¹ f F < ^s ) ^ds \ y 1 q 1 ^{т - 1}| у 1 q 0 ^{d T} = ^M <1 + ^£ ) q 0 q ^{т - 1} C 0 ^£ exp ¹J F < ^s ) ^ds £      £                    £

T

\

x

к

t 0

t 0

к

t 0

к

t 0

f ^exp j J ^F < ^s ) ^{ds d T} < ^у 1 < t , ^£ )l q f .

t 0

к

t 0

Оценка (9) верна V т е N . Таким образом

|У 1 < t , ^{£ ) +} У 2 < t , ^£ ) ⁺ - ⁺ У т < t , ^£ ) ⁺ -| < | У 1 < t , ^£ )| ⁺ | У 2 < t , ^{£ )} - У 1 < t , ^£ )| ⁺ | У т < t , ^£ ) - У т - 1 < t , ^{£ )}| ⁺ - <

(

< ^у1< t , ^£ )|¹ + Z q 1

к     k = 1

= | у 1 < t , ^£ )|^x

¹ - ^q 1

Из (10) следует, что последовательность { у_т < t , £ ) } , V t е [ t ₀, T ] и при 0 <  q_x <  1 сходится к некоторой функции у < t , £ ), которая является решением задачи (1) и для нее справедлива оценка | у < t , £ )| < | у [ < t , £ )| q ₀. Оценка (5) доказана.

Докажем единственность решения методом от противного. Допустим, что существует другое решение x <  t , £ ) задачи (3)-(4).

к

x < t , £ ): x < t , £ ) = у ^oexp ¹ f F < s ) ds + ¹ f [ f < t , у ) - £ g < t , у ) ] exp ¹ f F)ds dr.

к    t 0            7       t 0                                    ^{к T           7}

t

t

t

к

t 0

t 0

Учитывая (7), получим

.

t

t

| Ут — x\

t                                                                                                                   I t

I - “ j ^{[ ( f T} , У т — I ) - ^{f T} , У )) ^{+ 1 (} g n + 1 ^T , У т — I ) - g n + 1 ^T , У ) ) ^{] e}^ J Re J a ⁽ s ) ^{d d T}

t 0

к

T

7

Далее, учитывая (11)

I y 1 - x

г

\

1 t I 1 t

' ^-^ f ^exp z^Re J F ^{( s} ) ^ds [ f ^{( T} , у ) ^{+ e Sn} ^ у ^{) ] d}

t

t

t 0

к

T

7

t - Mo(1 +1 )f

1 t ₀

t

1J

к T

7

^- M o C o ^{(1 + 1} ) q o²1 У 1 ( t , ¹ )| ^{( t -} t o ) ,

Предположим, что:

|У т ⁽ t , ¹ ) ^- X ⁽ t , ^{1 )}| ^- | У 1 ⁽ t , ¹ )|

ms-im         m hi + 1           m

M o C o ^{( 1 + 1} ) q o   ⁽ t ^- t o )

m !

Докажем оценку (12)

|ym + 1 ⁽ t , ^{1 ) -} x ⁽ t , ¹ )| ^- | У 1 ⁽ t , ¹ )|

M ^{m +} C ^m 2¹ ( 1 + 1 ^{m +} q^ ( m + 1)!

Тогда V m e N верна (12). Отсюда вытекает || y ( t , 1 ) - x ( t , 1 )|| - o ^ y ( t , 1 ) = x ( t , 1 ) . Единственность решения доказана. Теорема полностью доказано.

Пример. Пусть a ( t ) = - t , t e [ - 1,1 ] , t₀ = - 1, T_o = o, T = 1 . Условия ^ - 5 ₃ выполняется, [ - 1,o ) — интервал неустойчивости, ( o,1 ] — интервал устойчивости. В качестве начальной точки возьмем T = 1 . В этом случае условия (4) является краевой задачей.

Результаты и обсуждение

Подведя итог, можем сказать, что последовательность { y_m ( t , 1 } равномерно сходится к некоторой функции y ( t , 1 ), являющейся решением уравнения (3).Если условия устойчивости не выполняется, то мы не можем выбрать начальную точку, зависящую от малого параметра. В качестве отправной точки может выбрана величина, обратная малому параметру. Но это не рекомендуется. Поэтому мы выбираем начальную точку в устойчивом интервале. После этого справа движемся по левому краю рассматриваемого интервала. В результате имеем краевую задачу.

Выводы

Решение (3), (4) зависят от выбора функции a ( t ) определяющей устойчивые и неустойчивые интервалы, а также выбора начальной задачи. В работе доказана теорема, удовлетворяющая условиям устойчивости. Также показана зависимость решения задачи не только от условий устойчивости, но и от гармонических функций u ( t ) - o. Рассматривается нелинейная задача, поэтому исследования проводились в действительной области. Доказанная теорема показывает, что асимптотическая близость решений возмущенной и невозмущенной задач.